6.直线相关的对称问题-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

6.直线相关的对称问题 1．（21-22高一下·北京·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·广东广州·二模）已知椭圆C：（），过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·湖南长沙·开学考试）如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（    ）    A．， B．， C．， D．， 7．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 8．（2023高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 9．（2024·湖北·一模）设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 10．（21-22高二上·福建福州·阶段练习），，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（20-21高二上·安徽合肥·期末）已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．7 D． 12．（9-10高一下·广东河源·期末）已知，，从点射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 13．（22-23高三下·江西·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D．6 14．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高二上·四川遂宁·期末）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高二上·湖北·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（    ） A． B． C．1 D．2 18．（2023·贵州·模拟预测）已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 19．（2023·北京平谷·一模）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 20．（23-24高二上·四川达州·期中）已知椭圆，直线，若椭圆上存在关于直线对称的两点，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 21．（22-23高二上·浙江舟山·期末）已知点P在直线上,,则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 22．（23-24高二上·江苏·开学考试）已知点，，且点在直线：上，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．最大值为3 23．（2023·广东汕头·一模）已知直线：，：，圆C：，若圆C与直线，都相切，则下列选项一定正确的是（    ） A．与关于直线对称 B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9 C．圆C的圆心在直线或直线上 D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个 24．（22-23高二上·江苏徐州·期中）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线经过的点为（    ） A． B． C． D． 25．（2024·全国·模拟预测）已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．若点是圆上一点，则的最大值是 B．圆关于直线对称 C．若点是圆上一点，则的最小值是 D．直线与圆相交 26．（23-24高二上·贵州·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（    ） A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B．已知点，圆上的动点，则的最小值为 C．过点作圆的一条切线，切点为可以为 D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 27．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知抛物线上的两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，下列说法正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．是定值 C．是定值 D． 28．（2022·全国·模拟预测）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与圆相离 B．若直线是圆的一条对称轴，则 C．已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为 D．已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为 29．（22-23高三上·广东深圳·阶段练习）已知圆：，则（    ） A．圆关于直线对称 B．圆被直线截得的弦长为 C．圆关于直线对称的圆为 D．若点在圆上，则的最小值为5 30．（19-20高二上·山西·期中）（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 31．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．所有圆均不经过点 B．若圆关于直线对称，则 C．若直线与圆相交于、，且，则 D．不存在圆与轴、轴均相切 32．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为 ． 33．（23-24高二上·江西新余·开学考试）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为 ． 34．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为 ． 35．（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 36．（2023·浙江·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为.若关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则 . 37．（24-25高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 38．（2023高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程为 39．（2023·天津·二模）在中，，角为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是3，则 ；若，则函数的最小值为 . 40．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知点在直线上，点，则取得最小值时点坐标为 ． 41．（21-22高二下·广东广州·期末）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 42．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ． 43．（21-22高二上·江苏南通·阶段练习）已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 . 44．（23-24高二上·山西大同·阶段练习）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则 ． 45．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知，，动点P在直线上.则的最小值为 . 46．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）已知点、，在直线上，则的最小值等于 . 47．（2021高二·江苏·专题练习）设，求的最小值是 . 48．（21-22高一下·四川达州·期末）在直角坐标系中，若、、，则的最小值是 ． 49．（22-23高二上·广东梅州·阶段练习）已知直线，它关于直线对称的直线方程为 . 50．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知，则的最小值为 51．（2023高三·全国·专题练习）以为一个顶点，试在x轴上找一点B，直线l：上找一点C，构成，则的最小周长为 . 52．（22-23高二上·四川内江·期中）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 53．（2020高三·全国·专题练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 54．（22-23高二上·广东佛山·期中）已知圆C过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 55．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 56．（21-22高二·江苏·假期作业）已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． (1)求直线的方程； (2)求直线：关于直线的对称直线的方程． 条件①：点关于直线的对称点的坐标为； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直； 条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 57．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 58．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程． 59．（23-24高二上·江苏南通·开学考试）三角形的顶点，边上的中线所在直线为，A的平分线所在直线为． (1)求A的坐标和直线的方程； (2)若P为直线上的动点，，，求取得最小值时点P的坐标． 60．（22-23高二上·湖北黄冈·期中）已知在中，点，的角平分线为，边上的中线所在直线的为，求边所在直线l的一般式方程. 61．（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 62．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知点，，点A关于直线的对称点为B. (1)求的外接圆的方程； (2)过点作的外接圆的切线，求切线方程. 63．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知圆的方程为. (1)若圆与圆关于直线对称，求圆的方程； (2)若，圆与圆交于，两点，且，求圆的方程. 64．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）（1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程； （2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程. 65．（22-23高二上·江西新余·开学考试）已知圆过点，，且圆心在直线：上. (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程. (3)若点在直线上运动，求的最小值. 66．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求的面积． 67．（22-23高二上·广西贵港·期末）已知圆. (1)若过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，求的最大值. 68．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 69．（22-23高二上·浙江金华·期中）已知平面上有两点，和直线. (1)求过点的圆的切线的方程； (2)动点在直线上运动，求的最小值. 70．（18-19高一下·北京西城·期末）已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，的平分线BN所在直线方程为．求： (1)顶点B的坐标； (2)直线BC的方程． 试卷第10页，共11页 试卷第9页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B A D C B A B D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B C B C B C C B C D 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 D BCD ACD BC AB ABD ABD ABD BCD BD 题号 31 答案 ABD 1．A 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得. 所以点的坐标为 故选：A. 2．A 【难度】0.65 【知识点】两条直线的到（夹）角公式、求直线交点坐标、直线关于直线对称问题 【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解. 【详解】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 3．B 【难度】0.4 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】求出圆关于直线的对称圆的方程，由对称圆与圆有公共点可得答案． 【详解】圆的圆心为， 设关于直线的对称点为， 所以，解得， 关于直线的对称点为， 由题意得，以为圆心，以为半径的圆与圆有公共点， 所以，解得：. 故选：B．    【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出圆关于直线的对称的圆与圆有公共点，考查了学生思维能力. 4．A 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C，根据方向向量的直线斜率为，结合反射的性质可得，再结合等腰直角三角形的性质列式求解即可. 【详解】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C. 因为方向向量的直线斜率为，则，，又由反射光的性质可得，故，所以为等腰直角三角形，且到的距离为，又，故，，则，故，离心率. 故选：A 5．D 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 6．C 【难度】0.65 【知识点】直线两点式方程及辨析、求直线交点坐标、求点关于直线的对称点 【分析】作关于轴的对称点，作关于的对称点，连接交轴于，交于，有，即此时周长最小，求出点坐标，可得直线方程，与联立求出点坐标，令可得点坐标. 【详解】作关于轴的对称点， 作关于的对称点， 连接交轴于，交于，所以， 此时周长最小，即， 由，直线方程为，所以，解得， 所以，可得直线方程为，即， 由，解得，所以， 令可，所以. 故选：C.    7．B 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、求点关于直线的对称点 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程计算即可. 【详解】设，则，解得，. 因为在上，所以，解得，经检验，符合题意. 故选：B 8．A 【难度】0.65 【知识点】直线关于直线对称问题、由两条直线垂直求方程 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案 【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：A. 9．B 【难度】0.65 【知识点】向量模的坐标表示、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【详解】如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B 10．D 【难度】0.4 【知识点】求点关于直线的对称点、直线的一般式方程及辨析、已知两点求斜率 【分析】先根据题意求得关于直线对称的点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，再数形结合得到点的变动范围，从而得到，由此得解. 【详解】设直线方程为，则，解得，即，即， 设关于直线对称的点为，则，解得，即，， 同理可得： 点关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为， 如图所示： 利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点； 所以点之间为点的变动范围， 因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而， 所以，即. 故选：D 11．B 【难度】0.4 【知识点】求点关于直线的对称点、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为． ， 又，， ． 点关于轴的对称点为， ， 所以，， 故选：B． 12．C 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【详解】由题意直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ． 故选：C 13．B 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是4， 故选：B. 14．C 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】先将变形为，再根据其几何意义数形结合转化为直线上动点到直线同侧两定点的距离之和，然后利用对称转化为异侧两点之间距离最短可求最小值. 【详解】设点为直线上的动点， 由， 则其几何意义为与的距离和与的距离之和， 设点， 则点关于直线的对称点为点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 15．B 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】求出点关于直线的对称点，再利用反射光线过点，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，化简得，解得， 故反射光线过点， 则反射光线所在直线的方程为. 故选：B. 16．C 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直. 【详解】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直， 则， 即点A坐标为. 故选：C 17．C 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】根据题意，建立坐标系，设点的坐标，可得关于直线的对称点的坐标，和关于轴的对称点的坐标，由，，四点共线可得直线的方程，由于过的重心，代入可得关于的方程，解之可得的坐标，进而可得的值，即可得答案． 【详解】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得，， 故直线的方程为， 又由，，，则 的重心为， 设，其中，点关于直线 的对称点，则有， 解得，即， 易得关于 轴的对称点， 由光的反射原理可知，，，四点共成直线的斜率， 故直线的方程为， 由于直线过 的重心，代入化简可得， 解得：或 舍，即，故， 故选：C． 18．B 【难度】0.65 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、求点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】先求出点关于线段的对称点的坐标，且有.根据几何意义，结合图象，即可得出取最小值时，点的位置，进而得出答案. 【详解】 如图，过点作点关于线段的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设，则，所以， 又，所以点到轴的距离为， 所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，过点作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值. 则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置. 因为，所以的最小值为. 故选：B． 19．C 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、圆的对称性的应用、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】 将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由，得， 所以圆心为，半径为， 由题意可得直线经过圆心， 故有，即， 所以半径为， 当时，圆C的半径的最小值为. 故选：C. 20．D 【难度】0.4 【知识点】求点关于直线的对称点、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】设椭圆上两点关于直线对称，则可设直线方程为，将其与椭圆方程联立，令，可算出的范围，又线段的中点也在直线上，结合韦达定理可以算出的关系式，从而得解. 【详解】设，线段的中点， 若此椭圆上存在不同的两点关于直线对称， 所以直线的方程可以设为， 联立，化为， ，解得， 而，所以，即， 代入直线可得， 所以，即实数m的取值范围是. 故选：D. 21．D 【难度】0.65 【知识点】直线方程的实际应用、求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】过点做关于直线的对称点,求出点坐标,则直线是线段的垂直平分线,则,的值即为所求. 【详解】解:由题知,过点做关于直线的对称点, 取直线上一点,连接, 连接交于点,连接,如图所示: 则有,解得,即, 因为关于直线对称, 所以直线是线段的垂直平分线, 所以,则, 当且仅当点运动到处时, 所以. 故选:D. 22．BCD 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】设，利用斜率公式判断A，利用距离公式判断B，化折线为直线，利用两点之间线段最短判断C，根据几何意义判断D. 【详解】对于A：设，若时，此时的斜率不存在， ，与不垂直，同理时与不垂直， 当且时，， 若，则， 去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误； 对于B：设，若，则， 即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确； 对于C：如图设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；    对于D：如下图，，当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确.    故选：BCD 23．ACD 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由标准方程确定圆心和半径、求点关于直线的对称点、求点到直线的距离 【分析】对于A，将线关于线对称转化为点关于线对称，利用点关于线对称的解决办法及点在直线上即可求解； 对于B，根据已知条件设出圆心，利用直线与圆的相切的条件及点到直线的距离公式即可求解； 对于C，利用圆的标准方程得出圆心和半径，利用直线与圆的相切的条件及点到直线的距离公式，结合点在直线上即可求解； 对于D，根据已知条件及选项C的结论，利用点到坐标轴的距离公式及半径的定义，结合点在直线上即可求解. 【详解】对于A，设直线：上任意一点关于直线对称的点为，则，解得，所以点在直线：上，所以与关于直线对称，故A正确； 对于B，因为圆C的圆心在x轴上，设圆心为，因为圆C与直线，都相切，所以，解得或，当时，；当时，，故B错误； 对于C，由圆C：，得圆心为，半径为，因为圆C与直线，都相切，所以，解得或，所以圆心在直线或直线上，故C正确； 对于D，由圆C：，得圆心为，半径为，因为圆与两坐标轴都相切，得圆心到轴的距离为，到轴的距离为，所以且，即，解得或，当时，由题意可知，解得或，当时，此时不满足，所以与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个，故D正确. 故选：ACD. 24．BC 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、求点关于直线的对称点、直线的点斜式方程及辨析、直线的倾斜角 【分析】先求点关于直线的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验 【详解】由题意知，，设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以反射光线所在的直线方程为， 所以当时，；当时，， 故选：BC 25．AB 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程、判断直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据点关于直线对称可得，进而可得圆方程，根据斜率的意义，结合直线与圆相切即可求解A，根据圆心在直线上即可求解B，根据点到直线的距离公式即可求解CD. 【详解】设圆的圆心为． 因为圆关于直线对称的圆的方程为， 圆的圆心为，半径为2，所以圆的半径为2， 两圆的圆心关于直线对称，则解得 所以，故圆的方程为． 对于A，的几何意义为圆上的点与坐标原点连线的斜率， 如图，过原点作圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，所以圆心到直线的距离，解得， 故由图可知的最大值是，故A正确；    对于B，圆心在直线上，则圆关于直线对称，故B正确； 对于C，表示圆上任意一点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离为，所以的最小值是，故C错误； 对于D，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故D错误． 故选:AB． 26．ABD 【难度】0.4 【知识点】切点弦及其方程、定点到圆上点的最值（范围）、求点到直线的距离、直线过定点问题 【分析】对A，转化为与直线距离为的两条直线与圆的交点个数即可；对B，由点与圆在直线的同侧，利用对称转化为异侧，则当四点共线时取最小值，且最小值为；对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点. 【详解】选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为， 由， 如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点， 另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确；    选项B，设点关于直线的对称点， 则，解得，即， 则， 即的最小值为，故B正确；    选项C，由切点为，则在中，， 当最小时，取最大值，最大， 过点作，垂足为，此时最小，最小值为， 即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；    选项D，设点，切点， 可得切线方程为，由点在切线上，得， 同理可得， 故点都在直线上， 即直线的方程为， 又由点在直线上，则， 代入直线方程整理得， 由解得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：ABD.    27．ABD 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线的方程求参数、抛物线中的参数范围问题、根据抛物线方程求焦点或准线、直线截距式方程及辨析 【分析】根据抛物线的性质可判定A选项；根据A、B关于直线对称及点在抛物线上可得，，，联立化简可判定B、C选项；再利用AB中点在抛物线内可得，结合直线方程可判定D选项. 【详解】根据抛物线的性质可知抛物线的焦点坐标为，即A正确； 设A、B的中点为D，则，易得①， 又②，且③，④， 将③④代入②可得：， 代入①可得， 故B正确，C错误； 所以A、B的中点坐标为， 则直线的方程为：， 令得：， 而位于抛物线内部，即，可得， 则．即D正确. 故选：ABD 28．ABD 【难度】0.4 【知识点】判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】根据圆心到直线的距离，可判断A项；直线是圆的一条对称轴，则直线过圆心，可判断B项；当与圆相切时，取得最大值，转化为圆心到直线的距离，可判断C项；利用弦长公式及直角三角形的性质，结合三角函数求最值，即可判断D项. 【详解】解：当时，直线：，圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆心相离，故A正确； 若直线是圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即，解得，故B正确； 当与圆相切时，取得最大值，只需此时，即时，故圆心到直线的距离，解得，故C错误； 设的中点为，，则，，故，当且仅当且点在点正上方时，等号成立，故D正确． 故选：ABD． 29．BCD 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、圆的对称性的应用、定点到圆上点的最值（范围）、圆的弦长与中点弦 【分析】利用圆的方程可求得圆心与半径，由直线不过圆心即可判断A；求出圆心到直线的距离，进而求得弦长，即可判断B；设圆关于直线对称的圆的圆心为，列方程组求出，由此可得所求圆的方程，即可判断C；表示与点的距离，求得，进而可得所求的最小值，即可判断D． 【详解】圆的一般方程为， ，故圆心，半径为＝5， ，则直线不过圆心，故A错误； 点到直线的距离， 则圆被直线截得的弦长为，故B正确； 设圆关于直线对称的圆的圆心为， 则，解得，即， 故圆关于直线对称的圆的方程为，即，故C正确； 表示与点的距离，又， 的最小值是，故D正确． 故选：BCD． 30．BD 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为， 则反射光线所在直线的方程为， 当时，；当时，. 故选：BD. 【点睛】结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）. 31．ABD 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】A假设存在圆经过点，将代入圆的方程判断是否有解；B由在直线上，代入即可判断；C几何法先求到直线的距离，结合点线距离列方程求；D根据题设，假设存在圆与数轴相切，判断是否有解. 【详解】A：将代入，则， 所以，此时， 所以不存在值，使圆经过点，对； B：若圆关于直线对称，则在直线上， 所以，则，对； C：由题意，到直线的距离， 所以，则，可得或，错； D：若圆与轴、轴均相切，则，显然无解，即不存在这样的圆，对； 故选：ABD 32． 【难度】0.65 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】两直线方程联立可求得交点在所求对称直线上；在直线上取一点，求得其关于直线对称的点的坐标，该点也在对称直线上；由直线两点式可整理得到结果. 【详解】设直线关于直线对称的直线为， 由得：，则点在直线上； 在直线上取一点，设其关于直线对称的点为， 则，解得：，即； 直线的方程为：，即. 故答案为：. 33． 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、求点关于直线的对称点 【分析】分别求点关于轴和直线的对称点，再根据几何关系求得直线的方程. 【详解】点关于轴的对称点为，设点关于的对称点为， 则，解得：，即, 由对称性可知，点在直线上， 所以，直线的方程为， 即.    故答案为： 34． 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据圆的性质可得，若求的最大值，转化为求的最大值，再根据点关于线对称的性质，数形结合从而得解. 【详解】如图所示， 圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为1， 可知， 所以， 若求的最大值，转化为求的最大值， 设关于直线的对称点为B，设B坐标为， 则 ，解得，故B， 因为，可得， 当P，B，A三点共线，即P点为时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 35． 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 36． 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】由点的对称性求出点坐标，和线段、，从而发现为直角，再由椭圆标准定义找到关系，并求出、的长度，最后在直角三角形中，求出的值. 【详解】 设关于直线的对称点， 由，得， 可知，，又知， 所以，则为直角， 由题意，点恰好在上，根据椭圆定义，得， ，设，则， 在直角三角形中，， 解得，从而，， 所以. 故答案为： 37． 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】利用所求表达式的几何意义，转化求解对称点的坐标，利用距离公式求解最小值即可．. 【详解】由题可知，表示的是 直线0上一点到定点的距离之差． 如图，设点关于直线对称的点为， 则，解得， 当三点共线时，最大， 即最大，最大值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 38． 【难度】0.65 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】因为两直线平行，设所求直线方程为，由直线与直线间的距离，求得b的值，得直线方程. 【详解】设所求直线方程为，且， 直线与直线间的距离为， 则直线与直线间的距离为，又，得， 所以所求直线方程为， 故答案为：. 39． / 【难度】0.4 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、用两点间的距离公式求函数最值、求点关于直线的对称点、求投影向量 【分析】根据投影向量的定义求出，即可求出，以点为原点，建立平面直角坐标系，在上取，使得，在上取点使得，求出点关于直线的对称点的坐标，再结合图象即可得解. 【详解】由向量在向量上的投影向量为， 得向量在向量上的投影向量的模为， 所以， 又因角为锐角，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则， 在上取，使得，则， 在上取点使得， 则， 直线的方程为，设点关于直线的对称点， 则，解得，所以， 则，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：以点为原点，建立平面直角坐标系，在上取，使得，在上取点使得，求出点关于直线的对称点的坐标，则是解决本题的关键. 40． 【难度】0.65 【知识点】直线综合、求点关于直线的对称点 【分析】作图分析，结合对称性将转化为，则点与在同一直线时，最小，求得此时点坐标即可. 【详解】解：如图， 设关于直线的对称点为，因为 所以，解得，则 所以，结合图形则当三点共线时，此时取得最小值，即在点位置时， 则，直线为 于是，解得，即，故取得最小值时点坐标为. 故答案为：. 41．（答案不唯一，或均可以） 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、圆的公切线方程 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，圆心距为，所以两圆外切， 如图，有三条切线，易得切线的方程为； 因为，且，所以，设，即，则到的距离，解得（舍去）或，所以； 可知和关于对称，联立，解得在上， 在上取点，设其关于的对称点为，则， 解得，则， 所以直线，即， 综上，切线方程为或或. 故答案为：（答案不唯一，或均可以） 42． 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意利用轴对称的性质算出对称点Q的坐标，结合点Q在已知圆的内部，建立关于的不等式，解出实数的取值范围． 【详解】设与关于直线对称，则，解得，即， 因为在圆的内部， 所以，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：． 43． 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】求得关于直线的对称点，直线即反射光线所在直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则线段的中点为，直线的斜率为， 则，解得，则. 所以反射光线所在直线为直线， 直线的方程为，整理得. 故答案为： 44．1 【难度】0.65 【知识点】求两点的对称轴 【分析】根据直线对称的性质，结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可. 【详解】设点为点，点为点，所以线段的中点为. 设点为点，设点为点，所以线段的中点为， 由题意可知， 于是有： ， 故答案为：1 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据直线对称，得到斜率之间的关系. 45． 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】借助线段和的几何意义求解即可. 【详解】设关于直线对称对称点坐标为， 则，解得，即， ， 所以的最小值为. 故答案为：. 46．12 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】求出关于的对称点的坐标，则即为的最小值. 【详解】设关于的对称点为 则，解得，， ，则， 所以的最小值是12. 故答案为：. 47． 【难度】0.4 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、求点关于直线的对称点 【分析】由配方化简可得d可看作点和到直线上的点的距离之和，作关于直线对称的点，连接，计算可得所求最小值. 【详解】解： ， 即d可看作点和到直线上的点的距离之和， 作关于直线对称的点， 由题意得，解得 故， 则. 故答案为：. 48． 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】作点关于轴的对称点，由对称性可得，再利用当点为线段与轴的交点时，取最小值可得结果. 【详解】由题意可知，点在轴上，点关于轴的对称点为，由对称性可得， 所以，， 当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 49． 【难度】0.65 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】利用对称点的中点在对称轴上以及对称点线段与对称轴斜率互相垂直列出方程组，消去即可. 【详解】设对称的直线方程的点为，对称点为， 直线斜率为1， 则有，消去得， 故答案为： 50． 【难度】0.65 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、求点关于直线的对称点 【分析】由两点距离公式可将转化为 到，的距离和，先求得关于直线的对称点， 则即为距离和的最小值，由距离公式求即可. 【详解】， 设在直线上，点，， 则，， 则,    如图，关于直线的对称点为，则的最小值即为线段长， 设，则，解得，即， 故， 所以， 故答案为： 51． 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】求点关于x轴与直线l：的对称点，连接，由对称性可知，的周长为，其最小值为. 【详解】如图所示，令，分别为点关于x轴与直线l：的对称点， 并连接，，，则点的坐标为，    设点的坐标为，则，解得，于是点的坐标为. 由于， 因此的最小周长为. 故答案为： 52．(1)，， (2). 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标、求点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】（1）设点的坐标是，由的中点在直线上，求得点的坐标，再求出点关于直线的对称点即可求得直线的方程，联立方程组求出点坐标. （2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积. 【详解】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上， 于是，解得，即点， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以直线的方程为，点C的坐标为.    （2）由（1）得，点到直线的距离， 所以的面积. 53．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、求直线关于点的对称直线、直线关于直线对称问题 【分析】（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解得即可； （2）在直线上任取一点，利用（1）的做法求得对称点，再求出与的交点，由经过，两点，利用点斜式即可求得直线的方程； （3）任取上一点，求得其对称点，代入直线的方程即可求得直线的方程. 【详解】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为.    54．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程，联立直线l的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程； （2）根据点关于直线对称的特征列方程可得，利用直线点斜式方程即可得出结果. 【详解】（1）由，得直线AB的斜率为，线段中点 所以，直线CD的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆C的方程为； （2）由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心， 设点M关于直线的对称点， 则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上， 则有，解得，所以， 所以直线CN即为直线，且， 直线方程为，即.      55．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标、将军饮马问题求最值 【分析】（1）联立方程，求出交点，再由垂直关系得出斜率，进而写出直线方程； （2）由对称性得出点关于直线对称的点为，进而结合图像得出最值. 【详解】（1）解：联立，解得， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为； 故所求直线方程为，即 （2）设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 56．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程、直线关于直线对称问题 【分析】（1）计算直线的斜率，根据直线的平行或垂直关系得到斜率，代入点得到直线方程. （2）计算直线的交点，在直线上取一点，求其关于对称的点，根据交点和对称点得到直线方程. 【详解】（1）选择条件： 因为点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线． 因为，所以直线的斜率为，又线段的中点坐标为， 所以直线的方程为，即． 选择条件： 因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即． 选择条件， 因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即． （2），解得，故，的交点坐标为， 因为在直线：上，设关于对称的点为， 则，解得， 直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即， 所以：关于直线的对称直线的方程为． 57．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、求直线关于点的对称直线 【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可； （2）根据相关点法分析运算即可. 【详解】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在对称直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 58．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求点关于直线的对称点 【分析】（1）计算的垂直平分线，计算交点得到圆心，再确定半径得到答案. （2）根据垂直和中点得到关于直线对称的点为，即为所求直线. 【详解】（1），则的垂直平分线的斜率为，中点为， 故的垂直平分线为，，解得，即圆心为， 圆的半径， 故圆方程为. （2）反射光线恰好平分圆的圆周，故反射光线过圆心， 设关于直线对称的点为， 则，且，解得，即， ， 故反射光线为，即. 59．(1)，直线的方程为 (2) 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、用两点间的距离公式求函数最值、直线两点式方程及辨析 【分析】（1）设点A坐标并表示中点D坐标，由点在直线方程建立方程求解即可得A，利用角平分线的性质可得点B关于直线的对称点，从而求方程； （2）由两点之间的距离公式结合二次函数求最值计算即可. 【详解】（1）由题意可设，则，由直线，的方程可知： ，即， 设点B关于直线的对称点， 则中点坐标为，， 依题意有，解之得，即， 易知在直线上，故由两点式可得，化简得；    （2）由（1）所得方程，不妨设， 则， 由二次函数的性质可知当，上式取得最小值，此时. 60． 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、直线截距式方程及辨析 【分析】用待定系数法求出点，再利用点关于直线的对称求解，利用截距式方程求解化简即可. 【详解】设，因为在角平分线上，①， 因为、C中点在中线上，所以②， 联立①②解得，，所以， 设B点关于角平分线的对称点为， 因为，所以③， 因为B、N中点在上，所以④， 联立③④解得，，所以， l即为，化简有，所以. 61．(1)证明见解析 (2) (3)最小值为， 【难度】0.4 【知识点】已知直线垂直求参数、求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而可得点与的坐标，进而可得证； （2）由已知可得，进而可得参数，及圆的方程； （3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【详解】（1）由题意可得圆的方程为：， 化简可得， 与坐标轴的交点分别为：，， 为定值. （2）如图所示， ， 原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则，，三点共线， 又的斜率， ， 解得， 又，所以， 可得圆心， 圆的方程为：； （3）如图所示， 由（2）可知：圆心，半径，， 设点关于直线的对称点为， 则中点为， 且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：， 点为直线与直线的交点， 则，解得， 即点. 62．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、求过已知三点的圆的标准方程、求点关于直线的对称点、求点到直线的距离 【分析】（1）利用对称性质，由垂直与平分建立方程组得，结合图形可得为直角三角形，由几何法求出外接圆方程即可； （2）由题意得点在圆外，根据切线斜率是否存在分类讨论，结合相切的几何性质求解切线方程. 【详解】（1）点关于直线的对称点为， 设点，则 ， 解得，即，又， 所以，所以的外接圆是以线段为直径的圆， 因为，则圆的半径为， 又AB的中点为，即为圆心，设为， 所以的外接圆方程是.    （2）由（1）知，圆的方程为，已知点， 因为，则点在圆外， 则过点作圆的切线有两条. 当切线斜率存在时，设切线方程为， 即， 由题意得，圆心到直线的距离 ，解得， 所以切线方程为. 当切线斜率不存在时，切线方程为. 综上，切线方程为或.    63．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程、由圆与圆的位置关系确定圆的方程、两圆的公共弦长 【分析】（1）设点关于直线对称的点，则，解得、，即可求出圆的方程； （2）设圆的方程为（），由两圆的位置关系求出的取值范围，再两圆方程作差得到公共弦方程，再由弦长求出，即可得解. 【详解】（1）圆的方程为，则圆心，半径， 设点关于直线对称的点， 则，解得， 所以圆的方程为. （2）设圆的方程为（），圆的方程为， 因为圆与圆相交，则，所以， 可得两圆的方程相减，即为两圆公共弦所在的直线的方程即， 可得到直线的距离， 由弦长，可得，即，可得或， 所以圆的方程为：或. 64．（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】（1）利用倾斜角求出直线斜率，然后再利用点斜式即可求解直线方程， （2）利用点关于直线对称可得，即可根据两点坐标求解直线斜率，由点斜式求解直线方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，直线斜率为， 所求直线的方程为，即. （2）设关于直线对称的点为， 则解得 因为反射光线经过点， 所以所在直线的斜率为， 故反射光线所在直线方程为，即. 65．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求平面两点间的距离、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）由题意可求线段的中垂线方程，联立直线方程可得圆心，进而可得半径与圆的方程； （2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，求点关于直线的对称点，求出直线即为； （3）由题意设点的坐标为，根据两点间距离公式可得，进而可得最小值. 【详解】（1）由，，得直线的斜率为，线段中点， 所以，直线的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆的方程为； （2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心， 设点关于直线的对称点， 则直线与直线垂直，且线段的中点在上， 即，解得， 所以， 所以直线即为直线，且， 直线方程为，即； （3）由已知点在直线上， 设， 则， 所以当时，取最小值为. 66．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点到直线的距离、求点关于直线的对称点、直角坐标系中的基本公式 【分析】（1）由点在直线上，设，由为边上的中线，得出线段的中点在直线上，根据中点公式求出中点，代入直线的方程即可求解； （2）由是的一条角平分线，得出点关于直线的对称点在直线上，由点关于直线对称得出坐标，结合点的坐标求出直线的方程，再与直线联立求出的坐标，由两点之间距离公式求出，由点到直线距离公式求出到直线的距离，即可根据三角形面积公式代入计算即可． 【详解】（1）因为直线的方程为， 设，又， 所以线段的中点坐标为， 因为线段的中点在直线上， 所以，整理得，即， 所以． （2）因为是的一条角平分线， 所以点关于直线的对称点在直线上， 设， 则，解得， 所以， 所以直线的方程为，整理得， 联立直线与直线的方程，， 解得，即， 所以， 点到直线的距离， 所以． 67．(1)或 (2)8 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）分类讨论，当切线的斜率不存在，易求的方程为；当切线的斜率存在时，设出直线方程，然后利用点到直线距离等于半径建立方程求解即可； （2）根据圆的性质，利用三点共线的性质求解即可. 【详解】（1）若切线的斜率不存在，则的方程为； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为3，即，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. （2）因为，所以． 设关于直线对称的点为， 则，解得，即. 因为，所以. 因为，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以，故的最大值为. 68．【小题1】 【小题2】 【小题3】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、求直线关于点的对称直线、直线关于直线对称问题 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 69．(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、求点到直线的距离、求点关于直线的对称点、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）思路一：分切线斜率是否存在，结合相切的条件即可求解；思路二：设出切线方程，然后使用距离公式求解； （2）思路一：找点的对称点，将题目转换为将军饮马模型即可求解；思路二：先用不等式的性质证明，然后说明当，时等号成立，即可得到的最小值是. 【详解】（1）方法一：过点且斜率不存在的直线为， 圆的圆心到直线的距离， 即直线与圆相切，故满足题意； 当过点且斜率存在的直线为， 若直线与圆相切， 则，解得，此时满足题意的直线为， 综上所述，所求切线的方程为或. 方法二：所求切线经过点，设其方程为. 则该直线到点的距离为，即. 所以，此即，得. 故或，从而所求切线的方程为或. （2）方法一：如图所示： 设点关于直线的对称点，显然， 则，解得，所以的坐标为， 设与直线交于点， 则，等号成立当且仅当重合， 所以的最小值为. 方法二：设，则，从而. 故 . 从而 . 当，时，有，. 所以的最小值是. 70．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、求直线交点坐标、求点关于直线的对称点 【分析】（1）设，由AB中点在上，B在直线上，联立方程求出B的坐标； （2）求出A关于的对称点为的坐标，即可求出BC边所在直线的方程. 【详解】（1）设，由AB中点在上，可得 即，又，联立， 解得，即； （2）设A点关于的对称点为， 则有，解得，即， ∴BC边所在的直线方程为，即. 答案第62页，共62页 答案第43页，共63页 学科网（北京）股份有限公司 $$