2.直接法求直线方程-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

2.直接法求直线方程 1．（2021·全国·模拟预测）已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·湖北·一模）已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（13-14高一下·辽宁铁岭·开学考试）作圆上一点处的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 6．（2024·江苏·一模）莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 8．（22-23高一下·云南曲靖·期末）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（   ） A． B． C．1 D． 9．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高一下·江西宜春·阶段练习）经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 11．（21-22高二上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点.若圆上存在唯一点，使得直线在轴上的截距之积为5，则实数的值为（    ） A． B． C．和 D．和 12．（22-23高二上·甘肃金昌·期末）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高二上·山西运城·阶段练习）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·浙江·期中）已知直线l的一个方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点的直线都可用方程表示 17．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）已知圆M：，圆N：，则下列选项正确的是（    ） A．直线MN的方程为 B．若P､Q两点分别是圆M和圆N上的动点，则的最大值为5 C．圆M和圆N的一条公切线长为 D．经过点M､N两点的所有圆中面积最小的圆的面积为 19．（2023·浙江宁波·一模）设O为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 20．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l的一个法向量为 B．若直线m：，则 C．点到直线l的距离是2 D．过与直线l平行的直线方程是 21．（2022高二上·全国·专题练习）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在直线方程为，则直线的方程为 . 22．（23-24高二上·山西·开学考试）已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 23．（23-24高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为 ． 24．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知直线l经过直线和的交点，且直线l在坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 . 25．（2023·湖北·二模）在平面直角坐标系中，已知，，若圆上有且仅有四个不同的点，使得的面积为，则实数的取值范围是 ． 26．（23-24高二上·北京西城·期中）将一张坐标纸对折，如果点与点重合，则点与点 重合. 27．（22-23高二下·天津西青·阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为 . 28．（22-23高二上·北京西城·期末）设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为 . 29．（2022高二上·全国·专题练习）已知直线的方程为：． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 30．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 31．（2023·全国·模拟预测）已知斜率存在的直线过点且与抛物线交于两点. (1)若直线的斜率为1，为线段的中点，的纵坐标为2，求抛物线的方程； (2)若点也在轴上，且不同于点，直线的斜率满足，求点的坐标. 32．（2018·全国·高考真题）设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点． （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）证明：． 33．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程． 34．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值． 35．（18-19高二上·安徽铜陵·开学考试）已知直线和点，． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大． 36．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 37．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 38．（18-19高一上·河南新乡·期末）已知直线的方程为，若直线过点，且. (1)求直线和直线的交点坐标； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线的方程. 39．（2023·广东湛江·二模）设椭圆方程为，，分别是椭圆的左、右顶点，直线过点，当直线经过点时，直线与椭圆相切． (1)求椭圆的方程． (2)若直线与椭圆交于，（异于，）两点． （i）求直线与的斜率之积； （ii）若直线与的斜率之和为，求直线的方程． 40．（22-23高二上·浙江·期中）已知直线，直线过点，__________．在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题． (1)求的一般式方程； (2)若与在轴上的截距相等，求的值． 41．（20-21高二下·四川成都·开学考试）已知圆C：，直线l恒过点 (1)若直线l与圆C相切，求l的方程； (2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程. 42．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 43．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）已知、在直线上. (1)求直线的方程； (2)若直线倾斜角是直线倾斜角的2倍，且与的交点在轴上，求直线的方程. 44．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：， (1)求直线与的交点坐标； (2)过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程． 45．（21-22高二上·广东梅州·阶段练习）已知直线l：． (1)证明：直线一定经过第三象限； (2)设直线与轴，轴分别交于A，B点，当点离直线最远时，求的面积． 46．（23-24高二上·山西运城·阶段练习）已知圆经过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程. 47．（22-23高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，椭圆和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右顶点的距离为，椭圆的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆相交于点A，B． (1)求椭圆的方程； (2)若直线分别与椭圆相交于另一个交点为点P，M．求证：直线经过定点． 试卷第8页，共8页 试卷第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C A B B C B B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C B A A D AD BC AD BC CD 1．B 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、过圆外一点的圆的切线方程、根据抛物线上的点求标准方程 【解析】先利用点求抛物线方程，利用相切关系求切线AB，AC，再分别联立直线和抛物线求出点，即求出直线方程. 【详解】在抛物线上，故，即，抛物线方程为， 设过点与圆相切的直线的方程为：，即，则圆心到切线的距离，解得，如图，直线，直线. 联立 ，得， 故，由得，故， 联立 ，得， 故，由得，故， 故，又由在抛物线上可知， 直线的斜率为 ， 故直线的方程为，即. 故选：B. 【点睛】方法点睛： 求圆的切线的方程的求法： （1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程； （2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程. 2．A 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据反射光线经过圆心和关于轴对称的点，可利用两点式整理得到所求直线方程. 【详解】由圆的方程得：圆心为， 反射光线恰好平分圆的圆周，反射光线经过点； 关于轴对称的点为，反射光线所在直线经过点， 反射光线所在直线方程为，即. 故选：A. 3．C 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C. 4．C 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正切公式、直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解. 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C 5．A 【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】判断点在圆上，求出直线的斜率，确定出切线的斜率，求出的方程，得出，根据直线与直线平行，利用平行线的距离公式求出与的距离即可. 【详解】将点代入圆的方程：，所以点在圆上， 因为：圆心，所以直线的斜率：， 所以：切线的斜率为：，的方程为：，即：， 又因为：直线与直线平行， 所以：. 所以：直线与直线的距离：，故A项正确. 故选：A. 6．B 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、圆的一般方程与标准方程之间的互化、求圆的一般方程、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在处的切线方程，进而求出的坐标，得到答案. 【详解】的外接圆设为， ，解得， 外接圆方程为，即， 易知外接圆在处切线方程为， 又，令得，，， 在处切线方程为， 又，令得，， 则三角形的线的方程为，即 故选：B. 7．B 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据题意，求得在处的切线为，设直线与曲线相切的切点为，求得，又切点在曲线和切线上，代入即可求解. 【详解】对曲线，在切点处切线的斜率， 所以切线方程为：， 对于曲线，设切点，则在点处切线的斜率， 依题意，即， 又点切点在曲线和切线上，即， 所以， 故选：B. 8．C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、直线斜率的定义 【分析】 根据题意，结合直线截距的定义，求得直线在轴上的截距，根据倾斜角与斜率的定义，利用点斜式方程，结合点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】由直线方程，令，解得，则直线过， 由直线的倾斜角为，则该直线的斜率， 故直线方程为：，化简可得：， 则点到直线的距离. 故选：C. 9．B 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】联立两直线求出交点坐标，根据的方向向量求出直线的斜率即可求出的方程. 【详解】联立，解得， 即直线：，：的交点为， 又直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为，故直线的方程为， 即， 故选：B． 10．B 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况的直线方程即可. 【详解】①当直线经过原点时，斜率，所以直线方程为：，即； ②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即； ③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即； 综上所述，直线方程为：或或. 故选：B. 11．C 【难度】0.4 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】设出点的坐标，根据直线在轴上的截距之积列方程，根据唯一性求得的值. 【详解】圆的圆心在直线上，半径为，所以在圆外， 设，其中且， 直线的方程为，纵截距为， 直线的方程为，纵截距为， 依题意有，整理得， 所以在圆上，圆心为，半径为. 则圆与圆有且只有一个公共点， 则两圆外切或内切，或圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为， 当两圆外切或内切时： 圆的圆心为，半径为， 则或， 前者无解，后者解得. 当圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为时， ，将代入， 得.    综上所述，的值为或. 故选：C 【点睛】关键点睛：求直线方程时，可以根据已知条件，利用合适的求法来求，如本题中，已知两点，则可以考虑两点式，也可以考虑点斜式来求解.圆有关的问题，可考虑方程的思想，如本题中“截距之积”，这就是一个方程，也即是一个等量关系式，是解题的突破口. 12．B 【难度】0.65 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、斜率与倾斜角的变化关系、二倍角的正切公式 【分析】根据正切二倍角公式，斜截式方程求解即可. 【详解】解：∵直线：的倾斜角为，斜率为，∴， ∵直线的倾斜角为，∴斜率为， ∴的方程为，即. 故选：B． 13．A 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题、根据直线的方向向量求直线方程 【分析】直线方程变为，可得定点.根据的方向向量，可得斜率为，代入点斜式方程，化简为一般式即可. 【详解】可变形为， 解得，即点坐标为. 因为，所以直线的斜率为，又过点， 代入点斜式方程可得，整理可得. 故选：A. 14．A 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、根据直线的方向向量求直线方程 【分析】先根据直线的方向向量求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出直线方程. 【详解】因为直线l的一个方向向量，所以直线l的斜率为， 又直线经过点，所以直线l的方程为，即. 故选：A. 15．D 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【详解】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程. 【分析】倾斜角为的直线，斜率为， 所以入射光线为， 令，解得，所以入射光线与轴的交点为， 反射光线的斜率为，则反射光线的方程为. 故选：D 16．AD 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】对于A：先求斜率，进而可得倾斜角； 对于B，注意区分方程与方程的不同之处，对于C：设直线l：， 进而可得截距，根据题意进行求解即可，对于D：根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于选项A：直线的斜率，倾斜角为，故A正确； 对于B，表示过点斜率为k的直线，但不含点，而表示过点斜率为k的直线，且含点，故B错误； 对于C：经过点，斜率存在，设直线为，若在，轴上截距互为相反数，则，解得或， 所以直线方程为或，故C错误； 对于D，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点、的直线，故D正确； 故选：AD. 17．BC 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】点关于直线的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可求解. 【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：BC. 18．AD 【难度】0.65 【知识点】直线两点式方程及辨析、由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、圆的公切线长 【分析】根据题意求圆M、N的圆心与半径.对于A：根据两点式方程运算求解；对于B：根据圆的性质分析求解；对于C：根据切线的性质运算求解；对于D：当为直径的圆时，经过点M､N两点的所有圆中面积最小，运算求解即可. 【详解】由题意可知：圆M：的圆心，半径， 圆N：，的圆心，半径， 对于选项A：直线MN的方程为，即，故A正确； 对于选项B：因为， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为，可知圆M与圆N外切， 如图，直线为两圆的公切线，为切点坐标，过A作，交NB于，    则为平行四边形，可得， 所以公切线长为，故C错误； 对于选项D：当为直径的圆时，经过点M､N两点的所有圆中面积最小， 此时圆的面积为，故D正确； 故选：AD. 19．BC 【难度】0.65 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】 对于A，整理圆的方程为标准方程，明确圆心与半径，可得答案； 对于B，由题意，将圆心代入直线方程，求得参数，可得答案； 对于C，利用点到直线的距离公式求得三角形的高，结合三角形的面积公式，可得答案； 对于D，根据两点求得斜率，利用垂直直线斜率的关系，可得答案. 【详解】由圆的方程， 则，所以圆心，半径， 易知，故A错误； 将代入直线方程，则，解得，故B正确； 将代入直线方程，整理可得直线方程， 原点到直线的距离，且此为底上的高， 所以，故C正确； 由与，则直线的斜率， 由直线方程，则直线斜率， 由，则与不垂直，故D错误. 故选：BC. 20．CD 【难度】0.65 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、由两条直线平行求方程、求点到直线的距离、直线方向向量的概念及辨析 【分析】对于A：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B：根据直线垂直分析判断；对于C：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D：根据直线平行分析求解. 【详解】对于A，因为直线l：的斜率， 但，可知不为直线l的一个法向量，故A错误； 对于B，因为直线m：的斜率，且， 所以直线l与直线m不垂直，故B错误； 对于C，点到直线l的距离，故C正确； 对于D，过与直线l平行的直线方程是，即，故D正确． 故选：CD. 21．. 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】 由题意可知，点在上，可设点的坐标是，则由的中点在直线上，可求出，从而可得，然后设关于直线的对称点为，列方程组可求出的坐标，由题意可知在直线上，从而可求出直线的方程. 【详解】 由题意可知，点在上，可设点的坐标是， 则的中点在直线上， 所以，解得，所以， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 则由在直线上，得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为： 22．或 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线与直线平行，过直线过线段的中点进行分类讨论，从而求得的方程. 【详解】直线的斜率为， 所以过且平行于直线的直线方程为. 线段的中点坐标为， 所以过与线段中点的直线的方程为. 所以直线或符合题意. 故答案为：或    23． 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、直线的一般式方程及辨析 【分析】 先求得直线与直线的交点，然后利用角平分线定理求得点坐标，进而求得直线的方程. 【详解】，直线的方程为， 由解得，设， 依题意，的平分线为直线， 由正弦定理得， 由于，由此整理得, 则，设， 则， 整理得，解得或（舍去）， 则，， 直线的方程为. 故答案为：    24．或 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】求出给定的两条直线交点坐标，再按直线是否过原点分类求解即可. 【详解】由，解得，即直线过点， 当直线过原点时，直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 25． 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】求出AB的长度，直线方程，结合△ABC的面积为，转化为圆心到直线的距离进行求解即可． 【详解】由已知可得，AB的斜率，. 又的面积为，所以点到直线的距离. 直线AB的方程为，即. 则圆心O到直线的距离. 如图，过点作，垂足为，交圆于点. 因为圆上有且仅有四个不同的点C，使得的面积为. 又点到直线的距离， 则应有，所以， 即点到直线的距离小于， 所以有， 解得. 故答案为：. 26． 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】先求线段的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】已知点与点，可知线段的中点为， 且，则线段的中垂线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以所求点为. 故答案为：. 27． 【难度】0.65 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、判断点与圆的位置关系、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据题意可知点在圆上，结合切线性质结合直线的点斜式运算求解. 【详解】圆的圆心， ∵，则点在圆上，即点为切点， 则圆心到切点连线的斜率，可得切线的斜率， 故切线的方程，即. 故答案为：. 28． 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、已知直线垂直求参数 【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程. 【详解】因为，所以线段的中点，且. 所以与垂直的直线的斜率为， 所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即. 故答案为： 29．(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线过定点问题 【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点； （2）先令令，再表达出三角形面积，最后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）证明：直线的方程为： 提参整理可得：． 令，可得， 不论为何值，直线必过定点. （2）设直线的方程为． 令 则， 令．则， 直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积． 当且仅当，即时，三角形面积最小． 此时的方程为． 30．(1)或 (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、求直线交点坐标、已知点到直线距离求参数 【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可. （2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可. 【详解】（1）设原点O到直线m的距离为， 则，解得或； （2）由解得，即m与n的交点为. 当直线l过原点时，此时直线斜率为， 所以直线l的方程为； 当直线l不过原点时，设l的方程为， 将代入得， 所以直线l的方程为. 故满足条件的直线l的方程为或. 31．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中存在定点满足某条件问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题知直线的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解； （2）设出直线的方程及的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出将韦达定理代入，化简求出参数即可得点的坐标. 【详解】（1）因为直线的斜率为1且过点， 所以直线的方程为：， 设， 由，得：， 所以， 所以， 因为为线段的中点，的纵坐标为2， 所以， 所以抛物线的方程为：. （2）设直线的方程为：，， ，得：， 所以， 由 由， 所以， 即， 所以， 所以点的坐标为. 32．（1）或；（2）证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线与抛物线的交点坐标 【分析】（1）根据题意可得直线的方程为，从而得出点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程； （2）方法一：设直线的方程为，点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线、的斜率之和为零，从而得出所证结论成立. 【详解】（1）当与轴垂直时，的方程为，可得的坐标为或． 所以直线的方程为或； （2）［方法一］：【通性通法】韦达定理＋斜率公式 设的方程为，、， 由，得，可知，． 直线、的斜率之和为 ， 所以，可知、的倾斜角互补，所以. ［方法2］：【最优解】斜率公式＋三点共线的坐标表示 因为M，N在抛物线上，可设，，故，．而A，M，N共线，故，即，化简得．而M，N是不同的点，故，可得．这样．故． 【整体点评】（2）方法一：通过联立方程得出根与系数的关系，再直接使用斜率公式化简即可证出，是此题问题的通性通法； 方法二：通过设点，根据三点共线的坐标表示寻找关系，再利用斜率公式化简证出，省略了联立过程，适当降低了运算量，是此类问题的最优解． 33．(1) (2)． 【难度】0.65 【知识点】直线综合、已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】（1）由边上的高所在直线的斜率可求直线的斜率，已知点，由点斜式方程可得直线方程，又点也在边的中线上，联立方程组求解交点的坐标即可； （2）设点，则中点在已知中线上，又点在已知边的高线上，则联立方程组可得，再由两点式可得直线的方程. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 设线的斜率为，则，解得， 又因为直线过点， 则直线的方程为,， 又边上的中线所在直线方程为，且该直线过点， 所以联立， 解得的坐标为． （2）设，因为边上的中线所在直线方程为， 所以的中点在直线上， 且边上的高所在直线过顶点， 所以，解得，即的坐标为． 由（1）知，由两点式方程得， 化简得. 即直线的方程为． 34．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直角坐标系中的基本公式 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点，求出线段的中点的坐标，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，可得出点的坐标，再将点的坐标代入直线的方程，即可求出实数的值. 【详解】（1）解：由条件知边上的高所在的直线的斜率为，所以直线的斜率为， 又因为，所以直线的方程为，即. （2）解：因为点在轴上．所以设，则线段的中点为， 点在直线上，所以，得，即， 又点在直线上，所以，解得． 35．(1) (2)． 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】（1）通过找出点A关于直线l的对称点为，将的最小值转化为的最小值，利用三角形三边的关系可知，即可求点P的坐标; （2）利用三角形的三边关系可知，再求出直线AB的方程，即可求出点P的坐标. 【详解】（1）设A关于直线l的对称点为，则， 解得，故， 又∵P为直线l上的一点，则， 当且仅当B，P，三点共线时等号成立，此时取得最小值， 点P即是直线与直线l的交点． 由 ，解得， 故所求的点P的坐标为． （2）由题意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点， 则，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立， 此时取得最大值，点P即是直线AB与直线l的交点, 又∵直线AB的方程为， ∴由 ，解得， 故所求的点P的坐标为． 36．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的斜率与直线垂直的直线的斜率乘积为和点斜式求解即可； （2）求出线段垂直平分线的方程为，故点在直线上，设点为，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜率之积为建立等式求解即可． 【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即． （2）的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为， 即． 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得：， 解得或， 所以点坐标为或， 则直线的方程为或． 37．（1）；（2）或 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）利用中点坐标公式求的中点坐标，利用斜率公式求的斜率，再求的垂直平分线的斜率，利用点斜式可得结论； （2）分别在所求直线过原点时和不过原点条件下，求直线的斜率，利用点斜式求直线方程. 【详解】（1）因为， 所以线段的中点为， 所以直线的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线的方程为，即. （2）①当直线过原点时，所求直线在两坐标轴上的截距相等，其斜率为， 故所求直线方程为，即； ②当直线不过原点时， 由改直线过点，且在两坐标轴上的截距相等可得改直线的斜率为， 所求直线方程为：，即， 由①②知所求直线方程为或. 38．(1) (2)或. 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）求出直线的方程与方程联立求解交点坐标即可； （2）分类讨论，截距都为0与截距都不为0两种情况求解的方程即可. 【详解】（1）因为直线过点，且， 所以直线的方程为，即， 联立，解得，， 所以直线和直线的交点坐标为； （2）当直线在两坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为， 当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，此时可设直线方程为， 因为直线过， 所以， 所以，此时直线方程为，即， 综上直线的方程为或. 39．(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据椭圆过的点求标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由直线的两点式方程可得的方程，联立椭圆方程，利用直线与椭圆的位置关系求出b，即可求解； （2）设，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，根据两点表示斜率公式化简计算可得、，则，由求得直线的方程，联立椭圆方程求出点Q的坐标即可求解. 【详解】（1）依题意可得， 当直线经过点时，的方程为， 代入，整理得， ， 解得，所以椭圆的方程为． （2）（i）依题意可得直线的斜率不为0， 设，，． 由得， 则 则 ； （ii）因为， 所以，又因为，所以， 则直线的方程为，与联立得． 所以的方程为，即． 40．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】（1）选择①：根据点斜式求解即可；选择②：设直线的截距式求解即可； （2）先求得直线在轴上的截距为，故直线过点，代入，求解即可. 【详解】（1）选择①：由题意可设直线的方程为， 因为直线的斜率是直线的斜率的2倍，所以， 所以直线的方程为，即．             选择②：由题意可设直线的方程为，， 因为直线过点，所以，解得． 所以直线的方程为，即． （2）由（1）可知直线的方程为，令，可得， 所以直线在轴上的截距为，所以直线在轴上的截距为． 故直线过点，代入，得，解得． 41．(1)或 (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由直线与圆的位置关系求参数、过圆上一点的圆的切线方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】(1)分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线l的距离等于圆的半径计算即可； (2)由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即可. 【详解】（1）由题意可知，圆C的圆心为，半径， ①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意； ②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为， 化为一般式：，若直线l与圆相切， 则，即，解得， ：，即l：， 综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为或； （2）由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k， 直线l的方程为，即， 设圆心到直线l的距离为d，则， 由垂径定理可得，，即， 整理得，，解得或， 则直线l的方程为或 42．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】（1）先求出直线，的交点坐标，再设直线为，将交点坐标代入求出，从而可求出直线的方程； （2）设直线l交直线，分别于点，则有，，，从而可求出两点的坐标，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程. 【详解】（1）由题意设直线，的交点坐标为，则，得， 所以直线，的交点坐标为， 由题意设直线为，则，得， 所以直线的方程为； （2）设直线l交直线，分别于点， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以，即， 由，解得， 所以，所以， 所以， 所以直线的方程为，即. 43．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、已知两点求斜率、二倍角的正切公式 【分析】（1）首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程； （2）设直线的倾斜角为，则，利用二倍角公式求出，再求出直线与轴的交点，再由斜截式得到直线的方程. 【详解】（1）因为、在直线上， 所以，所以直线的方程为，即. （2）设直线的倾斜角为，则， 所以， 所以直线的斜率， 对于，令得，即直线与轴交于点， 所以直线的方程为. 44．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析、求直线交点坐标、坐标法的应用——交点坐标 【分析】（1）联立直线和直线，即可求解交点坐标； （2）首先由题意可知，点是线段的中点，利用对称和直线方程，即可求解. 【详解】（1）由，得，， 所以直线与的交点坐标为； （2）由可知，点是线段的中点， 在直线上任取一点， 所以点关于的对称点, 点在直线上， 把点代入 方程， ，解得 所以，， 即直线方程为：，即. 45．(1)证明见解析 (2)6 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、直线围成图形的面积问题 【分析】（1）直线l的方程可化为，由即可求出直线l过定点，从而证得直线l一定经过第三象限． （2）由（1）可知，直线l经过定点，则当时，点P离直线l最远，利用两点间距离公式求出此时|PQ|的值，再根据两垂直直线的斜率关系求出k的值，得到直线l的方程，再求出点A，B的坐标，从而求出△PAB的面积． 【详解】（1）直线l方程，可化为， 令，解得， 则直线l经过定点， 故直线l一定经过第三象限． （2）由（1）可知，直线l经过定点，则当时，点P离直线l最远，且， 此时，所以直线l的斜率为， 即，则l：， 则，，， 故的面积为． 46．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线两点式方程及辨析、求直线交点坐标、求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）先求的垂直平分线方程，联立直线的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程； （2）设关于的对称点为，结合反射光线原理可得其对称点坐标，进而利用直线的两点式方程即可得出结果. 【详解】（1）由题知中点为，， 所以的垂直平分线方程为，即， 联立，解得，即圆心为， 所以圆的半径为， 故圆的方程为. （2）设关于的对称点为， 则直线与垂直，且的中点在直线上， 则，解得， 由题意知反射光线过圆心，故， 即.    47．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据题意列式求解，即可得答案； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立求的坐标，进而可求直线的方程，即可得结果. 【详解】（1）由题意可得：，则， ∵，解得， ∴椭圆的方程为. （2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为k，则直线， 联立方程，解得或， ∴， ∵为圆的直径，点E在圆上，则，即， ∴，则直线， 故用去替代k得， ∵， ∴直线，即， ∴直线经过定点． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 答案第12页，共35页 答案第1页，共36页 学科网（北京）股份有限公司 $$