专题03锐角三角函数（优质类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题03锐角三角函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、网格中的三角函数 【解惑】如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．如图，的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则的值为 ． 3．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，则的正切值是 ． 类型二、胡不归模型 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，，为上一动点，若，，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C． D． 2．如图，在中，．D为边上的一动点，连接，则的最小值为 ． 3．有一则历史放事： 说的是一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后，便日夜赶路回家．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃叨念：“胡不归？胡不归？…” 我们一起来看看小伙子回家路况： 小伙子选择了什么路线？很多同学都认为：两点之间线段最短． 我们研究的不是最短路径，而是最短时间，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？如果存在这种可能，他又要在驿道上行走多远才最省时？ 设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然． 假设从C处进入沙砾地，总共用时为t，则，因为及是确定的，所以只要最小．用时就最少，问题就转化为要求的最小值，我们可以画一条以C为端点的线段，使其等于，并且与线段位于的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点，由三角函数的定义，以为一边作． ，然后，作，则，最后，当点B、C、E在一条直线上时，最小，即的值最小，即用时最少、这类问题成为“胡不归”问题． 请根据上述信息解答下列问题： (1)在中，，，，P是边上一个动点，则的最小值为 ； (2)已知抛物线与x轴交于，，C是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点D． ①求抛物线的解析式； ②若点P是抛物线对称轴上一点，，连接PB，求的最小值． 类型三、12345模型 【解惑】如图，正方形边上有一点，延长线上有一点F，连、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在正方形中，对角线相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交于点，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2．如图，在正方形中， 点分别在边上， 且， 交于点，交于点，的延长线交的延长线于点，且，连接．若，，则 ． 3．阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．    证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．    (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出的值； (3)求直线的解析式． 类型四、仰角、俯角问题 【解惑】慈氏塔位于洞庭湖边西南，塔为楼阁式，八角七层，雄视洞庭湖，为“巴陵胜状”之一，一次数学综合实践活动中，智慧小组设计了如下方案测量慈氏搭的高度．如图，在地面C处测得塔顶A的仰角为，从C点沿水平地面向前走a米到达点D处后，在D处测得塔顶端A的仰角为，即过计算求得塔高．若测得的，，米，请你利用所测数据计算塔高．（结果精确到1米，参考数据：，，）    【融会贯通】 1．为传承酒泉文明、弘扬民族精神．某校“综合与实践”小组开展了测量鼓楼（如图①）高度的实践活动，测量鼓楼高度的实践报告如图②，利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为；前进了14米到达A处（测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为．计算鼓楼的高度（结果保留整数）（，，，，，．） 2．如图，山上有一铁塔高．山前有一建筑物，从D点走到E点刚好能看到塔顶A，且在E点测得塔顶A的仰角为，继续往前走，到F点又刚好能看到塔底B，并测得B的仰角为，已知，求小山的高（精确到，参考数值：）． 3．嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想． (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． (2)如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，嘉嘉看点的俯角为，眼睛到桌面高度为点到点的距离为，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 类型五、方位角问题 【解惑】如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【融会贯通】 1．如下图，、、、是某个景区的四个游客休息区（只有，可骑行），在的正西方向，在的正北方向；在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的东北方向，米．（参考数据：，，，，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)周末小义和小飞相约一起去公园游玩，他们到达后发现有两条路线可到，小义选择路线①，步行速度为每分钟90米；小飞选择路线②，他租了一辆共享单车，骑行速度为每分钟240米，中途在处停留5分钟观赏风景，请你通过计算说明，小义和小飞谁先到达． 2．周末妈妈和小明在位于小明家西北方向的书店看书．回家时，小明想先沿去位于家的正西方向、距家米的菜鸟驿站处取包裹，然后再沿回家；妈妈想先沿去位于家的北偏西方向的干洗店取衣服．然后再沿回家．已知书店位于菜鸟驿站的北偏东方向、干洗店的南偏西方向．（参考数据：，） (1)求小明家与书店的距离（结果保留整效）； (2)小明和妈妈回家的路程相差多少米（结果保留整数）？ 3．让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，米．点C在点B的北偏东；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东方向，米． (1)求的长度（精确到个位）； (2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：，，） 类型六、坡度、坡比问题 【解惑】水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． (1)已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后大坝背水坡面的坡度． 【融会贯通】 1．2023年3月11日13时46分日本发生了级大地震，随着着就是海啸．山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角，量得树干的倾斜角为，大树被折断部分和坡面所成的角． (1)求的度数； (2)求这棵大树折点C到坡面的距离？ （结果精确到个位，参考数据：）． 2．如图， 扶梯的坡比为 ， 滑梯的坡比为，平行于地面， 于点 于点 ．若 ，，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部， 然后从滑梯滑下， 他所经过的总路程是多少（结果保留根号）？ 3．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比），在D处测得该建筑物顶端A的俯角为，则建筑物的高度约为多少米？（精确到米，参考数据：，，） 类型七、三角函数与圆 【解惑】如图，射线⊥射线，在射线上，B在射线上，连接．若设．过点的圆交的垂线于点D，连接，，直线，交于点E． (1)求． (2)连接，记的面积为S． ①求S关于t的函数表达式； ②当时，求此时t的值． (3)点A关于直线的对称点为，若落在内部（不包括边界）时，请直接写出t的取值范围． 【融会贯通】 1．如图，在中，，为边上的一点，以为圆心，为半径的圆与切于点，与交于另一点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，直接写出的值． 2．已知正弦定理：． (1)小明想学习正弦定理，但他不会证明，老师已经给出了思路，请根据思路，帮小明完成证明． 如图，作的外接圆，O为圆心．连接并延长交圆于D，设．根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得：； (2)证明后，老师提出还可以用其他方法证明，请你对此进行证明； (3)接下来请你运用正弦定理，解决下面问题：中，，平分，求的长度． 3．新定义1：多边形顶点之间最长距离与最短距离的比值叫做多边形的特征值，如：正五边形的特征值为． 新定义2：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形． (1)如图，已知四边形为圆O的内接矩形，是圆O的内接三角形，若四边形的特征值为，的特征值为1，求证： (2)设正边形（且n为整数）的一边长与边数值恰好相同，一个内角的余弦值为x，特征值为y，求：y关于x的函数解析式（注：当时，） (3)如图，在梯形中，（），，点B，D在以C为圆心，6为半径的圆上，将梯形绕点C按逆时针方向旋转，使点B与点D重合，此时A，D的对应点是点E，F，设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求：双同正多边形的特征值． 类型八、三角函数与相似 【解惑】如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值． (2)当时，求的长． 【融会贯通】 1．新定义：对于抛物线，若，则称该抛物线是黄金抛物线，若抛物线是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求：此黄金抛物线的表达式及D点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求：的正切值． ②在射线上找一点P，使以点P、A、D所组成的三角形与相似，求：P点坐标． 2．如图，已知直线与x轴、y轴交于点A、C，点A与点B关于直线轴对称，点D在直线上，且D在第三象限，． (1)求证：求点D及直线解析式； (2)求的正弦值； (3)如果P是射线上一点，且以点P，A，B为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 3．在九年级上册第章图形的相似时，学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】小明想了两种证明定理的方法： （）延长至点，使，连接． （）过点作的平行线交的延长线于点．请从小明的两种证明方法中选择一种证明三角形中位线定理． 【定理应用】如图②，在中，延长到，使，取的中点，连接交于点，求的值． 【能力提升】如图③，在中，点在上，且，点分别是的中点，连接，并延长交的延长线于点，连接．若，，，则的面积为__________． 类型九、三角函数与二次函数 【解惑】二次函数的图象交x轴于点，点，交轴于点，抛物线的顶点为点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，点是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，点在对称轴上，且，若，请求出的值； (3)如图2，将抛物线绕轴正半轴上一点旋转得到新抛物线交轴于，两点，点的对应点为点，点B的对应点为点．若，求旋转中心点的坐标 【融会贯通】 1．如图，已知抛物线与关于轴对称，与轴交于点，与轴交于点和． (1)的解析式 ，试猜想出与一般形式抛物线关于轴对称的二次函数解析式为 ． (2)，的中点是点，则＝ ． (3)如果过点的一条直线与图象相交于另一点，，满足，，则点的坐标为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)将沿轴水平向右平移，平移过程中当点再次落在抛物线上的位置记作，求的坐标和的值； (3)动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ 3．如图1，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点．    (1)①________，②顶点坐标为________； (2)如图2，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及图像的一段，分别记为，．移动该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程； (3)如图3，是抛物线上一点，为射线上的一点，且两点均在第一象限内，是位于直线同侧的不同两点，，点到轴的距离为，的面积为，且，请问的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 类型十、三角函数中的无刻度尺作图 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中边上找到一点D，连接，使； (2)在图②中边上找到一点E，连接，使； (3)在图③中边上找到一点F，连接，使． 【融会贯通】 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C，D都是格点，E为与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先将线段绕点A顺时针旋转到，再在上画点G，使； (2)如图2，先在上画一点H，使，再在上画点P，使． 2．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点D，连接，使； (2)在图②中的边上确定一点E，连接，使； (3)在图②中的边上确定一点F，连接，使． 3．如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，画出的角平分线； (2)在图1中，在线段上画点Q，连接，使得； (3)在图2中，在线段上画点F，连接，使得； (4)在图3中，分别在线段，线段上画M，N，连接，，使得最小． 【一览众山小】 1．如图，，O为射线上一点，以点O为圆心，长为半径作，要使射线与相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 3．如图，在中，， ，于点D．点P从点A出发，沿的路径运动，运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，是直径，弦于点，点是上一点，弦，连接交于点，与的延长线交于点．设，已知，当时， ，连接，若，则 ． 5．如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为 ． 6．如图，是边长为12的等边三角形，点、在边上，如果，，那么 ． 7．如图，河流的两岸、互相平行，河岸上有一排间隔为50米的电线杆C、D、E…某人在河岸的A处测得，然后沿河岸走了110米到达B处，测得，求河流的宽度（结果精确到0.1，参考值：） 8．随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） (1)如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 9．如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线上一动点． ①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值； ②若，求点P的横坐标． 10．如图1，在和中，，，，点在边上，是的中点．连结，是的中点． (1)求证：； (2)如图2，若点恰好在上，求出的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03锐角三角函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、网格中的三角函数 【解惑】如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，勾股定理，正正方形的性质，掌握正切的定义并构造直角三角形是本题的关键． 首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解． 【详解】解：取格点，连接．根据正方形的性质可得， 由勾股定理得，， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了锐角三角函数定义，根据正切函数的定义，可得答案．熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故选：D． 2．如图，的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了网格与勾股定理，余弦值的计算，根据题意，运用网格与勾股定理，等面积法求值点到的距离（即垂线），构造出直角三角形，再根据余弦值的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作与点， ∴，且点到的距离（高）为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，则的正切值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线，构造出合适的直角三角形是解题的关键． 过点作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， 由勾股定理得，， ． 在中，． 故答案为：3． 类型二、胡不归模型 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 作射线，作于E，作于F，交y轴于， 抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当点P在时，最小，最大值等于， 在中，，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造． 【融会贯通】 1．在中，，为上一动点，若，，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】以A为顶点，AC为一边在下方作45°角，过作于，过作于，交于，由，要使最小，只需最小，即BD的长，结合等腰三角形的判定和性质和解直角三角形求解． 【详解】解：以为顶点，为一边在下方作，过作于，过作于，交于，如图： ，要使最小，只需最小， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴最小即是最小，此时与重合，与重合，即最小值是线段的长度， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 又， ∴，， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查线段和的最小值，解题的关键是做45°角，将求的最小值转化为求垂线段的长． 2．如图，在中，．D为边上的一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查利用轴对称求最小值问题，涉及解直角三角形，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，得出，当点D在点处时，取得最小值为的长，然后利用三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：在的下方作，作于点E，作于点F，交于点，则， ， 当点D在点处时，取得最小值为的长． ， ， ， ， 的最小值为3， 故答案为：3． 3．有一则历史放事： 说的是一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后，便日夜赶路回家．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃叨念：“胡不归？胡不归？…” 我们一起来看看小伙子回家路况： 小伙子选择了什么路线？很多同学都认为：两点之间线段最短． 我们研究的不是最短路径，而是最短时间，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？如果存在这种可能，他又要在驿道上行走多远才最省时？ 设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然． 假设从C处进入沙砾地，总共用时为t，则，因为及是确定的，所以只要最小．用时就最少，问题就转化为要求的最小值，我们可以画一条以C为端点的线段，使其等于，并且与线段位于的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点，由三角函数的定义，以为一边作． ，然后，作，则，最后，当点B、C、E在一条直线上时，最小，即的值最小，即用时最少、这类问题成为“胡不归”问题． 请根据上述信息解答下列问题： (1)在中，，，，P是边上一个动点，则的最小值为 ； (2)已知抛物线与x轴交于，，C是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点D． ①求抛物线的解析式； ②若点P是抛物线对称轴上一点，，连接PB，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）延长到点D，使得，则为等边三角形，过点B作交于点P，则此时最小，，有，则； （2）①根据交点可设，解得，即可求得抛物线的解析式；②过点B作交于点P，则的值最小，则，且，即． 【详解】（1）解：延长到点D，使得，如图， 则为等边三角形， 过点B作交于点P，则此时最小， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：； （2）解：①由题意得， ∴，解得， 故抛物线的解析式为； ②过点B作交于点P，如图， 则此时的值最小， ∵， ∴， 则， ∴， 那么，， 【点睛】本题主要考查胡不归的应用，涉及等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质得、待定系数法求二次函数的解析式和解直角三角形．解题的关键是熟悉胡不归的背景及其使用． 类型三、12345模型 【解惑】如图，正方形边上有一点，延长线上有一点F，连、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作交于，连接，则，设，，则，由正方形的性质可得，，证明得出，，再证明得出，再由勾股定理得出，求出，即可得解． 【详解】解：如图：作交于，连接，则， ， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在正方形中，对角线相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交于点，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①证明，可得，由等腰三角形的性质可求； ②证明，可得； ③证明，可得，进而可得结论； ④由外角的性质可求，由勾股定理可求AG，即可求． 【详解】解：①∵四边形是正方形，， ∴，AC⊥BD， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②如图，过点作于， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，故②正确； ③在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 正确的结论有①②③④ 故选：D 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键． 2．如图，在正方形中， 点分别在边上， 且， 交于点，交于点，的延长线交的延长线于点，且，连接．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题重点正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，连接，可证明，得，，可推导出，再证明，则，而，所以，设，则，由勾股定理得可求得，，因此，熟练掌握知识点的应用及正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【详解】连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得，(不符合题意，舍去)， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．    证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．    (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出的值； (3)求直线的解析式． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）首先求出点，然后设，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可； （2）首先根据，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后证明出四边形是矩形，得到，然后由即可求出； （3）首先根据矩形的性质得到，，然后利用求出，进而得到，然后设直线的解析式为，利用待定系数法将和代入求解即可． 【详解】（1）将代入得，， ∴， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴设， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴解得，， ∵点A的横坐标要大于点B的横坐标， ∴应舍去， ∴， ∴， ∴将代入，解得； ∴反比例函数的解析式为； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴解得， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴将和代入得，， ∴解得， ∴直线的解析式为． 【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容． 类型四、仰角、俯角问题 【解惑】慈氏塔位于洞庭湖边西南，塔为楼阁式，八角七层，雄视洞庭湖，为“巴陵胜状”之一，一次数学综合实践活动中，智慧小组设计了如下方案测量慈氏搭的高度．如图，在地面C处测得塔顶A的仰角为，从C点沿水平地面向前走a米到达点D处后，在D处测得塔顶端A的仰角为，即过计算求得塔高．若测得的，，米，请你利用所测数据计算塔高．（结果精确到1米，参考数据：，，）    【答案】米 【分析】此题考查了解直角三角形的实际应用．：设塔高米．在中，，在中，，由得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设塔高米． 在中， ∴， 在中， ∴， ∵，米， ∴ 解得，（米）， 答：塔高为米． 【融会贯通】 1．为传承酒泉文明、弘扬民族精神．某校“综合与实践”小组开展了测量鼓楼（如图①）高度的实践活动，测量鼓楼高度的实践报告如图②，利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为；前进了14米到达A处（测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为．计算鼓楼的高度（结果保留整数）（，，，，，．） 【答案】24米 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 设，则，由锐角三角函数可得，从而可得，解得，即可求得结果． 【详解】解：设，则， 在中，， ∵， ， 在中，， ∵， ， ∴，解得：， 米． 故鼓楼的高度为24米． 2．如图，山上有一铁塔高．山前有一建筑物，从D点走到E点刚好能看到塔顶A，且在E点测得塔顶A的仰角为，继续往前走，到F点又刚好能看到塔底B，并测得B的仰角为，已知，求小山的高（精确到，参考数值：）． 【答案】小山高约为． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，在中，由，可解直角三角形得到，然后设，在中，，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，． ， ． （经检验，是原方程的解，且符合题意）， 小山高约为． 3．嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想． (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． (2)如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，嘉嘉看点的俯角为，眼睛到桌面高度为点到点的距离为，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而利用弧长公式求解即可． （）过点作，于点、，则四边形是矩形，，在中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴边缘点到走过的路径长． （2）解：过点作，于点、，则四边形是矩形，，， ∵，， ∴， ∴， ∵向下看的俯角为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、度直角三角形的性质、求弧长以及矩形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形、度直角三角形的性质是解题的关键． 类型五、方位角问题 【解惑】如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】(1)的长度为米 (2)甲选择的路线较近 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，则，解直角三角形求出、的长，再结合计算即可得解； （2）解直角三角形，分别求出两条路线的长度，比较即可得解． 【详解】（1）解：如图：作于，则， ， 由题意得：米，米，，， ∴在中，，，米， ∴米，米， 在中，，， ∴米， ∴米， ∴的长度为米； （2）解：在中，，，米， ∴米， ∴米， 在中，，，米， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴甲选择的路线较近． 【融会贯通】 1．如下图，、、、是某个景区的四个游客休息区（只有，可骑行），在的正西方向，在的正北方向；在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的东北方向，米．（参考数据：，，，，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)周末小义和小飞相约一起去公园游玩，他们到达后发现有两条路线可到，小义选择路线①，步行速度为每分钟90米；小飞选择路线②，他租了一辆共享单车，骑行速度为每分钟240米，中途在处停留5分钟观赏风景，请你通过计算说明，小义和小飞谁先到达． 【答案】(1) (2)小飞先到达 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，矩形的判定和性质，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过作交延长线于，交于，得到四边形是正方形，在中根据求出，，再在中求出，最后根据计算即可； （2）根据题意分别求出和的长，即可求出两人花费的时间，最后比较大小即可得到结论． 【详解】（1）解：过作交延长线于，交于， 由题意可得，，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长度为米； （2）解：由（1）得，，， ∵小义选择路线①，步行速度为每分钟90米， ∴小义到达用时（分钟）， ∵小飞选择路线②，他租了一辆共享单车，骑行速度为每分钟240米，中途在处停留5分钟观赏风景， ∴小飞到达用时（分钟）， ∴小飞先到达． 2．周末妈妈和小明在位于小明家西北方向的书店看书．回家时，小明想先沿去位于家的正西方向、距家米的菜鸟驿站处取包裹，然后再沿回家；妈妈想先沿去位于家的北偏西方向的干洗店取衣服．然后再沿回家．已知书店位于菜鸟驿站的北偏东方向、干洗店的南偏西方向．（参考数据：，） (1)求小明家与书店的距离（结果保留整效）； (2)小明和妈妈回家的路程相差多少米（结果保留整数）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意，添加辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，则为等腰直角三角形， 则，可求，则，那么，继而； （2）由上知，则小明回家的路程为：，可得，，则，在中，由勾股定理得，那么妈妈的路程为，故路程差为：． 【详解】（1）解：由题意得，， 过点作于点， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由上知， ∴小明回家的路程为：， ∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴妈妈的路程为， ∴路程差为：， 答：路程差为． 3．让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，米．点C在点B的北偏东；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东方向，米． (1)求的长度（精确到个位）； (2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：，，） 【答案】(1)3127米 (2)路线二较近，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作交的延长线于点M，过点B作交于点N，过点D作交于点H，则四边形、四边形、四边形都是矩形，是等腰直角三角形，在中求出的长，进而可求的长，在中，即可求出的长度； （2）分别求出和的长度，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：过点C作交的延长线于点M，过点B作交于点N，过点D作交于点H． 由题可知：，，． ∴四边形、四边形、四边形都是矩形，是等腰直角三角形． 在中， ∵，米， ∴米，米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米米， 答：BC的长度为3127米． （2）解：路线一：米米 ∵米， ∴米， ∴路线二：米米， ∵， ∴路线二较近． 类型六、坡度、坡比问题 【解惑】水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． (1)已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后大坝背水坡面的坡度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理、坡度的定义（是指地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度，即坡角的正切值），熟记特殊角的三角函数值和坡度的定义是解题关键． （1）分别过、作下底的垂线，设垂足为、．在中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度的值，也就得到了的长；以为底，为高即可求出的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积． （2）在中，由勾股定理求的长，即可得到的长；中，根据、的长即可求得坡角的正切值，即坡面的坡度． 【详解】（1）过点作于，过点作于， ∴． 在中，（米）， ∴（米）． ∴（平方米）． ∴需要填土石方体积为：． （2）在中，， ∴． ∴加固后大坝背水坡面的坡度． 【融会贯通】 1．2023年3月11日13时46分日本发生了级大地震，随着着就是海啸．山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角，量得树干的倾斜角为，大树被折断部分和坡面所成的角． (1)求的度数； (2)求这棵大树折点C到坡面的距离？ （结果精确到个位，参考数据：）． 【答案】(1) (2)5米 【分析】该题主要考查了解直角三角形-坡度坡角问题，解题的关键是正确做出辅助线． （1）通过延长交于一点G， 则即可求得； （2）作于点， 作于点M， 先求得的长， 然后再求得的长． 【详解】（1）解：延长交于点G． 在中，． ． 又， ． （2）解：过点A作于点H，于点M． 在中，，， ． ∵， ． 在中，， ． ， 在中，， （米）， 即这棵大树折点C到坡面的距离为5米． 2．如图， 扶梯的坡比为 ， 滑梯的坡比为，平行于地面， 于点 于点 ．若 ，，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部， 然后从滑梯滑下， 他所经过的总路程是多少（结果保留根号）？ 【答案】她经过的总路程为：． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知坡比的定义．首先在直角三角形中求得和，然后就可以知道的长，然后在直角三角形中求得的长即可． 【详解】解：∵扶梯的坡比（与长度之比）为，， ∴， ∴， ∵平行于地面， 于点 于点 ． ∴四边形为矩形， ∴， ∵的坡比（与长度之比）为， ∴， ∴， ∴她经过的总路程为： ． 3．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比），在D处测得该建筑物顶端A的俯角为，则建筑物的高度约为多少米？（精确到米，参考数据：，，） 【答案】建筑物的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出，的长是解题关键．根据坡度，勾股定理，可得的长，再根据平行线的性质，可得，根据同角三角函数关系，可得∠1的正切，根据正切的含义，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：作于E点，作于F点，如图，设，， 则，，， 由勾股定理，得， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴建筑物的高度约为米． 类型七、三角函数与圆 【解惑】如图，射线⊥射线，在射线上，B在射线上，连接．若设．过点的圆交的垂线于点D，连接，，直线，交于点E． (1)求． (2)连接，记的面积为S． ①求S关于t的函数表达式； ②当时，求此时t的值． (3)点A关于直线的对称点为，若落在内部（不包括边界）时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②1 (3) 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形的面积，利用解直角三角形和勾股定理求得相应线段的长度是解题的关键． （1）利用勾股定理可求得，利用同弧所对的圆周角相等和直角三角形的边角关系通过计算即可； （2）①利用勾股定理求出的长，利用（1）②的结论，可得的长，由题意可得为圆的直径，则；利用勾股定理求得的长．利用，可得中边上的高等于，利用三角形的面积公式即可求得结论； ②将已知条件转化为，利用三角形的面积公式代入得到关于t的方程，解方程即可求得结论； （3）利用分类讨论的思想分：①当点A的对称点落在上时，②当点A的对称点落在上时，利用轴对称的性质可得或，进而得到关于t的方程，从而求得当点A落在边界上的t值，由题意可得结论． 【详解】（1）∵， ∴． ∵射线⊥射线， ∴． 在中， ． ∵， ∴； （2）①∵， ∴． ∴设，则， ∴． 在中， ． ∴，． ∵， ∴是圆的直径． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ②∵与的面积差为2， ∴． ∴． 即：． ∴． ∴． 解得：． ∴当与的面积差为2，此时t的值为1． （3）t的取值范围：．理由： ①当点A的对称点落在上时，如图， 则． ∵是圆的直径， ∴平分， 即是的垂直平分线． ∴． ∴． 解得：或． ∵， ∴． ②当点A的对称点落在上时，如图， 则垂直平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 解得：． ∵落在内部（不包括边界）， ∴t的取值范围：． 【融会贯通】 1．如图，在中，，为边上的一点，以为圆心，为半径的圆与切于点，与交于另一点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，切线的性质推出，得到，等边对等角得到，进而得到，即可； （2）连接，过点作，勾股定理求出的长，等积法求出的长，角平分线的性质，得到，即可得出结果； （3），得到，，根据余弦的定义得到，即可． 【详解】（1）证明：连接，则：， ∴， ∵，以为圆心，为半径的圆与切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接，过点作， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即：， ∴， ∵平分，，， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，平行线分线段成比例，求角的余弦值，熟练掌握知识点，并灵活运用，是解题的关键． 2．已知正弦定理：． (1)小明想学习正弦定理，但他不会证明，老师已经给出了思路，请根据思路，帮小明完成证明． 如图，作的外接圆，O为圆心．连接并延长交圆于D，设．根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得：； (2)证明后，老师提出还可以用其他方法证明，请你对此进行证明； (3)接下来请你运用正弦定理，解决下面问题：中，，平分，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等等： （1）解得到，则，同理可得，由此即可证明； （2）过点A作于D，解得到，解，得到，则，即可证明，同理可证明，则； （3）利用正弦定理得到，，则；如图所示，分别过点B和点D作的垂线，垂足分别为E、F，解得到，则，则，解得到，则，设，解得到，解得到，则，可得，则． 【详解】（1）证明：如图，作的外接圆，O为圆心．连接并延长交圆于D，设 根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得：， 在中，， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：如图所示，过点A作于D， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 如图所示，分别过点B和点D作的垂线，垂足分别为E、F， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， 设， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 3．新定义1：多边形顶点之间最长距离与最短距离的比值叫做多边形的特征值，如：正五边形的特征值为． 新定义2：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形． (1)如图，已知四边形为圆O的内接矩形，是圆O的内接三角形，若四边形的特征值为，的特征值为1，求证： (2)设正边形（且n为整数）的一边长与边数值恰好相同，一个内角的余弦值为x，特征值为y，求：y关于x的函数解析式（注：当时，） (3)如图，在梯形中，（），，点B，D在以C为圆心，6为半径的圆上，将梯形绕点C按逆时针方向旋转，使点B与点D重合，此时A，D的对应点是点E，F，设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求：双同正多边形的特征值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)2 【分析】（1）连接，记交于点K，在上取点Q，使得，可知矩形是正方形，为等边三角形，求出，则，设，则，，故，即可证明； （2）当时，则，则正边形中心角为，而中心角与外角相等，故外角，故每一个内角为钝角，画出正边形的局部，设内角，外角，则，故，设正边形的半径为，由题意得：，过点A作，，解直角三角形得，则，，故，化简得：，故，当时，此时每一个内角为，也符合该函数解析式； （3）连接，过点作于点，由旋转得，，设，则以线段为边的正多边形边数为，故以线段为边的正多边形同中心点C，同边数，因此以线段为边的正多边形是双同正多边形，可证明，则，设，由勾股定理得，，则，故，因此双同正多边形的边数为，则该正多边形为正六边形，故特征值为：． 【详解】（1）解：连接，记交于点K，在上取点Q，使得， 对于矩形，由题意得，最长，或最短， ∵四边形的特征值为， ∴或， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，是直径， ∴矩形是正方形， ∴中心角： ∵的特征值为1， ∴或或， ∴为等腰三角形， 若底边不与腰相等，则则不满足特征值为1， ∴为等边三角形， ∴中心角：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴ ∴； （2）解：当时，则， ∴正边形中心角为， 而中心角与外角相等，故外角， ∴每一个内角为钝角， 画出正边形的局部，如图： 设内角，外角， ∵， ∴， 设正边形的半径为， 由题意得：， 过点A作，， 由中心角等于外角得，， ∴， 则， 而， ∴， 化简得：， ∴， 当时，此时每一个内角为，也符合该函数解析式， ∴综上，y关于x的函数解析式为：； （3）解：连接，过点作于点， 由旋转得，， 设， ∴以线段为边的正多边形边数为， ∴以线段为边的正多边形同中心点C，同边数， ∴以线段为边的正多边形是双同正多边形， 当两个正多边形面积比为时， 则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， 设， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴双同正多边形的边数为， ∴该正多边形为正六边形，如图： ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴则最长距离为，最短距离为， ∴特征值为：． 【点睛】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，难度较大，正确理解题意是解决本题的关键． 类型八、三角函数与相似 【解惑】如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值． (2)当时，求的长． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（）由勾股定理和题意得，，，即得，再分和两种情况解答即可求解； （）过点作于，则，由可得，设，则，由可得，得到，，即得，再由，可得，据此即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 又由题意得，，， ∴， 当时，， 则， ∴， 解得； 当时，， 则， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似； （2）解：过点作于，则， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【融会贯通】 1．新定义：对于抛物线，若，则称该抛物线是黄金抛物线，若抛物线是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求：此黄金抛物线的表达式及D点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求：的正切值． ②在射线上找一点P，使以点P、A、D所组成的三角形与相似，求：P点坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或． 【分析】（1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可； （2）①将点代入解析式，求出的值，求出对称轴，得到的值，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，利用正切的定义，求解即可；②分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线是黄金抛物线， ， 抛物线的表达式为， 配方得：， 点的坐标为； （2）解：①由（1）得：抛物线的对称轴是直线， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线上， ， ， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线的对称轴上， ， ， ， ， ， ， ． ②存在， 过点作，垂足为 抛物线与轴交于点， 点的坐标为， 点的坐标为， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， 要使以点、、所组成的三角形与相似，有两种情况 第一种：， ∵， ， ， ， ，， ， 点在射线上， 点的坐标为； 第二种：，则， 又，， ∴与全等，相似比为1， ∴， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 2．如图，已知直线与x轴、y轴交于点A、C，点A与点B关于直线轴对称，点D在直线上，且D在第三象限，． (1)求证：求点D及直线解析式； (2)求的正弦值； (3)如果P是射线上一点，且以点P，A，B为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）求解，设，利用，可得，设直线解析式为，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）过作，连接，求解直线的解析式为，可得直线与轴的交点，利用，再进一步求解即可； （3）如图，证明，，分当，则，当，则，再进一步求解即可； 【详解】（1）解：直线与轴、轴交于点、， ，， 点与点关于直线轴对称， ， 点在直线上， 设， ， ， ∴或，经检验符合题意； ∵D在第三象限， ． 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为． （2）解：过作，连接， 同理可得：直线的解析式为， 当时，则， ∴直线与轴的交点， ， ， ， ∵，， ∴， 中，． （3）解：如图， 由，可得， 直线的表达式为， ， 即，， 当，则， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形时， ∴； 当，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，即， ∴， ． 综上，或． 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键. 3．在九年级上册第章图形的相似时，学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】小明想了两种证明定理的方法： （）延长至点，使，连接． （）过点作的平行线交的延长线于点．请从小明的两种证明方法中选择一种证明三角形中位线定理． 【定理应用】如图②，在中，延长到，使，取的中点，连接交于点，求的值． 【能力提升】如图③，在中，点在上，且，点分别是的中点，连接，并延长交的延长线于点，连接．若，，，则的面积为__________． 【答案】定理证明：（）证明见解析；（）证明见解析；定理应用：；能力提升：． 【分析】定理证明：（）延长至点，使，连接，证明，可得，，即得，，可得四边形是平行四边形，得到，，进而可得，；（）过点作的平行线交的延长线于点，证明，得到，，进而得，即得四边形是平行四边形，得到，，即可得，； 定理应用：如图②，连接，由三角形中位线性质可得，，进而由可得，据此即可求解； 能力提升：作，于，则，可得，得到，得到，，进而得，又由，得到，可得，得到，再根据三角函数可得，，由可得，进而由勾股定理得，得到，可得，最后根据即可求解． 【详解】定理证明：（）延长至点，使，连接， ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，； （）过点作的平行线交的延长线于点， ∵， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； 定理应用：如图②，连接， ∵点为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 能力提升：作，于，则， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 类型九、三角函数与二次函数 【解惑】二次函数的图象交x轴于点，点，交轴于点，抛物线的顶点为点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，点是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，点在对称轴上，且，若，请求出的值； (3)如图2，将抛物线绕轴正半轴上一点旋转得到新抛物线交轴于，两点，点的对应点为点，点B的对应点为点．若，求旋转中心点的坐标 【答案】(1) (2) (3)R 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明，则，即可求解； （3）在中，，，则，解得，在中，，故点的坐标为，进而求解． 【详解】（1）解：将，点，代入函数解析式得：， 解得：， 这个二次函数的表达式是； （2）解：过点作轴的平行线交过点与轴的平行线与点，交过点与轴的平行线于点， ，， ， ， ， ， 设点的坐标为，点的坐标为， 则，，，， 即， 解得（舍去）或4， 故； （3）解：过点作交的延长线于点， 由抛物线的表达式知，点，， 则， ，故， 故设，则， 在中，，， 则，解得， 在中，， 故点的坐标为， 由旋转的定义知，点是点、的中点， 则， 故点的坐标为． 【点睛】本题要考查了二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、图形的旋转、解直角三角形，解题的关键是正确的利用性质． 【融会贯通】 1．如图，已知抛物线与关于轴对称，与轴交于点，与轴交于点和． (1)的解析式 ，试猜想出与一般形式抛物线关于轴对称的二次函数解析式为 ． (2)，的中点是点，则＝ ． (3)如果过点的一条直线与图象相交于另一点，，满足，，则点的坐标为 ． 【答案】(1)； (2) (3)或或或. 【分析】（1）可先求出抛物线的顶点坐标，然后根据两抛物线关于轴对称得出所求抛物线的顶点，可用顶点式二次函数通式来设所求的抛物线的解析式，然后将两函数轴的交点的坐标代入所求的抛物线中即可得出其解析式，两抛物线关于轴对称，其开口方向，开口大小以及与y轴的交点都一样，因此的值不变，而两函数的对称轴关于轴对称，因此值互为相反数，进而求解； （2）先求出的坐标，过点作，那么关键是求出和的长，可在直角三角形中，用的长和的正弦值求出的长，然后在直角三角形中，根据勾股定理求出的长，据此可得出的值； （3）可设直线的解析式为，由于是两函数的交点，因此可联立两函数的解析式，用表示出的值，当时，当时分别来求解． 【详解】（1）解：在中 ，， 的顶点为， 抛物线与关于轴对称， 的顶点的为． 设， 与轴的交点， 即与轴的交点， ， ∴所求二次函数为：． 猜想： 与一般形式抛物线关于轴对称的二次函数解析式是． 故答案为：；． （2） 解：过点作． 抛物线与轴的交点， ∵当时，， ∴与y轴交点，中点， 是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ． 在中，， ． 故答案为：． （3）解：设过点的直线为， 则， ， 则， 解得，， 则，， 当时，由已知是方程的解， 故， 即， 化简， 则，． ∴点的坐标是或． 当时，则， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 综上所述，的坐标是：或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了关于轴对称的函数解析式的关系，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数解析式的确定、轴对称图形、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)将沿轴水平向右平移，平移过程中当点再次落在抛物线上的位置记作，求的坐标和的值； (3)动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ 【答案】(1) (2)， (3)，最小值 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，，证明是等腰直角三角形，得出，把代入求出，，得出，过点作于，连接，求出，得出，根据三角函数的定义求出． （3）过点作轴，垂足为，求出，求出，根据二次函数的性质，求出结果即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 则， 解得：， 抛物线表达式为； （2）解：在中令，得， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， 把代入得： ， 解得：，， ， 过点作于，连接，如图所示： ， 解得， ∵， ∴， ． （3）解：如图，过点作轴，垂足为， 则是等腰直角三角形，由题意可知， ，即， 又， ， ， 当、其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， ∴， 即 ， 当时，四边形的面积取得最小值． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的最值，求角的正切值，勾股定理，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，数形结合，作出辅助线． 3．如图1，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点．    (1)①________，②顶点坐标为________； (2)如图2，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及图像的一段，分别记为，．移动该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程； (3)如图3，是抛物线上一点，为射线上的一点，且两点均在第一象限内，是位于直线同侧的不同两点，，点到轴的距离为，的面积为，且，请问的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)的为定值，定值为 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线表达式即可得出的值，从而得出抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可； （2）求出点移动的最短路程为顶点移动到的距离，结合勾股定理计算即可； （3）由得出，证明即可得解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴相交于点和点， ， 解得：， 二次函数解析式为：， 顶点坐标为； （2）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 原抛物线的顶点坐标为， ∴点移动的最短路程为顶点移动到的距离， ∴最短距离为 （3）解：的为定值，定值为4； ∵，，点到轴的距离为， ∴， ∵， ∴， ∵和有同底， ∴点到直线的距离相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的为定值，定值为4．    【点睛】本题考查了二次函数综合应用，涉及到全等三角形的判定与性质、解直角三角形、二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握并灵活应用以上知识点是解此题的关键． 类型十、三角函数中的无刻度尺作图 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中边上找到一点D，连接，使； (2)在图②中边上找到一点E，连接，使； (3)在图③中边上找到一点F，连接，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】本题主要考查作图应用与设计作图，解直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用． （1）取的中点，连接即可； （2）延长交于格点，取格点，连接与交于点，连接即可； （3）取格点，作射线交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，点D即为所求； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图②中，点E即为所求； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 根据（1）得：， ∴． （3）解：如图③中，点F即为所求． ． 【融会贯通】 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C，D都是格点，E为与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先将线段绕点A顺时针旋转到，再在上画点G，使； (2)如图2，先在上画一点H，使，再在上画点P，使． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查的是格点作图题、图形的旋转作图及三角函数计算、三角形中位线定理应用， （1）在上取点H，使，连接并延长，交于点G，则点G即为所求； （2）在的延长线上取点Q，使，过点Q作的垂线，交于点P，则，可得为的中位线，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，线段即为所求． 在上取点H，使，连接并延长，交于点G， 则：， 即， 则点G即为所求． （2）如图2，即为所求． 在的延长线上取点Q，使，过点Q作的垂线，交于点P， 则， 则为的中位线， 垂直平分， ， 则点P即为所求． 2．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点D，连接，使； (2)在图②中的边上确定一点E，连接，使； (3)在图②中的边上确定一点F，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格作图，涉及勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质、三角形的面积比等知识，熟知网格特点和相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据勾股定理及其逆定理判断出，只需取格点D，使即可； （2）取格点K、S，连接交与E，根据相似三角形的判定与性质得到，进而可得点E即为所求作； （3）取格点M、N，连接交于F，根据勾股定理和正切定义可得点F即为所求． 【详解】（1）解：如图，点D、即为所求 ∵，，， ∴，则， 又， ∴； （2）解：如图，点E、即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，点F、即为所求； 由图知，，， 由（1）知， ∴． 3．如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，画出的角平分线； (2)在图1中，在线段上画点Q，连接，使得； (3)在图2中，在线段上画点F，连接，使得； (4)在图3中，分别在线段，线段上画M，N，连接，，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，等腰三角形三线合一的性质，平行线分线段成比例定理推论，相似三角形的判定和性质，对称的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识．解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）连接，，与交于点，作射线即可； （2）连接交于点，连接，点Q即为所求作； （3）取格点，连接交于点，点即为所求作； （4）连接交于点，取格点，连接交网格线于点，连接并延长交于点，点，即为所求作． 【详解】（1）解：如图1，连接，，与交于点，设小正方形的边长为1个单位， ∵线段与是矩形的两条对角线且交于点， ∴， 又∵，根据等腰三角形三线合一， ∴平分， ∴射线即为所作； （2）解：如图1，连接交于点，连接， ，， ， ， ， ， ， 点Q即为所求作． （3）解：如图2中，取格点，连接交于点，连接，设小正方形的边长为1个单位， ， 由（2）知，，， ， 又，，， ，，， ， ， ， ， ， ，即， 点即为所求作． （4）解：如图3中，连接交于点，取格点，连接交网格线于点，连接并延长交于点，连接，设小正方形的边长为1个单位， ，， 是等腰直角三角形，， 和关于对称， 点和点是关于对称， ，与关于对称， 由（2）知，， ， ， ， ， ，即此时最小． 点，即为所求作． 【一览众山小】 1．如图，，O为射线上一点，以点O为圆心，长为半径作，要使射线与相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，切线的性质，解直角三角形，设旋转后与相切于点D，连接，根据切线的性质和三角函数，求出，再分点D在射线上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，设旋转后与相切于点D，连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴当点D在射线上方时，， 当点D在射线下方时，， 故选：B． 2．潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 3．如图，在中，， ，于点D．点P从点A出发，沿的路径运动，运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象的性质的应用，矩形和正方形的判定与性质，锐角三角函数等知识，由题意可知，当点P从点A出发，沿路径运动时，四边形是矩形，当点P沿路径运动时，四边形是正方形，分别求解即可，求出相应的函数关系式并判断图象是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵于点D， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点P运动的路程为x， ∴当点P从点A出发，沿路径运动时，即时， ∴，则， ∴， ∵四边形的面积为y， ， ∴当时，抛物线开口向下； 当点P沿路径运动时，即时， ∵是的平分线， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ， ∴当时，抛物线开口向上， 综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是A选项， 故选：A． 4．如图，在中，是直径，弦于点，点是上一点，弦，连接交于点，与的延长线交于点．设，已知，当时， ，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】先根据直径所对的圆周角是以及垂直定义，得，结合，，即可证明，得，证明，则，即，故，根据勾股定理列式作答即可；如图，因为，是直径，所以，因为，所以，设，，则，由三角函数得，即可列式计算作答． 【详解】解：是直径，弦于点 ，， ， ， ，， ， ， 故， ，， ， ， 即 ， ， 故， ， 在中，， ， 解得， ， 则， 如图：当时， ∵是直径，弦于点， ， ， ， 设，， 则， 由三角函数得，， ，， ． 解得． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，锐角三角函数，勾股定理，圆周角定理，平行线的性质：难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点E，连接，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，正切函数的定义．利用等角的余角相等求得，推出，求得，根据的面积计算即可求解． 【详解】解：作，垂足为点F， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 6．如图，是边长为12的等边三角形，点、在边上，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明是解题的关键．过点A作于于H，由等边三角形的性质及得，从而；再由正弦函数求得，最后由正切函数可求得，从而求得结果． 【详解】解：过点A作于于H，如图， ∵是等边三角形， ∴，，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∴； 故答案为：． 7．如图，河流的两岸、互相平行，河岸上有一排间隔为50米的电线杆C、D、E…某人在河岸的A处测得，然后沿河岸走了110米到达B处，测得，求河流的宽度（结果精确到0.1，参考值：） 【答案】河流的宽度约为82.0米 【分析】本题考查解直角三角形，平行四边形的判定及性质．过点C作于点F，过点D作于点G，可得到四边形是平行四边形，从而，，根据解直角三角形得到在中，，在中，，根据即可求解． 【详解】解：过点C作于点F，过点D作于点G， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴ ∴， 即河流的宽度约为82.0米． 8．随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） (1)如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1)端点距离地面的高度约为； (2)的长约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意得：，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ，， ， 在中，， ， ， ， 端点距离地面的高度约为； （2）解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 答：的长约为． 9．如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线上一动点． ①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值； ②若，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）①当时，，即，，，待定系数法求直线的解析式为；如图1，设，则，，由，可知当时，有最大值，由轴，轴，可得，，由勾股定理得，，进而可求的最大值；②如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于， 由轴对称的性质可知，，，则，，，由勾股定理得，，如图2，作于，由，即，可求，由勾股定理得，，则，由，即，可求，即，待定系数法求直线的解析式为，联立，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴； （2）①解：当时，，即， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 如图1， 设，则，， ∵， ∴当时，有最大值， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最大值为； ②解：如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于，      由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 如图2，作于， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立，， 解得，或（舍去）， ∴点P的横坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，正切等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，正切是解题的关键． 10．如图1，在和中，，，，点在边上，是的中点．连结，是的中点． (1)求证：； (2)如图2，若点恰好在上，求出的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明结论即可； （2）如下图，连接，由（1）可知，，，由相似三角形的性质可得，利用等腰三角形“三线合一”的性质以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，即，再证明，易得，然后根据求解即可； 【详解】（1）证明：：∵，，， ∴， ∴，即，， ∴； （2）解：如下图，连接， 由（1）可知，，， ∴， ∵，，是的中点， ∴，，即， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，解直角三角形的相关计算，等边对等角等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$