8.待定系数法求圆的方程-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

8.待定系数法求圆的方程 1．（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·福建福州·模拟预测）已知，则外接圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·广东珠海·期末）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角原理”：对定点、和在直线上的动点，当与的外接圆相切时，最大．若，，是轴正半轴上一动点，当对线段的视角最大时，的外接圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·湖北·模拟预测）已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（    ） A．若直线l与圆M相切，则 B．当时，四边形的面积为 C．直线经过一定点 D．已知点，则为定值 7．（2023·吉林长春·模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦，记线段的中点分别为，则下列结论正确的是（    ） A．圆的方程为 B．四边形面积的最大值为 C．弦的长度的取值范围为 D．直线恒过定点 8．（22-23高三·云南·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦AB，CD，记线段AB，CD的中点分别为M，N，则下列结论正确的是（    ） A．圆的方程为 B．四边形ACBD面积的最大值为 C．弦AB的长度的取值范围为 D．直线MN恒过定点 9．（22-23高三下·广东·开学考试）已知，，为圆上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与圆相交所得的公共弦所在直线方程为 B．若点，则的面积为 C．过点且与圆相切的圆的圆心轨迹为圆 D．的最小值为 10．（2024·湖北武汉·二模）与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为 ． 11．（2023·广东汕头·二模）与圆关于直线对称的圆的标准方程是 . 12．（2015·全国·高考真题）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 13．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为 . 14．（2023·全国·模拟预测）已知圆的圆心在直线上，点与都在圆上，圆，则与的位置关系是 . 15．（22-23高二上·山东淄博·期中）设半径为3的圆被直线截得的弦的中点为，且弦长，则圆的标准方程 . 16．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆C：（）的左、右两焦点分别是、，其中．椭圆C上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 17．（2018·全国·高考真题）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 18．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆C过点，且圆心C在上． (1)求圆C的方程； (2)若点D为所求圆上任意一点，定点E的坐标为，求直线DE的中点M的轨迹方程． 19．（22-23高二上·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，已知四点. (1)求过三点的圆方程，并判断点与圆的位置关系； (2)过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程. 20．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（22-23高一下·云南曲靖·期末）已知圆C经过点且圆心C在直线上. (1)求圆C方程； (2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程. 22．（18-19高二上·浙江杭州·期中）已知圆过两点，，且圆心P在直线上． (1)求圆P的方程； (2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程． 23．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求此切线的方程． 24．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆C的圆心在直线上，且该圆与x轴相切. (1)若圆C经过点，求该圆的方程； (2)若圆C被直线截得的弦长为，求该圆的方程. 25．（11-12高一下·甘肃兰州·期末）已知圆C过点 ，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程． (2)设直线与圆C交于不同的两点A，B，是否存在实数a，使得过点 的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 26．（22-23高二上·辽宁本溪·阶段练习）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦长； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 27．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）已知圆C经过､两点，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线l与圆C相交于P､Q两点，且，求直线l的方程. 28．（22-23高二上·广东佛山·期末）党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.    (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程. (2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由. 29．（20-21高一上·河南·期末）已知圆C过点，，且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)若点P在圆C上，点，M为AP的中点，O为坐标原点，求的最大值. 30．（22-23高三下·江西·阶段练习）已知圆过点，，. (1)求圆的标准方程； (2)若过点且与轴平行的直线与圆交于点，，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，（与不重合），证明：直线过定点. 31．（22-23高二下·江西宜春·阶段练习）已知圆C经过三点. (1)求圆C的方程； (2)经过点的直线l被圆C所截得的弦长为，求直线l的方程. 32．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 33．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知的圆心在轴上，经过点，并且与直线相切. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于、两点， （i）若，求直线的方程； （ii）求弦最短时直线的方程. 34．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆，直线l过点且与圆C相交A，B两点. (1)若为等腰直角三角形，求l的方程； (2)当时，求的外接圆方程. 35．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期末）平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. （i）过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值； （ii）设直线OP，BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 36．（23-24高二上·全国·单元测试）已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，直线l的方程为. (1)求圆C的方程； (2)证明：直线l与圆C恒相交． 37．（21-22高二·全国·课后作业）已知圆C经过点，及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点． (1)求圆C的标准方程； (2)若点，分别记直线PM，直线PN的斜率为，，证明：为定值． 38．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. (1)求外接圆的方程； (2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率. 39．（18-19高一下·北京昌平·期末）已知圆的圆心在轴上，且经过点． (1)求线段的垂直平分线方程； (2)求圆的标准方程； (3)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 40．（23-24高二上·江苏·开学考试）已知圆C过，，且圆心C在x轴上． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值． 41．（21-22高二·全国·课后作业）已知圆C的圆心位于x轴的正半轴上，该圆与直线相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13． (1)求圆C的标准方程． (2)设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由． 42．（22-23高二上·江苏南京·开学考试）已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2. (1)求的方程； (2)设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 43．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）①圆心在直线：上，圆过点；②圆过直线：和圆的交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解． 已知圆经过点，且________． (1)求圆的标准方程； (2)已知点，求过点的圆的切线方程． 44．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知直线经过点，且与直线垂直． (1)求直线的一般式方程； (2)已知圆与轴相切，直线被圆截得的弦长为4，圆心在直线上，求圆的标准方程． 45．（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）①经过点；②与轴相切，半径为2；③被直线平分.从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答. 问题：已知圆经过点，点，__________. (1)求圆的方程； (2)若经过点的直线与圆相切，求直线的方程. 注：如果选多个条件分别解答，按第一个解答计分. 46．（22-23高二上·天津·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知点，点N在圆C上运动，求线段中点P的轨迹方程． 47．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆经过点，，且圆与轴相切． (1)求圆的一般方程； (2)设是圆上的动点，点的坐标为，求线段的中点的轨迹方程． 48．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 49．（22-23高二上·江苏南京·开学考试）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)AB边中线所在的直线方程； (2)的外接圆的方程. 50．（22-23高二上·北京·期中）已知圆C经过坐标原点O和点，且圆心在x轴上． (1)求圆C的方程． (2)设直线l经过点，且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程． 51．（21-22高二上·云南临沧·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线：上． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 52．（23-24高二上·全国·课后作业）的三个顶点的坐标分别为，求的外接圆的方程. 53．（21-22高二上·浙江杭州·期末）已知圆C经过两点，且与x轴的正半轴相切. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线l：与圆C交于M，N，求. 54．（22-23高二上·江苏淮安·期末）已知圆C过两点，，且圆心在直线上． (1)求圆C的方程； (2)过点作直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程． 55．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)过点和点，半径为． (2)经过两点，圆心在直线上． 试卷第10页，共10页 试卷第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D A D D ACD ACD ACD AB 1．B 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程、由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】由得到点的轨迹是以为直径的圆，依题意，问题转化为两个圆有公共点的问题，解不等式组即得. 【详解】 如图，由可知点的轨迹是以为直径的圆，设为圆， 因，故圆. 依题意知圆与圆必至少有一个公共点. 因，则， 由，解得：. 故选：B. 2．D 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、由圆心（或半径）求圆的方程、轨迹问题——圆 【分析】先求得圆的方程，再利用求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围. 【详解】圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为， 则圆的方程， 设，由， 可得，整理得， 则圆与圆有公共点， 则， 即，解之得. 故选：D 3．A 【难度】0.65 【知识点】求圆的一般方程 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 4．D 【难度】0.65 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】求得外接圆的方程即可进行选择. 【详解】设外接圆的方程为 则有，解之得 则外接圆的方程为 故选：D 5．D 【难度】0.65 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、已知两点求斜率、基本（均值）不等式的应用、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】先由条件确定点的坐标，再求外接圆的方程. 【详解】设，则，， ， 当且仅当时成立,解得，， 设的外接圆的方程为， 则，解得，，， 的外接圆的方程为． 故选：．      6．ACD 【难度】0.65 【知识点】直线与圆中的定点定值问题、相交圆的公共弦方程、切点弦及其方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出即可判断A；根据求出，进而求出，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果；根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断C；根据直线过定点及可得，即C在以为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点，即可判断D. 【详解】解：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离， 解得，所以A正确； 对于B，当时，，，， 因为为圆的两条切线，所以， 所以四边形的面积， 所以B错误； 对于C，因为，，且， 所以四点共圆，且为直径， 所以该圆圆心为，半径为， 所以圆的方程为：， 因为是该圆和圆的相交弦， 所以直线的方程为两圆方程相减， 即， 化简可得：， 所以直线经过定点，所以C正确； 对于D，因为，所以， 因为在直线上，所以 即点C在以为直径的圆上，因为，， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为：，圆心为， 因为点C在该圆上，所以为定值，所以D正确． 故选：ACD 7．ACD 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、过圆内定点的弦长最值（范围）、由圆心（或半径）求圆的方程、直线过定点问题 【分析】利用待定系数法求出圆E的方程，判断A；根据圆的几何性质表示出四边形面积，结合二次函数知识求得其最大值，判断B；利用圆的几何性质可求得弦的长度的取值范围，判断C；结合四边形为矩形，可判断D. 【详解】由题意可设圆心为，半径为， 故，解得，则， 故圆的方程为，A正确；    连接,则, 设,则,则， 故， 所以， 当时，四边形面积取到最大值，B错误； 当弦过圆心时最长，最大值为4； 当弦时最短，最小值为， 即弦的长度的取值范围为，C正确； 由题意知，， 故四边形为矩形，则为矩形的对角线，二者互相平分， 而，故过的中点，D正确， 故选：ACD 8．ACD 【难度】0.4 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、过圆内定点的弦长最值（范围）、圆的弦长与中点弦、直线与圆中的定点定值问题 【分析】根据已知条件可求圆心，利用两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程，判断A；由已知可证四边形EMQN为矩形，利用对角线互相平分，即可知MN过EQ中点，进而求出定点，判断D；根据过定点的最长弦为直径，最短弦垂直于直径，即可得到弦AB的长度的取值范围，判断C；设，利用垂径定理分别求出AB，CD的长度，即可得到四边形ACBD面积为关于d的函数，利用函数的性质求最值即可，判断B. 【详解】解：设圆心， 因为与相切于点，直线l的斜率， 则，即， 所以圆心，半径， 因此圆的方程为，A选项正确； 因为线段AB，CD的中点分别为M，N，则，， 又，所以四边形EMQN为矩形，则MN与EQ互相平分 即MN过EQ中点，所以直线MN恒过定点，D选项正确； 当AB过圆心E时，AB的长度最长且为圆的直径4， 当AB垂直于x轴时，AB的长度最短，此时AB经过点P， 所以，则弦AB的长度的取值范围为，C选项正确； 因为四边形EMQN为矩形，则， 设，则， 由垂径定理可得，， 则 ，， 令，则， 当时，有最大值，B选项错误； 故选：ACD. 【点睛】本题考查了求圆的方程、两点间的距离公式、圆的切线方程，利用垂直求斜率、过圆内一点弦长的范围，利用垂直对角线求四边形的面积，换元法求二次型函数最值等知识点，该题综合性较强，需要有一定的分析问题和处理问题的能力，属于难题. 9．AB 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、相交圆的公共弦方程、点与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】根据题意求出圆的一般方程，与圆的一般式方程相减即可判断A；根据点到直线的距离公式三角形的面积公式计算即可判断B；作出图形，结合图形和椭圆的定义即可判断C；根据两点求距离公式得，而表示圆上动点到定点的距离的平方，结合点与圆的位置关系即可判断D. 【详解】A:由，，则其中点为，所以， 则圆的标准方程为，化为一般式方程为①， 又圆的一般式方程为②， 而， ①-②得为两圆相交弦所在的直线方程．故A正确； B：由直线的方程为，则点到直线的距离，．故B正确； C:由图可知，设过点且与圆内切的圆的圆心为，且切点为， 则满足椭圆定义， 故圆心的轨迹为椭圆．故C错误； D：设， ， 则可转化为圆上动点到定点的距离的平方， 所以的最小值为， 故．故D错误. 故选：AB. 10． 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆心（或半径）求圆的方程、求点到直线的距离 【分析】设圆心坐标，根据题意列关于的方程，求出它们的值，进而求得半径，即可得答案. 【详解】设圆心坐标为， 由于所求圆与直线和直线都相切， 故，化简为，而，则， 又圆心到原点的距离为，即， 解得，即圆心坐标为，则半径为， 故圆的方程为， 故答案为： 11． 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求点关于直线的对称点 【分析】先求得所求圆的圆心坐标，进而得到该圆的标准方程. 【详解】圆的圆心，半径， 点关于直线对称的点坐标为 则所求圆的标准方程为 故答案为： 12． 【难度】0.65 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、求椭圆的顶点坐标 【详解】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为. 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 13． 【难度】0.65 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、求平面两点间的距离 【分析】运用待定系数法求得过A、B、C的圆的方程，由点D在此圆上可求得的值，再根据两点间距离公式即可求得结果. 【详解】设过A、B、C的圆的方程为：（）， 则，解得， 所以过A、B、C的圆的方程为：， 又因为点D在此圆上， 所以，解得， 所以点D到坐标原点O的距离为. 故答案为：. 14．相交 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】利用待定系数法求得圆的标准方程，求出圆心距，与两圆的半径和、差比较即可得出结论. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，且该圆经过与两点， 列方程组，解得， 即圆的标准方程为，圆心，半径， 又圆，圆心，半径， ∴，又，，而， ∴与的位置关系是相交. 故答案为：相交. 15．或. 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、圆的弦长与中点弦 【分析】设所求的圆的方程，根据弦心距和弦的中点，建立方程，即可求得圆C的方程． 【详解】由题意设所求的圆的方程为：. 圆心到直线的距离为， 圆被直线：截得的弦的中点为，， 解得或， 即所求的圆的方程为：或. 故答案为：或. 16． 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先设出点，然后由向量数量积得到的轨迹，应用在椭圆上则两个曲线有交点，再求离心率即可. 【详解】设点， 则， 即，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即， 所以，即椭圆离心率， 故答案为： 17．（1）；（2）或． 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】（1）方法一：根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程； （2）方法一：先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程. 【详解】（1）［方法一］：【通性通法】焦点弦的弦长公式的应用 由题意得，设直线l的方程为． 设，由得． ，故． 所以． 由题设知，解得（舍去）或．因此l的方程为． ［方法二］：弦长公式的应用 由题意得，设直线l的方程为． 设，则由得． ，由，解得（舍去）或．因此直线l的方程为． ［方法三］：【最优解】焦点弦的弦长公式的应用 设直线l的倾斜角为，则焦点弦，解得，即．因为斜率，所以． 而抛物线焦点为，故直线l的方程为． ［方法四］：直线参数方程中的弦长公式应用 由题意知，可设直线l的参数方程为（t为参数）． 代入整理得． 设两根为，则． 由，解得． 因为，所以，因此直线l的参数方程为 故直线l的普通方程为． ［方法五］：【最优解】极坐标方程的应用 以点F为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，此时抛物线的极坐标方程为． 设，由题意得，解得，即． 所以直线l的方程为． （2）［方法一］：【最优解】利用圆的几何性质求方程 由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为 ，即． 设所求圆的圆心坐标为，则 解得或， 因此所求圆的方程为或． ［方法二］：硬算求解 由题意可知，抛物线C的准线为，所求圆与准线相切． 设圆心为，则所求圆的半径为． 由得． 所以， 解得或， 所以，所求圆的方程为或． 【整体点评】（1）方法一：根据弦过焦点，选择焦点弦长公式运算，属于通性通法； 方法二：直接根据一般的弦长公式硬算，是解决弦长问题的一般解法； 方法三：根据弦过焦点，选择含直线倾斜角的焦点弦长公式，计算简单，属于最优解； 方法四：根据直线参数方程中的弦长公式，利用参数的几何意义运算； 方法五：根据抛物线的极坐标方程，利用极径的意义求解，计算简单，也是该题的最优解． （2）方法一：根据圆的几何性质确定圆心位置，再根据直线与圆的位置关系算出，是求圆的方程的最优解； 方法二：直接根据圆经过两点，硬算，思想简单，运算相对复杂． 18．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、由圆心（或半径）求圆的方程、轨迹问题——圆 【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程； （2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程. 【详解】（1）由已知可设圆心，又由已知得， 从而有，解得：． 于是圆C的圆心，半径． 所以，圆C的方程为, （2）设，则由M为线段ED的中点得：，解得， 又点D在圆C：上， 所以有， 化简得：． 故所求的轨迹方程为． 19．(1)，在圆上 (2)或 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、判断点与圆的位置关系、求过已知三点的圆的标准方程、求点到直线的距离 【分析】（1）设圆方程为，然后将三点坐标代入可求出圆的方程，再将点代入圆的方程验证即可， （2）由已知可求得圆心到直线距离为1，然后分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况求解即可. 【详解】（1）设圆方程为 把三点坐标代入可得：， 解得， 所以圆方程是 把点坐标代入可得：，故在圆上. （2）由，得， 所以圆心，半径为， 因为弦长等于4，所以圆心到直线距离为， 当直线的斜率不存在时，即方程为，圆心到直线距离为1，满足题意 若直线的斜率存在，设直线方程为 圆心到直线的距离，解得 所以过点的直线为或. 20．(1) (2) (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、定点到圆上点的最值（范围）、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）由题意圆心坐标为，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径，从而可得出答案. （2）若 是圆C上任意一点，则表示圆上任意一点到点距离的平方，画出图可知最大值为，最小值为，然后求解取值范围即可. （3）设，，分别表示出，由为定值得出答案. 【详解】（1）依题可设圆心坐标为， 则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆的标准方程为. （2） 若 是圆C上任意一点， 则表示圆上任意一点到点距离的平方， 所以的最大值为， 的最小值为： ， 所以的取值范围为： （3）假设存在定点，设， ， 则， 则，当，即，（舍去）时，为定值，     且定值为，故存在定点，且的坐标为. 21．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、轨迹问题——圆 【分析】（1）根据题意利用待定系数法运算求解； （2）根据题意利用相关点法运算求解. 【详解】（1）设圆C的标准方程为，可知其圆心为， 由题意可得，解得， 所以圆C的标准方程为. （2）设， 由及M为线段EF的中点得，解得，即， 又因为点E在圆C：上，则， 化简得：， 故所求的轨迹方程为．    22．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、点与圆的位置关系求参数、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）依题意可设圆P的方程为，圆P过两点，，可列方程组求解未知数，从而可得圆P的方程； （2）由弦长，可得圆心到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时验证即可，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由点到直线的距离公式列出方程可求解. 【详解】（1）依题意圆心P在直线上，可设圆P的方程为， 因为圆P过两点，， 所以，解得， 所以圆P的方程为. （2）由（1）可知，圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为1， 此时满足题意； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，即， 当时，圆心到直线的距离， 即有，解得， 此时直线的方程为，即为. 综上，直线的方程为或. 23．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、由直线与圆的位置关系求参数、点与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】（1）利用直线方程、圆的标准方程运算即可得解. （2）利用直线方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式运算即可得解. 【详解】（1）解：由题意，圆心在直线上，故设圆心， 由于圆与轴相切，∴半径， 则圆的方程为：， 又∵圆过点， ∴，解得：， ∴圆的标准方程为． （2）解：当切线斜率不存在时，因为圆心到直线的距离为， 所以是圆的切线方程． 当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为， 即， 由直线与圆相切得，解得：， 因此过点与圆相切的切线方程为，即， 综上知，过点圆的切线方程为或． 24．(1)或； (2)或. 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、由圆心（或半径）求圆的方程、求点到直线的距离 【分析】（1）由题意可设圆心坐标，进而设圆的标准方程，将圆过的点的坐标代入，求得参数，即得答案. （2）求出圆心到直线的距离的表达式，利用圆心距、弦长、半径之间的关系列式计算，求得参数，即可得答案. 【详解】（1）由圆C的圆心在直线上可设圆心为， 由于该圆与x轴相切.，故圆的半径， 故可设圆的方程为， 又圆C经过点，故， 即，解得或， 所以圆的方程为或； （2）由（1）知圆的方程为， 圆心到直线的距离为， 圆C被直线截得的弦长为，故， 即，解得， 故圆的方程为或. 25．(1) (2)不存在，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求圆的一般方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】（1）设圆的方程，由题意列出方程组，解方程组求得答案； （2）假设存在符合条件的实数a，可判断圆心 必在直线l上，结合直线l垂直平分弦AB，求得a,再利用直线交圆C于A，B两点，结合判别式求得a的范围，即可得出结论. 【详解】（1）设圆C的方程为， 则有，解得， 所以圆C的方程为， 化为标准方程，得． （2）假设存在符合条件的实数a，由于直线l垂直平分弦AB， 故圆心 必在直线l上，所以直线l的斜率， 又，所以． 将与圆C的方程联立， 整理得，由于直线交圆C于A，B两点， 故，解得，与矛盾， 故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB． 26．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求两圆的交点坐标、由圆与圆的位置关系确定圆的方程、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案， （2）解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程. 【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得， 所以圆的圆心到直线的距离为， 则，解得， 所以公共弦长为. （2）解法一： 设过两圆的交点的圆为， 则； 由圆心在直线上，则，解得， 所求圆的方程为，即. 解法二： 由（1）得，代入圆， 化简可得，解得； 当时，；当时，； 设所求圆的圆心坐标为， 则，解得； 所以； 所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 27．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求过已知三点的圆的标准方程、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】（1）根据题意利用待定系数法运算求解； （2）利用数量积的定义及直角三角形求出圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式求解斜率，即可求解直线方程. 【详解】（1）设圆C的标准方程为，可知其圆心为， 由题意可得，解得， 所以圆C的标准方程为. （2）由题意，过点的直线l与圆C相交于P､Q两点，且， 则，所以，所以， 所以圆心C到直线l的距离， 由题意直线l的斜率存在，设直线为，即， 所以，化简得，解得或， 所以直线l的方程为或.    28．(1) (2)不能，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、直线与圆的实际应用 【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在轴上，设圆心坐标为，设圆的半径为，将点、的坐标代入圆的方程，求出、的值，结合图形可得出圆弧的方程； （2）求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧的方程，可得出结论. 【详解】（1）解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，    则点、，由圆的对称性可知，圆心在轴上， 设圆心坐标为，设圆的半径为，则圆弧所在圆的方程为， 因为点、在圆上，则，解得，。 所以，圆弧所在圆的方程为， 因此，圆弧的方程为. （2）解：此火车不能通过该路口， 由题意可知，隔墙在轴右侧米，车宽米，车高米， 所以货车右侧的最高点的坐标为， 因为，因此，该货车不能通过该路口. 29．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】切线长、求圆的一般方程、轨迹问题——圆 【分析】（1）设圆的方程为：，将、，两点坐标代入圆的一般方程，将圆心代入，得出关于的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的一般方程. （2）设，，计算出点的轨迹方程，得到其轨迹方程为，分析出OM与圆相切时最大，计算即可得到答案. 【详解】（1）设圆的方程为：， 则有，解得． ∴圆的方程为：． （2）由（1）知圆， 设，， 则，所以 又P在圆上，    所以， 所以， 即M的轨迹方程为. 数形结合易知，当OM与圆相切时，取最大值， 此时， . 所以的最大值为. 30．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）利用待定系数法求得圆一般方程，再将其转化为标准方程； （2）求出点，的坐标，设，根据，得出，的坐标，当直线斜率存在时，设直线方程为，与圆方差联立方程组，利用根与系数关系化简得出与的关系，进而得出直线恒过的定点坐标，再验证斜率不存在时仍成立. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 又圆过点，，， 则， 解得， 所以圆的一般方程为， 即其标准方程为； （2）由题意得，所以直线，点，点， 设点，，， 所以，， 所以， 又，， ， 又，在圆上， 所以，， ， 即， 所以， 整理得：， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 代入， 得， 则，， 所以， 即， 即， 得或， 当时，直线的方程为，过点， 当时，直线的方程为，过点，在直线上，不成立， 当直线斜率不存在时，，即，解得或（舍），所以直线过成立， 综上所述，直线恒过点. 31．(1)； (2)或. 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、求圆的一般方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】（1）设出圆C的一般方程，再利用待定系数法求解作答. （2）由（1）求出圆C的圆心和半径，结合弦长及点到直线距离求解作答. 【详解】（1）设圆C的方程为， 由圆C经过三点，得，解得， 所以圆C的方程为 （2）由（1）知圆C：，即圆心，半径为5， 由直线l被圆C所截得的弦长为，得圆心C到直线l的距离， 而直线l经过点，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 即，于是，得或， 所以直线l的方程为或    32．(1) (2)或. 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点的坐标及圆心在直线上即可求参； （2）设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ，解得： ， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即，解得，此时. 综上，直线l的方程为或. 33．(1) (2)①或；②. 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）设圆心为，根据题中条件求出的值，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （2）①求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线写出直线的方程，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出结果； ②分析可知，当时，取最小值，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】（1）解：设圆心为，由题意可得，解得， 所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为. （2）解：①当时，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. ②当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值， 因为，则， 此时，直线的方程为，即. 34．(1)或. (2) 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求过已知三点的圆的标准方程、求点到直线的距离 【分析】（1）由题意可得圆心到直线l的距离为，考虑直线l的斜率存在和不存在，由点到直线的距离公式即可得出答案； （2）先求出直线l的方程，设的外接圆方程为：，将代入即可求出，即可求出的外接圆方程. 【详解】（1）将圆化简为：，则圆心，， 因为，， 所以， 因此圆心到直线l的距离为： 若直线l的斜率不存在，所以， 圆心到直线的距离为，满足题意； 若直线l的斜率存在，设直线l为：， 即， 即，解得：， 所以直线l为：， 综上：l的方程为：或. （2）因为，， 所以， 因为，则，因为直线l过点， 则直线l的方程为：，化简为：， 因为的外接圆过直线l与圆的交点， 设其方程为：， 因为圆过点，代入可得，解得：， 得，即， 经经验， 故所求的方程为：. 35．(1) (2)（i）7；（ii）在定直线上 【难度】0.4 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、圆内接三角形的面积、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出，即可得解； （2）（i）设直线的方程为，分和两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，再根据即可得出答案； （ii）设，联立，利用韦达定理求得，求出直线OP，BQ的方程，联立求出交点坐标即可得出结论. 【详解】（1）解：设圆M的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； （2）解：设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线斜率不存在， 则，， 则， 若，则直线得方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述，因为， 所以S的最大值为7； （ii）设， 联立，消得， 则， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 则 ， 所以， 所以点N在定直线上. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求圆的标准方程，考查了圆的弦长问题及圆中四边形的面积的最值问题，还考查了圆中的定直线问题，有一定的计算量. 36．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程、判断直线与圆的位置关系 【分析】（1）设圆C的方程为，利用待定系数法可得答案； （2）由直线方程特点可得直线l过定点，且在圆内可判断直线和圆的位置关系. 【详解】（1）设圆C的方程为， 由条件得，解得， 所以圆C的方程为； （2）由，得， 令得， 即直线l过定点， 由，知点在圆内， 所以直线l与圆C恒相交． 37．(1)； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】直线与圆中的定点定值问题、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）设圆C的方程为，解方程组求出即得解； （2）设，．由题意得直线l的方程为，联立直线和圆的方程得到韦达定理，计算化简即得证. 【详解】（1）解：设圆C的方程为， ∴，解得， ∴圆C的方程为，其标准方程为． （2）解：设，．由题意得直线l的方程为， 由，得， ∴， ∴， ∴， . 即为定值0． 38．(1) (2)或 (3)， 【难度】0.65 【知识点】求圆的一般方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）根据待定系数法可得圆的方程； （2）根据直线方程，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，进而可得直线方程； （3）由，可得当时面积最大，即此时为等腰直角三角形，进而可得圆心到直线的距离，根据点到直线距离公式可得解. 【详解】（1）设圆的方程为，， 则，解得， 则圆的方程为， 即； （2）由（1）得圆心，半径， 又，可知圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，成立； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，则直线方程为，即； 综上，直线方程为或. （3）由在圆外， 则在中，，， 又， 则当，即时，取得最大值为， 此时为等腰直角三角形， 即圆心到直线的距离， 即， 解得.    39．(1) (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）根据已知得到线段中点的坐标及的斜率，根据垂直关系得出垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求解； （2）设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案； （3）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案. 【详解】（1）设的中点为，则． 由圆的性质，得，所以，得. 所以线段的垂直平分线的方程是. （2）设圆的标准方程为，其中，半径为， 由（1）得直线的方程为， 由圆的性质，圆心在直线上，化简得， 所以圆心，， 所以圆的标准方程为. （3）由（1）设为中点，则，得， 圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程，即， 由题意得，解得； 故直线的方程为， 即； 综上直线的方程为或. 40．(1) (2)或 (3) 【难度】0.65 【知识点】坐标法的应用——直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）设圆的方程为，将，代入求得即可； （2）讨论直线斜率是否存在，当直线斜率存在时，设直线方程，根据圆的弦长公式求得直线方程； （3）设直线的方程分别为，求出的坐标，将表达为的函数，用基本不等式求最大值. 【详解】（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为， 又圆C过，得 ， 解得，，所以圆的方程为； （2）因为直线与圆C截得的弦长为， 所以圆心C到直线的距离为，    ①若直线斜率不存在时，直线与圆C交点为， 直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意． ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线． 综上所述，直线的方程为或． （3）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，    由，得，解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为 由题可知：，， 故， 又∵，同理， ∴． 当且仅当时等号成立．所以的最大值为． 41．(1) (2)不存在，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】直线与圆中的定点定值问题、已知圆的弦长求方程或参数、已知切线求参数、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）利用待定系数法，根据已知条件建立方程组求解. （2）假设存在，把直线方程与圆的方程联立、消元、韦达定理，根据条件进行求解、判断. 【详解】（1）设圆C的方程为， 由题意，知，解得或， 又圆C的面积，∴，， ∴圆C的标准方程为． （2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，不满足题意． 当直线l的斜率存在时，假设存在满足题意的直线l，设直线l的方程为，，， 由，得， ∵直线l与圆C相交于不同的两点， ∴， 解得或． ，， ∵线段OD过线段AB的中点，且线段AB与OD互相平分， ∴点D的坐标为，即， 又MC的斜率为，∴，解得． 由于，故不存在这样的直线l． 42．(1) (2)①；②存在， 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数、求平面轨迹方程、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程； （2）①利用代点法求出点的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可. 【详解】（1）由题意可设圆的圆心的坐标为，圆的圆心在直线上， ，解得：，即圆心为， 圆心到直线的距离为，设圆的半径为r，弦长为， 由已知 所以，所以圆的标准方程为； （2）设，则， 由得：，所以 D在圆上运动， 整理可得点T的轨迹方程为： 当直线轴时，轴平分， 当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为， 联立化简可得， 方程的判别式， 设，，， 若轴平分，则，所以， 又，， 所以， 所以， 所以 所以 解得， 当时，能使轴平分. 43．(1)选①：；选②： (2)和 【难度】0.4 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、由直线与圆的位置关系求参数、由圆心（或半径）求圆的方程、求点到直线的距离 【分析】（1）利用圆的定义、直线方程、直线与圆的关系、圆与圆的关系运算即可得解. （2）利用直线与圆的关系、直线方程、点到直线的距离公式运算即可得解. 【详解】（1）解：选①：设圆心，则由题意： ∵圆心在直线：上， ∴………………………（ⅰ） ∵圆过点和， ∴，即， 化简得：…………………（ⅱ） 联立（ⅰ）（ⅱ）解得：， ∴圆心，半径为， ∴圆的标准方程为. 选②：如下图：设直线：和圆的交点为， 连接，则由直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系知直线， 垂足为，连接、.      由题意，圆的圆心为，半径. ∵直线方程为，， ∴直线方程为，故设圆心， 由图知，则， 由解得直线和直线交点， 则， 圆半径， ，， 由得： ，解得：. ∴圆心，半径. ∴圆的标准方程为. （2）解：由（1）知，选①或选②，圆的标准方程均为， 如下图，点在圆外，则 因为圆的圆心到轴距离， 所以，是圆过点的一条切线.    设圆过点的另一条切线斜率为，则其方程为： ，即. 由直线与圆相切知圆心到直线距离为半径，则有 ，解得：， ∴切线方程为，即. 综上知，过点的圆的切线方程为和. 44．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、由直线与圆的位置关系求参数、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）依题意可设直线的方程为，然后将点的坐标代入可求出，从而可求得直线方程； （2）设圆的方程为，则，再根据弦长，圆心距和半径的关系列方程，和圆心在直线上所得到的方程，可求出，从而可求出圆的方程. 【详解】（1）依题意可设直线的方程为， 将点的坐标代入，得， 所以直线的一般式方程为． （2）设圆的方程为， 因为圆与轴相切，所以， 圆心到的距离， 又圆心在直线上，所以， 所以，解得． 当时，，圆的标准方程为； 当时，，圆的标准方程为． 45．(1)条件选择见解析， (2)或 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、求过已知三点的圆的标准方程、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）选①把三个点代入圆的一般方程求得结果；②利用圆心在线段的中垂线上以及与轴相切，半径为2确定圆心坐标，写出圆的方程；③圆心在线段的中垂线上和直线上，求出圆心坐标及半径，写出圆的方程. （2）分成直线斜率存在与不存在两种情况进行讨论，利用进行求解. 【详解】（1）选①.设圆的方程为， 因为圆经过三点， 所以，解得. 所以圆的方程为，即. 选②.由点，得线段的中垂线方程为. 则圆心在直线上， 设圆的圆心坐标为， 又由圆与轴相切，可知圆心在轴上方 由半径为2，得，所以. 所以圆的方程为. 选③.由点，得线段的中垂线方程为. 则圆心在直线上， 因为圆被直线平分，则圆心在直线上. 由解得所以圆心坐标为， 所以半径， 所以圆的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即. 因为直线与圆相切，所以，解得， 所以直线的方程为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 综上，直线的方程为或. 46．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、求过已知三点的圆的标准方程、轨迹问题——圆 【分析】（1）设出圆的标准方程，将点的坐标代入圆的方程，结婚圆心在直线上，列出方程组，解之即可求解； （2）设点的坐标是，点的坐标是，利用中点坐标公式和点在圆上运动即可求解. 【详解】（1）设圆的方程为，由题意得 ，解得         所以圆的方程为. （2）设点的坐标是，点的坐标是， 由于点的坐标为，点是线段的中点，所以，   于是       因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 即      所以， 整理得 所以，线段中点的轨迹方程. 47．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求圆的一般方程、求平面轨迹方程 【分析】 （1）利用待定系数法设圆的一般方程为，根据已知条件列式求出可得结果； （2）设，得，代入可得结果. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆过点，，又跟轴相切， 圆必在轴右侧，且跟轴的切点为， 圆心的纵坐标为． ，解得， 圆的方程为. （2）设，则， 将代入得， 整理得. 即线段的中点的轨迹方程. 48．(1)13； (2). 【难度】0.65 【知识点】直线两点式方程及辨析、求平面两点间的距离、求点到直线的距离、求圆的一般方程 【分析】（1）利用两点距离求出，再求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出高，即可求出面积； （2）设出的外接圆的方程，将三点坐标代入求解即可. 【详解】（1）， 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 所以的面积； （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 49．(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）根据中点坐标公式求出AB中点的坐标，利用直线方程的点斜式可得AB边中线所在的直线方程； （2）设出外接圆的一般方程：，利用待定系数法确定、、，再把圆的一般方程化为圆的标准方程即可. 【详解】（1）设AB中点为，，，，直线CM斜率，由点斜式得AB边中线方程为：. （2）设外接圆的一般方程为： ，把，，三点坐标代入圆的一般方程得： ，解得， 所求圆的一般方程为：，化为标准方程为：. 50．(1) (2)和 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】 （1）设圆心，则圆心到与距离相同且等于半径，由此求出，进而求出圆C的方程. （2）分别研究斜率存在与斜率不存在时两种情况：当斜率不存在时，直线为，符合要求；当斜率存在时，设直线l为，则圆心到直线的距离，再结合弦长公式即可求出k的值，由此能出直线l的方程. 【详解】（1） 设圆心，则圆心到与距离相同且等于半径， 所以，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆C的方程为． （2） 当斜率存在时，设直线l为，整理得， 则圆心到直线的距离，① 又因为，解得，② 由①②解得：， 所以直线方程为，整理得； 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离， 所以其弦长为，符合题意. 综上，所求直线方程为和. 51．(1)； (2)或 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、求圆的一般方程 【分析】（1）根据题意设圆的一般方程，代入求解即可； （2）根据题意，分切线的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，利用点到直线的距离等于半径可求出切线的斜率，进而求出切线的方程. 【详解】（1）设圆的方程为（）， 圆经过，两点， ①， ②， 又圆心在直线上，故③， 由①②③解得，，， 故圆的方程为； （2）由（1）可知圆：， 设过的圆的切线为，当的斜率不存在时，不是圆的切线； 当的斜率存在时，设所求切线方程为，即， 圆心到切线的距离， 整理得：， 解得或， 即切线方程为或. 52． 【难度】0.65 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】利用待定系数法或几何法求解即可. 【详解】解法一（待定系数法） 设所求圆的标准方程为， 则解得 所以外接圆的方程为． 解法二（几何法）    , 易知，是直角三角形，， 所以圆心是斜边的中点，半径是斜边长的一半，即， 所以外接圆的方程为． 53．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦 【分析】 （1）圆C经过两点，且与x轴的正半轴相切，可设圆心，即，可得半径．利用勾股定理、弦长公式计算进而得出答案． （2）求出圆心到直线l的距离d，即可得出弦长． 【详解】（1） 圆C经过两点，且与x轴的正半轴相切，    设圆心，即，故半径， 则， ∴圆C的标准方程为：． （2） 圆心到直线l：的距离， ∴弦长． 54．(1)； (2)或． 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法求解； （2）根据弦长及圆的半径求出弦心距，据此分直线斜率存在与不存在两种情况求解即可. 【详解】（1）设圆C的方程为， 则，解得， 所以圆C的方程为． （2）设圆心到直线l的距离为d， 则，则． 当直线l的斜率不存在时，直线l：，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 所以，解得， 此时，直线l的方程为，即． 综上所述，直线l的方程为或． 55．(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】点法向式方程、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）利用待定系数法设圆的标准方程，结合已知条件即可； （2）方法1：利用待定系数法设圆的标准方程，结合已知条件求解即可； 方法2：利用图形结合平面向量，建立方程结合已知条件求出圆心和半径即可. 【详解】（1）设圆心坐标为，则圆的方程为． 因为是圆上的点， 所以解得或， 因此所求圆的方程为或． （2）（方法一）设圆心为，半径为， 则圆的标准方程为． 由题意可得方程组． 解此方程组，得， 故所求圆的方程为． （方法二）如图，由于圆心到点的距离相等（都等于半径）， 因此圆心在的垂直平分线上， 并且处于直线与直线的交点处． 因为，所以是的法向量， 故可设直线的方程为．① 又直线过的中点，而的坐标为， 即，将其代入①式，解得． 所以直线的方程为，即． 圆心的坐标是方程组的解， 解此方程组，得． 所以圆心的坐标为． 圆的半径． 故所求圆的方程为． 答案第58页，共58页 答案第10页，共58页 学科网（北京）股份有限公司 $$