10.圆上的点与直线上的点的距离问题-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

10.圆上的点与直线上的点的距离问题 1．（2018·全国·高考真题）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A． B． C． D． 2．（2023·湖南·二模）已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 4．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知直线交圆于两点，则的最小值为（    ） A．9 B．16 C．27 D．30 5．（2023·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·湖北·二模）已知动直线l的方程为，，，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二下·湖南邵阳·期末）已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．13 B．11 C．9 D．8 8．（2021·山东泰安·模拟预测）已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．（2023·云南昭通·模拟预测）已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 10．（2023·河南·模拟预测）已知实数a，b满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．16 11．（2023·北京海淀·一模）已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高三下·上海闵行·阶段练习）已知实数满足，记，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·河南信阳·一模）已知实数满足，则的最小值与最大值之和为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（2024·江西吉安·一模）已知圆C：及点，则下列说法正确的是（ ） A．直线与圆C始终有两个交点 B．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．圆C与轴相切 15．（21-22高二下·云南丽江·期末）直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·北京海淀·期中）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·北京西城·期末）在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（21-22高二上·广东湛江·期中）若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 19．（2023·福建福州·二模）已知，关于直线对称的圆记为，点E，F分别为，上的动点，EF长度的最小值为4，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 20．（2024·北京平谷·模拟预测）已知，，P是曲线上一个动点，则的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 21．（22-23高三上·安徽合肥·开学考试）已知，，若动点满足，直线与轴、轴分别交于两点，则的面积的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 22．（22-23高二下·河南南阳·期末）已知直线l：与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线：和：交于点P，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·湖南·二模）设，对满足条件的点的值与无关，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（21-22高二·全国·课后作业）已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆：上的点到点的轨迹的距离的最小值为（       ） A．1 B．2 C．5 D． 25．（2024·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． 26．（2023·湖北·模拟预测）已知点在圆运动，若对任意点，在直线上均存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 27．（2022·山东·模拟预测）已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 28．（2023·重庆·模拟预测）已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（2023·广东深圳·模拟预测）若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二上·全国·单元测试）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值不可能是（    ） A．-2 B．0 C．1 D．3 32．（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 33．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 34．（2023·江苏·一模）已知点，，点P为圆C：上的动点，则（    ） A．面积的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 35．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是0 B．的最大值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 36．（19-20高一下·江苏苏州·期中）圆和圆的交点为，，则有（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 37．（2023·山东菏泽·一模）已知圆，下列说法正确的有（    ） A．对于，直线与圆都有两个公共点 B．圆与动圆有四条公切线的充要条件是 C．过直线上任意一点作圆的两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为4 D．圆上存在三点到直线距离均为1 38．（2023·江苏·模拟预测）已知点在圆：上，点，，则（    ） A．点到直线的距离的最小值是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．当为直角三角形时，其面积为3 39．（2023·山东·模拟预测）已知点，若过点的直线交圆于两点，是圆上的动点，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．当取最大值时，底边上的高所在的直线方程为 40．（22-23高二上·江苏常州·期末）点在圆上，点，点，则下列结论正确的是（    ） A．过点可以作出圆的两条切线 B．点到直线距离的最大值为 C．圆关于直线对称的圆的方程为 D．当最大时， 41．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，过直线上一点向圆作两切线，切点为、，则（    ） A．直线恒过定点 B．最小值为 C．的最小值为 D．满足的点有且只有一个 42．（2023·湖北荆门·模拟预测）已知点P在：上，点，则（    ） A．点P到直线AB的距离最大值是 B．满足的点P有2个 C．过直线AB上任意一点作的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点 D．的最小值为 43．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，.则下列说法正确的是（    ） A．最短为 B．最短时，弦所在直线方程为 C．存在点，使得 D．直线过定点为 44．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1 D．经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示. 45．（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）已知动圆C：，P为直线l：上一个动点，过点P作圆C的两条切线，切点为A、B，则（　　） A．圆C恒过定点； B．圆C在运动过程中所经过的区域的面积为8π； C．四边形PACB的面积的取值范围为 D．当时，的正弦值的取值范围为 46．（2024·广东·模拟预测）已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为 . 47．（22-23高二下·福建福州·期中）已知⊙M：，直线l：，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的切线，切点为A，则切线段长的最小值为 ． 48．（2023·海南省直辖县级单位·三模）已知，是圆：上的两个不同的点，若，则的取值范围为 ． 49．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 ． 50．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知圆与圆外切，点P是圆C上一动点，则点P到直线的距离的最大值为 51．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是 52．（22-23高三上·河北石家庄·期末）已知为坐标原点，，B在直线上，，动点M满足，则的最小值为 . 53．（19-20高二上·上海浦东新·期中）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是 ． 54．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知实数，满足，，，则的最小值是 ． 55．（2023·河北衡水·模拟预测）已知圆C：，点，点.点P为圆C上一点，作线段AP的垂直平分线l.则点B到直线l距离最小值为 . 56．（2022高二上·全国·专题练习）已知：，直线：，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，当四边形的面积取最小值时，直线AB的方程为 ． 57．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为 ． 58．（2023·贵州·模拟预测）若点在曲线：上运动，则的最大值为 . 59．（22-23高二下·上海静安·期中）若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是 ． 60．（22-23高二上·江苏南通·期末）已知实数，，，满足，，，则的最大值是 ． 61．（2023高三·全国·专题练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线， 则下列结论正确的是 .（填写序号） ①曲线围成的图形的周长是； ②曲线上的任意两点间的距离不超过4； ③曲线围成的图形的面积是； ④若是曲线上任意一点，则的最小值是. 62．（2023·上海·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在圆上，若点，点，则的最小值为 ． 63．（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知圆，直线为直线上一点，过点作圆的两条切线，其中为切点，且最小． (1)求直线的方程； (2)为圆与轴正半轴的交点，过点作直线与圆交于两点，设，的斜率分别为，求证：为定值． 64．（2021·山东枣庄·二模）已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C． (1)求C的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线x＝3上的动点P(3，p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ、PR(Q、R为切点)，N为弦QR的中点，直线l：3x＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E、F，求△NEF的面积S的取值范围． 65．（2023·黑龙江·模拟预测）已知圆． (1)证明：圆C过定点； (2)当时，点P为直线上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积最小值，并写出此时直线AB的方程． 66．（14-15高一上·广东广州·期末）如图，已知圆，点.    (1)求圆心在直线上，经过点，且与圆相外切的圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程. 试卷第10页，共11页 试卷第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D D A B D B D A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D C C B C C A C D D 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 D B B A B D B C D B 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 D ACD BC BCD AD ABD BC ACD ACD ABD 题号 41 42 43 44 45 答案 AC ABD ABD ACD ABD 1．A 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可 详解：直线分别与轴，轴交于，两点 ,则 点P在圆上 圆心为（2，0），则圆心到直线距离 故点P到直线的距离的范围为 则 故答案选A. 点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 2．D 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】令，可得M点的坐标为，则，即可得答案. 【详解】设，令， 则 ，则M. 如图，当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，为，即直线到点M距离，为. 故选：D 3．D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 4．D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、求平面轨迹方程、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据题中条件，先求得弦的中点的轨迹方程，则的几何意义为两点到直线的距离之和，即点到直线距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题设直线与轴的交点为，设弦的中点为， 连接，则，即，所以， 即， 所以点的轨迹方程为， 即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 设直线为，则到的最小距离为， 过分别作直线的垂线，垂足分别为， 则四边形是直角梯形，且是的中点， 则是直角梯形的中位线，所以，即， 即， 所以的最小值为30. 故选：D. 5．A 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、求点到直线的距离、已知切线求参数 【分析】由题意圆的标准方程为，如图，又，所以，又由圆心到直线的距离可求出的最小值，进而求解. 【详解】如下图所示：    由题意圆的标准方程为，， 又因为，所以， 所以， 又圆心到直线的距离为， 所以，所以不妨设， 则， 又因为在单调递增，所以当且仅当即，即当且仅当直线垂直已知直线时， 有最大值. 故选：A. 6．B 【难度】0.65 【知识点】万能公式、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】利用万能公式将直线方程化为，求出过原点与直线垂直的直线方程，进而得出点的轨迹为圆心为半径为3的圆，进而转化为点到圆的距离即可求解. 【详解】由可得， 令，由万能公式可得， ，所以直线的方程为①， 由题意可知过原点与直线垂直的直线方程为②， 可得，即表示点的轨迹为圆心为半径为3的圆， 于是线段长度的取值范围为，因为， 所以线段PQ长度的取值范围为， 故选：B. 7．D 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解. 【详解】如图所示，    圆的圆心为，半径为4， 圆的圆心为，半径为1， 可知， 所以， 故求的最小值，转化为求的最小值， 设关于直线的对称点为，设坐标为， 则 ，解得，故， 因为，可得， 当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 8．B 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、判断圆与圆的位置关系 【分析】根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解出的最小值. 【详解】由题可知：，圆心，半径， 又，是的中点，所以， 所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为， 若直线上存在两点，使得恒成立， 则以为直径的圆要包括圆， 点到直线的距离为， 所以长度的最小值为， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于点轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以为直径的圆包括的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析的最小值. 9．D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】 根据给定条件，求出直线的方程，再求出点P到直线距离的最大值作答. 【详解】圆的圆心，半径，直线的方程为：， 于是点到直线：的距离，而点在圆上， 因此点到直线距离的最大值为，又， 所以面积的最大值为. 故选：D    10．A 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】将已知表示成一个以为圆心，1为半径的圆，将问题转化为圆上一点到直线距离最小值问题，从而找到解题关键. 【详解】 依题意可知曲线表示一个以为圆心，1为半径的圆， 求的最小值相当于先求的最小值， 即求圆上一点到直线的距离d的最小值， 所以， 即的最小值为1． 故选：A． 11．D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标以及半径，由等边三角形的性质可得到圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式列出方程求出的值即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 若直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形， 则圆心到直线的距离， 又由点到直线的距离公式可得，解得， 故选：D. 12．C 【难度】0.65 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示可得，然后结合点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系即可求出. 【详解】设，因为 因为在以原点为圆心，为半径的圆上，且. 设点到直线的距离之和为，则，转化为求的最大值. 设点为点与点的中点，设点到直线的距离为，则， 又.故点轨迹方程为圆. 圆上点到直线距离的最大值. 所以的最大值是. 故选：C. 【点睛】 13．C 【难度】0.65 【知识点】由方程研究曲线的性质、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】作出曲线对应的曲线，将看作曲线C上的点到直线的距离，结合圆心到直线的距离求得d的最小值和最大值，即可求得答案. 【详解】由题意知点在曲线上，曲线C关于原点以及坐标轴均对称； 由于时，曲线的方程为，即， 故结合曲线对称性，作出曲线C如图： 而表示曲线C上的点到直线的距离， 可知取最小值和最大值时，位于曲线在第一、三象限内的圆弧上， 当时，曲线的方程为，即， 此时d的最小值为， 当时，曲线的方程为，即， 此时d的最大值为， 故的最小值与最大值之和为， 所以的最小值与最大值之和为， 故选：C． 14．B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、点与圆的位置关系求参数、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据题意分别求出圆心，半径，由直线过定点可对A判断；利用圆外一点到圆上距离知识可对B判断；由在圆上可求得，即可对C判断；根据圆心到轴的距离从而可对D判断. 【详解】依题意，圆C：，圆心，半径， 对于A，直线恒过定点，而点在圆C外，则过点的直线与圆C可能相离，故A不正确； 对于B，，点Q在圆C外，由得：，故B正确. 对于C，点在圆C上，则，解得，而点， 则直线PQ的斜率为，故C不正确； 对于D，点到x轴距离为7，大于圆C的半径，则圆C与轴相离，即圆C与x轴不相切，故D不正确； 故选：B 15．C 【难度】0.65 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求平面两点间的距离 【分析】由题意首先求得的长度，然后确定圆上的点到直线的距离，最后确定三角形面积的取值范围. 【详解】解：因为，所以. 圆的标准方程，圆心， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的取值范围为：， 所以. 故选:C. 16．C 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、已知点到直线距离求参数 【分析】由直线方程确定定点，根据时点线距离最大，求出直线的斜率，进而可得直线的斜率，进而写出直线的方程. 【详解】由直线的方程整理可得：， 可得直线恒过定点，所以， 当 时，到直线的距离最大， 可得直线的斜率为，即， 所以直线的方程为， 即． 故选：． 17．A 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题意首先得出旋转后的直线为，然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接，设（即以轴正方向为始边，为终边的角）， 由题意对于直线上任意一点，存在，使得， 则直线绕原点顺时针旋转后，点对应点为，即， 因为在直线上，所以满足 设，所以， 即所在直线方程为， 而圆的圆心，半径分别为， 若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：A. 【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线，从而即可顺利得解. 18．C 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】圆的圆心，半径，由圆上恰有三点到直线的距离为2，得到圆心到直线的距离为1，由此能出的值． 【详解】由得，所以圆心，半径， 因为圆上恰有三点到直线的距离为2， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得， 故选：C． 19．D 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】画出图形，当过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时，长度最小，此时圆心到对称轴的距离为4，根据点到直线的的公式建立方程即可求解. 【详解】 由题易知两圆不可能相交或相切，则如图，当过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时，长度最小， 此时圆心到对称轴的距离为4， 所以，解得或. 故选：D 20．D 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据向量数量积的坐标运算可得，再利用直线与圆的位置关系数形结合即可得解. 【详解】因为，即， 则曲线表示以坐标原点O为圆心，半径为1的上半圆，并记为， 设点，则， 所以，令，则， 故直线（斜率为，纵截距为）与曲线有公共点，如图所示：    直线过点，则，即， 直线与曲线相切，则，解得或（舍去）， 所以，则，所以的最大值为. 故选：D. 21．D 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由得的轨迹为圆心为，半径为的圆，根据点到直线得距离公式求解圆上点到直线的最小距离，即可根据面积公式求解. 【详解】设，由可得， 化简可得，故动点的轨迹为圆心为，半径为的圆， 圆心到的距离为， 故圆上的点到直线的最小距离为， 由于，所以， 故的面积的最小值为，    故选：D 22．B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据所过定点和位置关系可得点P轨迹方程，然后利用点到直线的距离公式和两点间的距离公式可得面积最小值. 【详解】根据题意可知，动直线过定点，动直线：，即过定点， 因为，所以无论m取何值，都有， 所以点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为， 设，则点P的轨迹方程为， 圆心到直线l的距离为，则P到直线l的距离的最小值为． 由题可知，，则， 所以的面积的最小值为． 故选：B    23．B 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、向量模的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】先根据平面向量的坐标表示得出C点轨迹，结合直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】易知，所以， 即C点轨迹为为圆心，为半径的圆， 易知到直线的距离为， 即该圆与直线相切， 若的值与无关， 则该圆在两平行直线之间， 所以到直线的距离为，    由图可知. 故选：B 24．A 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】利用直线垂直的性质、直线的点斜式以及直线与圆上的点的位置关系进行求解. 【详解】过点且与直线垂直的直线为：， 已知点在该直线上，所以，即， 所以点的轨迹方程为，又圆：， 所以圆心，半径，所以圆上的点到点的轨迹的距离的最小值为： .故A，B，D错误. 故选：A. 25．B 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、点与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、直线过定点问题 【分析】根据直线垂直确定轨迹为圆，再由圆上存在三点到直线距离相等转化为圆心到直线距离为1求解. 【详解】由可得， 即过定点， 由可得， 即过定点， 又，所以的轨迹是以为直径的圆（不含点）， 其中圆心为，半径为， 所以圆上恰有3个不同的点M到直线的距离为1， 只需圆心到直线的距离等于1，即，解得， 此时 到直线的距离不为1，故符合. 故选：B 26．D 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由恒成立可知，始终在以为直径的圆内或圆上，求出点到直线的距离即得线段长度的最小值. 【详解】如图， 由题可知，圆心为点，半径为1， 若直线上存在两点，使得恒成立， 则始终在以为直径的圆内或圆上，点到直线的距离为， 所以长度的最小值为. 故选：D 27．B 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先判断出四点在以为直径的圆上，求出该圆方程，进而求得方程，由点在直线上得出点轨迹为，又在圆上，进而将的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，即可求解. 【详解】 易得圆心，半径为4，如图，连接，则，则四点在以为直径的圆上， 设，则该圆的圆心为，半径为，圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为， 故，整理得，又点在直线上， 故，即点轨迹为，又在圆上，故的最小值为 圆心到直线的距离减去半径1，即. 故选：B. 28．C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】根据题意求出，转化为直线上存在与C距离为2的点，利用点到直线距离建立不等式求解即可. 【详解】由可得， 圆心，半径， 过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N， 连接，如图， 由知，，又， 所以， 由题意，只需直线上存在与圆心距离为的点即可， 即圆心到直线的距离， 解得， 故选：C 29．D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】将圆上有四个点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离，从而利用点到直线的距离公式求出结果. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心为，半径为， 又圆上有四个点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离， 所以，即，得到 故选：D. 30．B 【难度】0.65 【知识点】向量加法的法则、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、相交圆的公共弦方程 【分析】取线段的中点，连接，将的取值范围问题转化为的范围问题，通过将圆的方程做差得到公共弦的方程，求出，结合圆的性质可得的范围. 【详解】圆，即，其圆心，半径， 圆，即，其圆心，半径， 取线段的中点，连接， 则， 将圆与圆的方程做差可得公共弦的方程为， 则， 则， 所以. 故选：B.    31．D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】如图所示：    当直线即为直线时，圆上恰有3个点到直线的距离均为，若圆上至少有三个不同的点到直线（即直线）的距离为，则只需圆心到直线的距离，进一步通过运算即可得解. 【详解】圆的方程可化为，则圆心为，半径为，要使条件成立，设圆心到直线的距离为， 则只需要，即，所以的取值不可能是3. 故选：D. 32．ACD 【难度】0.65 【知识点】切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 33．BC 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误. 如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B选项正确. 直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确. 圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选：BC 34．BCD 【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、平面向量数量积的几何意义、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】对于A，点P动到圆C的最低点时，面积的最小值，利用三角形面积公式；对于B，当点P动到点时，取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；对于D，利用平面向量数量积的几何意义进行求解. 【详解】， 圆C是以为圆心，为半径的圆. 对于A，面积的最小值为点P动到圆C的最低点时，， ，故选项A错误； 对于B，连接交圆于点，当点P动到点时，取到最小值为，故选项B正确； 对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，设切点为,，， ，故选项C正确； 对于D，，当点P动到点时，取得最大值，即在上的投影，，故选项D正确； 故选：BCD. 35．AD 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由可看成与原点间的连线的斜率，设，结合直线与圆有交点，求得 的值，可判定A正确，B不正确；由表示点到原点的距离，结合圆的性质，可判定C错误；设，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可判定D正确. 【详解】由圆，可化为， 可得圆心坐标为，半径， 当时，可看成与原点间的连线的斜率， 设，即，所以直线与圆M有交点， 由，解得， 所以的最小值为，无最大值，所以A正确，B不正确； 由表示点到原点的距离， 又由，所以的最大值为， 即的最大值为，所以C错误； 设，可得， 当直线与圆有公共点时，则，解得， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：AD. 36．ABD 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A；求出垂直平分线的方程判断B；利用垂径定理计算弦长判断C；求出圆到直线的距离的最大值判断D． 【详解】圆的圆心，半径， 的圆心， 半径， 显然，即圆与圆相交， 对于A，将方程与相减， 得公共弦AB所在直线的方程为，即，A正确； 对于B，由选项A知，直线的斜率，则线段AB中垂线的斜率为， 而线段中垂线过点，于是线段AB中垂线方程为，即，B正确； 对于C，点到直线的距离为， 因此，C错误； 对于D，P为圆上一动点，圆心到直线的距离为， 因此点P到直线AB距离的最大值为，D正确． 故选：ABD 37．BC 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、切线长、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】对于选项A，转化为判断直线恒过的定点与圆的位置关系即可；对于选项B，转化为两圆外离，运用几何法求解即可；对于选项C，由，转化为求最小值即可；对于选项D，设圆心到直线的距离为d，比较与1的关系即可. 【详解】对于选项A，因为，即：， 所以，所以直线恒过定点， 又因为，所以定点在圆O外， 所以直线与圆O可能相交、相切、相离，即交点个数可能为0个、1个、2个.故选项A错误； 对于选项B，因为圆O与动圆C有4条公切线，所以圆O与圆C相离， 又因为圆O的圆心，半径，圆C的圆心，半径， 所以，即：，解得：.故选项B正确； 对于选项C，， 又因为O到P的距离的最小值为O到直线的距离，即：， 所以四边形PAOB的面积的最小值为.故选项C正确； 对于选项D，因为圆O的圆心，半径，则圆心O到直线的距离为， 所以，所以圆O上存在两点到直线的距离为1.故选项D错误. 故选：BC. 38．ACD 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据圆心到直线的距离即可判断A；由，求出的范围，即可判断B；当到圆相切时，若点在第一象限，此时最小，若点在第二象限，此时最大，通过角度的计算得出的取值范围，即可判断C；当为直角三角形时，求出点到直线的距离，进而求出面积即可判断D． 【详解】由题可知直线的方程为：，， 对于A：因为圆心到直线的距离是， 所以点到直线的距离的最小值是，故A正确； 对于B：记线段的中点为，则， 则， 因为， 所以的取值范围是，故B错误； 对于C：由题可知，， 当到圆相切时，若点在第一象限，此时最小， 因为，，所以， 所以； 若点在第二象限，此时最大，同理可得， 所以的取值范围是， 故C正确； 对于D：因为的取值范围是，同理可得的取值范围是， 所以当为直角三角形时，，则， 设点坐标为， 则， 得点在直线上， 所以点到直线的距离为， 所以面积为，故D正确； 故选：ACD． 39．ACD 【难度】0.4 【知识点】直线与圆的实际应用、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】直线与圆相交，由图分析计算即可. 【详解】如图： 对于A选项，当时，的值最小，， ，故选项A正确； 对于B选项，取的中点的中点， 的轨迹方程为， ，故选项B错误； 对于C选项，设， ，故选项C正确； 对于D选项，当时，的面积最大， ， 所以底边上的高所在的直线方程为，故选项D正确． 故选：ACD． 40．ABD 【难度】0.4 【知识点】求点关于直线的对称点、判断点与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】对于A，判断得点在圆外即可； 对于B，利用圆上动点到直线的最大距离为即可判断； 对于C，求得圆心关于直线对称的点即可得解； 对于D，判断得最大时直线与圆相切，再利用两点距离公式与勾股定理即可得解. 【详解】对于A，因为， 所以点在圆外，则过点可以作出圆的两条切线，故A正确； 对于B，由题意可得，直线的方程为，即， 因为圆，所以，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为，故B正确； 对于C，设圆心关于直线对称的点为， 则，解得， 所以圆关于直线对称的圆的方程为，故C错误； 对于D，当最大时，易得直线与圆相切，如图， 在中，，， 所以，故D正确. 故选：ABD . 41．AC 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、切点弦及其方程、相交圆的公共弦方程、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据、与圆相切，得到直线的方程，可判断A选项；由勾股定理得当最小时最小，可判断B选项；根据弦长公式，可判断C选项；由可得到，可判断D选项. 【详解】    对于A，圆的圆心为，半径为， 设，在直线上，， 、为圆的切线， 以为直径的圆的方程为， ，两式作差可得直线的方程为， 将代入得：， 满足，解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，，当最小时，最小， ，， ，此时，故B错误； 对于C，， 到的距离， ， 当时，，故C正确； 对于D，若，则，即， ， 存在两个点使，故D错误. 故选：AC. 42．ABD 【难度】0.4 【知识点】垂直关系的向量表示、定点到圆上点的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】对A，求出直线AB的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质判断答案；对B，设点，根据得到点P的轨迹方程，进而判断该轨迹与圆的交点个数即可； 对C，举反例判断即可；对D，设，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，进而求出点P的轨迹方程，然后结合点P在圆O上求得答案. 【详解】对A，，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为，A正确； 对B，设点，则，且，由题意， 两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为， 于是，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个，B正确； 对C，如图，过作切线时，直线显然不经过，故C错误；      对D，即求的最小值，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，设，则有，化简得，∵， 则有，即，∴，， 所以，所以D正确. 故选：ABD. 43．ABD 【难度】0.4 【知识点】垂直关系的向量表示、切线长、切点弦及其方程、直线与圆中的定点定值问题 【分析】确定当时，最小，即可求得的最小值，判断A；结合A的分析，设出的方程，求出弦心距，利用点到直线的距离公式求出参数，即可判断B；假设存在点，使得，求出此时，和M到直线l的最短距离比较，即可判断C；求出切点弦的方程，结合点在直线上运动，求出所过定点，判断D. 【详解】由题意知，圆的半径为，且，， 故, 即当最小时，最短，当时，最小， 最小值为，故的最小值为，A正确； 当最短时，，故的斜率为-1， 又，故的斜率为1，设其方程为， 由于此时，，故， 所以M到的距离为. 则有，解得或， 由于，结合图形可知二者之间的距离应小于， 当时，和间的距离为， 时，的方程为和间的距离为， 故最短时，弦所在直线方程为，B正确； 假设存在点，使得，则， 此时为等腰直角三角形，则，结合， 则为等腰直角三角形，而，故， 由于M到直线l的最短距离为，故不存在点，使得，C错误； 设，由于直线，分别与圆相切， 故直线，的方程分别为， 将代入，即， 可得的方程为， 由于，即，故 即，由于，故令， 即直线过定点为，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题综合考查了直线和圆相切的问题，涉及最值、定点以及切点弦方程问题，综合性较强，难点在于选项D的判断，解答时要注意根据圆的切线方程，推出切点弦方程，进而求解直线过定点问题. 44．ACD 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线两点式方程及辨析、由一般式方程判断直线的垂直、判断直线与圆的位置关系 【分析】对A：根据可求倾斜角的取值范围；对B：根据两直线垂直的条件求出的值即可判断；对C：求出圆心到直线的距离，可以找到到直线的距离为1的圆上的点只有3个；对D：对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用表示. 【详解】对A：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故A正确. 对B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为， 故两直线相互垂直，所以充分性成立， 若“直线与直线互相垂直”， 则，故或， 所以得不到，故必要性不成立，故B错误. 对C：圆心到直线的距离，圆的半径， 作交圆于，则到直线的距离为1，过作交圆于， 则到直线的距离为1，圆上不存在其它的点到直线的距离为1，故C正确. 对D：经过任意两个不同的点的直线： 当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为也能用此方程表示，故D正确； 故选：ACD. 45．ABD 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、切线长 【分析】分析可得动圆的圆心，半径，C在以圆心，半径的圆上. 对A，由可判断； 对B，圆C在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心，半径为的圆的面积； 对C，四边形PACB的面积，分析的范围即可求； 对D，由倍角公式及几何关系可得，分析的范围结合换元法即可求. 【详解】动圆的圆心，半径， 令，则由得C在以圆心，半径的圆上. 对A，由得圆C恒过定点，A对； 对B，圆C在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心，半径为的圆的面积，即，B对； 对C，过点P做圆C的两条切线，切点为A、B ，则，则四边形PACB的面积， 当时，最短，故，故，C错； 对D，， ∵，由C得，， 令，则，则， ∵在上单调递增，故，D对. 故选：ABD 46． 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意作出图形，结合图象转化得，从而利用两点距离公式求得点的轨迹方程，进而得到直线与圆有交点，由此得解. 【详解】连接圆心和切点，如图所示，则有， 易知， 故，， 不妨设，，， ，化简得， P的轨迹为以圆心，为半径的圆， 又P在直线上，直线与圆有交点， ，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将题设条件转化得，从而利用阿氏圆的相关知识可知点的轨迹方程为圆，进而得解. 47．1 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、切线长 【分析】由已知求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l的距离，利用勾股定理得答案． 【详解】⊙M：的圆心坐标为，半径为2，如图，    ，且， 故要使最小，则最小，此时PM⊥l， 因为圆心M到直线l：的距离为， ∴的最小值为 故答案为：1． 48． 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】 为和到直线距离之和的倍，是的中点到直线距离的倍，利用点轨迹，求取值范围. 【详解】 由题知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以． 设为的中点，所以，所以点的轨迹方程为． 点的轨迹是以为圆心半径为的圆. 设点，，到直线的距离分别为，，， 所以，，， 所以． 因为点到直线的距离为，所以， 即，所以． 所以的取值范围为． 故答案为： 【点睛】 思路点睛： 利用的几何意义，问题转化为为和到直线距离之和，再转化为的中点到直线距离，由点轨迹是圆，可求取值范围. 49． 【难度】0.4 【知识点】反函数的性质应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先得到圆心在上，半径为，故的最小值等于的最小值减去半径，由反函数可知，的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，求导得到在点处的切线与平行，求出到的距离最小值，得到答案. 【详解】由题意得，即圆心在上，半径为， 故的最小值等于的最小值减去半径， 设，由于与关于对称， 的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍， 由，可得，令，解得， 故在点处的切线与平行，此时到的距离最小， 最小值为， 故的最小值为， 则的最小值等于. 故答案为： 【点睛】方法点睛：两曲线上点的距离最值问题，处理思路如下： ①设出两点的坐标，利用两点间距离公式表达出距离，结合基本不等式或求导，得到函数最值； ②利用几何关系，找到取最小距离的位置或点的坐标，进行求解. 50．4 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】利用两圆的外切关系先计算，再根据圆上一动点到定直线的距离的最值计算即可. 【详解】圆化为标准方程为， 可得，其半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆外切，所以，解得， 可得圆的半径为， 因为圆心到直线的距离为， 则点P到直线的距离的最大值为. 故答案为：4. 51．或． 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】根据切线夹角分析出，由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得． 【详解】圆，则圆心为，半径， 设两切点为，则，因为，在中，，所以, 因此只要直线上存在点，使得即可满足题意． 圆心，所以圆心到直线的距离，解得或． 故答案为：或．    52．/ 【难度】0.65 【知识点】平行向量（共线向量）、求点到直线的距离、轨迹问题——圆 【分析】设，由、得到，整理得点在以为圆心，半径为的圆上，且圆心在直线上，过做的垂线，当垂足为圆心点时，长度最小，求出长度可得答案. 【详解】设， 因为，所以， 因为，所以， ， 整理得， 可得点在以为圆心，半径为的圆上， ，当时， 可得，即 圆心在在直线上， 过做的垂线，当垂足为圆心点时，长度最小，的长度也最小， 且长度最小值为，此时的最小值为. 故答案为：. 53． 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】采用向量的坐标运算，得到所求模长之和的几何意义，将问题转化为单位圆上的点到和两点的距离之和的最小值的求解问题，由此计算得到结果. 【详解】均为单位向量且，不妨设，，且， ，， ， 的几何意义表示的是点到和两点的距离之和的2倍， 点在单位圆内，点在单位圆外， 则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离， 所求最小值为. 故答案为：. 54．/ 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据给定条件，求出各等式表示的几何意义，及所求最值的表达式的几何意义，再把问题转化为求圆上的点到直线距离的最小值作答. 【详解】依题意，方程、分别表示以原点为圆心，2、3为半径的圆， 令，即点分别在、上，如图，    显然，，即有， ，取线段中点，连接，则， 因此点在以原点为圆心，为半径的圆上， 而， 即表示点到直线的距离和的倍， 过分别作直线的垂线，垂足分别为，过作垂直于直线于点， 于是，， ，原点到直线的距离， 显然，当且仅当点共线，且点在线段上时取等号， 所以. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及与圆相离的图形F上的点与圆上点的距离最值问题，转化为图形F上的点与圆心距离加或减圆半径求解. 55．/ 【难度】0.4 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、求点到直线的距离、轨迹问题——圆 【分析】 根据题意假设的中点，先利用代入法求得的取值范围，再利用点斜式求得直线的方程，从而利用点线距离公式求得，进而利用换元法与基本不等式求得点B到直线l距离的最小值. 【详解】依题意，设的中点，则，， 所以，，则， 因为，所以，故， 所以线段AP的垂直平分线l为，即，则， 所以点到直线的距离为， 令，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即点B到直线l距离最小值为. 故答案为： . 56． 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、切线长、两圆的公共弦长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】易知四边形MACB的面积为，然后由最小，可得直线的方程，与的方程联立，得到点坐标及的值，进而得到以为直径的圆的方程，与的方程作差可得直线的方程. 【详解】：的标准方程为， 则圆心，半径． 因为四边形的面积， 要使四边形面积最小，则需最小，此时与直线垂直， 直线的方程为，即， 联立，解得．则, 则以为直径的圆的方程为， 与的方程作差可得直线的方程为． 故答案为：. 57．4 【难度】0.65 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据表示，两点到直线的距离之和的倍，结合，两点到直线的距离之和等于线段的中点到直线距离的2倍，根据题意分析可得中点的轨迹是以为直径的圆，从而求出到直线距离的最小值的倍即可得到答案. 【详解】由题可得：， 所以表示，两点到直线距离之和的倍， 根据题意作出图形如下： 如图，设，的中点为， 且，，在直线的投影分别为，，， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，易得，即， 所以点在以为直径的圆上，其圆心为，半径为， 由图可得： 由于到直线的距离， 所以， 即的最小值为. 故答案为：4 58．/ 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先根据已知求出圆心，半径，再把分式转化为斜率，最后化简为直线结合直线和圆的位置关系应用点到直线距离求解即可. 【详解】曲线方程化为，是以为圆心，3为半径的圆， 表示点与点连线的斜率，不妨设即直线：， 又在圆上运动，故直线与圆有公共点，则， 化简得解得，故的最大值为. 故答案为:. 59． 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题意得，圆心到直线的距离，列式求解即可． 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆上有四个点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离， 所以，解得． 故答案为：． 60．/ 【难度】0.4 【知识点】辅助角公式、求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由已知得分别在圆和圆上，利用数形结合法，将所求问题转化为两点到直线和的距离和的倍，再利用三角函数求出其最大值即可． 【详解】解：由，可知， 点，分别在圆和圆上， 如图，作直线，过作于，过A作于， 而， 其中表示A到直线的距离， 表示到直线的距离， 因为与，平行， 且与的距离为， 与的距离为， 要使的取最大值，则需在直线的左下角这一侧， 所以，， 由得， 设，因为，所以， 从而， 故， 其中， 故当时，取最大值， 从而， 即的最大值为． 故答案为：． 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，再借助三角函数的性质求出最值. 61．①③④ 【难度】0.65 【知识点】由方程研究曲线的性质、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由标准方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【分析】去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而可作出曲线的图象，由图象即可判断. 【详解】由，当，时，，即，表示圆心为，半径的半圆； 当，时，，即，表示圆心为，半径的半圆； 当，时，，即， 表示圆心为，半径的半圆； 当，时，，即，表示圆心为，半径的半圆. 曲线的图象如下图所示： 由图象可知，曲线由4个半圆组成，故其周长为， 围成的图形的面积为，故①正确、③正确； 曲线上的任意两点间的最大距离为，故②错误； 圆心到直线的距离为， 到直线的距离， 若使最小，则有， 所以，故④正确. 故答案为:①③④. 62． 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】 先利用阿氏圆定义设出，由得到，利用，即可求出最小值. 【详解】设，不妨取，使得，所以， 整理得：. 此方程与为同一方程，所以，解得：，即. 所以（当且仅当P、B、C三点共线时等号成立） 此时. 所以的最小值为. 故答案为：. 63．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、切点弦及其方程、直线与圆中的定点定值问题 【分析】 （1）由直线与圆相切的性质，当时，最小，由四点共圆，则即为两圆公共弦，两圆方程相减可得直线的方程； （2）设直线的方程，与圆的方程联立，由韦达定理用表示，将所求整理变形为用表示，代入韦达定理化简可得定值. 【详解】（1）圆，圆心为，半径为， 已知是圆的两条切线，则， 所以当最小时，最小． 最小值即为点到直线的距离， 此时，且直线，直线的斜率， 设，则有，解得，即， 由，得四点共在以为直径的圆上， 圆心为的中点，设为，坐标为，圆的半径为， 则圆的方程为，即①， 又圆②， 则两圆方程相减得公共弦的方程，即由②①得，， 即直线的方程为.    （2）由题意知，过点的直线斜率存在， 故可设方程为，即， 设，且， 由题意的斜率，的斜率， 则. 联立，整理得, 则，即. 由韦达定理知，， 则， ， 故， 故为定值．    64．(1)(x＋1)2＋y2＝4，曲线C是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆 (2) 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）设出点M的坐标，利用直接法建立关系式，化简即可求解； （2）写出以CP为直径的圆的方程，然后利用Q，R是两个圆的交点得到QR所在直线方程，联立直线QR与圆C的方程，利用韦达定理求出点N的纵坐标，从而得出点N在以OC为直径的圆上，求出该圆的圆心以及半径，利用点，直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】（1）设M(x，y)，由＝，得＝， 化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4， 故曲线C是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆． （2）由（1）知C(－1，0)，又P(3，p)，(p≠0)， 则线段CP的中点的坐标为，|CP|＝， 故以线段CP为直径的圆的方程为(x－1)2＋＝， 整理得x2＋y2－2x－py－3＝0①． 由题意知，Q、R在以CP为直径的圆上， 又Q、R在圆x2＋y2＋2x－3＝0②上， 由②－①，得4x＋py＝0， 所以弦QR所在直线的方程为4x＋py＝0，可得QR恒过坐标原点O(0，0)． 由得(16＋p2)y2－8py－48＝0， 设Q(x1，y1)，R(x2，y2)，则y1＋y2＝， 所以点N的纵坐标＝＝， 因为p≠0，所以≠0，所以点N与点C(－1，0)，O(0，0)均不重合． 因为N为弦QR的中点，且C(－1，0)为圆C的圆心，所以CN⊥QR，即CN⊥ON， 所以点N在以OC为直径的圆上，该圆的圆心为G，半径为． 因为直线3x＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E、F， 所以E(2，0)，F，因此|EF|＝， 圆心G到直线3x＋4y＝6的距离d＝＝． 设△NEF的边EF上的高为h， 则点N到直线3x＋4y＝6的距离h的最小值为d－r＝－＝1； 点N到直线3x＋4y＝6的距离h的最大值为d＋r＝＋＝2． 所以S的最小值＝××1＝，最大值＝××2＝． 因此△NEF的面积S的取值范围是． 65．(1)证明见解析 (2)面积最小值为， 【难度】0.65 【知识点】向量垂直的坐标表示、相交圆的公共弦方程、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】（1）依题意改写圆的方程，令参数的系数为0即可； （2）依题意表示出所求面积，再用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）依题意，将圆的方程化为 ， 令，即，则恒成立， 解得，即圆过定点； （2）当时，圆， 直线， 设，依题意四边形的面积， 当取得最小值时，四边形的面积最小， 又，即当最小时，四边形的面积最小， 圆心到直线的距离即为的最小值， 即 ，即四边形面积最小值为， 此时直线与直线垂直， 所以直线的方程为，与直线联立，解得， 设以为直径的圆上任意一点：， 故圆的方程为， 即，又圆， 两式作差可得直线方程.    66．(1) (2)或 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】（1）通过求圆的圆心和半径来求得圆的方程. （2）首先判断出，求得到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）由， 化为标准方程：. 所以圆的圆心坐标为， 又圆的圆心在直线上， 所以当两圆外切时，切点为，设圆的圆心坐标为， 则有， 解得， 所以圆的圆心坐标为，半径， 故圆的方程为.    （2）因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以. 所以点到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，点C到轴的距离为，直线即为轴， 所以此时直线的方程为.    当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 即. 所以，解得. 所以此时直线的方程为， 即，故所求直线的方程为或.    【点睛】求圆的方程，有很多方法，一是求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；一是根据圆所过的三个点，设出圆的一般方程，然后列方程组来求解；一是利用相关点代入法进行求解.求解直线和圆的位置关系有关题目时，要注意直线的斜率是否存在. 答案第60页，共61页 答案第9页，共61页 学科网（北京）股份有限公司 $$