3.待定系数法求直线方程-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

3.待定系数法求直线方程 1．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 2．（2023·山东·一模）由点射出的两条光线与分别相切于点，，称两射线，上切点右侧部分的射线和优弧右侧所夹的平面区域为的“背面”．若处于的“背面”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知实数满足曲线的方程，则下列选项错误的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 4．（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·浙江台州·期中）在两坐标轴上的截距相等，且与圆相切的直线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（21-22高二上·江苏南通·阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（      ） A．4条 B．2条 C．3条 D．1条 7．（22-23高二上·吉林长春·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则的面积为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 8．（22-23高二上·河南郑州·阶段练习）某直线l过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（    ） A． B． C．或 D．或 9．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆的内部，则 B．若，则圆的公共弦所在的直线方程是 C．若圆外切，则 D．过点作圆的切线，则的方程是或 10．（24-25高二上·福建三明·开学考试）以下四个命题为真命题的是（ ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是 D．直线恒过定点 11．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为120° B．经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为 C．直线l：恒过定点 D．已知直线l过点，且与x，y轴正半轴交于点A､B两点，则△AOB面积的最小值为4 12．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）下列选项正确的是（    ）． A．过点且和直线平行的直线方程是 B．若直线l的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 C．若直线与平行，则与的距离为 D．圆和圆相交 13．（2023·河南开封·一模）已知圆，直线，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则切线长取最小值时，下列结论正确的是（    ） A． B． C．的方程可以是 D．的方程可以是 14．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为； B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．已知，O为坐标原点，点是圆外一点，且直线m的方程是，则直线m与圆E相交； D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为； 15．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是 D．直线过定点 16．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 C．圆过定点 D．椭圆的方程为，它的焦距为6，短轴长为4 17．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 18．（2023·江苏·二模）过点且与圆：相切的直线方程为 19．（2023·福建·模拟预测）写出过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程 . 20．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 21．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 . 22．（21-22高二上·北京·阶段练习）过点的圆的切线方程为 ． 23．（2023高三·全国·专题练习）已知椭圆，过点作椭圆的切线，则切线方程为 . 24．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为 ． 25．（2023·河南开封·三模）已知点M在圆上，直线与x轴、y轴的交点分别A、B，则的最小值为 . 26．（22-23高三下·重庆渝中·阶段练习）已知圆，圆，请写出一条与两圆都相切的直线的方程： . 27．（22-23高二下·湖南常德·期中）已知直线的方程为． (1)求直线过的定点P 的坐标； (2)直线与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于点A，B ，当面积最小时，求直线的方程； 28．（21-22高二上·湖北黄石·阶段练习）已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， (1)求三角形面积取最小值时直线的方程； (2)求取最小值时直线的方程． 29．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 30．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知动点与两个定点，的距离的比是2. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 31．（21-22高二下·上海杨浦·阶段练习）如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 32．（23-24高二上·全国·单元测试）圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点. (1)当弦AB最长时，求直线l的方程； (2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程. 33．（21-22高二·全国·课后作业）已知圆． (1)直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值． 34．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆． (1)直线过点且与圆相切，求直线的方程； (2)圆与圆交于两点，求公共弦长． 35．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知抛物线的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”． (1)设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程； (2)已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2． 36．（22-23高三·全国·对口高考）过点作直线分别交，的正半轴于，两点．    (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程； (3)当取最小值时，求直线的方程． 37．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上． (1)求圆的方程； (2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程． 38．（21-22高二·全国·课后作业）已知一条动直线，直线l过动直线的定点P，且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． (1)是否存在直线l满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． (2)当取得最小值时，求直线l的方程． 39．（22-23高二上·福建宁德·阶段练习）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线和的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 40．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 41．（2013·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上. （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 42．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线：，直线，且点在抛物线上． (1)若点在直线上，且四点构成菱形，求直线的方程； (2)若点为抛物线和直线的交点（位于轴下方），点在直线上，且四点构成矩形，求直线的斜率． 43．（22-23高二·全国·课堂例题）直线l过点，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点. (1)若，求直线l的方程； (2)当的面积为6时，求直线l的方程. 44．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，. (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 45．（21-22高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 46．（22-23高二上·黑龙江鹤岗·期中）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 47．（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）已知直线经过点. (1)若直线到原点的距离为1，求直线的方程； (2)若直线与轴､轴的正半轴分别交于两点，求的最小值，并求此时直线的方程. 48．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）过点的直线为为圆与轴正半轴的交点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程： (2)证明：若直线与圆交于两点，直线的斜率之和为定值. 49．（2024高三·全国·专题练习）已知一条直线l过点P（1，4），且分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点，求： (1)△AOB面积的最小值，及此时直线l的方程； (2)OA＋OB取最小值时的直线l的方程； (3)PA·PB取最小值时的直线l的倾斜角． 50．（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且经过点和． (1)求圆的标准方程； (2)若自点发出的光线经过轴反射后，其反射光线所在的直线与圆相切，求直线的方程． 51．（21-22高二上·上海杨浦·阶段练习）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线 经过点且与曲线只有一个公共点，求直线 的方程． 52．（19-20高二上·山西吕梁·期末）已知线段AB的端点B的坐标为，端点A在圆C：上运动. (1)求线段AB的中点M的轨迹； (2)过B点的直线L与圆C有两个交点A，D.当时，求L的斜率. 53．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线l经过点，且点到直线l的距离为1． (1)求直线l的方程； (2)O为坐标原点，点C的坐标为，若点P为直线上的动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标． 试卷第8页，共9页 试卷第4页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C D C D D BCD BD 题号 11 12 13 14 15 16 答案 ACD AD ACD BC BD ABD 1．B 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、由直线的交点坐标求参数、求点到直线的距离 【分析】由交点在两条直线，代入点的坐标得的关系，再将关系变形代入点到直线的距离公式消元求最值可得. 【详解】因为两直线交于， 则，即，且，则； 由原点到直线的距离 由， 则，当且仅当时，取最大值，此时. 即两直线重合时，原点到直线的距离最大. 故选：B. 2．D 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设过点的切线方程为，进而可得切线方程，利用新定义可求的最值，进而可求实数的取值范围． 【详解】解：设过点的切线方程为， ，， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 处于的“背面”， 与相切时取最小值，由，解得或， 结合图形可得的最小值为， 同理与相切时可得的最大值为， ． 故选：D． 3．C 【难度】0.65 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、已知点到直线距离求参数、过圆上一点的圆的切线方程、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】选项A转化为两点间距离公式的平方即可求解；选项B转化为斜率即可求解；选项C转化为点到直线的距离的倍即可求解；选项D设出切线方程，根据点到直线的距离为半径即可求解 【详解】的方程可化为， 它表示圆心，半径为的圆. 对选项A：表示圆上的点到定点的距离的平方， 故它的最大值为，A正确； 对选项B：表示圆上的点与点的连线的斜率， 由圆心到直线的距离， 可得，B正确； 对选项C：表示圆上任意一点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离， 所以其最小值为，故C错误； 对选项D：设过点作曲线的切线，则其斜率存在， 故可设切线方程为， 由，解得， 故切线方程为，故D正确. 故选：C. 4．C 【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析、由圆心（或半径）求圆的方程、切点弦及其方程 【分析】设，先利用两圆方程相减得到直线PQ的方程，再利用直线PQ过点求得t的值，进而得到直线PQ的方程. 【详解】圆C：的圆心为， 设，则以为直径的圆的方程为 与圆C的方程两式相减可得直线PQ的方程为 因为直线PQ过点，所以，解得． 所以直线PQ的方程为，即． 故选：C． 5．D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】分截距为零和截距不为零两种情况结合点到直线的距离公式求解即可 【详解】圆的圆心为，半径， 由题意可知切线的斜率存在， 当截距为零时，设切线方程为，即， 所以，化简得， 因为， 所以方程有两个不相等的根，所以过原点的切线有两条， 当截距不为零时，设切线方程为，即， 所以，解得或， 所以不过原点的切线为或，有2条， 综上，在两坐标轴上的截距相等，且与圆相切的直线有4条， 故选：D 6．C 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】考虑截距为0，截距相等且不为0，截距互为相反数且不为0，求出相应的方程，得到答案. 【详解】当截距为0时，设直线方程为，将代入，求得， 故方程为； 当截距不为0时， ①截距相等时，设方程为， 将代入，即，解得：，故方程为； ②截距互为相反数时，设直线方程为， 将代入，即，解得：，故方程为； 一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条. 故选：C 7．D 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标、求平面两点间的距离、求点到直线的距离 【分析】 根据给定条件，求出直线方程，与方程联立求出点的坐标，再设出点的坐标，并建立方程组求出的坐标，借助两点间距离、点到直线的距离求解作答. 【详解】依题意，，设直线的方程为，于是，解得， 即直线：，由解得，即有点，    设点，则线段的中点，于是，解得，即点， 因此点到直线的距离，， 所以的面积为. 故选：D 8．D 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线斜率的定义 【分析】讨论在x轴和y轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率. 【详解】当直线在x轴和y轴上的截距均为0时， 设直线的方程为，代入点，则，解得， 当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时， 设直线的方程为，代入点，则，解得， 所以所求直线的方程为，即， 综上，该直线的斜率是或． 故选：D 9．BCD 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程、由圆的位置关系确定参数或范围、相交圆的公共弦方程 【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确. 【详解】对于A，由点在圆的内部，得，解得，故错误； 对于B，若，则圆， 将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确； 对于C，圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 若圆外切，则，即，解得，故C正确； 对于D，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求， 当的斜率存在时，设的方程为， 圆心到的距离，解得， 所以的方程是，故D正确. 故选：BCD. 10．BD 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、求平行线间的距离 【分析】对于A，运用截距式和斜截式分情况讨论判断；对于B，由 ，得到倾斜角的范围判断；对于C，运用平行线间的距离公式计算判断；对于D，将方程化为，恒成立得到， 求出定点为判断即可. 【详解】对于A，当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设方程为，则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或，故A错误； 对于B，直线的斜率， 所以倾斜角的范围是，故B正确； 对于C，直线，即为， 故直线与直线之间的距离为，故C错误； 对于D，由， 得，由， 解得，所以定点为，故D正确. 故选：BD. 11．ACD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的点斜式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线过定点问题 【分析】 对于A：先求斜率，进而可得倾斜角；对于C：整理得，令，运算求解即可；对于B、D：设直线l：，进而可得截距，根据题意结合基本不等式运算求解. 【详解】对于选项A：直线的斜率，倾斜角为120°，故A正确； 对于选项C：因为，整理得， 令，解得，所以直线l恒过定点，故C正确； 对于选项B、D：可知直线l的斜率存在，设为，则直线l：， 令，解得，即直线l在y轴上的截距为； 令，解得，即直线l在x轴上的截距为； 对于B：若在x，y轴上截距互为相反数，则，解得或， 所以直线方程为或，故B错误； 对于D：直线l与x，y轴正半轴交于点A､B两点，则，可知， 可得面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以△AOB面积的最小值为4，故D正确； 故选：ACD. 12．AD 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、由两条直线平行求方程、求平行线间的距离、判断圆与圆的位置关系 【分析】对于A：根据题意可设直线方程是，代入点运算求解即可；对于B：根据斜率与倾斜角的关系结合图象分析求解；对于C：根据平行关系求的方程，进而结合两平行线间的距离公式运算求解；对于D：分别求圆心和半径，进而可得，根据两圆位置关系分析判断. 【详解】对于选项A：设与直线平行的直线方程是， 因为直线过点， 则，解得， 所以过点且和直线平行的直线方程是，故A正确； 对于选项B：因为，如图所示，    若，所以，故B错误； 对于选项C：若直线与平行， 则，解得， 可知，即， 所以与的距离为，故C错误； 对于选项D：圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为，且， 即，所以圆和圆相交，故D正确； 故选：AD. 13．ACD 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、过圆外一点的圆的切线方程、切线长 【分析】首先得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，即可求出，再求出过点与直线垂直的直线方程，联立两直线方程求出交点坐标，即为点坐标，再设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求出，即可得解. 【详解】圆圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为， 则切线长的最小值为，故A正确，B错误； 设过点与直线垂直的直线方程为，则，解得， 所以， 由，解得，所以， 显然过点的切线的斜率存在， 设切线的方程为，则，解得或， 所以切线的方程为或. 故选：ACD 14．BC 【难度】0.4 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、判断直线与圆的位置关系、求点到直线的距离、直线过定点问题 【分析】A选项，考虑截距为0时，求出直线l的方程为，A错误； B选项，得到圆心到直线的距离刚好为圆半径的一半，故可判断B正确； C选项，首先根据点在圆外得到不等式，再使用点到直线距离公式得到圆心到直线距离小于半径，从而得到C选项正确； D选项，求出直线过的定点，画出图象，结合定点与端点处连线的斜率，求出实数k的取值范围. 【详解】A：当截距为0时，设直线l的方程为，代入， 解得：，则直线l的方程为， 当截距不为0时，设直线l的方程为， 代入，解得：，此时直线l的方程为， 综上：直线l的方程为或.故A错误； B：圆的圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离为，刚好为半径的一半， 所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，故B正确； C：已知，O为坐标原点，点是圆外一点，所以， 直线m的方程是，则圆心到直线m的距离为，所以直线m与圆E相交，故C正确； D：直线整理为，即过定点， 如图所示， ，， 要想直线与以，为端点的线段相交， 则实数k的取值范围为或，故D错误. 故选：BC 15．BD 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、求平行线间的距离 【分析】分直线是否过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可判断A；求出直线斜率的范围即可判断B；根据两平行直线的距离公式即可判断C；根据直线过定点问题即可判断D. 【详解】对于A，当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或，故A错误； 对于B，直线的斜率， 所以倾斜角的范围是，故B正确； 对于C，直线，即为， 故直线与直线之间的距离为，故C错误； 对于D，直线，即为， 令，解得， 所以直线过定点，故D正确. 故选：BD. 16．ABD 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的斜截式方程及辨析、圆过定点问题、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据直线斜率即可计算倾斜角判断A，根据直线是否过原点分类讨论求解直线方程即可判断B，把圆的方程变形，列式求解即可得定点判断C，根据椭圆的几何性质即可求解判断D. 【详解】对于A，直线的斜率为：，则其倾斜角的正切值为，而，错误； 对于B，若直线过原点，则方程为：， 若直线不过原点，则设直线的方程为，由题意，解得， 所以直线方程为，即，综上，直线的方程为或，错误； 对于C，，即， 令，解得， 所以圆过定点，正确； 对于D，因为椭圆的方程为，所以，，所以， 所以椭圆的焦距为，短轴长为，错误. 故选：ABD. 17．或或 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 18．或 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解． 【详解】解：将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意； 当过点的直线斜率存在时， 可设直线方程为，即， 利用圆心到直线的距离等于半径得，解得， 即此直线方程为， 故答案为：或 ． 19．（只需填其中的一个即可） 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心、半径.根据弦长，得出圆心到直线的距离.先判断斜率不存在时是否满足，然后设出斜率，得出直线方程，表示出圆心到直线的距离，得出方程，即可解出的值. 【详解】圆的方程可化为，圆心为，半径， 由弦长为可得，圆心到直线的距离. 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心在直线上，弦长为，不满足题意，所以直线的斜率存在. 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离，解得. 所以，直线的方程为或. 故答案为：. 20． 【难度】0.65 【知识点】直线交点系方程及应用 【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 21．或 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】先求已知两直线的交点坐标．设所求直线方程为，求所求直线在轴和轴上的截距，由条件列方程求，由此可得结论． 【详解】联立，解得， 所以直线与的交点坐标为， 由已知所求直线的斜率存在且不为， 故可设所求直线方程为，其中， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 由已知可得， 所以， 所以或， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或. 22．或 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解． 【详解】当切线的斜率不存在时， 切线的方程为，圆心到该直线的距离等于半径1，符合题意， 当切线的斜率存在时， 设过点的切线方程为，即， ∵圆心到直线的距离等于半径， ∴，解得， ∴切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 故答案为：或． 23．或 【难度】0.65 【知识点】点和椭圆的位置关系、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】首先判断点与椭圆的位置关系，分类讨论切线的斜率是否存在，设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程求参数k，即可写出切线方程. 【详解】因为，P在外部， 1.当斜率不存在时，易知为椭圆一切线； 2.当斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为， 代入中并整理得， 因为直线与椭圆相切，则，解得， 此时切线方程为； 所以切线方程为或. 故答案为：或. 24．或. 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程. 【详解】当直线过原点时，设直线，代入点，得，得， 即； 当直线不过原点时，设直线，代入点，得，得， 即，化简得. 综上可知，满足条件的直线方程为或. 故答案为：或. 25． 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】求出，，设，根据得到，得到，故. 【详解】中，令得，令得， 故，． 其中， 设，点M在圆上运动时，始终有，      设，则有， 又有，可得， 即，所以，故， ∴． 故答案为： 26．或或或（写出其中一个即可） 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线方程 【分析】首先判断两圆的位置关系，即可判断公切线的条数，设切线与两圆圆心连线的交点为，分切线为外公切线与内公切线两种情况讨论，分别求出点坐标，再设出切线方程，利用点到直线的距离等于半径求出参数的值，即可得到切线方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，则两圆相离，所以两圆有条公切线， 设切线与两圆圆心连线的交点为， ①当切线为外公切线时，，所以， 解得，所以，设公切线， 所以圆心到切线的距离，解得， 所以公切线为，即或； ②当切线为内公切线时，，，所以，所以，设公切线， 所以圆心到切线的距离，解得， 所以公切线为，即或； 所以两圆的公切线为或或或. 故答案为：或或或（写出其中一个即可） 27．(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、直线综合、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】（1）将直线的方程变形，列出方程组即可求解； （2）利用直线的截距式方程设出直线的方程，根据（1）的结论及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由题意，直线的方程可化为， 联立方程组解得， 所以直线过的定点． （2）设直线 ，则， 由 （1） 知，直线 过的定点，可得， 因为， 所以，解得， 当且仅当且即时，等号成立， 所以面积为 ， 此时对应的直线方程为，即． 28．(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）由题意设，，由条件结合基本不等式求取得最小值时和的值即可求解； （2）结合（1），利用基本不等式计算取得最小值时和 的值即可求解； 【详解】（1）由题意设，，其中，为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当即时，取得最小值， 所以面积， 所以当，时，面积最小， 此时直线的方程为，即， （2）因为，， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以当，时，的值最小， 此时直线的方程为，即． 29．(1)或 (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、求直线交点坐标、已知点到直线距离求参数 【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可. （2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可. 【详解】（1）设原点O到直线m的距离为， 则，解得或； （2）由解得，即m与n的交点为. 当直线l过原点时，此时直线斜率为， 所以直线l的方程为； 当直线l不过原点时，设l的方程为， 将代入得， 所以直线l的方程为. 故满足条件的直线l的方程为或. 30．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆； （2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程. 【详解】（1）设点， 动点与两个定点，的距离的比是， ，即， 则， 化简得， 所以动点的轨迹的方程为； （2）由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 直线被曲线截得的弦长为， 圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 化简得，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程是或. 31．(1)证明见解析，定点坐标为； (2)； (3)． 【难度】0.4 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线过定点问题、直线围成图形的面积问题、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标； （2）求出定点在直线上，且，由得到，设出，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程； （3）作出辅助线，确定关于和的对称点，得到，由对称性得，写成直线方程. 【详解】（1）直线可化为， 令，解得，故直线经过的定点坐标为； （2）因为，，，所以， 由题意得直线方程为， 故直线经过的定点在直线上，所以， 设直线与交于点，所以， 即，所以， 设，所以，即， 所以，，所以， 将点坐标代入直线的方程，解得， 所以直线的方程为； （3）设关于的对称点，关于的对称点， 直线的方程为，即， 直线的方程为，所以， 解得，所以， 由题意得四点共线，，由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 32．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）弦AB最长时，直线l过点和圆心,可求方程； （2）根据弦长，求得圆心到直线距离，利用点到距离公式可求直线方程. 【详解】（1）圆C：化为标准方程为，则圆C的圆心为. 又弦AB最长时，直线l过点和，所以直线l的方程为， 即. （2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 弦长为时，由圆的半径为3，由垂径定理和勾股定理得， 圆心到直线距离为，即，解得， 此时直线l的方程为， 经检验k不存在时的直线也符合条件. 所以直线l的方程为或. 33．(1)x＝－1或4x－3y＋7＝0 (2) 【难度】0.65 【知识点】圆内接三角形的面积、圆的弦长与中点弦、过圆外一点的圆的切线方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】（1）根据直线的斜率是否存在，分别设出直线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径，即可解出； （2）根据弦长公式求出，再根据几何性质可知，当时，点P到直线距离的最大值为半径加上圆心到直线的距离，即可解出． 【详解】（1）由题意得C（2，0），圆C的半径为3． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0， 由直线与圆C相切，得，解得，所以直线的方程为4x－3y＋7＝0． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆C相切． 综上，直线的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0． （2）由题意得圆心C到直线的距离， 设圆C的半径为r，所以r＝3，所以， 点P到直线距离的最大值为， 则的面积的最大值． 34．(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、过圆外一点的圆的切线方程、两圆的公共弦长 【分析】（1）根据直线斜率是否存在分类讨论，再结合点到直线距离及直线与圆相切列出关系式求解即可得出答案. （2）先联立方程组求出公共弦所在直线方程；再根据点到直线距离求出圆心到直线的距离；最后根据弦长公式即可得出答案. 【详解】（1）由圆可得：圆心坐标为，半径为 1°若直线斜率不存在，则直线方程为，此时点到直线的距离为，故直线与圆相切，符合题意； 2°若直线斜率存在，设直线方程为，即. 由直线与圆相切可得：，解得． 此时直线的方程为：， 综上直线的方程为：或． （2）联立，得：直线方程为． 圆心到直线距离为， 故公共弦长． 35．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据及得到点C的坐标为，代入抛物线方程，求出，得到直线方程； （2）设直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出点A的坐标为，代入抛物线方程，得到，由根的判别式得到，所以，所以点A的横坐标，同理可证另两个顶点横坐标也小于2. 【详解】（1）设直线的方程为，与联立得， 由得， 设，则， 所以， 由题意知， 因为， 所以， 所以，故 即点C的坐标为，代入抛物线E的方程得：，解得， 满足条件， 所以直线的方程为． （2）证明：设直线的方程为，与联立得， ，所以， 所以． 由（1）知，所以， 即点A的坐标为． 又点A在抛物线上，所以，所以， 又，所以，所以点A的横坐标， 同理可证，B，C两点的横坐标也小于2． 所以三个顶点的横坐标均小于2． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 36．(1)，此时直线的方程为． (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）设，，，则直线的方程为，依题意可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解； （2）由（1）可知，利用基本不等式求出的最小值，即可求出此时、的值，从而求出直线方程； （3）依题意直线的斜率存在且，设直线，分别求出，的坐标，求出的方程，根据基本不等式的性质求出直线方程即可． 【详解】（1）依题意设，，， 设直线的方程为，代入得， 所以，则，当且仅当，即、时取等号， 从而，当且仅当，即、时取等号， 此时直线的方程为，即， 所以，此时直线的方程为． （2）由（1）可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 此时直线的方程为，即． （3）依题意直线的斜率存在且，设直线， 令，解得，令，解得，所以，， 则， 当且仅当，即，即时，取最小值， 此时直线的方程为． 37．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案； （2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案． 【详解】（1）因为圆过，则的中垂线过圆心， 设的中点为，则， 因为，所以的中垂线方程为，即， 又圆心在， 联立，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的方程为.   . （2）因为，所以在圆外， 过作圆的切线， 若切线斜率不存在时，则切线方程为，满足与圆相切， 若切线斜率存在时，设切线方程，即， 则，解得， 所以切线方程为，即. 综上：切线方程为或. 38．(1)存在，3x＋4y－12＝0 (2)3x＋3y－10＝0 【难度】0.4 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、直线综合、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】（1）将直线方程化为，再根据定点满足条件列式，再设直线l的截距式方程，代入定点P，再分别表示△AOB的周长和面积，求解参数即可； （2）由（1）直线l的倾斜角，再根据三角函数表达出，令，再根据三角函数的范围与函数的单调性求解即可. 【详解】（1），即， 由，解得，故动直线过定点． 设直线l的方程为， 将代入得．① 由A（a，0），B（0，b），△AOB的周长为12，面积为6，得， 令a＋b＝t，则，所以，即，化简得24t＝168，解得t＝7， 所以有，解得或． 其中不满足①，满足①． 所以存在直线l的方程为，即3x＋4y－12＝0满足条件． （2）由（1）可知直线l过定点，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，所以直线l的倾斜角， 所以，， 所以，② 令， 因为，所以，所以， 所以． 则， 因为在上为减函数，所以在上为增函数， 故当，即时，取得最小值． 此时直线l的方程为，即3x＋3y－10＝0． 39．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】（1）根据两直线垂直的关系，以及直线在轴上的截距，可得方程，联立方程，可得结果； （2）利用（1）的结论，采用分类讨论，设直线的方程可得答案. 【详解】（1）由直线的方程为，， 可得直线的斜率为2， 又在轴上的截距为，即过点， 所以直线方程：， 即， 联立方程，得： ，故交点为； （2）依据题意直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍， 且直线经过与的交点 当直线过原点时，方程为：， 当直线不过原点时，设方程为，则，解得， 故方程为：， 即 综上所述：的方程为或. 40．(1)； (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】（1）设直线的截距式为，由题意列出方程组，求出截距即可得解； （2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解. 【详解】（1）设直线的方程为，且 由，得，由直线过点，得，解得， 所以直线的方程为. （2）设直线的方程为，且直线不经过原点， 由题意知，，，解得或， 所以直线的方程为或. 41．（1）或；（2）. 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可. 【详解】（1）由得圆心， ∵圆的半径为1， ∴圆的方程为：， 显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即． ∴， ∴，∴或． ∴所求圆的切线方程为或． （2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为， 则圆的方程为． 又∵， ∴设为，则，整理得，设为圆． 所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点， ∴， 由，得， 由，得． 综上所述，的取值范围为． 考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在. 42．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系以及菱形的几何性质来求得直线的方程. （2）先求得点的坐标，设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系以及矩形的几何性质求得直线的斜率.或设出以及中点的坐标，根据矩形的几何性质求得直线的斜率. 【详解】（1）由题意知，设直线． 联立得， 则，， 则的中点在直线上， 代入可解得，，满足直线与抛物线有两个交点， 所以直线的方程为，即．    （2）当直线的斜率为或不存在时，均不满足题意． 由得或（舍去），故． 方法一：当直线的斜率存在且不为时，设直线． 联立得，所以． 所以．同理得． 由的中点在直线上， 得， 即． 令，则，解得或． 当时，直线的斜率； 当时，直线的斜率不存在． 所以直线的斜率为． 方法二：设，线段的中点， 则． 由，得，即． 所以． 又 ， 故可转化为， 即．解得或． 所以直线的斜率． 当时，斜率不存在；当时，斜率． 所以直线的斜率为．    【点睛】关键点点睛：垂直关系的转化，包括了菱形的几何性质、矩形的几何性质，菱形的对角线相互垂直，矩形的邻边相互垂直，利用垂直关系转化已知条件，列出等量关系式，从而对问题进行求解. 43．(1)或 (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】（1）设直线的截距式，由题意列出方程组，求出截距即可得解； （2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解. 【详解】（1）设直线l的方程为（，），（直线l与坐标轴的交点位于正半轴） 由题意知， ①. 因为直线l过点，所以 ②. 联立①②，解得或， 所以直线l的方程为或. （2）由题意知，即 ③，联立②③，解得或， 所以直线l的方程为或. 44．(1) (2)存在，或 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】（1）根据圆的切线性质，结合两点间距离公式进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直径所对圆周角为直角的性质、互相垂直两直线的斜率关系进行求解即可. 【详解】（1）设点坐标为，直线与圆相切于点， 则，所以， 即， 化简得. （2）设直线方程为，点，. 联立方程，得， 所以. 因为以为直径得圆过点，则， 即， 化简得， 代入根与系数关系中，得， 解得或， 故直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直径所对圆周角为直角、一元二次方程根与系数关系进行求解. 45．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标、求直线关于点的对称直线 【分析】（1）联立方程求得，根据垂直关系设出直线的方程，将点代入计算即可求解； （2）法一：根据平行关系设出直线的方程，然后利用到两条直线的距离相等列式求解即可； 法二，设直线上任意一点，利用对称性求得点关于点对称的点，将坐标代入已知直线方程，化简即可求解. 【详解】（1）由得交点， 由直线与直线垂直，则可设直线的方程为， 又直线过点，代入得，则， 所以直线的方程为； （2）法一：由题意可得直线与直线平行， 则可设直线方程为：， 由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等， 即，得（舍）或，所以直线的方程为. 法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 且点在直线上，得， 化简得直线的方程为. 46．(1)或. (2)6， 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线的一般式方程及辨析 【分析】（1）分截距是否为0两种情况，求得参数a，即可得答案. （2）求出直线在坐标轴上的截距，结合题意确定参数范围，求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时，解得，此时直线方程为. 当直线不过原点时，l在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为， 故，解得， 可得直线l的方程为:. 综上所述，直线l的方程为或. （2）由题意知， 令，解得，解得； 令，解得，解得或. 综上有. ∴ ， 当且仅当，即时取等号. ∴（为坐标原点）面积的最小值是6， 此时直线方程，即. 47．(1)或 (2)4， 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线综合、已知点到直线距离求参数 【分析】（1）分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用条件建立方程即可求出结果； （2）设出直线方程，令，得到，令，得到，从而得到，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】（1）因为直线经过点， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，直线到原点的距离为1，满足题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线到原点的距离为1，所以，解得，此时，直线为 所以直线的方程为或. （2）由题意知，直线斜率存在且不为0，设直线方程为， 令，得到，令，得到， 由题知，，得到， ， 当且仅当，即时取等号，此时直线方程为. 48．(1)或 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）根据已知求出圆心、半径，设出直线方程，根据直线与圆相切列出方程求解，即可得出答案； （2）求出，设出直线方程，代入圆的方程，根据韦达定理得出.进而表示出直线的斜率，整理即可得出证明. 【详解】（1）由已知可得，圆心，半径. 当直线斜率不存在时，方程为，此时直线与圆不相切； 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则方程为，即. 由直线与圆相切，可知圆心到直线的距离， 整理可得，， 解得或. 所以，直线的方程为或. 综上所述，直线的方程为或. （2）由题设得到点， 当直线斜率不存在时，方程为， 此时直线与圆的交点为，， 则； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 代入圆的方程可得. 设点， 则. 所以， ， 则 . 综上所述，与的斜率之和为定值. 故与的斜率之和为定值. 49．(1)8，4x＋y－8＝0 (2)2x＋y－6＝0 (3). 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线一般式方程与其他形式之间的互化、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】 解：设直线l在x轴、y轴的正半轴的截距分别为a，b，则OA＝a，OB＝b，直线l的方程为＋＝1. 因为直线l过点P（1，4），所以＋＝1. （1） 因为1＝＋≥2，所以a·b≥16，所以S△AOB＝ab≥8，当且仅当＝时取“＝”，即＝＝，此时a＝2，b＝8，所以直线l的方程为＋＝1，即4x＋y－8＝0. （2） OA＋OB＝a＋b＝（a＋b）（＋）＝5＋＋≥5＋2＝9.当且仅当＝时取“＝”，即b＝2a，因为＋＝1，所以a＝3，b＝6，所以直线l的方程为＋＝1，即2x＋y－6＝0. （3） （解法1）设直线l与x轴所成锐角为θ，则PA＝，PB＝，所以PA·PB＝·＝≥8，当且仅当sin 2θ＝1时取“＝”，即θ＝.此时直线l的倾斜角为π－θ＝. （解法2）PA·PB＝－·＝－（a－1，－4）·（－1，b－4）＝a＋4b－17＝（a＋4b）（＋）－17＝＋≥2＝8，当且仅当a＝b时取“＝”，此时直线l的倾斜角为. 【考查意图】 直线方程中的最值问题． 50．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）设，根据题意结合圆的定义列式求得，进而可得圆的方程； （2）取圆关于x轴的对称的圆，可知直线与圆相切，根据切线结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，设， 由可得，解得， 可知圆心，半径， 所以圆的标准方程为.    （2）取圆关于x轴的对称的圆，即圆心，半径， 可知直线与圆相切， 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，不合题意； 所以直线的斜率存在，设为，则，即， 则，整理得，解得或， 所以直线的方程为或.      51．(1)； (2)或． 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、过圆外一点的圆的切线方程、由直线与圆的位置关系求参数、轨迹问题——圆 【分析】（1）设，根据两点间距离公式结合条件即得； （2）由题可知直线与圆相切，分斜率存在和不存在讨论，结合点到直线的距离公式即得. 【详解】（1）设，因为点，，动点满足， 所以， 整理得，即， 所以曲线方程为； （2）由，可知曲线为圆心为，半径为4的圆， 所以直线 与圆相切， 当直线的斜率不存在时，直线，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线，即， 则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或． 52．(1)点M的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. (2) 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、轨迹问题——圆 【分析】(1) 设出A和M的坐标，利用中点坐标公式把A的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程后可求线段AB的中点M的轨迹; (2) 由题意可知的斜率存在，设出其斜率, 结合 ，由弦心距和半径的关系得到弦心距，再由圆心到直线的距离公式列式求出直线的斜率. 【详解】（1）设，， 由中点公式得 ， 因为A在圆C上，所以，即， 点M的轨迹是以为圆心，1为半径的圆； （2）设L的斜率为k，则L的方程为，即， 因为，为等腰直角三角形， 有题意知，圆心到L的距离为. 由点到直线的距离公式得， ∴. ∴，解得. 53．(1)或 (2)10， 【难度】0.65 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、已知点到直线距离求参数、将军饮马问题求最值 【分析】（1）考虑直线l的斜率存在和不存在情况，存在时，设直线方程，根据点到直线的距离求出斜率，即得答案. （2）确定关于直线OA的对称点，数形结合，利用几何意义即可求得答案. 【详解】（1）由题意知直线l经过点，当直线斜率不存在时，方程为， 此时点到直线l的距离为1，符合题意； 当直线l斜率存在时，设方程为，即， 则由点到直线l的距离为1。得， 解得，即得，即， 故直线l的方程为或； （2）由点，可得直线的方程为， 故点关于的对称点为， 连接，则， 则， 当且仅当共线时，等号成立， 即的最小值为10， 此时的方程为，联立， 解得，即. 答案第50页，共50页 答案第11页，共51页 学科网（北京）股份有限公司 $$