5.直线过定点问题-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

5.直线过定点问题 1．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（21-22高二上·广东珠海·期末）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 3．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 5．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 7．（23-24高二上·江西·阶段练习）当直线被圆截得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 8．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（2022·辽宁大连·模拟预测）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（    ） A． B．5 C． D． 11．（2024·山东济宁·一模）已知为坐标原点，直线与圆相交于，两点，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 12．（23-24高二上·安徽六安·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 13．（23-24高二上·江苏·开学考试）已知圆C：，若点P在直线上运动，过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则直线过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 14．（2021·安徽宿州·模拟预测）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．6 15．（23-24高三上·辽宁鞍山·阶段练习）已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·四川巴中·模拟预测）已知函数的图象与直线有两个交点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 17．（22-23高三下·河南·阶段练习）直线被圆所截得弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高三上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，集合，集合，已知点，点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 19．（2024·安徽合肥·一模）已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（2023高三·全国·专题练习）已知直线，若无论取何值，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·江苏盐城·开学考试）下列说法错误的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．过两点的所有直线，其方程均可写为 D．已知，若直线与线段有公共点，则 22．（21-22高二上·重庆·期末）对于直线.以下说法正确的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 23．（20-21高二上·山东菏泽·阶段练习）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 24．（22-23高二上·浙江台州·期中）已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为 B．直线过定点 C．直线与圆相交且所截最短弦长为 D．直线与圆可以相切 25．（24-25高二上·福建三明·开学考试）以下四个命题为真命题的是（ ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是 D．直线恒过定点 26．（2023·广东肇庆·二模）已知圆，直线，则（    ） A．直线过定点 B．直线与圆可能相离 C．圆被轴截得的弦长为 D．圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 27．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线被圆截得的弦最长时， C．直线被圆截得的弦最短时， D．直线被圆截得的弦最短弦长为 28．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．已知点在圆上，则的最大值是4 B．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C．已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离 D．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 29．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知动直线：和：，是两直线的交点，、是两直线和分别过的定点，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．的最大值为10 D．的轨迹方程为 30．（2024高二上·江苏·专题练习）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 31．（2023·湖南·模拟预测）已知为圆上的两点，为直线上一动点，则（    ） A．直线与圆相离 B．当为两定点时，满足的点有2个 C．当时，的最大值是 D．当为圆的两条切线时，直线过定点 32．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为120° B．经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为 C．直线l：恒过定点 D．已知直线l过点，且与x，y轴正半轴交于点A､B两点，则△AOB面积的最小值为4 33．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆，直线.则下列命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为 34．（2024·山东·二模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．当直线平分圆时， D．当点到直线距离最大值时， 35．（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）过直线上一点作圆的两条切线.切点分别为，若四边形周长的最小值是6，则（    ） A． B．的最大度数为 C．直线必过点 D．的最小值为 36．（22-23高二上·四川遂宁·期中）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 37．（22-23高三上·江苏无锡·期末）函数的图象在点处的切线l恒过定点，则该定点坐标为 ． 38．（2024高二上·江苏·专题练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是 . 39．（2024·广东茂名·一模）动点与两个定点，满足，则点到直线：的距离的最大值为 . 40．（21-22高二下·四川南充·开学考试）设，圆，若动直线与圆交于点A、C，动直线与圆交于点B、D，则的最大值是 ． 41．（22-23高二下·湖南常德·期中）已知直线的方程为． (1)求直线过的定点P 的坐标； (2)直线与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于点A，B ，当面积最小时，求直线的方程； 42．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 43．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 44．（22-23高二上·湖北黄冈·期中）已知圆，直线. (1)求证：直线l与圆C恒有两个交点； (2)若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 45．（21-22高一上·浙江·期末）已知直线与圆交于两点． （1）求出直线恒过定点的坐标 （2）求直线的斜率的取值范围 （3）若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 试卷第8页，共8页 试卷第6页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C B B B C A D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C B D B B C A D D D 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 ACD BD ACD ABC BD AC ABC AD BC ABC 题号 31 32 33 34 35 答案 AD ACD ACD ACD ACD 1．C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 2．A 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围）、圆的弦长与中点弦 【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果. 【详解】由恒过， 又，即在圆C内， 要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短， 由，圆的半径为5， 所以. 故选：A 3．B 【难度】0.65 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题、轨迹问题——圆、圆的对称性的应用 【分析】根据题意分析可知点的轨迹是以的中点，半径的圆，结合圆的性质运算求解. 【详解】因为直线：，即， 令，解得，可知直线过定点， 同理可知：直线过定点， 又因为，可知， 所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆， 因为圆的圆心，半径， 所以的最大值是. 故选：B. 4．C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、直线过定点问题 【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 5．B 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】直线即，恒过定点， 曲线即表示以点为圆心，半径为1， 且位于直线上方的半圆（包括点，）， 当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为； 当与半圆相切时，由，得，切线记为， 分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是.    故选：B. 6．B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】根据直线方程，可得直线过定点，即可求出结果. 【详解】直线：，即， 由，得到，所以直线过定点， 当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为， 故选：B. 7．B 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围） 【分析】根据直线方程可得直线经过定点，再由圆心到直线距离最大时弦长最短，由斜率关系即可求得. 【详解】将直线的方程变形为， 由可导，所以直线经过定点， 圆的标准方程为，圆心为，因为，所以点在圆内， 故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时直线被圆截得的弦长最短， 因为，直线的斜率为， 所以，解得. 故选：B. 8．C 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线过定点问题、求平面两点间的距离 【分析】由直线的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线的方程. 【详解】直线的方程可化为， 联立，解得， 所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，， 所以直线的斜率， 所以， 所以， 所以，故， 所以直线的方程为. 故选：C. 9．A 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值. 【详解】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 10．D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题 【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得． 【详解】由题意直线过定点， 直线可变为，所以该直线过定点， 所以， 又， 所以直线与直线互相垂直， 所以， 所以即， 当且仅当时取等号, 所以，，即面积的最大值是. 故选：D. 11．C 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、直线过定点问题、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，从而得到直线恒过圆心，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】圆即，圆心为，半径， 又直线，令，则，即直线恒过点，即直线恒过圆心， 又直线与圆相交于，两点， 所以， 所以 . 故选：C 12．B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、直线综合、直线过定点问题 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：B. 13．D 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程、相交圆的公共弦方程 【分析】 求出的圆心和半径，由几何关系得到四点共圆，设，得到的圆的方程，与相减后得到直线的方程，求出直线过定点坐标. 【详解】圆C：①的圆心为，半径为2， 过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，故四点共圆， 其中的中点为该圆心，为直径， 设，则的中点为， ， 故过的圆的方程为， 变形得到②， 由①②相减可得直线的方程，即， 整理得， 令，解得， 故直线过定点坐标. 故选：D 14．B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先将直线方程变形得到定点的坐标，根据点在直线上确定出所满足的关系，最后根据“”的妙用求解出的最小值. 【详解】已知直线整理得：， 直线恒过定点，即. 点也在直线上， 所以，整理得：， 由于，均为正数，则, 取等号时，即， 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知，求的最小值的方法： 将变形为，将其展开可得，然后利用基本不等式可求最小值，即，取等号时. 15．B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】求出直线系所过定点，再由及直线系表示的直线可求出结果. 【详解】由直线，可得， 由可解的， 即直线过定点， 则, 当与直线垂直时，，当直线过点，即时，， 又直线无论取何值，不能表示直线， 所以， 故选：B 16．C 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、函数图象的应用、直线过定点问题 【分析】由直线过定点和函数图像的对称性结合即可； 【详解】由题意可得直线恒过点，且无论取何值，直线与函数都有两个交点， 所以分析函数的对称中心为， 所以，， 所以， 故选：C. 17．A 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、判断点与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】先判断直线与圆的位置关系，再由圆心与直线过的定点与直线垂直求解. 【详解】解：易知直线l过定点，圆心， 因为， 所以直线l与圆C相交， 当时，l被圆C所截得的弦最短， 此时弦长． 故选：A． 18．D 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求平面两点间的距离 【分析】将集合看作是直线的集合，求出定点坐标，即可得出答案. 【详解】集合可以看作是表示直线上的点的集合， 由变形可得，， 由可得，， 所以直线过定点. 集合可看作是直线上的点的集合， 由变形可得，， 由可得，， 所以，直线过定点. 显然，当点与点分别重合，且线段与直线都垂直时，有最大值. 故选：D. 19．D 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设，，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围. 【详解】即，则圆心为，半径， 直线，令，解得，即直线恒过定点， 又，所以点在圆内， 设，，，由， 消去整理得，显然，则， 则， 所以，， 则， 则， 又直线的斜率不为，所以不过点， 所以动点的轨迹方程为（除点外）， 圆的圆心为，半径， 又，所以， 即，即的取值范围为. 故选：D      【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点的轨迹，再求出圆心到原点的距离，最后根据圆的几何性质计算可得. 20．D 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线过定点的求法可求得直线恒过定点，由点在圆上或圆内即可构造不等式求得结果. 【详解】由得：， 由得：，即直线恒过定点， 当点在圆上或圆内时，直线与圆恒有公共点， ，即，又，， 即的取值范围为. 故选：D. 21．ACD 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知直线垂直求参数、直线两点式方程及辨析、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据两直线垂直的判断方法依次判断充分性和必要性可知A错误；由直线斜率和倾斜角关系可求得B正确；根据直线两点式方程无法表示的直线可知C错误；求得所过定点后，由两点连线斜率公式可求得临界状态，结合图象可确定D错误. 【详解】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线垂直，充分性成立； 若两直线垂直，则，解得：或，必要性不成立； “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错误； 对于B，由直线得：， 直线的斜率，即， 又，，B正确； 对于C，平行于坐标轴的直线，即或时，直线方程不能写为，C错误； 对于D，由得：，直线恒过定点；     ，， 结合图象可知：，，D错误. 故选：ACD. 22．BD 【难度】0.65 【知识点】直线综合、已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、求点到直线的距离 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 23．ACD 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线的一般式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】选项A可由含参直线的定点坐标求法可得；选项B当时，，重合；选项C由一般方程垂直时系数关系可得；选项D化为斜截式后，由斜率和和轴上的截距可判断. 【详解】选项A：：，令，得，过点，A正确； 选项B：当时，，重合，故B错误； 选项C：当时，由，得或2，故C正确； 选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：ACD 24．ABC 【难度】0.65 【知识点】直线交点系方程及应用、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】 根据圆的方程直接求出圆心判断A，直线恒过定点判断B，利用垂径定理结合圆的性质求出最短弦长判断C，利用直线恒过圆内定点判断D. 【详解】对于A，圆的圆心坐标为，正确； 对于B，直线方程即，由可得， 所以直线过定点，正确； 对于C，记圆心，直线过定点，则， 当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大， 此时直线截圆所得的弦长最小， 此时弦长为，正确； 对于D，因为，所以点在圆内，直线与圆必相交，错误. 故选：ABC 25．BD 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、求平行线间的距离 【分析】对于A，运用截距式和斜截式分情况讨论判断；对于B，由 ，得到倾斜角的范围判断；对于C，运用平行线间的距离公式计算判断；对于D，将方程化为，恒成立得到， 求出定点为判断即可. 【详解】对于A，当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设方程为，则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或，故A错误； 对于B，直线的斜率， 所以倾斜角的范围是，故B正确； 对于C，直线，即为， 故直线与直线之间的距离为，故C错误； 对于D，由， 得，由， 解得，所以定点为，故D正确. 故选：BD. 26．AC 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围）、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】直线，由求出定点，即可判断A；由点与圆心距离判断直线与圆位置关系，即可判断B；令，求出圆与y轴交点纵坐标可得弦长，即可判断C；根据直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求出直线的方程，即可判断D． 【详解】直线，由，得，即l恒过定点，故A正确； 点与圆心的距离，故直线l与圆C恒相交，故B错误； 令，则，可得，故圆C被y轴截得的弦长为，故C正确； 要使直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线， 所以直线l的斜率，可得，故直线l为，故D错误． 故选：AC． 27．ABC 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、判断点与圆的位置关系、过圆内定点的弦长最值（范围） 【分析】对于A：根据直线过定点分析判断；对于B、C、D：根据题意结合圆的性质运算求解. 【详解】对于选项A：直线的方程可化为， 令，解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于选项B：因为，即点在圆内， 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长， 此时，解得，故B正确； 对于选项C：当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 直线的斜率为，， 由，解得，故C正确； 对于选项D：此时直线的方程是， 圆心到直线的距离为， 可得， 所以最短弦长是，故D错误． 故选：ABC． 28．AD 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】利用三角代换可判断A；求出直线所过定点，结合图形可判断B；利用点到直线的距离公式可判断C；转化为两圆相交问题可判断D. 【详解】A选项，因为点在圆上， 所以， 当时，取得最大值4，故A正确； B选项，由，所以，即直线过点， 因为直线和线段相交，故只需或，故B错误； C选项，圆的圆心到直线的距离， 而点是圆外一点，所以， 所以，所以直线与圆相交，故C错误； D选项，与点的距离为1的点在圆上， 由题意知圆与圆相交， 所以圆心距，满足，解得，故D正确. 故选：AD 29．BC 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题、轨迹问题——圆 【分析】根据直线方程求出定点的坐标，判断A，证明直线垂直，判断B，再结合判断C，D. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点， 直线的方程可化为， 所以直线过定点， 所以点的坐标为，点的坐标为，所以A错误， 由已知， 所以直线与直线垂直，即，B正确， 因为，所以， 故， 所以，当且仅当时等号成立， C正确； 因为，故， 设点的坐标为， 则， 化简可得， 又点不是直线的交点，点在圆上， 故点的轨迹为圆除去点，D错误； 故选：BC.    30．ABC 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、直线平行、垂直的判定在几何中的应用、直线过定点问题 【分析】根据直线方程求出定点的坐标，利用两直线垂直的判断方法，勾股定理，三角函数辅助角求最值即可得解. 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点，故A选项正确； 又因为：，即恒过定点， 由 和, 满足， 所以, 可得, 故B选项正确； 所以, 故C选项正确； 因为, 设为锐角, 则, ， 所以, 所以当时, 取最大值, 故选项D错误. 故选：ABC. 31．AD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、定点到圆上点的最值（范围）、判断直线与圆的位置关系 【分析】利用点到直线的距离判断A；确定最大时的情况判断B；取AB中点D，由线段PD长判断C；求出直线AB的方程判断D作答. 【详解】对于A，因为到直线的距离，即直线与圆相离，A正确； 对于B，当A，B为过点P的圆O的切线的切点时，最大，而， 显然是锐角，正弦函数在上单调递增，， 因此最大，当且仅当最大，当且仅当最小，则有，此时， 所以当为两定点时，满足的点只有1个，B错误； 对于C，令AB的中点为D，则，，点D在以O为圆心，为半径的圆上， ，显然当在上运动时，无最大值，C不正确； 对于D，设，当为切线时，，点在以为直径的圆上， 此圆的方程为，于是直线为，即， 所以直线过定点，D正确. 故选：AD 32．ACD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的点斜式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线过定点问题 【分析】 对于A：先求斜率，进而可得倾斜角；对于C：整理得，令，运算求解即可；对于B、D：设直线l：，进而可得截距，根据题意结合基本不等式运算求解. 【详解】对于选项A：直线的斜率，倾斜角为120°，故A正确； 对于选项C：因为，整理得， 令，解得，所以直线l恒过定点，故C正确； 对于选项B、D：可知直线l的斜率存在，设为，则直线l：， 令，解得，即直线l在y轴上的截距为； 令，解得，即直线l在x轴上的截距为； 对于B：若在x，y轴上截距互为相反数，则，解得或， 所以直线方程为或，故B错误； 对于D：直线l与x，y轴正半轴交于点A､B两点，则，可知， 可得面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以△AOB面积的最小值为4，故D正确； 故选：ACD. 33．ACD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围）、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】将直线方程化为，可求得定点坐标；将代入圆的方程，即可求得两交点纵坐标，即可得到弦长；求出圆心到定点的距离，即可判断C项；由题意知，当圆心与定点的连线恰好与垂直时，弦长最短，可求出直线的斜率，代入点斜式方程即可判断D. 【详解】对于A，由已知可得，圆心，半径， 直线方程可化为， 由，可得， 所以直线恒过定点，A选项正确； 对于B，将代入圆的方程有，解得， 弦长为，B项错误； 因为点到圆心的距离为， 所以点在圆内，直线与圆恒相交，C项正确； 当圆心与定点的连线恰好与垂直时，圆心到直线的距离最大， 直线被圆截得的弦长最小，则的斜率应满足，所以， 代入点斜式方程有，即，D正确. 故选：ACD. 34．ACD 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、直线过定点问题、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系 【分析】对于A，将直线方程变形即可进一步判断；对于B，举反例即可判断；对于C，将圆心坐标代入直线方程即可验算参数；对于D，当点到直线距离最大值时，有，结合它们的斜率关系即可判断. 【详解】对于A，即，令，有，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心、半径为， 点到直线的距离为， 从而， 取，则此时有，故B错误； 对于C，当直线平分圆时，有点在直线上， 也就是说有成立，解得，故C正确； 对于D，点到直线距离满足，等号成立当且仅当， 而的斜率为， 所以当等号成立时有，解得，故D正确. 故选：ACD. 35．ACD 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、切线长、相交圆的公共弦方程 【分析】由圆的切线的性质可得四边形的周长，再求的最小值，结合条件列方程求，判断A，求的余弦及其最小值，结合余弦函数性质求的最大度数，判断B，求过点的圆的方程，再求其与圆的公共弦方程，确定其所过定点坐标，判断C，利用等面积法可得，由此可求的最小值，判断D. 【详解】因为方程可化为， 所以圆的圆心为，半径， 所以， 因为为圆的切线，切点分别为， 所以， 所以，， 如图四边形的周长， 因为四边形周长的最小值是6， 所以的最小值为， 所以点到直线的距离为， 所以， 所以，A正确； ，， 所以， 所以当取最小值时，取最小值为， 即， 又余弦函数在上单调递减， 所以，B错误； 因为， 所以点四点共圆，且线段为该圆的直径， 设， 过点的圆的方程为， 化简可得， 因为圆与圆相交， 将圆与圆方程相减可得 ， 化简可得， 故直线的方程为， 又由可得， 所以直线必过点，C正确； 因为的面积， 所以， 所以当取最小值时，取最小值为，D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题为直线与圆的综合问题，涉及直线外一点到直线的最小距离，直线过定点，圆的切线的性质，相交圆的公共弦的求法等方面，难度较大. 36．9 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 37． 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、直线过定点问题 【分析】利用函数值的定义及导数的几何意义，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】由题意可知，，切点， ， 所以函数的图象在点处的切线的斜率为 ， 所以函数的图象在点处的切线方程为， 即， 所以，解得， 所以切线方程恒过定点为． 故答案为：. 38． 【难度】0.4 【知识点】辅助角公式、由斜率判断两条直线垂直、直线过定点问题 【分析】可得直线分别过定点和且垂直，可得设，则，,,则，利用正弦函数的性质求值域即可． 【详解】由题意可知，动直线，经过定点， 动直线即，经过定点， 时，动直线和动直线的斜率之积为， 时，也垂直， 所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点， ， ． 设，则，， 由且，可得， ， ， ， ， ， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：因为，设，则，，则，即可求得的取值范围. 39． 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、判断点与圆的位置关系、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】 利用两点距离公式及已知求得的轨迹是圆心为，半径为2的圆上，再确定直线所过的定点并判断其与圆的位置关系，要使圆上点到直线距离最大，有圆心与定点所在直线与直线垂直，进而求最大值. 【详解】令，则，整理得， 所以的轨迹是圆心为，半径为2的圆上， 又直线：可化为，易知过定点， 由，故点在圆外， 则圆心与定点所在直线与直线垂直，圆心与直线距离最大， 所以点到直线距离的最大值为. 故答案为： 40． 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】， 圆心M(1，3)，半径r＝， 过定点E(2,1)， 过定点E(2,1)， 且⊥， 如图，设AC和BD中点分别为F、G，则四边形EFMG为矩形， 设，，则， 则＝ ，当且仅当即时取等号. 故答案为：. 41．(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、直线综合、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】（1）将直线的方程变形，列出方程组即可求解； （2）利用直线的截距式方程设出直线的方程，根据（1）的结论及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由题意，直线的方程可化为， 联立方程组解得， 所以直线过的定点． （2）设直线 ，则， 由 （1） 知，直线 过的定点，可得， 因为， 所以，解得， 当且仅当且即时，等号成立， 所以面积为 ， 此时对应的直线方程为，即． 42．(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线过定点问题 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 43．(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可得解. （2）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. 【详解】（1）证明：由可得：， 令， 所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 44．(1)证明见解析 (2)面积最大值为，或. 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系 【分析】（1）先证明直线过定点，再说明定点在圆内即可； （2）注意到，所以当时，可以求出面积的最大值，注意验证取等条件，进一步由点到直线的距离公式可以求出参数，由此即可得解. 【详解】（1）因为直线可变形为， 所以，解得， 故直线经过的定点为. 将点代入圆的方程有， 所以点在圆C的内部，所以直线l与圆C恒有两交点. （2）由（1）知，因为， 所以当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径. 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到， 所以，解得或. 故所求直线l的方程为或. 45．（1）；（2）；（3）为定值. 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）将直线方程整理后可得方程组，解方程组可求得定点坐标； （2）设直线方程，利用圆心到直线距离小于半径可构造不等式求得结果； （3）可设直线方程，与圆方程联立得到韦达定理的形式，由整理可得定值. 【详解】（1）将直线方程整理为：， 令，解得：，直线恒过定点； （2）设直线斜率为，由（1）可知：直线方程可设为：，即； 圆方程可整理为，则其圆心，半径， 直线与圆交于两点，圆心到直线距离， 即，解得：，即直线斜率的取值范围为； （3）设， 当时，与圆仅有一个交点，不合题意，， 则直线，可设直线方程为， 由得：，由（2）知：； ，， ， 为定值. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆中的定值问题的求解，解题关键是能够将所求量表示成韦达定理的形式，通过韦达定理代入整理，消去变量即可得到定值. 答案第34页，共35页 答案第12页，共36页 学科网（北京）股份有限公司 $$