专题02图形的相似（优质类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题02图形的相似思维导图 【类型覆盖】 类型一、相似三角形中的最值 【解惑】如图，在中，，，，的顶点在上运动，且，，为线段的中点，连接，在点运动过程中，线段长的最小值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，， ，，动点，分别在边，上，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，．点是上的动点，点是的中点，，相交于点，则的最小值为 ． 3．如图，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，若，则的最小值是 ． 类型二、重心的有关性质 【解惑】在中，，，，点G是的重心，，垂足为点E，那么线段的长是（    ） A．2 B． C．2 D． 【融会贯通】 1．如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，且的面积为，则的面积为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 2．若直角中，两条直角边长为6和8，为的重心，则的长为 ． 3．如图在中，是三角形的重心，，，则的长为 ． 类型三、平行辅助线 【解惑】如图，在中，是边上中线，是上一点，且，连接并延长交于，则等于（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是中线，是角平分线，，交于点．若，则的值为 ． 3．如图，在中，D、E分别是的中点，与相交于点G，如果，那么 ． 类型四、相似中的比值 【解惑】如图，平行四边形中，为的中点，延长至，使，连接交于点，则等于（ ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在平行四边形中，是上的一点，，连接，且交于点，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，为中点，延长至，使，连结交于点，则 ． 3．如图，在中，对角线和相交于点，，，． （1）判断形状是 ； （2）延长至点，连接交于点，若，则的值为 ． 类型五、四边形中的相似 【解惑】已知平行四边形，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求证：． 【融会贯通】 1．如图，E为菱形的边上一点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)作于点H，，，，求的长． 2．如图，锐角中，，边上的高，矩形的边在上，其余两点、分别在、上，且交于点． (1)求的值； (2)设，矩形的面积为． 求与的函数关系式； 请直接写出的最大值为 ． 3．如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，．过点E作，垂足为G，连接． (1)求的度数； (2)若，求的值． 类型六、相似与圆 【解惑】如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点，垂足为点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【融会贯通】 1．已知是的直径，．点A是圆外一点，点D和点E在同一条直线上．且．过点A另一条直线交于B、C． (1)如图1，当时，研究发现：连接、可以得到，继而可以求长．请写出完整的解答过程． (2)如图2，当B、C重合于一点时，______． (3)如图3，当平分时，______． 2．如图，为的直径，点为圆上一点，连接，过点作的切线，连接交于点，交于点，连接，且平分． (1)求证：； (2)若，求的半径． 3．阅读与思考 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下： 如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：． 证明：连接并延长交于点C，连接，，． ∵是的切线， ． ∵是的直径， （依据：______）． ， ． 又（依据：______）， ． ………… 任务： (1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格； (2)把证明过程补充完整； (3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长． 类型七、相似与二次函数 【解惑】二次函数的图象交x轴于点和B，交y轴于点C． (1)求b的值； (2)如图，M为函数图象上一点，满足，求点M的横坐标． 【融会贯通】 1．如图，二次函数（）的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，是否存在点M使得有最大值，若存在，请直接写出其最大值及此时点M坐标，若不存在，请说明理由． (3)连接，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴，垂足为D，连接，若与相似，请求出满足条件的P点坐标：若没有满足条件的P点，请说明理由． 2．二次函数的图象与轴交于，两点，点为y轴负半轴上一点，且． (1)求二次函数表达式： (2)点是线段（包含，）上的动点，过点作轴的垂线，交二次函数图象于点，交直线于点，若以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接，是否存在一点，使得与相似，若存在，请求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 类型八、相似三角形动点求t 【解惑】在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当t为多少时，的长度等于？ (2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，cm，cm，动点、分别从点、同时出发，点以3cm/的速度沿折线向终点运动，点以2cm/的速度沿向终点运动，当点停止运动时，点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当________时，四边形的面积为cm2； (2)当点在边上运动时，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设的面积为，求关于的函数关系式； (4)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 2．如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线向终点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过P作于D，以为邻边作矩形，设点P运动的时间是t（秒）． (1)线段的长为____________； (2)当矩形恰好是正方形时，求t的值； (3)当时，求t的值： (4)延长到点Q，使，连结．当直线分矩形的面积为两部分时，直接写出t的值． 3．如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)求点E落在区域（含边界）内的时长； (3)连接，当与相似时，求t的值； (4)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 类型九、相似中的无刻度尺作图 【解惑】如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论） (1)在图中，仅用无刻度直尺在线段上找一点M，使得； (2)在图中，以为公共角，仅用无刻度直尺在线段、上分别找一点P、Q，使与相似但不全等． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，__________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接，使∽． 2．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图1中画出的中线； (2)在图2中的边上找到一点F，使； (3)在图3中画出的高线． 3．图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①的网格中确定一点D，连结，使与全等．（画出两个） (2)在图②中的边上确定一点E，连结，使； (3)在图③中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连结，使，且相似比为． 类型十、相似三角形中的新定义 【解惑】定义：如图1，在中，把绕点A按逆时针方向旋转并延长一倍得到，把绕点A按顺时针方向旋转β，并延长一倍得到，连结．当时，称为的“倍旋三角形”， 的边上的中线叫做的“倍旋中线”． (1)如图①，当时，“倍旋中线”的长为 ___________； (2)如图②，当为等边三角形时，“倍旋三角形”与的数量关系为 ___________． (3)在图③中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明． 【融会贯通】 1．请阅读下面材料，并完成相关任务： 定义：点P是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点P是的“相似点”． 例：如图①，点P在的内部，，则，故点P为的“相似点”． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： (1)如图②，在中，，平分，求证：点P为的“相似点”； (2)如图③，若为锐角三角形，点E是的“相似点”，且点B与点A对应，点E在的平分线上，连接，若，求的值； (3)如图④，在菱形中，E是上一点，F是内一点，且，连接与交于点G，连接，若点G是的“相似点”，且，求证：． 2．定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．    (1)利用尺规在图1中作出以点为直角顶点，以为直角边的“型三角形”；（作出一种情况即可） (2)如图2，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，证明是“型三角形”； (3)如图3，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，利用尺规作图在中作出一个，使得是“型三角形”（其中）． 3．定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为邻似三角形． (1)[初步理解]如图，四边形中，对角线平分，，求证：和为邻似三角形； (2)[尝试应用]在（1）的基础上，如图，若，，，求四边形的周长； (3)[拓展应用]如图，四边形中，和为邻似三角形，对角线平分，且．若，，，求的面积． 【一览众山小】 1．如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（   ）      A． B． C．2 D．5 2．如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，四边形和均为正方形，若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 4．如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为 ． 5．如图，在中，，，如果，，那么 ． 6．如图，在中，，，．点为边中点，点为线段上一动点．将沿折叠，点的对应点为，直线与线段交于点．当与相似时，线段的长为 ． 7．如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点． (1)如图1，当三角板的一条直角边交于点,另一条直角边交于点时，求证： ． (2)如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． (3)在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长． 8．已知点在直线上，此直线与x轴交于点B，直线轴，垂足为点D，作垂直于，垂足为点C，直线与相交于点P． (1)求点B坐标． (2)求点P坐标． (3)联结，得，若直线上存在点M，使与相似，求点M坐标． 9．直线与轴、轴分别交于点、点，抛物线经过点、，且轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限内抛物线上的一动点． ①如图1，若，求点的坐标； ②如图2，与交于点，求的最大值． 10．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是，那么称这个三角形为“好运”三角形，这条边就叫做这个三角形的“好运底”． (1)如图1，在中，，，，试判断是否是“好运”三角形，请说明理由． (2)如图2，是“好运”三角形，是“好运底”，把沿翻折得到，交的延长线于点E，若，求的值． (3)如图3，，且直线a与b之间的距离为4，“好运”的“好运底”在直线b上，点A在直线a上，，若是钝角，将绕点C按顺时针方向旋转得到，线段交直线a于点D，当点落在直线a上时，求的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02图形的相似思维导图 【类型覆盖】 类型一、相似三角形中的最值 【解惑】如图，在中，，，，的顶点在上运动，且，，为线段的中点，连接，在点运动过程中，线段长的最小值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用相似进行转化先得出，是的中点，可得，再根据当时，最短，此时最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得的最小值，即可得出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中， ∴， ∴，即， ∵是的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∴当时，最短，此时最短， 当时，的面积， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形面积的计算等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短得到线段的最小值． 【融会贯通】 1．如图，在中，， ，，动点，分别在边，上，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线路最短的问题，相似三角形的性质与判定，作关于的对称点，过作于，交于，则的最小值，解直角三角形得到，根据三角形的面积公式得到，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，过作于，交于，则为的最小值，   在中，，，， ， ，， ， 即 故选：A． 2．如图，在矩形中，，．点是上的动点，点是的中点，，相交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在几何中的应用，矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；作于M，于N，设， ，，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，可求得：，同理可证，可求得，由勾股定理得，再由二次函数的性质即可求解；掌握矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，能构建相似三角形，熟练利用勾股定理得到二次函数是解题的关键. 【详解】解：如图，作于M，于N， 四边形是矩形， 设， ，， ，，，， 是中点， ， 四边形是矩形， ，，，， ，，， ， ， ， 整理得：①， 同理可证：， ②， 将代①入②得：， ， 在中，， ， 当时，的最小值为， 的最小值为， 故答案：． 3．如图，在菱形中，，，点E，F分别是，上的点，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理，会构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意构造相似三角形，作，取，连接，，得到，进而得出，当三点共线时，的值最小，即的值最小，最后利用勾股定理即可解出． 【详解】作，取，连接，，如图所示， 在菱形中， ， ， ， ， ， 当三点共线时，的值最小，即的值最小， 在菱形中，， ，是等腰三角形， ，， ， 在中，， ， 故答案为：． 类型二、重心的有关性质 【解惑】在中，，，，点G是的重心，，垂足为点E，那么线段的长是（    ） A．2 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握三角形重心的性质是解决问题的关键；延长交于，根据勾股定理求出，再证明，结合重心的性质可得，即可求出． 【详解】解：如图，延长交于， ，，， ， 点G是的重心， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【融会贯通】 1．如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，且的面积为，则的面积为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形中线的性质，由线段的比例关系和的面积即可得的面积为，进而可得的面积为9，根据中线的性质，即可求解． 【详解】解：∵点为的重心， ∴ ∵的面积为， 的面积为， 的面积为， 点为的中点， 的面积等于的面积， 的面积为． 故选：C． 2．若直角中，两条直角边长为6和8，为的重心，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心，直角三角形的性质，勾股定理，掌握三角形的重心性质：三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据重心和直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图， 为的重心， 为的中点，， ，两条直角边长为6和8， ， ， ， 故答案为：． 3．如图在中，是三角形的重心，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质及其应用问题，延长交于点H，证明，，即可解决问题． 【详解】解：延长交于点H， 则H是的中点， ∴， 又∵是三角形的重心， ∴， 故答案为：． 类型三、平行辅助线 【解惑】如图，在中，是边上中线，是上一点，且，连接并延长交于，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是求出、、之间的关系．先过点作交于，由平行线分线段成比例可得，再根据，得出，最后根据，即可得出答案． 【详解】解：过点作交于， 是边上中线， ， 即， 又， ， ， ； 故选：D 【融会贯通】 1．如图所示，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．过C作，交于，根据相似三角形的判定推出，，根据相似得出比例式，根据已知条件即可得出答案． 【详解】解：过C作，交于， ∵， ∴， ， ∵，即， ，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故选：D． 2．如图，在中，是中线，是角平分线，，交于点．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质以及相似三角形的判定以及性质，根据三角形的相似比得出对应边的比值是解题关键． 如图，过点作的平行线，延长交平行线于点，由角平分线的性质以及平行线的性质可以得出，即可得出的值，由两直线平行内错角相等以及对顶角相等分别证明，，得出对应边的比值相等，设，将、分别用表示，求出比值即可． 【详解】如图，过点作的平行线，延长交平行线于点， 平分， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 设，则，， 在与中， ， ， ， 是中线， ， ， ， ， =3， ，， ， ． 故答案为：． 3．如图，在中，D、E分别是的中点，与相交于点G，如果，那么 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，先过点E作，交于点F，根据相似三角形的性质可得，进而得出，再结合的长求出，然后证明，可得答案． 【详解】过点E作，交于点F， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：9． 类型四、相似中的比值 【解惑】如图，平行四边形中，为的中点，延长至，使，连接交于点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．利用平行四边形的性质和得到，证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得到答案 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴可设， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在平行四边形中，是上的一点，，连接，且交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，先根据已知条件得出，进而可得，，，由此可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ． 故选D． 2．如图，在平行四边形中，为中点，延长至，使，连结交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质． 先根据平行四边形的性质得到，，再证明，接着证明，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ， ， 为中点， ， 即 ， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，在中，对角线和相交于点，，，． （1）判断形状是 ； （2）延长至点，连接交于点，若，则的值为 ． 【答案】 菱形 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，则，即可得出结论； （2）过点作，交于点，则，得，由菱形的性质得，，再证，得，然后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，． ，， ， ， 是直角三角形，且， ， 是菱形； 故答案为：菱形 （2）解：如图，过点作，交于点， 则， ， 由（1）可知，是菱形， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为： 类型五、四边形中的相似 【解惑】已知平行四边形，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识． （1）由平行四边形的性质得，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由得，则，由相似三角形的性质得，则，所以，则． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ，垂足为，，垂足为， ， ； （2）证明：∵，，， ， ， ， ， ， ， 与相等或互为相反数， ，， ． 【融会贯通】 1．如图，E为菱形的边上一点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)作于点H，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由菱形的性质可得，证明得出，即可得证； （2）连接．由勾股定理得出，证明，由相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接．   ，， ． ，， ． ， ， ∴， ∴． 2．如图，锐角中，，边上的高，矩形的边在上，其余两点、分别在、上，且交于点． (1)求的值； (2)设，矩形的面积为． 求与的函数关系式； 请直接写出的最大值为 ． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）由矩形的性质可得，由垂线的定义和平行线的性质可证得，由可证得，于是有； （2）由可得，由矩形的性质可证得四边形是矩形，于是有，由即可得出与的函数关系式；将与的函数关系式化成顶点式并求其最值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得：， ， 四边形是矩形， ， 又， 四边形是矩形， ， ； ， ， 当时，有最大值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，用关系式表示变量间的关系，二次函数的图象与性质，求二次函数的最值等知识点，构建二次函数解决最值问题是解题的关键． 3．如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，．过点E作，垂足为G，连接． (1)求的度数； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过点G作，交于点N，延长交的延长线于点M，则四边形是矩形，证明，得出为等腰直角三角形从而得到，即可得解； （2）设，则，求出，，再由平行线分线段成比例定理即可得解． 【详解】（1）解：过点G作，交于点N，延长交的延长线于点M， ， 则， 四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 为等腰直角三角形， ， ； （2）解：设，则， ， ， ∵， ∴． 类型六、相似与圆 【解惑】如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点，垂足为点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由等边对等角得出，由角平分线的定义得出，推出，从而得出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）连接交于，证明四边形为矩形，得出，，，证明，得出，从而得出，，求出的长，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接交于， ， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【融会贯通】 1．已知是的直径，．点A是圆外一点，点D和点E在同一条直线上．且．过点A另一条直线交于B、C． (1)如图1，当时，研究发现：连接、可以得到，继而可以求长．请写出完整的解答过程． (2)如图2，当B、C重合于一点时，______． (3)如图3，当平分时，______． 【答案】(1)；过程见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）连接、，证明，得出，求出． （2）连接，根据当B、C重合于一点时，与相切于点C，得出，求出． （3）连接，根据角平分线定义得出，证明，，得出，即，求出，，即可求出结果． 【详解】（1）解：连接、，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． （2）解：连接，如图所示： ∵当B、C重合于一点时，与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：，， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，切线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 2．如图，为的直径，点为圆上一点，连接，过点作的切线，连接交于点，交于点，连接，且平分． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的切线的性质和相似三角形的性质是解题关键． （1）先根据圆周角定理可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据圆的切线的性质可得，从而可得，由此即可得证； （2）先根据等腰三角形的判定与性质可得，根据勾股定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 所以的半径为． 3．阅读与思考 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下： 如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：． 证明：连接并延长交于点C，连接，，． ∵是的切线， ． ∵是的直径， （依据：______）． ， ． 又（依据：______）， ． ………… 任务： (1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格； (2)把证明过程补充完整； (3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长． 【答案】(1)直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等 (2)见解析 (3) 【分析】（1）有题意可知利用了直径所对的圆周角是直角混合同弧所对的圆周角相等； （2）进一步证明，有即可； （3）连接AD，BF，利用切割定理即可求得，，，则，结合勾股定理求得．进一步证明，则，求得，即可求得． 【详解】（1）解：根据题意可得，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等； （2）证明： 又， ． ． ． （3）解：如图，连接，， ， ∴设，，，则． ∵是的切线，是割线， ∴由切割线定理得，则， 解得或（舍去）， ，，，则． ∵AB是的直径，AC是的切线， ． ． ，， ，则． ， ． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等以及勾股定理，解题的关键是熟悉圆的相关知识和相似三角形的性质． 类型七、相似与二次函数 【解惑】二次函数的图象交x轴于点和B，交y轴于点C． (1)求b的值； (2)如图，M为函数图象上一点，满足，求点M的横坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式是、二次函数综合、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点M作于点H．证明，得出，设，则，，结合题意得出，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得； （2）解：过点M作于点H． ， 令，则， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 整理，得，或， 由，得（舍），． 由，得（舍），． 点M的横坐标为或． 【融会贯通】 1．如图，二次函数（）的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，是否存在点M使得有最大值，若存在，请直接写出其最大值及此时点M坐标，若不存在，请说明理由． (3)连接，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴，垂足为D，连接，若与相似，请求出满足条件的P点坐标：若没有满足条件的P点，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)的最大值为，点M坐标为； (3)满足条件的点坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，一元二次方程法解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）延长交对称轴于点M，此时有最大值，求得直线的解析式，据此即可求解； （3）设，由题意得：，，，再利用相似三角形的性质得出比例式，解关于的方程即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ． ，， 二次函数的图象经过点，，， ，解得：， 该二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 延长交对称轴于点M，此时有最大值， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点M坐标为； 答：的最大值为，点M坐标为； （3）解：设， 轴，为第一象限内抛物线上一点， ，，， ， 与相似， 或， 或． 解得：，或，． ， ． 与相似，满足条件的点坐标为． 2．二次函数的图象与轴交于，两点，点为y轴负半轴上一点，且． (1)求二次函数表达式： (2)点是线段（包含，）上的动点，过点作轴的垂线，交二次函数图象于点，交直线于点，若以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数表达式为； (2)存在，． 【分析】（）利用待定系数法求解析式即可； （）由，求出直线解析式为，过作轴的垂线，交二次函数于点，交直线于点，令，则，，由，得，故，因而有，即，求出的值即可； 本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形和求一次函数解析式，灵活运用知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵过点，， ∴，解得：， ∴二次函数表达式为； （2）存在，理由， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 如图，过作轴的垂线，交二次函数于点，交直线于点， ∵， ∴， 令，则，， 由题意可知，不可能垂直，即， ∴当时，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或， 经检验时方程的解， ∴． 3．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接，是否存在一点，使得与相似，若存在，请求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)该二次函数的表达式为； (2)满足条件的点坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）设，由题意得：，，，再利用相似三角形的性质得出比例式，解关于的方程即可得出结论． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得：， 该二次函数的表达式为； （2）解：设， 轴，为第一象限内抛物线上一点， ，，， ， 与相似， 或， 或． 解得：，或，． ， ．则 与相似，满足条件的点坐标为． 类型八、相似三角形动点求t 【解惑】在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当t为多少时，的长度等于？ (2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了由动点产生的相似三角形问题．熟练掌握勾股定理，相似三角形性质是解题的关键． （1）利用勾股定理得出，列方程，解方程，即可得出结论； （2）根据，分和两种情况，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵中，，，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ，或， ∵， ∴ （2）解：∵， ∴当与相似时， 一种情况是 ， ∴， ∴； 另一种情况是 ， ∴， ∴， 故当或时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，cm，cm，动点、分别从点、同时出发，点以3cm/的速度沿折线向终点运动，点以2cm/的速度沿向终点运动，当点停止运动时，点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当________时，四边形的面积为cm2； (2)当点在边上运动时，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设的面积为，求关于的函数关系式； (4)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)不存在，见解析 (3)当时，；当时， (4)或 【分析】（1）由题意得：，，据此表示出四边形的面积，即可求解； （2）作，可推出，得，进而得，判断该方程有无实数根即可； （3）分类讨论当时，当时，两种情况，画出对应图形即可求解； （4）分类讨论时，时，两种情况，画出对应图形即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：3 （2）解：当点在边上运动时，即， 作，如图所示： 若，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴不存在一个时刻，使得； （3）解：当时， ； 当时， ; 综上所述：当时，；当时， （4）解：时，作，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即：， 解得：； 时， ∵， ∴， 解得：（舍） 综上所述：或 【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及了勾股定理、一元二次方程的求解、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． 2．如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线向终点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过P作于D，以为邻边作矩形，设点P运动的时间是t（秒）． (1)线段的长为____________； (2)当矩形恰好是正方形时，求t的值； (3)当时，求t的值： (4)延长到点Q，使，连结．当直线分矩形的面积为两部分时，直接写出t的值． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)的值为或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及矩形的面积，解题的关键是熟练掌握分类讨论思想和相似三角形的判定与性质： （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据矩形恰好是正方形，则，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据相似三角形的性质即可求解； （4）分情况讨论，①当点P在上时，②当点P在上时，根据三角形相似和矩形面积公式即可求解， 【详解】（1）解：在中，， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵矩形恰好是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，，， ∴， ∴ ∴的值为： （3）解：则（2）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为： （4）解：设与交于点， ①当点在上时，如图， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵直线分矩形的面积为两部分， ∴或， ∴，或； ∵， ∴或 ∵， ∴， ∴； ②当点P在上时，如图， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵直线分矩形的面积为两部分， ∴或， ∴，或； ∵， ∴或 ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为或 3．如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)求点E落在区域（含边界）内的时长； (3)连接，当与相似时，求t的值； (4)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【答案】(1) (2)秒 (3)的值为或1 (4)1或 【分析】（1）由题意可知，得，由此可知，代入相关数据即可求解； （2）找到临界位置，当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内，再此时证明，可知，据此列出方程即可求解； （3）由（1）可知，，，则，则，分两种情况：当时，；当时，，即：，分别求解即可； （4）由题意得，若将的面积分成两部分，可知或，分两种情况：当时，，当时，，结合面积列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，，则， ∴； （2）由勾股定理可知，， 当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内， 此时，，，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，则， ∴， ∴，即：，解得：， 即：点落在区域（含边界）内的时长为秒； （3）由（1）可知，，，则， 则， ∵， ∴当时，，即：，解得：； 当时，，即：，解得：； 综上，当与相似时，的值为或1； （4）， 若将的面积分成两部分， 则或， 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在线段上，则， 即：点到的距离为1； 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在射线上，则， 即：点到的距离为； 综上，点到的距离为1或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 类型九、相似中的无刻度尺作图 【解惑】如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论） (1)在图中，仅用无刻度直尺在线段上找一点M，使得； (2)在图中，以为公共角，仅用无刻度直尺在线段、上分别找一点P、Q，使与相似但不全等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等的判定，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）取格点、，连接，与于点，利用相似三角形的判定和性质证明即可； （2）取格点、，连接、，与的交点为点，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：如图，取格点、，连接，与交于点， 设正方形网格的边长为1，则，， ， ， ， 点为所求作； （2）解：如图，取格点、，连接、，与的交点为点， 则四边形是平行四边形， ， ， ， 与不全等， 点和点为所求作． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，__________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接，使∽． 【答案】(1)； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【分析】（）由可得，即可求解； （）取格点，连接，与相交于点，在中由勾股定理可得，又由可得，即得，即可得，故点即为所求； （）取格点，连接，与相交于点，连接，则，点即为所求． 本题考查了相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 理由：∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图1中画出的中线； (2)在图2中的边上找到一点F，使； (3)在图3中画出的高线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）取格点P，Q，连接交于点D，连接，线段即为所求； （2）取格点P，Q，连接交于点F，连接，点F即为所求； （3）取格点，连接并延长，交于点，即为所求． 【详解】（1）解：如图①，线段即为所求； ∵四边形是正方形， ∴点D是的中点， ∴是的中线； （2）解：如图②，点E即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴． （3）如图：即为所求； 由图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查网格作图，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 3．图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①的网格中确定一点D，连结，使与全等．（画出两个） (2)在图②中的边上确定一点E，连结，使； (3)在图③中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连结，使，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图−−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据全等三角形的判定，取格点D，使，作出图形即可； （2）由图及勾股定理可知，进而可得根据相似三角形的判定作出图形即可； （3）取格点，连接，交于点，点P，点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图中，点中任取两个即为所求； （2）解：如图中，点E即为所求； 由图可知，， ， 又， ， 是直角三角形， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图，取格点，连接，交于点，点P，点Q即为所求， 如图：， 四边形是平行四边形， ， 则：， ∴， 相似比为：． 类型十、相似三角形中的新定义 【解惑】定义：如图1，在中，把绕点A按逆时针方向旋转并延长一倍得到，把绕点A按顺时针方向旋转β，并延长一倍得到，连结．当时，称为的“倍旋三角形”， 的边上的中线叫做的“倍旋中线”． (1)如图①，当时，“倍旋中线”的长为 ___________； (2)如图②，当为等边三角形时，“倍旋三角形”与的数量关系为 ___________． (3)在图③中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)2 (2) (3)，见解析 【分析】（1）证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题； （2）如图2，过点A作，证，根据易得结论． （3）如图3，延长到M，使得，连接，证四边形是平行四边形，再证明得，故可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵D是的中点， ∴； 故答案为：2． （2）∵， ∴， 由“倍旋中线”可知，是等腰三角形， 如图2，过A作，垂足为， ∴， ∵D是等边三角形的边的中点， ∴且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：，理由如下： 如图3，延长到M，使得，连接，        图3 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．请阅读下面材料，并完成相关任务： 定义：点P是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点P是的“相似点”． 例：如图①，点P在的内部，，则，故点P为的“相似点”． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： (1)如图②，在中，，平分，求证：点P为的“相似点”； (2)如图③，若为锐角三角形，点E是的“相似点”，且点B与点A对应，点E在的平分线上，连接，若，求的值； (3)如图④，在菱形中，E是上一点，F是内一点，且，连接与交于点G，连接，若点G是的“相似点”，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意，找准相似三角形的对应关系是解题关键. （1）由条件可推出，证即可； （2）由题意得，可推出，再证即可； （3）由题意得，可推出，延长交于点，证即可； 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∴点P为的“相似点” （2）解：由题意得： ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）证明：∵点G是的“相似点”，且， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 延长交于点，如图所示： 由题意得： ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即： ∵ ∴ ∴ 2．定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．    (1)利用尺规在图1中作出以点为直角顶点，以为直角边的“型三角形”；（作出一种情况即可） (2)如图2，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，证明是“型三角形”； (3)如图3，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，利用尺规作图在中作出一个，使得是“型三角形”（其中）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】该题主要考查了复杂作图-作垂线，作相等线段，以及相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是正确理解题意，作出对应图形． （1）根据“型三角形”的定义即可得出需要作以为直角边等腰直角三角形即可； （2）根据是“型三角形”，得出，设，则，，根据，证明，根据相似三角形的性质即可求出，从而求出，即可证明． （3）在上截取，再过点作交于点，即为所求； 【详解】（1）根据“型三角形”的定义即可得出，作以为直角边的“型三角形”即过点作的垂线，且等于，即以为直角边等腰直角三角形，如图：    （2）∵是“型三角形”， ， 设，则， ∵， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴是“型三角形”． （3）在上截取，再过点作交于点，即为所求；    理由：∵是“型三角形”（为正整数），， ， 设，则， ∵， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴是“型三角形”． 3．定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为邻似三角形． (1)[初步理解]如图，四边形中，对角线平分，，求证：和为邻似三角形； (2)[尝试应用]在（1）的基础上，如图，若，，，求四边形的周长； (3)[拓展应用]如图，四边形中，和为邻似三角形，对角线平分，且．若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)23 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，理解邻似三角形的概念和性质是解题的关键． （1）根据，结合条件，可得，再由可得，即可求证； （2）由条件可推出，，再根据相似三角形的性质求出的长度即可求解； （3）过点作，过点作，先求的面积，根据相似三角形的性质求的长，再求和面积，最后根据计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴和为邻似三角形． （2）解：∵， ∴ 由（1）得： ∴ ∴ ∵和为邻似三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴ 四边形的周长为： （3）过点作，过点作，垂足分别为，如图所示， ∵，， ∴，， ∴， ∵和为邻似三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【一览众山小】 1．如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（   ）      A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线定理得，再由正方形的性质得由，得，推导出，进而证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点M，N分别是和的中点，若， ∴是的中位线， ∴， 四边形是边长为6的正方形，   ，， ∵F为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，证明是解题的关键． 2．如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出是的中位线，证，得，解得，则． 【详解】解：∵、为边的三等分点，， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．如图，四边形和均为正方形，若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，连接，证明，可得的值，从而可得结论． 【详解】解：连接，如图，    则， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，矩形的性质 ，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 过点作轴于点，设，则点， 进而得，证明和 相似得，进而得，然后根据矩形的面积公式可得出答案． 【详解】过点作轴于点，如图所示： 设， 则点， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∵四边形为矩形， ， 轴， ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，，，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质．先证明四边形是平行四边形，则，证明，得到，则，得到，再证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为： 6．如图，在中，，，．点为边中点，点为线段上一动点．将沿折叠，点的对应点为，直线与线段交于点．当与相似时，线段的长为 ． 【答案】3或 【分析】由题意知，当与相似时，分，，，三种情况求解作答即可． 【详解】解：∵，点为边中点， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠的性质可知，，， 当时，如图1， 当与相似时，， ∴，此时不成立，舍去； 当时，如图2，三点重合，此时，为的中点， ∴； 当时，如图： 此时点与点重合，点与点重合， 此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，线段的长为3或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理．分情况求解是解题的关键． 7．如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点． (1)如图1，当三角板的一条直角边交于点,另一条直角边交于点时，求证： ． (2)如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． (3)在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题综合考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关结论即可． （1）由题意得：四边形为正方形，进而得；证得，即可； （2）证得，进而得，再证得，即可求解； （3）证可得，分类讨论点落在靠近点的三等分点和点落在靠近点的三等分点两种情况即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，分别为边上的中点， ∴四边形为矩形， ∵，分别为边上的中点， ∴ ∴四边形为正方形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ （2）证明：∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解：∵，， ∴， ∴， 若点落在靠近点的三等分点，则, ∴， ∴， ∴； 若点落在靠近点的三等分点，则, ∴， ∴， ∴； 综上所述：或 8．已知点在直线上，此直线与x轴交于点B，直线轴，垂足为点D，作垂直于，垂足为点C，直线与相交于点P． (1)求点B坐标． (2)求点P坐标． (3)联结，得，若直线上存在点M，使与相似，求点M坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要查了一次函数的图象和性质，相似三角形的性质： （1）把点代入，可求出一次函数的解析式为，即可求解； （2）先求出直线的解析式，可设直线的解析式为，再求出直线的解析式，即可求解； （3）根据题意可得，然后分两种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， 即点B坐标为； （2）解：设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵垂直于， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：∵点P的坐标为，，点B坐标为，轴， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，此时，如图， ∴， ∴，解得：， ∴， 即点M的坐标为； 当时，此时，如图， ∴， ∴，解得：， ∴， 即点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； 9．直线与轴、轴分别交于点、点，抛物线经过点、，且轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限内抛物线上的一动点． ①如图1，若，求点的坐标； ②如图2，与交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2)①点的坐标为；② 【分析】（1）先利用一次函数解析式求点和点的坐标，再设出交点式，将点的坐标代入求解； （2）①先利用等腰直角三角形的性质可判定点在直线上，则可设设，然后把代入中求出点的坐标；②作轴交于，轴交直线于，先证明，再结合三角形面积公式得到，设得到，求出，进而求解． 【详解】（1）解：当时，， 则， 当时，， 解得x＝， 则， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即； （2）解：①， 为等腰直角三角形， ， ∴点在的垂直平分线上， 即点在直线上， 设， 把代入 得， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为； ②作轴交于，轴交直线于，如图2， ， ， ． ， ， 当时，， 则． 设， 则， ， ， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；把三角形面积的比转化为线段的比和利用相似比表示线段之间的关系是解决此题的关键；理解坐标与图形性质． 10．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是，那么称这个三角形为“好运”三角形，这条边就叫做这个三角形的“好运底”． (1)如图1，在中，，，，试判断是否是“好运”三角形，请说明理由． (2)如图2，是“好运”三角形，是“好运底”，把沿翻折得到，交的延长线于点E，若，求的值． (3)如图3，，且直线a与b之间的距离为4，“好运”的“好运底”在直线b上，点A在直线a上，，若是钝角，将绕点C按顺时针方向旋转得到，线段交直线a于点D，当点落在直线a上时，求的值． 【答案】(1)是“好运”三角形，理由见解析． (2) (3) 【分析】（1）过点A作交的延长线于D．求出即可得出结论． （2） 根据A，D关于对称，得到，根据是“好运”三角形，得到是“好运底”，再利用求解即可得到答案； （3）过点A作于E，过点D作于F，过点作于G．证明，推出，设，再求出（用k表示）即可解决问题． 【详解】（1）解：结论：是“好运”三角形，是“好运底”． 理由：过点A作交的延长线于D． ∵， ∴， ∴， ∴是“好运”三角形，是“好运底”； （2）如图， ∵A，D关于对称， ∴， ∵是“好运”三角形，是“好运底”， ∴，不妨设， ∵， ∴， ， ∴， ∴； （3）如图，过点A作于E，过点D作于F，过点作于G． 是“好运”三角形， ， ， 旋转， ， ∵， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， 将绕点C按顺时针方向旋转得到， ， ， 即， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴ ， 解得： ， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了含角直角三角形的性质，勾股定理，图形旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$