专题4 有理数中的新定义与新运算及其综合运用（解析版+原卷版）-2024-2025学年七年级数学提优专题训练及试卷测试(人教版）

专题4 有理数中的新定义与新运算及其综合运用（原卷版） 专题解读：本专题含新定义与新运算两大热门 【类型一 新定义】 1．（2023秋•姜堰区月考）若a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是1，﹣1的差倒数是，已知a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推． （1）分别求出a2，a3，a4的值； （2）求a3600的值． 2．在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”“﹣”号，如果可以使其代数和为n，就称数n是“可被表出的数”，否则，就称数n是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为+1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9是1的一种可被表出的方法）． （1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数； （2）求25可被表出的不同方法种数． 3．（2022秋•拱墅区期中）对于一个正整数m，将其各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“团结数”．例如：m＝127，将其各个数位上的数字分别平方后得到的数为1，4，49，它们的个位数字依次为1，4，9，那么m的“团结数”n为149．若一个数的“团结数”等于它本身，那么这个数就叫做“团结一致数”． （1）38的“团结数”是 　 　，2024的“团结数”是 　； （2）若一个三位正整数x的“团结数”是541，求满足条件的所有x的值 　 　； （3）已知一个两位“团结一致数”的个位数字与十位数字均不为0且互不相同，求所有满足条件的两位“团结一致数”的和． 4．（2022秋•嵩县期末）已知：定义为从n个数中抽出m个数的组合数，例如：，，，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算　 　． 5．（2024秋•黄石期末）对于正数x，规定f（x），例如：f（2），f（3），f（），f（），……利用以上规律计算： f（）+f（）+f（）+……+f（）+f（）+f（1）+f（2）+……+f（2024）的值为：　 ． 【类型二 新运算】 6．（2023秋•泸县期末）若规定“！”是一种数学运算符号，且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（2024秋•翠屏区期中）如图，定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，第三次“F运算”的结果是11．若n＝449，则第449次“F运算”的结果是 　 　． 8．（2023秋•房山区期末）将n个互不相同的数字置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“﹣”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组． （1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算； 1 　 　 　3 　 　4＝　 　． （2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？ （3）若某“运算平衡”数组中共含有n个数字，则这n个数字需要具备什么样的规律？ 9．（2022秋•襄汾县期中）探究规律，完成相关题目． 老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后老师写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： （+5）※（+2）＝+（|5|+|2|）＝+7； （﹣3）※（﹣5）＝+（|3|+|5|）＝+8； （﹣3）※（+4）＝﹣（|3|+|4|）＝﹣7； （+5）※（﹣6）＝﹣（|5|+|6|）＝﹣11； 0※（+8）＝8； （﹣6）※0＝6． 小明看了这些算式后说：“我知道老师定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ （1）归纳※（加乘）运算的运算法则． 两数进行※（加乘）运算时，运算法则是：　 　； 特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算运算法则是：　 　． （2）计算： ①（﹣5）※[0※（﹣3）]；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） ②[（﹣4）×3]×[（﹣10）×（﹣5）]． 10．（2022秋•万州区期末）定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝2a﹣3b等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：2⊗（﹣3）＝2×2﹣3×（﹣3）＝4+9＝13，1⊗2＝2×1﹣3×2＝2﹣6＝﹣4．则（﹣1）⊗[3⊗（﹣2）]的值是（　　） A．﹣2 B．﹣18 C．﹣28 D．﹣38 11．（2021秋•北碚区期末）定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝2a﹣3b．等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：2⊗（﹣3）＝2×2﹣3×（﹣3）＝4+9＝13，1⊗2＝2×1﹣3×2＝2﹣6＝﹣4． （1）求（﹣2）⊗[5⊗（﹣1）]的值； （2）若（3x﹣2）⊗（x+1）＝2，求x的值． 12．（2024春•上海期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”．a⊗b＝a+b． 如：1⊗2＝1+2，1⊗2⊗3＝（1+2）+32017． 材料二：规定[a]表示不超过a的最大整数，如[3.1]＝3，[﹣2]＝﹣2，[﹣1.3]＝﹣2． （1）2⊗6＝　 　，[﹣π][π]＝　 　； （2）求1⊗2⊗3⊗4⊗……⊗2022⊗2023的值； （3）若有理数m，n满足m＝2[n]＝3[n+1]，请直接写出m⊗[m+n]的结果． 13．（2023秋•新邵县期中）定义一种运算符号“★”：a⋆b＝a2﹣ab，如：（﹣2）⋆3＝（﹣2）2﹣（﹣2）×3＝10，那么[（﹣3）⋆（﹣2）]⋆的结果是 　 　． 14．（2011•永州）对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定Pn（x，y）＝P1（Pn﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2011（1，﹣1）＝（　　） A．（0，21005） B．（0，﹣21005） C．（0，﹣21006） D．（0，21006） 15．（2022秋•城关区期中）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方． 比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”． 一般地，把（a≠0）记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2022②＝　 　，（）③＝　 ； （2）若n为任意正整数，下列关于除方说法中，正确的有 　 ；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 E．互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数 F．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝　 　； （4）比较：（﹣9）⑤　 　（﹣3）⑦；（填“＞”“＜”或“＝”） （5）计算：﹣1⑩﹣142÷（）④×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（）④+（﹣1）⑰． 16．（2023秋•禹城市月考）数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定m＝||c﹣a|﹣|c﹣b||，n＝|c﹣a|+|c﹣b|． （1）当a＝﹣3，b＝4，c＝2时，则m＝　 　，n＝　 　． （2）当a＝﹣3，b＝4，m＝3，n＝7时，则c＝　 　． （3）当a＝﹣3，b＝4，且n＝2m，求c的值． 17．（2022秋•思明区期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，（规定20＝1）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班的学生． （1）图3中表示学生所在班级序号是 　 　． （2）我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“1”、“2”，结合“+”、“﹣”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围． 18．（2023秋•路南区月考）概念学习； 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果：2③＝　　，　 　， （2）关于除方，下列说法错误的是 　 　． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1； C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： （﹣3）④＝　 ，5⑥＝　 　，（）⑩＝　 ． （4）想一想：aⓝ＝　 （a≠0，n为正整数；结果写成幂的形式）． （5）算一算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 有理数中的新定义与新运算及其综合运用（解析版） 【类型一 新定义】 1．（2023秋•姜堰区月考）若a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是1，﹣1的差倒数是，已知a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推． （1）分别求出a2，a3，a4的值； （2）求a3600的值． 【分析】（1）根据差倒数等于计算即可； （2）观察该数列每3个数为一个周期循环，即可得到答案． 【解答】解：（1）a2； a34； a4； ∴a2的值为；a3的值为4；a4的值为； （2）观察该数列每3个数为一个周期循环， ∵3600÷3＝1200， ∴a3600＝a3＝4， ∴a3600的值为4． 【点评】本题考查数字的变化规律，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，找到该数列每3个数为一个周期循环． 2．在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”“﹣”号，如果可以使其代数和为n，就称数n是“可被表出的数”，否则，就称数n是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为+1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9是1的一种可被表出的方法）． （1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数； （2）求25可被表出的不同方法种数． 【分析】（1）由奇数和偶数相加或相减都是奇数与1和2、3和4、5和6、7和8，9，可看作是5个奇数，可知最后的结果肯定为奇数，则问题得证； （2）若小方格全为加号，总和为45，可知要使最后答案为25，则其中“+”号后面的数的总和为35，“﹣”号后面的数的总和为10，则求得和为10的个数即为所求． 【解答】解：（1）∵奇数和偶数相加或相减都是奇数， ∴1和2、3和4、5和6、7和8，9，可看作是5个奇数． ∴最后的结果肯定为奇数， ∵7为奇数，8为偶数， 且1+2﹣3+4+5+6﹣7+8﹣9＝7， ∴7是可被表出的数，而8是不可被表出的数； （2）∵若小方格全为加号，总和为45， ∴要使最后答案为25，则其中“+”号后面的数的总和为35，“﹣”号后面的数的总和为10， ∴不同方法数为9种：1，9或2，8或3，7或1，2，7或4，6或1，3，6或1，4，5或2，3，5或1，2，3，4这些数字前得符号为负． ∴25可被表出的不同方法种数是9． 【点评】此题属于整数的综合应用问题．抓住奇数和偶数相加或相减都是奇数与若小方格全为加号，总和为45，要使最后答案为25，则其中“+”号后面的数的总和为35，“﹣”号后面的数的总和为10，是解此题的关键． 3．（2022秋•拱墅区期中）对于一个正整数m，将其各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“团结数”．例如：m＝127，将其各个数位上的数字分别平方后得到的数为1，4，49，它们的个位数字依次为1，4，9，那么m的“团结数”n为149．若一个数的“团结数”等于它本身，那么这个数就叫做“团结一致数”． （1）38的“团结数”是 　94　，2024的“团结数”是 　4046　； （2）若一个三位正整数x的“团结数”是541，求满足条件的所有x的值 　581，521，589，529　； （3）已知一个两位“团结一致数”的个位数字与十位数字均不为0且互不相同，求所有满足条件的两位“团结一致数”的和． 【分析】（1）利用“团结数”的定义解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法根据“团结数”的定义得到每个数位上可能的数字，分别组成三位数即可求得x的值； （3）根据“团结数”的定义求出平方后得到的数字的个位数字等于它本身的数有1，5，6三个数，据此得出所有满足条件的两位“团结一致数”，最后把它们相加即可． 【解答】解：（1）∵将38各个数位上的数字分别平方后得到的数为：9，64， ∴它们的个位数字依次为：9，4， ∴38的“团结数”为：94； ∵将2024各个数位上的数字分别平方后得到的数为：4，0，4，16， ∴它们的个位数字依次为：4，0，4，6， ∴38的“团结数”为：4046． 故答案为：94；4046； （2）∵数位上的数字平方后得到的数的个位数字为5的数只有5， 数位上的数字平方后得到的数的个位数字为4的数有2或8， 数位上的数字平方后得到的数的个位数字为1的数有1或9， ∴满足条件的所有x的值为：581，521，589，529； 故答案为：581，521，589，529； （3）∵数位上的数字平方后得到的数的个位数字等于它本身的数字有1，5，6（0不合题意）， ∴所有满足条件的两位“团结一致数”有：16，61，56，65，15，51， ∴所有满足条件的两位“团结一致数”的和为： 16+61+15+51+65+56＝264． 【点评】本题主要考查了数字的变化规律，分类讨论的方法，本题是阅读型题目，正确理解新定义并熟练应用是解题的关键． 4．（2022秋•嵩县期末）已知：定义为从n个数中抽出m个数的组合数，例如：，，，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算　165　． 【分析】根据定义代数求值即可． 【解答】解：由题意知，165， 故答案为：165． 【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据定义的公式代数求值是解题的关键． 5．（2024秋•黄石期末）对于正数x，规定f（x），例如：f（2），f（3），f（），f（），……利用以上规律计算： f（）+f（）+f（）+……+f（）+f（）+f（1）+f（2）+……+f（2024）的值为：　2024　． 【分析】按照定义式f（x），发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的，最后再求和即可． 【解答】解：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2024） ＝（）+（）+（）+…+（）+（） ＝2024 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键． 【类型二 新运算】 6．（2023秋•泸县期末）若规定“！”是一种数学运算符号，且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可知n！＝n（n﹣1）•…×2×1，然后化简所求式子即可． 【解答】解： ， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题． 7．（2024秋•翠屏区期中）如图，定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，第三次“F运算”的结果是11．若n＝449，则第449次“F运算”的结果是 　8　． 【分析】解决此类问题的关键在于将新运算转化为学过的数的有关运算法则进行计算，只有转化成功，才能有的放矢． 【解答】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝449为奇数应先进行F①运算， 即3×449+5＝1352（偶数）， 需再进行F②运算， 即1352÷23＝169（奇数）， 再进行F①运算，得到3×169+5＝512（偶数）， 再进行F②运算，即512÷29＝1（奇数）， 再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数）， 再进行F②运算，即8÷23＝1， 再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），…， 即第1次运算结果为1352，…， 第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，…， 可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8， 从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数， 这样循环计算一直到第449次“F运算”，得到的结果为8． 故答案为：8． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 8．（2020秋•房山区期末）将n个互不相同的数字置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“﹣”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组． （1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算； 1 　﹣　2 　﹣　3 　+　4＝　0　． （2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？ （3）若某“运算平衡”数组中共含有n个数字，则这n个数字需要具备什么样的规律？ 【分析】（1）运用“运算平衡”数组定义，即可得出答案； （2）根据数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，运用“运算平衡”数组定义，可得出答案； （3）根据“运算平衡”数组定义，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得，1﹣2﹣3+4＝0， 故答案为：﹣，﹣，+，0； （2）∵数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，有以下情况： 1+4+6+m＝0，1+4﹣6+m＝0，1﹣4+6+m＝0，1﹣4﹣6+m＝0，﹣1+4+6+m＝0，﹣1+4﹣6+m＝0，﹣1﹣4+6+m＝0，﹣1﹣4﹣6+m＝0， ∴m＝﹣1，±3，±9，±11； （3）这n个整数互不相同，在这n个数字前任意添加“+”或“﹣”号后运算结果为0． 【点评】本题考查了一元一次方程及其解法，对新定义“运算平衡”的理解和运用． 9．（2022秋•襄汾县期中）探究规律，完成相关题目． 老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后老师写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： （+5）※（+2）＝+（|5|+|2|）＝+7； （﹣3）※（﹣5）＝+（|3|+|5|）＝+8； （﹣3）※（+4）＝﹣（|3|+|4|）＝﹣7； （+5）※（﹣6）＝﹣（|5|+|6|）＝﹣11； 0※（+8）＝8； （﹣6）※0＝6． 小明看了这些算式后说：“我知道老师定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ （1）归纳※（加乘）运算的运算法则． 两数进行※（加乘）运算时，运算法则是：　两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加　； 特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算运算法则是：　0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）都等于这个数的绝对值　． （2）计算： ①（﹣5）※[0※（﹣3）]；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） ②[（﹣4）×3]×[（﹣10）×（﹣5）]． 【分析】（1）归纳总结得到加乘法则，写出即可； （2）各式利用得出的法则计算即可求出值． 【解答】解：（1）两数进行※（加乘）运算时，运算法则是：两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加； 特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算运算法则是：0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）都等于这个数的绝对值； （2）①根据题中的新定义得： 原式＝（﹣5）※3 ＝﹣（5+3） ＝﹣8； ②根据题中的新定义得： 原式＝﹣7※15 ＝﹣（7+15） ＝﹣22． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 10．（2022秋•万州区期末）定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝2a﹣3b等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：2⊗（﹣3）＝2×2﹣3×（﹣3）＝4+9＝13，1⊗2＝2×1﹣3×2＝2﹣6＝﹣4．则（﹣1）⊗[3⊗（﹣2）]的值是（　　） A．﹣2 B．﹣18 C．﹣28 D．﹣38 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【解答】解：根据题中的新定义得： 3⊗（﹣2）＝2×3﹣3×（﹣2）＝6+6＝12， 则原式＝（﹣1）⊗12＝2×（﹣1）﹣3×12＝﹣2﹣36＝﹣38． 故选：D． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 11．（2021秋•北碚区期末）定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝2a﹣3b．等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：2⊗（﹣3）＝2×2﹣3×（﹣3）＝4+9＝13，1⊗2＝2×1﹣3×2＝2﹣6＝﹣4． （1）求（﹣2）⊗[5⊗（﹣1）]的值； （2）若（3x﹣2）⊗（x+1）＝2，求x的值． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得： 5⊗（﹣1）＝2×5﹣3×（﹣1）＝10+3＝13， 则原式＝（﹣2）⊗13＝2×（﹣2）﹣3×13＝﹣4﹣39＝﹣43； （2）已知等式利用题中的新定义化简得： 2（3x﹣2）﹣3（x+1）＝2， 去括号得：6x﹣4﹣3x﹣3＝2， 移项得：6x﹣3x＝2+4+3， 合并得：3x＝9， 系数化为1，得：x＝3． 【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 12．（2024春•上海期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”．a⊗b＝a+b． 如：1⊗2＝1+2，1⊗2⊗3＝（1+2）+32017． 材料二：规定[a]表示不超过a的最大整数，如[3.1]＝3，[﹣2]＝﹣2，[﹣1.3]＝﹣2． （1）2⊗6＝　﹣1003.5　，[﹣π][π]＝　﹣64　； （2）求1⊗2⊗3⊗4⊗……⊗2022⊗2023的值； （3）若有理数m，n满足m＝2[n]＝3[n+1]，请直接写出m⊗[m+n]的结果． 【分析】（1）根据新定义把新运算的代数式转化为常规代数式进行解答便可； （2）根据新定义把原式转化为1+2+3+4+……+2022+20232022进行计算便可； （3）设k≤n＜k+1，k为整数，由已知条件m＝2[n]＝3[n+1]，列出k的方程求得k与m的值，进而求得[m+n]的值，再代入代数式，根据新定义进行计算便可． 【解答】解：（1）2⊗6＝2+61003.5， [﹣π][π]＝（﹣4）3＝﹣64， 故答案为：﹣1003.5；﹣64； （2）l⊗2⊗3⊗4⊗……⊗2022⊗2023 ＝1+2+3+4+……+2022+20232022 ＝2023； （3）设k≤n＜k+1，k为整数，则[n]＝k，[n+1]＝k+1， ∵m＝2[n]＝3[n+1]， ∴m＝2k＝3（k+1）， 解得k＝﹣3，m＝﹣6， ∴[m+n]＝[﹣6+n]＝﹣9， ∴m⊗[m+n]＝（﹣6）⊗（﹣9）＝﹣6﹣91026.5． 【点评】本题考查了新定义，列代数式，有理数的混合运算，解一元一次方程，关键是理解和应用新定义解题． 13．（2023秋•新邵县期中）定义一种运算符号“★”：a⋆b＝a2﹣ab，如：（﹣2）⋆3＝（﹣2）2﹣（﹣2）×3＝10，那么[（﹣3）⋆（﹣2）]⋆的结果是 　8　． 【分析】根据a⋆b＝a2﹣ab，可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵a⋆b＝a2﹣ab， ∴[（﹣3）⋆（﹣2）]⋆ ＝[（﹣3）2﹣（﹣3）×（﹣2）]⋆ ＝（9﹣6）⋆ ＝3⋆ ＝32﹣3 ＝9﹣1 ＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解决本题的关键是会用新定义解答问题． 14．（2011•永州）对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定Pn（x，y）＝P1（Pn﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2011（1，﹣1）＝（　　） A．（0，21005） B．（0，﹣21005） C．（0，﹣21006） D．（0，21006） 【分析】根据题目提供的变化规律，找到点的坐标的变化规律并按此规律求得P2011（1，﹣1）的值即可． 【解答】解：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝（2，﹣2） P3（1，﹣1）＝（0，4），P4（1，﹣1）＝（4，﹣4） P5（1，﹣1）＝（0，8），P6（1，﹣1）＝（8，﹣8） … 当n为奇数时，Pn（1，﹣1）＝（0，）， ∴P2011（1，﹣1）应该等于（0，21006）． 故选：D． 【点评】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是认真审题并从中找到正确的规律，并应用此规律解题． 15．（2022秋•城关区期中）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方． 比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”． 一般地，把（a≠0）记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2022②＝　1　，（）③＝　　； （2）若n为任意正整数，下列关于除方说法中，正确的有 　ABDF　；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 E．互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数 F．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝　（）n﹣2　； （4）比较：（﹣9）⑤　＞　（﹣3）⑦；（填“＞”“＜”或“＝”） （5）计算：﹣1⑩﹣142÷（）④×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（）④+（﹣1）⑰． 【分析】（1）利用a的圈n次方的意义，进行计算即可解答； （2）利用a的圈n次方的意义，逐一判断即可解答； （3）根据的圈n次方的意义计算即可； （4）利用（3）的结论，进行计算即可解答； （5）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答． 【解答】解：（1）2022②＝2022÷2022＝1；（）③． 故答案为：1；； （2）A．因为a2＝a÷a＝1（a≠0），所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B．因为a3＝a÷a÷a（a≠0），所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； C．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1，说法错误，（﹣1）②＝1； D．根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； E．互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数，错误，圈偶数次方相等，如（﹣2）②＝1，2②＝1； F．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数，正确，如，2． 故答案为：ABDF； （3）aⓝ＝a÷a÷a÷…÷a＝a•••…•（）n﹣2， 故答案为：（）n﹣2； （4）∵（﹣9）⑤，（﹣3）⑦，， ∴（﹣9）⑤＞（﹣3）⑦； 故答案为：＞； （5）﹣1⑩﹣142÷（）④×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（）④+（﹣1）⑰ ＝﹣1﹣196÷（﹣2）2（﹣48）÷（﹣7）2+（﹣1） ＝﹣1﹣196÷4（﹣48）÷49+（﹣1） ＝﹣11 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．（2023秋•禹城市月考）数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定m＝||c﹣a|﹣|c﹣b||，n＝|c﹣a|+|c﹣b|． （1）当a＝﹣3，b＝4，c＝2时，则m＝　3　，n＝　7　． （2）当a＝﹣3，b＝4，m＝3，n＝7时，则c＝　2或﹣1　． （3）当a＝﹣3，b＝4，且n＝2m，求c的值． 【分析】（1）将值代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当c＞4时，当c＜﹣3时，当﹣3≤c≤4时，三种情况化简绝对值，计算求解即可； （3）由题意知，当a＝﹣3，b＝4时，m＝||c+3|﹣|c﹣4||，2m＝n＝|c+3|+|c﹣4|，然后分当c＞4时；当c＜﹣3时；当﹣3≤c≤4时；三种情况化简绝对值，计算求解即可． 【解答】解：（1）由题意知，m＝||c﹣a|﹣|c﹣b||＝||2﹣（﹣3）|﹣|2﹣4||＝|5﹣2|＝3， n＝|c﹣a|+|c﹣b|＝|2﹣（﹣3）|+|2﹣4|＝5+2＝7， 故答案为：3，7； （2）由题意知，当c＞4时，m＝||c+3|﹣|c﹣4||＝|c+3﹣c+4|＝7≠3，不符合题意，舍去； 当c＜﹣3时，m＝||c+3|﹣|c﹣4||＝|﹣c﹣3+c﹣4|＝7≠3，不符合题意，舍去； 当﹣3≤c≤4时，n＝|c+3|+|c﹣4|＝c+3﹣c+4＝7，m＝||c+3|﹣|c﹣4||＝|c+3+c﹣4|＝3， ∴|2c﹣1|＝3， 当2c﹣1＝3时，解得，c＝2； 当2c﹣1＝﹣3时，解得，c＝﹣1； 故答案为：2或﹣1； （3）当a＝﹣3，b＝4时，m＝||c+3|﹣|c﹣4||，2m＝n＝|c+3|+|c﹣4|， 当c＞4时，m＝7，则2×7＝n＝c+3+c﹣4， 解得，； 当c＜﹣3时，m＝7，则2×7＝n＝﹣c﹣3﹣c+4， 解得，； 当﹣3≤c≤4时，n＝7，m＝|2c﹣1|， ∴2|2c﹣1|＝7， 当2（2c﹣1）＝7时，解得，； 当2（2c﹣1）＝﹣7时，解得，； 综上所述，c的值为或或或． 【点评】本题考查了用数轴上的点表示有理数，化简绝对值，绝对值方程．熟练掌握化简绝对值，并分类讨论是解题的关键． 17．（2022秋•思明区期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，（规定20＝1）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班的学生． （1）图3中表示学生所在班级序号是 　9　． （2）我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“1”、“2”，结合“+”、“﹣”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围． 【分析】（1）根据规定了运算法则进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算，得出最大的班级变号为15，则不能被全部被识别，改编为：改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，根据有理数的混合运算进行计算可得知新系统规则可表示的班级编号范围． 【解答】解：（1）图3中，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，则序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9， 故答案为：9； （2）不能， ∵1×23+1×22+1×21+1×20＝8+4+2+1＝15＜18， ∴不能用该系统全部识别； ∵最多只能表示15+1个数字，要表示大于15的数字，则需加一位， 改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形， 规则不变，序号改为：a×24+a×23+b×22+c×21+d×20， 如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，第二行第1个数字为1， 序号为1×24+0×23+1×22+0×21+1×20＝16+5＝21， 第一行数字从左到右依次为0，0，1，0，第二行第1个数字为1， 序号为1×24+0×23+0×22+1×21+0×20＝16+2＝18， 当第一行数字从左到右依次为1，1，1，1，第二行第1个数字为1， 序号最大，为1×24+1×23+1×22+1×21+1×20＝16+8+4+2+1＝31， ∴改编后的新系统规则可表示的班级编号范围为1至31． 【点评】本题考查了有理数的混合运算的应用，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 18．（2023秋•路南区月考）概念学习； 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果：2③＝　　，　﹣8　， （2）关于除方，下列说法错误的是 　C　． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1； C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： （﹣3）④＝　　，5⑥＝　　，（）⑩＝　　． （4）想一想：aⓝ＝　　（a≠0，n为正整数；结果写成幂的形式）． （5）算一算：． 【分析】（1）根据新定义求解； （2）根据新定义判断求解； （3）根据新定义判断求解； （4）根据（1）（2）（3）得出一般规律； （5）根据新定义及（4）中的公式求解． 【解答】解：初步探究： （1）2③＝2÷2÷2， （）⑤＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝1÷（）÷（）÷（）＝（﹣2）÷（）÷（）＝﹣8 故答案为：，﹣8； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1；所以选项B正确； C、3④＝3÷3÷3÷3，4③＝4÷4÷4，则 3④≠4③；所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 本题选择说法错误的，故选C； 深入思考： （3）（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（）2； 5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝1×（）4； （）⑩＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（） ＝1×2×2×2×2×2×2×2×2 ＝28； 故答案为：，，28． （4）aⓝ＝a÷a÷a…÷a＝1÷an﹣2． （5）12÷（）④﹣4⑤×8 ＝12÷（﹣3）2﹣（）3×8 ． 【点评】本题考查了新运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$