7.几何法求圆的方程-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

7.几何法求圆的方程 1．（2020·全国·高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·陕西榆林·期末）若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏·开学考试）已知圆C：，若点P在直线上运动，过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则直线过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·河北石家庄·模拟预测）已知点为直线上的动点，若在圆上存在两点，，使得，则点的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·重庆·一模）过点作圆的两条切线，切点分别为，若为直角三角形，为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·山东济宁·二模）在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高二上·广东广州·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（    ） A．20 B． C．10 D． 9．（23-24高二上·贵州·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为圆的一条弦，且以为直径的圆始终经过原点，则中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高一下·陕西榆林·期末）已知直线与圆交于两个不同点，则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相离 C．外切 D．相交 12．（22-23高二下·广西河池·期末）已知圆，点为圆上一动点，为坐标原点，则下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．直线的斜率范围为 D．以线段为直径的圆与圆的公共弦方程为 13．（2023·广东深圳·一模）设，，，O为坐标原点，则以为弦，且与AB相切于点A的圆的标准方程为 ；若该圆与以OB为直径的圆相交于第一象限内的点P（该点称为直角△OAB的Brocard点），则点P横坐标x的最大值为 ． 14．（23-24高三上·湖北武汉·阶段练习）圆心在直线上且与直线相切于点的圆的方程是 ． 15．（2022高二上·全国·专题练习）已知直线：与轴相交于点，过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，两点，记是的中点，则的最小值为 ． 16．（2024·湖南长沙·一模）已知，，，若在圆（）上存在点满足，则实数的取值范围是 . 17．（2024·福建漳州·一模）过点作圆：的两条切线，切点分别为A，，若直线与圆：相切，则 ． 18．（2023·河南·模拟预测）已知点，点是直线上任意一点，且，则实数的取值范围是 ． 19．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期末）平面直角坐标系中，，过点作两条直线，被圆M截得弦AB，CD，满足.设线段AC的中点为N，则的最小值为 . 20．（2021·全国·高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 21．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程. 22．（16-17高二上·海南·阶段练习）已知点，求 (1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程； (2)过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程. 23．（21-22高一下·河南焦作·期末）已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 24．（20-21高二上·四川成都·期中）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程． (2)直线与圆交于两点，问：在直线上是否存在定点；使得（分别为直线的斜率）恒成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（2023·河北·三模）已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 26．（22-23高二上·湖北孝感·期末）已知圆心在轴上的圆与直线切于点. (1)求圆的标准方程； (2)已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，.求的最大值． 27．（23-24高二上·重庆南岸·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，记为线段的中点，求的轨迹方程； 28．（21-22高二·全国·课后作业）已知圆：与：相交于A、B两点． (1)求公共弦AB所在的直线方程； (2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程； (3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程． 29．（13-14高二上·重庆·期末）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 30．（22-23高二上·河南驻马店·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)直线过点且与点的轨迹只有一个公共点，求直线的方程． 31．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 32．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点. (1)求圆O和椭圆C的方程； (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值. 33．（24-25高二上·江西赣州·开学考试）若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： (1)求圆C的方程． (2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 34．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过点分别作直线，交圆于四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 35．（22-23高二上·天津武清·阶段练习）已知圆M与直线相切于点，圆心M在轴上． (1)求圆M的标准方程； (2)若直线与圆M交于P，Q两点，求弦的最短长度； (3)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A，B两点，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于C，D两点，记，的面积为，，求的最大值． 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D C D A D A A B 题号 11 12 答案 D AC 1．D 【难度】0.65 【知识点】切点弦及其方程 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程． 【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ， 当直线时，， ，此时最小． ∴即 ，由解得， ． 所以以为直径的圆的方程为，即 ， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 2．A 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程. 【详解】圆经过点，， 可得线段的中点为，又， 所以线段的中垂线的方程为， 即， 由，解得， 即，圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 3．D 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程、相交圆的公共弦方程 【分析】 求出的圆心和半径，由几何关系得到四点共圆，设，得到的圆的方程，与相减后得到直线的方程，求出直线过定点坐标. 【详解】圆C：①的圆心为，半径为2， 过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，故四点共圆， 其中的中点为该圆心，为直径， 设，则的中点为， ， 故过的圆的方程为， 变形得到②， 由①②相减可得直线的方程，即， 整理得， 令，解得， 故直线过定点坐标. 故选：D 4．C 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求得与圆相切且时的长，根据圆与直线的位置关系求得点的横坐标的取值范围. 【详解】圆的圆心为，半径， 当与圆相切且时，， 以为圆心，半径为的圆的标准方程为， 由消去并化简得， 解得或，所以点的横坐标的取值范围. 故选：C 5．D 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹，再利用圆的几何性质求解即得. 【详解】圆的圆心，半径， 由切圆于点，且为直角三角形，得，连接， 则，即四边形是正方形，， 因此点在以点为圆心，为半径的圆上，而， 于是，所以的取值范围为. 故选：D 6．A 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】求出以、为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程． 【详解】圆的圆心为，半径为2， 以、为直径,则的中点坐标为，， 以为圆心，为直径的圆的方程为， 因为过点圆的两条切线切点分别为A，B， 所以是两圆的公共弦， 将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为：. 故选：A． 7．D 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题——圆、求平面两点间的距离 【分析】设，根据求出点的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解. 【详解】设，因为点，，， 所以即， 所以，可得圆心，半径， 由圆可得圆心，半径， 因为在圆上存在点满足， 所以圆与圆有公共点， 所以，整理可得：， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 8．A 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求积的最大值、轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】分析可知，，点的轨迹方程为，整理可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】对于圆，整理可得：， 可知圆心为，半径为， 令，则，解得或，即； 令，则，解得或，即； 因为与相外切，则， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，    则点的轨迹方程为， 可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为20. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知点的轨迹方程为，且，进而利用基本不等式即可得结果. 9．A 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、轨迹问题——圆 【分析】由已知可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】当时，，此时，交点为. 当时，由，斜率为， 由，斜率为，， 综上，. 又， 直线恒过， ，直线恒过， 若为的交点，则，设点， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为， 即，则有. 又，易知O、Q在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， . 所以， 又， 所以， 如图，当且仅当三点共线，且位于之间时，等号成立 即最小值为. 故选：A.    10．B 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、圆的弦长与中点弦、轨迹问题——圆 【分析】由题意可得，设，用表示出，化简即可求得答案. 【详解】由题意可得：,连接,则， 则， 由圆可知, 设，则， 化简得：， 即点的轨迹方程为， 故选：B 11．D 【难度】0.65 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、判断圆与圆的位置关系、直线过定点问题 【分析】由直线过定点且定点在圆内，当弦最短时直线垂直，根据斜率乘积为求出，进而求出圆的方程，再根据圆心距与两圆半径的关系确定答案. 【详解】易知直线过定点，弦最短时直线垂直， 又，所以，解得， 此时圆的方程是. 两圆圆心之间的距离， 又，所以这两圆相交. 故选：D. 12．AC 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、相交圆的公共弦方程 【分析】首先判断点在圆外，则，即可判断A，根据判断B，设直线，利用点到直线的距离公式得到不等式，解得的取值范围，即可判断C，求出以为直径的圆的方程，两圆方程作差即可求出公共弦方程. 【详解】圆的圆心，半径， 又，所以，即点在圆外， 所以，故A正确； ，当且仅当在线段与圆的交点时取等号，故B错误； 设直线，根据题意可得点到直线的距离，解得，故C正确； 设的中点为，则，又， 所以以为直径圆的方程，显然圆与圆相交， 所以公共弦方程为，故D错误．      故选：AC． 13． /0.8 【难度】0.4 【知识点】相交圆的公共弦方程、过圆上一点的圆的切线方程、由圆心（或半径）求圆的方程、对勾函数求最值 【分析】以为弦的圆的圆心记作，易得圆心在线段的垂直平分线，且通过可得，得到直线的方程即可求出圆的方程；先求出以为直径的，然后两圆进行相减得到公共弦方程，代入可得点P横坐标，然后用对勾函数即可求得最值 【详解】以为弦的圆的圆心记作，且圆心在线段的垂直平分线上， 与直线相切于，则， 由可得，所以直线为， 将代入直线可得圆心为，， 所以所求的圆的标准方程为①； 以为直径的圆的圆心，半径为1， 则的方程为②， ①②可得，即为与的公共弦所在直线的方程， 将代入可得， 因为交点在第一象限，所以，所以， 令，（当且仅当时取等号）则 所以交点的横坐标 由对勾函数可得在内单调递增，所以当时，取得最小值，为， 所以交点的横坐标的最大值为 故答案为：； 【点睛】关键点睛：本题的关键是求出交点的横坐标后，利用换元法、构造函数法，结合对勾函数的单调性进行解题. 14． 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据给定条件，求出过切点的圆半径所在直线方程，进而求出圆心坐标即可作答. 【详解】依题意，过切点的圆的半径所在直线方程为，即， 由解得，因此所求圆的圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 故答案为： 15． 【难度】0.4 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、过圆外一点的圆的切线方程、轨迹问题——圆 【分析】利用圆的性质，结合图像，把问题转化为跟圆有关的最值问题进行处理. 【详解】由题意设点，，， 因为，是圆的切线，所以，， 所以在以为直径的圆上，其圆的方程为: ，又在圆上， 将两个圆的方程作差得直线的方程为：， 即，所以直线恒过定点， 又因为，，，，四点共线，所以， 即在以为直径的圆上， 其圆心为，半径为，如图所示: 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 16． 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】设，求出点的轨迹为，从而转化为两圆有公共点，利用圆与圆的位置关系从而可求解. 【详解】 设，将坐标代入式子，可得， 即，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 依题意，两圆有公共点，则，解得. 故答案为：. 17．81 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、切点弦及其方程、相交圆的公共弦方程 【分析】由题意可知点在以为直径的圆上，结合两圆相交可得直线的方程为，再根据直线与圆相切列式求解. 【详解】圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径； 由题意可知：，可知点在以为直径的圆上， 以为直径的圆为， 整理得，结合圆：， 两圆方程作差，可得直线的方程为，即， 若直线与圆：相切， 则，整理得. 故答案为：81. 18． 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求以线段为直径的圆的方程，可知直线与圆相离，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】因为线段的中点为，且， 可知以线段为直径的圆的圆心为，半径方程，方程为， 因为，则点在以线段为直径的圆外， 即直线与圆相离， 可得圆心到直线的距离，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：.    19． 【难度】0.4 【知识点】向量与几何最值、轨迹问题——圆 【分析】设的中点为，根据题意，确定为定值，再根据向量的基本运算，结合为定值可确定的轨迹方程，求得的最小值即可 【详解】设的中点为，因为，故，由垂径定理，，故.即，所以，因为，且，故，即，故，故的轨迹方程为，所以的最小值为. 故答案为： 20．（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】求圆的一般方程、判断直线与圆的位置关系、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线的对称性的应用 【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论； （2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线， ， 所以抛物线的方程为， 与相切，所以半径为， 所以的方程为； （2）[方法一]：设 若斜率不存在，则方程为或， 若方程为，根据对称性不妨设， 则过与圆相切的另一条直线方程为， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意； 若方程为，根据对称性不妨设 则过与圆相切的直线为， 又， ，此时直线关于轴对称， 所以直线与圆相切； 若直线斜率均存在， 则， 所以直线方程为， 整理得， 同理直线的方程为， 直线的方程为， 与圆相切， 整理得， 与圆相切，同理 所以为方程的两根， ， 到直线的距离为： ， 所以直线与圆相切； 综上若直线与圆相切，则直线与圆相切. [方法二]【最优解】：设． 当时，同解法1． 当时，直线的方程为，即． 由直线与相切得，化简得， 同理，由直线与相切得． 因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为． 所以直线与相切． 综上所述，若直线与相切，则直线与相切． 【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路 21．(1) (2)或. 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可; （2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可. 【详解】（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍）， 所以圆的方程为. （2）设圆心到直线的距离为，则， 即，解得， 又，所以，解得， 所以直线的方程为或 . 22．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）所求的圆，即以AB为直径的圆，求出圆心和半径，可得结果； （2）解法一：求出的垂直平分线的方程是，又圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是，，可得圆的标准方程；解法二：利用待定系数法求解． 【详解】（1）当为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小． 即的中点为圆心，半径， 则圆的标准方程为． （2）解法一：的斜率为，则的垂直平分线的方程是，即， 由圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是． ． 故所求圆的标准方程是． 解法二：待定系数法 设圆的标准方程为， 则 故所求圆的标准方程为． 23．（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析. 【难度】0.65 【知识点】直线与圆中的定点定值问题、由直线与圆的位置关系求参数、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案； （2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案； （ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案. 【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a， 又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：. （2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点， 所以，即k的取值范围是. （ⅱ）设，由根与系数的关系：， 所以. 即直线OA,OB斜率之和为定值. 24．(1) (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）的垂直平分线与直线的交点就是圆心，求出圆心即可得到半径，圆的方程得解； （2）联立直线与圆的方程，消去y整理得，根据建立等式，结合韦达定理求出定点即可. 【详解】（1）由，，可知线段的中点为，， 的垂直平分线的斜率为，的垂直平分线的方程为. 的垂直平分线与直线的交点即为圆心，由，解得， 即，又圆的半径， 圆的方程为； （2）由，消去整理得. 设，，，，，. 设，则，. 由，即有，即， 即，将式代入得， 解得，故点的坐标为，. 所以在直线上存在定点，使得恒成立. 25．(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）法一：由确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积； 法二：由确定点M与点P坐标满足的等式，求得坐标，确定直线方程，后同法一. 【详解】（1）设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. （2）当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 法二：设 由题意可得，解得，即点 又， ∴直线的方程为 ，则直线的方程为，且 点到直线的距离为 故的面积 26．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】已知切线求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出直线的方程，并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得的表达式，结合换元法以及基本不等式求得的最大值. 【详解】（1）由圆心在轴上的圆与直线切于点，设， 直线的斜率为， 则，所以． 所以，所以，，即， 所以圆的标准方程为． （2）设直线，与圆联立方程组， 可得， ，由根与系数的关系得，， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以的最大值为. 【点睛】本题的难点在于第二问，求最值.求解最值有关的题目，首先要将表达式求出，本题是结合根与系数关系求得表达式.然后根据表达式的结构来选择求最值的方法，可考虑二次函数的性质、基本不等式或函数的单调性来求解最值. 27．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）先求的垂直平分线方程为，与的交点即圆心，圆心到点的距离即为半径，即可得圆的标准方程. （2）由为线段的中点得到坐标与坐标的关系，代入圆方程可得轨迹方程. 【详解】（1），的中点坐标为，直线的斜率为， 故线段的垂直平分线方程为，即， 联立得，即圆的圆心为，半径为， 故圆的方程为 （2）设，，因为线段的中点， 所以，则， 因点在圆上运动，所以， 则， 即的轨迹方程为. 28．(1)x－2y＋4＝0 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由圆与圆的位置关系确定圆的方程、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）两圆相减，可得公共弦所在直线方程； （2）首先设圆系方程（为常数），根据圆心在直线上，求，即可求得圆的方程； （3）面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，即可求得圆心和半径. 【详解】（1）将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程． （2）设经过A、B两点的圆的方程为（为常数）， 则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故， 解得，故所求方程为． （3）由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0， 与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为． 故面积最小的圆的方程为． 29．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 【详解】（1）易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为 （2）过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． 30．(1)； (2)或. 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）设，应用两点距离公式及已知条件，整理化简求轨迹方程； （2）由题意，直线与相切，讨论所求直线斜率，设直线方程，根据圆心与直线距离求参数求直线方程. 【详解】（1）设，由条件，则， 整理：，即点的轨迹方程为. （2）过点的直线与点的轨迹只有一个公共点，即直线与相切，    当直线的斜率存在时，不妨设， 则圆心到直线的距离，得：，此时； 当的斜率不存在时，直线此时直线与圆相切； 综上所述，满足题意得直线的方程为：或 31．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）设圆心，根据直线与直线垂直，根据直线的斜率关系可求出的值，可得出圆心的坐标，进而可求得圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，解出的值，综合可得出直线的方程. 【详解】（1）解：因为圆心在直线上，设圆心， 则与直线垂直，且直线的斜率为， 则，可得，解得， 所以，圆心的坐标为，则圆的半径为， 所以，圆的标准方程为. （2）解：由题意可知，圆心到直线的距离为， 若直线轴，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，可得，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 32．(1)圆O的方程为，椭圆C的方程为 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】椭圆中向量点乘问题、椭圆中的定值问题、利用椭圆定义求方程、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）根据题意，列方程组，解得，，，即可得出答案． （2）设，，，，分别代入椭圆与圆的方程，解得，，写出直线，的方程，进而可得，的坐标，计算，即可得出答案． 【详解】（1）由题意可得，解得，， 所以圆的方程为，椭圆的方程为． （2） 证明：设点P的坐标为，点Q的坐标为， 则，即， 又由，得点M的坐标为， 由，得点N的坐标为， 所以，，， 所以， 所以，即 33．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）由圆心既在线段的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与圆的方程； （2）利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得. 【详解】（1）因为和，线段的中点为，且， 则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上， 又已知圆心在轴上，令，得， 故圆心为，半径， 则圆圆C的方程为. （2）由圆心到直线的距离，. 故线段的长度为.    34．(1) (2)最大值14，最小值 【难度】0.65 【知识点】求圆的一般方程、圆的弦长与中点弦、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）计算出弦长后，圆心，借助公共弦的性质及题目所给条件计算即可得； （2）设点到的距离为，到的距离为，借助垂径定理及面积公式表示出四边形面积后，借助二次函数的性质计算即可得. 【详解】（1）由，可得其圆心为，半径， 点到的距离为， 故， 圆的圆心在直线上，设圆心， 由题意得，所以，解得，即， 到的距离， 所以的半径， 所以圆的方程：； （2）假设点到的距离为，到的距离为， 则， 因为，所以， 所以， 所以，所以四边形面积的最大值14，最小值． 35．(1) (2) (3)的最大值为 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、由圆心（或半径）求圆的方程、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）设圆的方程为，再由直线与圆相切于点，可得关于与的方程组，求得与的值，则圆的方程可求； （2）直线恒过定点，且该点在圆内，当直线截圆的弦以定点为中点时，弦长最短； （3）由题意知，，设直线的方程为，与圆的方程联立求得的坐标，同理求得的坐标，进一步求出与的坐标，写出，利用基本不等式求最值． 【详解】（1）解：由题可知，设圆的方程为， 由直线与圆相切于点， 得，解得，， 圆的方程为； （2）解：由直线 有：； 得，即 即直线恒过定点； 又，即点在圆内部； 圆的圆心为；设直线恒过定点； 当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最长，此时弦长最短； 此时，弦长最短为； （3）解：由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得，解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为， 同理可得：点的坐标为 由题可知：， ， 又，同理， ． 当且仅当时等号成立． 的最大值为． 【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查含参直线过定点问题及直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题． 答案第32页，共33页 答案第14页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $$