专题02图形的相似（中等类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题02图形的相似思维导图 【类型覆盖】 类型一、相似多边形的性质 【解惑】已知四边形四边形，，若，则的长为（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 【融会贯通】 1．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 2．如图，矩形的边，点分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 ． 3．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ． 类型二、平行线段成比例求值 【解惑】如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（   ） A． B．2 C． D．4 【融会贯通】 1．如图，已知，如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，，那么 ． 3．如图，直线，直线被直线所截.若，，，则的长为 . 类型三、相似三角形的性质求解 【解惑】如图，在中，，与四边形的面积的比是（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为 ． 3．如图，已知等腰三角形中，，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当时， ． 类型四、网格中的相似三角形 【解惑】如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，则在下列选项中与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ． 3．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是 ． 类型五、利用相似求坐标 【解惑】如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【融会贯通】 1．如图，直线与轴交于点，将该直线绕着点逆时针旋转所得的直线对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 类型六、求两个图形的位似比 【解惑】如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（    ） ①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若的面积等于2，则的面积= ． 3．按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有 ． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 类型七、相似三角形的判定——两角相等 【解惑】平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【融会贯通】 1．如图，相交于的点，且．求证： ． 2．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，求证：． 3．如图，与交于点，，且交于，交于，求证：． 类型八、相似三角形的判定———角相等夹边成比例 【解惑】如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【融会贯通】 1．如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 2．如图，，且，，求证：．    3．如图，点D为边上一点．求证：． 类型九、相似三角形的判定——三边成比例 【解惑】已知：如图，在和中，． 求证：．（友情提醒：不能用一个定理本身去证明这个定理） 【融会贯通】 1．如图，在边长为1的正方形网格中，和都是格点三角形．求证：． 2．如图，和在边长为1的正方形网格中，点均在格点上，试证这两个三角形相似． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，和的顶点都在格点上，则与相似吗？请说明理由． 类型十、相似三角形的应用 【解惑】图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在C处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点A，I，D在同一直线上，测得为．将竹竿平移至E处，点A，G，F在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 【融会贯通】 1．数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，小明在地面上直立一根标杆，沿着直线后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E、旗杆的顶点A在同一直线上（如图）．测量：人与标杆的距离，人与旗杆的距离，人的目高和标杆的高度差，人的高度．请求出旗杆的高度． 2．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在培上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 3．在学完利用相似三角形测高后，我校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度．测量方案如下：如图，首先，小辉站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小辉刚好看到大雁塔的顶端的像，此时测得小辉的眼睛到地面的距离为1.6米；然后，小刚在处竖立了一根高2.4米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为6米，为28米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度．（平面镜大小厚度忽略不计） 【一览众山小】 1．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．若两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图：在中，点、分别在边、上，，如果，，，那么 ． 5．图是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图是它的侧面示意图，与相交于点，，据图中的数据可得的值为 ． 6．如图，已知，和相交于，若，则 ． 7．如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持．设的长为x（）． (1)求证：； (2)用含x的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，当时，求x的值． 8．如图，点为内部一点，点、、分别为线段、、上一点，且，． (1)求证：； (2)当时，求的值． 9．如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆的高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，此时，旗杆顶端、标杆的顶端、人眼恰好在一条直线上．求旗杆的高度． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02图形的相似思维导图 【类型覆盖】 类型一、相似多边形的性质 【解惑】已知四边形四边形，，若，则的长为（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例． 由相似多边形的性质推出，代入有关数据，即可求出的值． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ， ∵裁出的每面彩旗与矩形绸布相似， ， ， ， (舍去)或 故选：D． 2．如图，矩形的边，点分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形，矩形的性质，相似多边形的判定和性质，根据题意可得当四边形为正方形时，，设，则有，，根据相似多边形的性质列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 当四边形为正方形时，， 设，且四边形为矩形， ∴，， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， 解得，（不符合题意，舍去），， 检验，当时，原分式方程的有意义， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，设，由折叠的性质可得到，利用矩形的性质得到，最后利用相似多边形的性质计算即可求解，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵四边形是一张矩形纸片， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， 故答案为：． 类型二、平行线段成比例求值 【解惑】如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：B ． 【融会贯通】 1．如图，已知，如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，比例的性质等知识点，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进而计算判断即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，已知，，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟悉定理内容是关键．由题意得；由平行线分线段成比例得：，由此即可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴， 即； 故答案为：． 3．如图，直线，直线被直线所截.若，，，则的长为 . 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据直线，可得，且，代入计算即可求解． 【详解】解：∵直线， ∴，且， ∴， 故答案为： ． 类型三、相似三角形的性质求解 【解惑】如图，在中，，与四边形的面积的比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，熟练掌握三角形的判定和相似三角形的性质是解题的关键．先利用比例性质得出，结合，判定，再利用相似三角形的性质得出，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由，得出，，再由进行计算即可得出答案，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ，， ， 故选：C． 2．如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，分当时，当时，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 为中点， ∴， ∴， ∴；   当时，， ∴， ∴， 综上，的长为或， 故答案为：或． 3．如图，已知等腰三角形中，，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由得到，代入数据计算即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 类型四、网格中的相似三角形 【解惑】如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定．由相似三角形的判定，三角形的三边对应成比例，两三角形相似即可判断． 【详解】根据勾股定理可知： ， 三边比为： 根据格点图及勾股定理知 A．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； B．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； C．三角形的三边比为：，故本选项符合题意； D．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； 故选择：C 【融会贯通】 1．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，则在下列选项中与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【详解】解：由网格的特点知，、都是正方形的角平分线， 则，， 显然，选项A、D都不是直角三角形，不符合题意； 选项B中，夹直角的两边的比为，符合题意； 选项C中，夹直角的两边的比为，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，有一角相等及夹这角的两边对应成比例判定三角形相似的方法，本题中根据网格的特点求得，是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ． 【答案】、、 【分析】根据是直角三角形，构造K字形相似即可得出以、、为顶点的三角形与相似的点C坐标．或直接作出全等三角形． 【详解】解：以为共同的斜边时，，得坐标为， 过点作的垂线，当时，，得， 过点作的垂线，当时，，得． 故答案为：、、 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 3．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可． 【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=， △ABC和△OAB相似应分两种情况讨论， 当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作 ∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶， 解得BC=5， ∴OC=4， ∴C点坐标为(4，0)， 当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA， =，=5， 此时C点坐标为(3，2)， 综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)， 故答案为：（4，0）或（3，2）． 【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图． 类型五、利用相似求坐标 【解惑】如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【答案】A 【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解 【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC ∴△AOC∽△BOA 即 ∴OC=1 ∴点C的坐标是（0，1）． 故选A 【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质． 【融会贯通】 1．如图，直线与轴交于点，将该直线绕着点逆时针旋转所得的直线对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得绕P点逆时针旋转90°，首先直线解析式的b值是不变的，再根据旋转后的图形和原图形相似，根据一次函数的解析式，即可得到答案. 【详解】根据题意可得， 设原图形与x轴交于A点，新函数与x轴交于B点， ∴当y=0时，， 解得x=-1， ∴OA=1，OP=， ∵旋转90°， ∴， ∴， ∵, ∴, ∴， ∴OB=3，则B点坐标为（3,0）， 设，将B（3,0）代入可得 ， ∴. 故选D 【点睛】本题考查求一次函数解析式及三角形相似相关知识，关键是利用旋转后的图形与原图形相似，得到新函数解析式与x轴的交点. 2．已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据直线恒经过点，分类讨论，结合一次函数的图象，构建直角三角形，等腰直角三角形，结合勾股定理和相似三角形的判定和性质进行求值即可求解． 【详解】解：∵直线，即恒过点， 当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作轴交于点，如图：    ∵，故，， 在中，， 又∵，， ∴， ∴， 即，， 解得，， ∵两直线的夹角为，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 故， ∴， 在中，， 即， ∴， ∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为， 点到轴的距离为2，故点到轴的距离为， 即点的纵坐标为，点的横坐标为， 故； 当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作交于点，如图：    ∵，故，， 在中，， 又∵，， ∴， ∴，即， ， 解得，， ∵两直线的夹角为，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 故， ∴， 在中，， 即， ∴， ∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为， 点到轴的距离为2，故点到轴的距离为， 即点的纵坐标为，点的横坐标为， 故； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴， 当与相似时，则可分： ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 类型六、求两个图形的位似比 【解惑】如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．由题意可得，又由点A的坐标为，即可求得的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标． 【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，O为位似中心，相似比为， ∴， ∵点A的坐标为， 即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． ∴E点的坐标为：． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（    ） ①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的判定与性质、相似三角形的性质，根据中点定义得到，进而证明与位似，，可判断①④正确；根据相似三角形的性质可判断②③，进而可得答案． 【详解】解：∵D，E，F是、、的中点， ∴，又、、相交于O， ∴与位似，故①正确； ∴，故④正确， ∴与的相似比为， ∴与周长比为，与面积比为， 故②正确，③错误； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若的面积等于2，则的面积= ． 【答案】18 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质．根据位似变换的概念得到，，从而得到得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于2， ∴的面积为18． 故答案为：18． 3．按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有 ． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了位似变换的相关知识，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方，对应的周长的比等于相似比． 【详解】解：如图符合位似图形的定义， ∴①与是位似图形， 正确； ∵位似是相似的特殊形式， ∴②与是相似图形， 正确； ∴③与周长之比等于相似比为，正确； ∴④与的面积之比等于相似比的平方为， 错误； ∴正确的为：①②③． 故答案为：①②③． 类型七、相似三角形的判定——两角相等 【解惑】平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法． 先根据平行四边形的性质证出，再根据可得出，由此可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图，相交于的点，且．求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵相交于的点， ∴， 又∵， ∴． 2．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定、对顶角相等和三角形内角和定理，根据题意可得，对顶角，再利用三角形内角和定理得，因此得证． 【详解】证明：、， ， 又， ， ． 3．如图，与交于点，，且交于，交于，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，先由平角的定义和三角形内角和定理证明，再根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴． 类型八、相似三角形的判定———角相等夹边成比例 【解惑】如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的利用等知识．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴ 【融会贯通】 1．如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 2．如图，，且，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，先求出，， 再证明即可． 【详解】证明：，且，， ， ，且， ， ， ， 又∵， 3．如图，点D为边上一点．求证：． 【答案】见解答过程 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握“如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似”是解题关键． 根据“如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似” 即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 类型九、相似三角形的判定——三边成比例 【解惑】已知：如图，在和中，． 求证：．（友情提醒：不能用一个定理本身去证明这个定理） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定，在射线上截取，过点作的平行线交射线于点，先证明得到，进而推出，，再证明，即可证明. 【详解】证明：如图所示，在射线上截取，过点作的平行线交射线于点， ， ， ， ，且， ，， ，， ， . 【融会贯通】 1．如图，在边长为1的正方形网格中，和都是格点三角形．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，三角形相似的判定，先根据勾股定理求出、、、，得出，即可证明． 【详解】解：∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 2．如图，和在边长为1的正方形网格中，点均在格点上，试证这两个三角形相似． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和勾股定理是解题的关键．根据勾股定理和相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：，，，，，， ，，， ， ． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，和的顶点都在格点上，则与相似吗？请说明理由． 【答案】与相似；理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】解：与相似，理由如下： 由勾股定理可得： ， ， ， ， ， ， ， ． 类型十、相似三角形的应用 【解惑】图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在C处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点A，I，D在同一直线上，测得为．将竹竿平移至E处，点A，G，F在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 【答案】大拇指的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 分别证明、可得、，进而得到可得；最后将代入求得的值即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ∴． ∴． 由题意可得：， ∴． ∴． ∵， ∴， 即，解得：． 将代入， 得，解得． ∴大拇指的高度为． 【融会贯通】 1．数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，小明在地面上直立一根标杆，沿着直线后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E、旗杆的顶点A在同一直线上（如图）．测量：人与标杆的距离，人与旗杆的距离，人的目高和标杆的高度差，人的高度．请求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度是米 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 由题意得，，，，，证明，则，即，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴． 答：旗杆的高度是米． 2．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在培上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 【答案】(1) (2)灯泡到地面的高度为 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：； （2）解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 3．在学完利用相似三角形测高后，我校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度．测量方案如下：如图，首先，小辉站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小辉刚好看到大雁塔的顶端的像，此时测得小辉的眼睛到地面的距离为1.6米；然后，小刚在处竖立了一根高2.4米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为6米，为28米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度．（平面镜大小厚度忽略不计） 【答案】54.4米 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，正确根据相关知识点进行计是解题关键．根据题意，可证，设，可得，再证，即可求解． 【详解】解：已知，，，点、、、、在一条直线上， ， 米，米，米，米，米， 由题意可知：， ， ， 设， ， ， ，， ， ，且， ， ， 大雁塔的高度米． 【一览众山小】 1．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根据题意可知的三边，再分别求出各选项的三边，然后根据三边是否成比例得出答案． 【详解】根据勾股定理，可知，，． 根据勾股定理得A选项的三边为， ∴， 所以不与相似； 根据勾股定理得B选项的三边为， ∴， 所以与相似． 根据勾股定理得C选项的三边为， ∴， 所以不与相似； 根据勾股定理得D选项的三边为， ∴， 所以不与相似． 故选：B． 2．若两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的性质是解题关键．根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可获得答案． 【详解】解：若两个相似三角形的面积之比为， 则两个相似三角形的相似比为， 所以，这两个三角形对应边上的高之比为． 故选：C． 3．如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线定理及三角形相似的判定与性质．根据D、E分别是边的中点得到，，从而得到，即可得到，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵点D、E分别是边的中点， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 4．如图：在中，点、分别在边、上，，如果，，，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是根据、是公共角，可以证明，根据、可以求出，从而求出这两个三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：如下图所示， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为： ． 5．图是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图是它的侧面示意图，与相交于点，，据图中的数据可得的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解一元一次方程等知识点，牢记“相似三角形的一切对应线段的比等于相似比”是解题的关键． 过点作于点，交于点，则，，由可得出，再利用相似三角形的性质，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 则，， ， ， ， 即：， 解得：， 故答案为：． 6．如图，已知，和相交于，若，则 ． 【答案】 【分析】根据，即可求得，根据三角形面积计算公式和相似三角形对应边比值相等的性质可以求得，即可求得，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，三角形面积的计算公式，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得是解题的关键． 【详解】解：， ∴，， ，， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 7．如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持．设的长为x（）． (1)求证：； (2)用含x的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，当时，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 对于（1），先根据三角形的外角的性质得，再根据两角相等的两个三角形相似得出答案； 对于（2），根据相似三角形的对应边成比例可得答案； 对于（3），将数值代入，再计算即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 即， ∴． （3）∵， ∴， 解得或． 8．如图，点为内部一点，点、、分别为线段、、上一点，且，． (1)求证：； (2)当时，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据相似比的性质得出，，故可得出，由此即可得出结论； （2）先根据得出，再由得出，故可得出，同理可得，，故可得出根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论． 本题考查的是相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟知相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ，即， 同理可得，， ， ， ∴ ∵ ， ． 9．如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 10．如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆的高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，此时，旗杆顶端、标杆的顶端、人眼恰好在一条直线上．求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高为． 【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得，从而得出的长即可． 【详解】解：过点E作于点H，交于点G，则四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 经检验，是上述分式方程的解， ∴， 答：旗杆的高为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$