9.几何法求弦长-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

9.几何法求弦长 1．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 3．（2020·全国·高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023·江苏南通·二模）已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·浙江·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2023高三·全国·专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 8．（2024·湖北·二模）过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 9．（2024·江苏·一模）设为坐标原点，圆与轴切于点，直线交圆于两点，其中在第二象限，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·河北沧州·一模）过点作圆相互垂直的两条弦与，则四边形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D．15 11．（23-24高三上·福建漳州·开学考试）已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 12．（2023·北京海淀·二模）已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（    ） A． B．1 C． D．2 13．（21-22高二·全国·单元测试）已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（    ） A． B． C． D． 14．（2023·江西吉安·一模）已知直线l1：与l2：相交于点M，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A．5 B．4 C．10 D．2 16．（2021·湖南长沙·模拟预测）已知圆，，则这两圆的公共弦长为（    ） A．4 B． C．2 D．1 17．（21-22高三上·甘肃金昌·阶段练习）倾斜角为135°的直线与抛物线相切，分别与轴、轴交于、两点，过，两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为（    ） A．4 B．2 C． D． 18．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 19．（2023·全国·模拟预测）已知圆，直线.若直线与圆相交所得的弦长为8，则（    ） A．或2 B．或12 C．或12 D．或1 20．（2024·辽宁抚顺·三模）已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 21．（2023·山西·模拟预测）已知圆与圆外切，直线与圆C相交于A，B两点，则（    ） A．4 B．2 C． D． 22．（2023·广东广州·模拟预测）直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（22-23高二上·山西·期中）已知直线和圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 24．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 25．（2023·广西柳州·模拟预测）已知直线与圆相交于A，B两点，且，则k＝（    ） A． B． C． D． 26．（2023·浙江·三模）在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 27．（2023·山西临汾·模拟预测）已知双曲线（，）的离心率为，圆与C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（2024·四川成都·二模）已知直线与圆交于两点，则弦最短时，（    ） A．2 B．1 C． D． 29．（2022·广东广州·二模）已知抛物线，圆，直线与交于A、B两点，与交于M、N两点，若，则(    ) A． B． C． D． 30．（2022·山东菏泽·一模）已知两条直线，，有一动圆（圆心和半径都在变动）与都相交，并且被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高三上·海南海口·阶段练习）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高二上·全国·期中）圆和圆的交点为，则有（　　） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 33．（2023·河北保定·二模）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过点 B． C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称 34．（22-23高二上·湖北黄冈·期中）已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积最小值为 B．M为圆C上一动点，则最小值为 C．最短时，弦直线方程为 D．最短时，弦长为 35．（2024·安徽合肥·二模）已知圆，圆，则（    ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 36．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 37．（2023·安徽淮南·二模）已知圆M的方程为：，（），点，给出以下结论，其中正确的有（    ） A．过点P的任意直线与圆M都相交 B．若圆M与直线无交点，则 C．圆M面积最小时的圆与圆Q：有三条公切线 D．无论a为何值，圆M都有弦长为的弦，且被点P平分 38．（21-22高三上·湖南长沙·阶段练习）设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．当取得最大值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 39．（23-24高三上·云南·阶段练习）已知直线，圆，则下列命题正确的是（   ） A．，点在圆外 B．，使得直线与圆相切 C．当直线与圆相交于PQ时，交点弦的最小值为 D．若在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，m的值为 40．（23-24高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A．若点，则直线的方程为 B．四边形面积的最小值为 C．线段的最小值为 D．点始终在以线段为直径的圆上 41．（22-23高二上·山东淄博·阶段练习）已知直线l：和圆O：，则（    ） A．直线l恒过定点 B．存在k使得直线l与直线：垂直 C．直线l与圆O相交 D．直线l被圆O截得的最短弦长为 42．（2022·湖北武汉·三模）已知圆M：，直线l：，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．的最小值为4 C．的取值范围为 D．当最小时，其余弦值为 43．（20-21高三下·河北衡水·阶段练习）已知直线与圆：，则下述正确的是（    ） A．对，直线恒过一定点 B．，使得直线与圆相切 C．对，直线与圆一定相交 D．直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为 44．（22-23高二上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点在圆外 B．圆与轴相切 C．若圆截轴所得弦长为，则 D．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为 45．（18-19高二上·江苏淮安·期中）圆与圆的公共弦的长为 ． 46．（2018·全国·高考真题）直线与圆交于两点，则 ． 47．（2024·天津·一模）已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则直线的方程为 . 48．（2023·湖南长沙·一模）如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为 ． 49．（2016·全国·高考真题）已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则 ． 50．（2023·安徽·一模）已知圆，直线（是参数），则直线被圆截得的弦长的最小值为 . 51．（21-22高二上·吉林·期末）已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则 ． 52．（2024·黑龙江·二模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为 ． 53．（22-23高二上·甘肃兰州·期末）已知圆与圆 (1)求经过圆与圆交点的直线方程： (2)求圆与圆的公共弦长． 54．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 55．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知圆C：和定点，直线l：（）. (1)当时，求直线l被圆C所截得的弦长； (2)若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围. 56．（22-23高二上·福建宁德·期中）已知直线：与圆O：相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．    (1)求的取值范围； (2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值． 57．（22-23高二上·辽宁本溪·阶段练习）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦长； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 58．（21-22高二上·上海浦东新·阶段练习）已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 59．（22-23高二下·广东深圳·期中）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线方程为与圆相交于两点，求. 60．（22-23高二上·福建宁德·期中）已知圆：． (1)当取何值时，直线：与圆相交得到的弦长最短； (2)若直线过点且被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 61．（22-23高二上·广东广州·期末）已知圆：，点. (1)若，求以为圆心且与圆相切的圆的方程； (2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求的值. 62．（22-23高二上·浙江·期中）已知圆，圆． (1)求两圆的公共弦长； (2)求两圆的公切线方程． 63．（21-22高二上·山西太原·阶段练习）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动. (1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程： (2)设圆C1与曲线C2的交点为M、N，求线段MN的长． 试卷第10页，共11页 试卷第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D A B B A D D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B D C A C C B B C A 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 D D D D B C D A B D 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 B ABD ABD ACD AD ABD ACD ABD ACD ABC 题号 41 42 43 44 答案 BC ABC ACD AD 1．D 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 2．C 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 3．B 【难度】0.65 【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围） 【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 根据弦长公式得最小值为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题. 4．D 【难度】0.4 【知识点】圆的弦长与中点弦、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，有，，，由弦长公式可得，，四边形AMBN的面积为，解得，可求双曲线的离心率. 【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示， 圆O：，圆心为，半径为， 设，，点P在双曲线上，，则有，，可得， 过O作MN的垂线，垂足为D，O为的中点，则，， 同理，，由， 四边形AMBN的面积为， ，化简得，则有，则C的离心率. 故选：D 5．A 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】由直线与圆相交的弦长公式进行求解即可. 【详解】因为圆，圆心为，半径为，即 因为为直角三角形，所以, 设圆心到直线的距离为， 由弦长公式得，所以，化简得. 故选：A. 6．B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、两圆的公共弦长 【分析】先求解出直线的方程，在圆中求出弦长，再求出点到直线的距离，从而得出的面积. 【详解】解：设圆的圆心为， 因为过点作圆的两条切线，设切点分别为，， 所以，，，四点在以为直径的圆上，设为， 故的方程为，即， 将两圆联立方程组，解得， 故直线：， 点到直线：的距离为， 在圆中，点到直线：的距离为， 所以，解得， 所以的面积为. 故选：B. 7．B 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、切点弦及其方程、圆的弦长与中点弦、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案． 【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径， 过点作圆的两条切线，设切点分别为、， 而，则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 所以为两圆的公共弦所在的直线，则有， 作差变形可得：； 即直线的方程为. 故选：B. 8．A 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】结合图形可知，当时取得最小值，然后可解. 【详解】将圆化为， 圆心，半径， 因为，所以点在圆C内， 记圆心C到直线l的距离为d，则， 由图可知，当，即时，取得最小值， 因为， 所以的最小值为. 故选：A    9．D 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、直线的倾斜角、圆的弦长与中点弦 【分析】先根据圆的弦长公式求出线段的长度，再求出直线的倾斜角，即可求得与的的夹角，进而可得出答案. 【详解】由题意，圆心， 到直线距离为， 所以， 直线的斜率为，则其倾斜角为， 则与的的夹角为， 所以. 故选：D．    10．D 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】记，由题意可知，易得，再利用基本不等式，得出其最值. 【详解】如图所示：,记,则， ， ， 当且仅当，即时，取等号. 所以四边形的面积的最大值为. 故选：D    11．B 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题可以算出圆心到双曲线其中一条渐近线的距离，设出渐近线方程再结合点到直线之间的距离公式即可列出方程解出，进一步即可求出离心率. 【详解】一方面：设双曲线渐近线被圆所截得的弦长为,圆的半径为，圆心到渐近线的距离为， 又根据题意有，因此根据垂径定理可得， 另一方面：不妨设渐近线方程为（其中），又圆的圆心坐标为圆， 因此根据点到直线之间的距离公式有圆. 结合以上两方面有，解得，又， 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 12．D 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据题意当动直线经过圆的圆心时，可得到弦长的最大值为该圆的直径，再设线段的中点为，从而得到动直线在圆上做切线运动，当动直线与轴垂直且点的坐标为时，即可得到弦长的最小值，进而即可求解． 【详解】由题意可知圆的圆心在圆上， 则当动直线经过圆心，即点或与圆心重合时，如图1， 此时弦长取得最大值，且最大值为； 设线段的中点为， 在中，由，且，则， 则动直线在圆上做切线运动， 所以当动直线与轴垂直，且点的坐标为时，如图2， 此时弦长取得最小值，且最小值为， 所以的最大值与最小值之差为2． 故选：D． 【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法： ①几何法：求圆的半径，弦心距，则弦长为； ②代数法：运用根与系数的关系及弦长公式． 13．C 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值. 【详解】直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得. 故选：C 14．A 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】根据直线所过定点和知，由此得轨迹是以为圆心，为半径的圆（不含点），由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法求得，结合向量数量积的运算律求得最小值. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径； 由得：，恒过定点； 由得：，恒过定点； 由直线方程可知：，，即， 设，则，， ，整理得：， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又直线斜率存在， 点轨迹不包含； 若点为弦的中点，则，位置关系如图：    连接，由知：， 则， （当在处取等号）， 即的最小值为. 故选：A. 15．C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】先判定直线过定点，再由弦长公式计算即可. 【详解】由， ，即过定点， 由得，半径， 则当时，C到的距离最远，此时被圆截得的弦长最小， 最小值为. 故选：C      16．C 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长. 【详解】由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为. 又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为. 故选：C. 17．B 【难度】0.65 【知识点】求抛物线的切线方程、根据抛物线方程求焦点或准线、圆的弦长与中点弦、由标准方程确定圆心和半径 【分析】由题可求直线，进而可得圆的方程为，再利用弦长公式即求. 【详解】由题可设直线的方程， 由，得， ∴，解得， ∴， 令，得，令，得，即， ∴过，两点的最小圆即以为直径的圆，其圆心为，半径为，方程为， 又抛物线的准线为， ∴过，两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为. 故选：B. 18．B 【难度】0.65 【知识点】切线长、切点弦及其方程 【分析】先求以及切线长，再根据等面积法即可得结果. 【详解】圆，即， 易知，圆C的半径，所以切线长． 所以四边形的面积为． 所以根据等面积法知：， 所以． 故选：B． 19．C 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心与半径，再利用点线距离公式与弦长公式得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】由圆的方程，得圆的标准方程为， 所以，解得或. 圆心到直线的距离， 又弦长为，即， 整理得，解得或，均满足圆的条件. 故选：C. 20．A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】根据点到直线的距离公式及圆的几何性质求弦长即可得解. 【详解】设点到直线的距离为， 则， 又， 所以． 故选：A 21．D 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由两圆外切列方程求，再求圆心到直线的距离，结合弦长公式求弦长. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 圆的圆心的坐标为，半径为， 因为圆O与圆C外切，所以 所以. 设圆心到直线l的距离为d，则， 从而. 故选：D. 22．D 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围. 【详解】由题易知直线恒过， 圆化为标准方程得， 即圆心为，半径， 圆心到距离， 所以在圆内， 则直线与圆交点弦最大值为直径即8， 最小时即为圆心到直线距离最大， 即时，此时， 所以的取值范围为. 故选：D 23．D 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】求出直线过定点，再利用弦长公式即可得到最小值. 【详解】，令，则，所以直线过定点， 当得，则在圆内，则直线与圆必有两交点， 因为圆心到直线的距离，所以． 故选：D. 24．D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，再借助点到直线距离公式求出弦心距，进而求出弦长作答. 【详解】圆的圆心，半径， 由双曲线的离心率为，得，解得， 于是双曲线的渐近线方程为，即，    当渐近线为时，点到此直线距离，即直线与已知圆相离，不符合要求， 当渐近线为时，点到此直线距离，则直线与已知圆相交， 所以弦长. 故选：D 25．B 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】圆心到直线的距离为，则,而，所以，解方程即可求出答案. 【详解】圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：. 故选：B. 26．C 【难度】0.65 【知识点】圆内接三角形的面积、圆的弦长与中点弦、由标准方程确定圆心和半径 【分析】利用点到直线距离公式表示出圆心到直线距离，并由的范围确定的范围；利用垂径定理表示出，由，根据基本不等式取等条件可构造方程求得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 则圆心到直线的距离， ，，， ， （当且仅当时取等号）， 则当的面积最大时，，又，解得：. 故选：C. 27．D 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据双曲线的离心率可得渐近线方程为，结合弦长可得，运算求解即可. 【详解】设双曲线的半焦距为， 则，解得， 且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线为， 因为圆的圆心为，半径， 可知圆关于x轴对称，不妨取渐近线为，即， 则圆心到渐近线的距离，可得， 又因为圆与双曲线C的一条渐近线相交弦长为， 由题意可得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D. 28．A 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】求出直线所过定点，当⊥时，最小，根据直线垂直与斜率的关系即可得到答案. 【详解】变形为，故直线过定点， 因为，则该定点在圆内， 而的圆心为，半径为，设圆心到该直线的距离为， 因为， 则当最大时，取得最小值，而当时，最大，即取得最小值， 因为，则. 故选：A 29．B 【难度】0.65 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、圆的弦长与中点弦 【分析】联立直线方程和抛物线方程，设，，根据抛物线焦点弦长公式和韦达定理可求出k，根据圆的弦长公式即可求． 【详解】由得，， 设，，∵，∴， ∵过抛物线的焦点(1，0)，故AB为焦点弦， ∴，∴，∴，解得， 由圆关于x轴对称可知，k＝1和k＝－1时相同， 故不妨取k＝1，l为y＝x－1，即x－y－1＝0， 圆心(2，1)到l的距离，∴﹒ 故选：B． 30．D 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、已知圆的弦长求方程或参数、求点到直线的距离 【分析】利用点到直线距离公式与圆内弦长与半径关系即可求解. 【详解】设动圆圆心，半径为，则到的距离，到的距离，因为被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24， ，化简后得，相减得，将，代入后化简可得. 故选：D. 31．B 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据弦长和半径求出弦心距，利用点到直线的距离公式得到的关系式，从而求离心率. 【详解】不妨设双曲线：的一条渐近线为， 因为渐近线被圆所截得的弦长为， 所以圆心到渐近线的距离为，即， 所以，所以双曲线的离心率为，故B正确. 故选：B. 32．ABD 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】 直接把两圆的方程作差判断A；利用直线方程的点斜式写出线段的中垂线方程判断B；求出公共弦长判断C；由到的距离加上的半径判断D． 【详解】 对于A，由与，两式作差可得，即， ∴公共弦所在直线方程为，故A正确； 对于B，圆的圆心为， 圆的圆心， 的中点坐标，， ∴的中垂线的斜率为，可得的中垂线方程为， 即，故B正确； 对于C，圆心到直线的距离，半径为， 则，故C错误； 对于D，为圆上一动点，圆心到直线的距离为，半径， 则到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD 33．ABD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的对称性的应用、圆的弦长与中点弦、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】求解直线系结果的定点判断A；圆的圆心求解、判断B；求解直线被圆截的弦长判断C，利用圆的圆心到直线的距离判断D． 【详解】直线，恒过点，所以A正确； 圆的圆心坐标为，，，所以B正确； 圆的圆心坐标为，圆的半径为2． 直线，恒过点，圆的圆心到定点的距离为：， 直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确； 当时，直线方程为：，经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确． 故选：ABD． 34．ACD 【难度】0.4 【知识点】圆的弦长与中点弦、切点弦及其方程、切线长、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、圆的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解. 【详解】对于A，由切线长定理可得，又因为，所以， 所以四边形的面积， 因为，当时，取最小值，且， 所以四边形的面积的最小值为，故A正确； 对于B，因为，所以最小值为，故B错误； 对于C，由题意可知点，，在以为直径的圆上，设， 其圆的方程为：， 化简为，与方程相减可得：， 则直线的方程为，当最短时，，则， 解得，故直线的方程为，故C正确； 对于D，当最短时，圆心C到直线的距离， 所以弦长为，故D正确. 故选：ACD.    【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线AB方程，然后利用垂径定理求出弦长. 35．AD 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距，从而判断出A项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出的取值范围，判断出B,C两项的正误；当圆的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D项的正误． 【详解】根据题意，可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径． 对于A，因为两圆的圆心距，所以A项正确； 对于B，两圆内切时，圆心距，即，解得． 两圆外切时，圆心距，即，解得． 综上所述，若两圆相切，则或，故B项不正确； 对于C，若圆与圆恰有两条公切线，则两圆相交，， 即，可得，解得且，故C项不正确； 对于D，若圆与圆相交，则当圆的圆心在公共弦上时，公共弦长等于，达到最大值， 因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确． 故选：AD． 36．ABD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、切线长、圆的弦长与中点弦 【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【详解】圆心到直线的距离为，    所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD 37．ACD 【难度】0.65 【知识点】判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦、圆的公切线条数 【分析】根据点与圆的位置关系判断A选项，通过几何法判断直线与圆的位置关系判断B选项，根据圆与圆的位置关系判断公切线的条数判断C选项，根据半径的最小值及垂直弦平分弦判断D选项. 【详解】因为点代入入圆的方程得,所以在圆M内， 所以过点P的任意直线与圆M都相交,A选项正确; 圆M圆心,直线, 若圆M与直线无交点， , ,,,,B选项错误; 圆,当时，圆M半径最小则面积最小, 圆Q：,, , 圆M面积最小时的圆M与圆Q外切所以有三条公切线,C选项正确; 无论a为何值， ,,所以圆M都有弦长为的弦, ,, ,, 因为垂直弦平分弦, 圆M都有弦长为的弦，且被点P平分,故D选项正确. 故选:ACD. 38．ABD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】A选项，将直线方程整理为，然后得到，解方程即可得到定点；B选项，根据弦长最大是直径得到最大时经过圆心，然后列方程求解即可；C选项，根据几何知识得到当直线与过点和的直线垂直时最小，然后利用勾股定理和余弦定理求余弦值即可；D选项，根据外心的结论得到，然后求最值即可. 【详解】对于选项A，由动直线，可得：，由，即，即直线过定点，即选项A正确； 对于选项B，当取得最大值时，直线过点，即，即选项B正确； 对于选项C，当最小时，此时最小，当最小时，直线与过点和的直线垂直，则，即，由余弦定理可得，即选项C错误； 对于选项D，，即的最大值为24，即选项D正确， 故选：ABD． 39．ACD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】根据点与圆的位置关系判断A，由直线系所过定点在圆内判断B，根据交点弦的性质求解可判断C，根据圆与直线的位置关系判断D. 【详解】将点的坐标代入圆的方程，得，所以点在圆外，故A正确； 整理直线的方程为：，由解得，可知直线过定点，将定点代入圆的方程，可得，所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故B错误； 当圆心与直线所过定点的连线垂直于直线时，交点弦长最小，此时圆心到直线的距离为，由勾股定理知，故C正确； 当圆心到直线的距离为1时，在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，即，解得，故D正确. 故选：ACD. 40．ABC 【难度】0.4 【知识点】判断点与圆的位置关系、切点弦及其方程、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】求出以为直径的圆的方程，和相减，即可得直线的方程，判断A；求出边形面积的表达式，结合几何意义即可求得最小值，判断B；求出直线AB经过的定点，结合几何意义可求得线段的最小值，判断C；根据点和圆的位置关系的判断可判断D. 【详解】对于A，点，连接，则，    故在以为直径的圆上，而, 则以为直径的圆的方程为， 将方程和相减得， 即直线的方程为，A正确； 对于B，由题意知，则的面积为， 而的最小值即为原点O到直线的距离， 故的面积的最小值为，B正确； 对于C，设，则以为直径的圆的方程为， 和相减，即得直线的方程为， 又，故，即， 令，则， 即直线过定点，设为E，则，    当时，最小，最小值为，C正确； 对于D，在四边形中，不一定是直角， 故点不一定在以线段为直径的圆上，D错误， 故选：ABC 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线AB所过的定点，然后利用几何意义即可求解答案. 41．BC 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D. 【详解】对A，由可得，， 令，即，此时，所以直线l恒过定点，A错误； 对B，因为直线：的斜率为，所以直线l的斜率为，即， 此时直线l与直线垂直，满足题意，B正确； 对C，因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，C正确； 对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为， 此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误； 故选：BC. 42．ABC 【难度】0.65 【知识点】直线与圆中的定点定值问题、圆的弦长与中点弦、过圆内定点的弦长最值（范围） 【分析】A.直线方程变形为，即可判断定点坐标；B.根据定点是弦的中点时，此时最短；C.根据向量数量积公式，转化为求的最值；D.根据C即可判断. 【详解】A.直线，即，直线恒过点，故A正确； B.当定点是弦的中点时，此时最短，圆心和定点的距离时，此时，故B正确； C.当最小时，最小，此时，此时，当是直径时，此时最大，，此时，所以的取值范围为，故C正确； D.根据C可知当最小时，其余弦值为，故D错误. 故选：ABC 43．ACD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】由直线方程确定其所过的定点坐标，判断该定点与圆的位置关系即可判断A、B、C；根据直线与圆相交弦长最短，只需定点与圆心的连线与已知直线垂直，几何法求最短弦长判断D. 【详解】由题设，令， 所以直线恒过定点，A对； 又的标准式为，显然， 所以点在圆内，故直线与圆必相交，B错，C对； 要使直线与圆相交弦长最短，只需定点与圆心的连线与已知直线垂直， 此时定点与直线距离为，又圆的半径为2，则最短相交弦长为，D对. 故选：ACD 44．AD 【难度】0.65 【知识点】判断点与圆的位置关系、定点到圆上点的最值（范围）、判断直线与圆的位置关系、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】利用点与圆的位置关系可判断A选项；求出圆心到轴的距离，可判断B选项；利用弦长的一半、弦心距以及圆的半径三者满足勾股定理求出的值，可判断C选项；对原点在圆上、圆外进行分类讨论，求出点到圆上一点的最大距离和最小距离，可判断D选项. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 对于A选项，若，则有，即点在圆外，A对； 对于B选项，因为圆心到轴的距离为，而与的大小关系不确定， 所以，圆与轴不一定相切，B错； 对于C选项，若圆截轴所得弦长为，则，解得，C错； 对于D选项，当时，点在圆上， 点到圆上一点的最大距离为，点到圆上一点的最小距离为，则； 当时，则点在圆外，且， 所以，点到圆上一点的最大距离为，最小距离为， 则点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为. 综上所述，点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为，D对. 故选：AD. 45． 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 46． 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】方法一：先将圆的方程化成标准方程，求出圆心，半径，再根据点到直线的距离公式以及弦长公式即可求出． 【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】弦长公式的应用 根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是， 弦心距，所以． 故答案为：. ［方法二］：距离公式的应用 由解得：或，不妨设， 所以． 故答案为：. ［方法三］：参数方程的应用 直线的参数方程为，将其代入，可得，化简得，从而，所以． 故答案为：. 【整体点评】方法一：利用圆的弦长公式直接求解，是本题的通性通法，也是最优解； 方法二：直接求出弦的端点坐标，再根据两点间的距离公式求出，是求解一般弦长的通性通法，有时计算偏麻烦； 方法三：直线参数方程中弦长公式的应用． 47．或 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】分直线斜率不存在与斜率存在的情况，设出直线方程进行讨论，结合点到直线的距离公式算出弦心距，结合勾股定理计算即可得. 【详解】当直线斜率不存在时，直线为， 则有，即， 则，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线为，即， 由可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则有，即， 即，即. 故答案为：或. 48． 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、抛物线中的直线过定点问题 【分析】先由两直线斜率之积构造齐次化方程，得出直线AB过定点，再利用直线与圆的位置关系计算弦长确定最值即可. 【详解】设，，设：，又，∴， ∴，∴． ∴，∴， ∴直线AB恒过点， 由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E到动直线AB的距离最大时，即 当直线时，弦长最短，此时弦最小为． 故答案为： 49．4 【难度】0.65 【知识点】直线与圆的位置关系、圆的弦长与弦心距 【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案. 【详解】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，． 故答案为4 【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决． 50． 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】求出直线所过定点A，判断定点在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，即可由勾股定理求出此时的弦长. 【详解】直线l可化为， 令，所以直线l恒过定点， 易知点A在圆C内，所以直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时， 圆，圆心，半径为5， ， 直线截圆所得弦长的最小值为. 故答案为： 51． 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、点与圆的位置关系求参数 【分析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r的方程，求解即可. 【详解】由点在圆C：内，且 所以，又，解得 过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为 又， 所以，解得 故答案为： 52． 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】先求得直线过定点，再分析取得最小值时的情况，利用弦长公式即可得解. 【详解】由，得， 由，解得，则直线过定点， 又，所以该定点在圆内， 由圆可得圆心，半径， 当圆心与定点的连线垂直于时，取得最小值， 圆心与定点的距离为， 则的最小值为. 故答案为：. 53．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案； （2）确定圆的圆心和半径，求得圆心到两圆公共弦所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 圆即，圆心为，半径为， 则，故圆与圆相交； 将圆与圆的方程相减， 得， 即经过圆与圆交点的直线方程为； （2）圆的圆心为，半径为1， 到直线的距离为， 故圆与圆的公共弦长为. 54．(1)证明见解析 (2)或． 【难度】0.65 【知识点】判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解， （2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设直线方程为，即， 设圆心到直线l的距离为， 所以， 得，所以， 所以直线l的方程为或． 即或． 55．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】 （1）利用点到直线的距离公式、勾股定理以及圆的几何性质求得弦长. （2）先求得点的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）圆C：，圆心，半径， 当时，直线l的方程为， 所以圆心C到直线l的距离， 故弦长为.    （2）设，则， 由，，得. 化简得， 所以点M的轨迹是以为圆心，8为半径的圆. 又因为点M在直线l：上，所以与圆D有公共点， 所以， 解得， 所以m的取值范围是.    56．(1) (2)的最大值为2，取得最大值时 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、圆的弦长与中点弦、坐标法的应用——直线与圆的位置关系 【分析】（1）解法一：通过圆心到直线的距离小于半径且列出不等式求解即可；解法二：联立方程，令得到不等式求解，结合即可得到答案； （2）先求出高和弦长，通过三角形面积公式直接代入求解面积，通过换元，结合二次函数性质即可得到答案. 【详解】（1）解法一： 由题意知：圆心到直线的距离 ， 因为直线与圆O相交于不重合的A，B两点，且A，B，O三点构成三角形， 所以，得，解得且， 所以的取值范围为. 解法二： 联立，化简得： ，得， 因为A，B，O三点构成三角形，所以 所以的取值范围为. （2）直线：，即， 点O到直线距离：， 所以 所以，（且） 设，则， 所以 所以当，即，即时， 所以的最大值为2，取得最大值时. 57．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求两圆的交点坐标、由圆与圆的位置关系确定圆的方程、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案， （2）解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程. 【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得， 所以圆的圆心到直线的距离为， 则，解得， 所以公共弦长为. （2）解法一： 设过两圆的交点的圆为， 则； 由圆心在直线上，则，解得， 所求圆的方程为，即. 解法二： 由（1）得，代入圆， 化简可得，解得； 当时，；当时，； 设所求圆的圆心坐标为， 则，解得； 所以； 所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 58．(1) (2) (3)或 【难度】0.4 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、坐标法的应用——直线与圆的位置关系、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. 【详解】（1）圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. （2）已知直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，得 ， 解得，因为，所以. （3） 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或， 所以点P坐标为或． 59．(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）讨论切线l斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果； （2）计算到直线AB的距离d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长. 【详解】（1）圆方程可化为，则圆心，半径为1， 由，可得点在圆外， 当过点的直线斜率存在时，设l的方程为， 即， 则圆心到直线l的距离为，解得， 的方程为，即， 当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切， 的方程为或； （2）直线方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， 60．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）根据直线被圆截得弦长的算法可知，圆心和直线所过定点的连线与直线垂直时，所得弦长最短； （2）按照斜率是否存在，分情况讨论进行求解. 【详解】（1）     设直线与圆相交于两点 ∵：过定点． ∴当时，弦长取最小值． ∵，∴ ∴时直线：与圆相交得到的弦长最短． （2）设直线与圆相交于两点 ①当不存在时，依题意有：直线的方程为 ∵圆： ∴弦长符合． ∴直线方程为符合题意． ②当存在时，设直线：即 ∵弦长，，∴． ∵，∴． 解得． ∴直线方程为：即． 综上：直线方程为：或． 61．(1)或 (2)或 【难度】0.4 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】 （1）由题意，可设圆的方程为，判断出点在圆外，则圆与圆外切或内切，分类讨论两圆内切与外切两种情况，列方程求解，从而可得圆的方程； （2）先排除过点与轴垂直的情况，从而设过点的直线方程为，再根据圆的弦长公式建立方程并化简可得，结合根与系数的关系以及，从而可得的方程，解方程即可得解. 【详解】（1）当时，，设圆的方程为， 因为，所以点在圆外， 所以圆与圆外切或内切，又，圆的半径为， 当两圆外切时：，可得； 当两圆内切时：，可得； 所以以为圆心且与圆相切的圆的方程为或. （2）若过点的直线与轴垂直时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，直线与圆相离，不满意题意； 设过点的直线方程为，即， 由题意得，， 化简得，设直线、的斜率分别为， 则，且， 对过点的直线，令，得， ， ，解得， 所以. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆的条件； （2）强化利用几何法求解圆的弦长，代入公式化简得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题． 62．(1) (2)和 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、圆的公切线方程 【分析】（1）联立两圆方程可得公共弦直线方程，求出点到的距离，利用半径、到的距离、公共弦长的一半构成的直角三角形可得答案； （2）由图象、方程特征可知一条公切线为：；求出直线与的交点，设另一条公切线的方程为，利用点到此公切线的距离解得，可得答案. 【详解】（1）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 两圆方程、相减可得公共弦直线方程为 ，所以点到的距离为， 所以公共弦长为； （2）因为圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 由图象可知，有一条公切线为：， 直线与的交点为， 设另一条公切线的方程为，也即， 则点到此公切线的距离，解得：， 所以另一条公切线的方程为：， 综上，两圆的公切线方程为和． 63．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、两圆的公共弦长 【分析】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为，利用点P是线段AB的中点，求出，，通过点A在圆上运动，转化求解中点P的轨迹的方程即可； （2）将圆与圆的方程相减得，求出圆的圆心到直线的距离d，即可求解； 【详解】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以， ， 于是有 ①， 因为点A在圆上运动，即： ②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． （2）将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1， 且到直线的距离， 则. 答案第48页，共48页 答案第9页，共48页 学科网（北京）股份有限公司 $$