专题02图形的相似（基础类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题02图形的相似思维导图 【类型覆盖】 类型一、图上距离与实际距离 【解惑】在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（　　） A．17km B．34km C．170km D．340km 【融会贯通】 1．某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是（   ） A． B． C． D． 2．若在比例尺为的地图上，测得两地的距离为3.5厘米，则这两地的实际距离是 千米． 3．、两地的实际距离米，画在地图上的距离为5厘米，则地图上的距离与实际距离的比是 ． 类型二、比例线段 【解惑】已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知线段，，则线段和的比例中项为（   ） A．6.5 B． C．6 D． 2．已知线段，，那么线段、的比例中项等于 ． 3．若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则 ． 类型三、比例的性质 【解惑】把写成比例式，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知，则的值为（   ） A． B．25 C．24 D． 2．已知，则的值为 ． 3．已知，则的值为 ． 类型四、黄金分割 【解惑】已知、是线段上的两个黄金分割点，其中，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（   ）． A． B． C． D．3 2．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体，如图，舞台长米，，是线段的黄金分割点（即，），若主持人从舞台黄金分期点走到另一个黄金分割点，则的长为 米．（结果保留根号） 3．已知点是线段上的一个黄金分割点，且，，那么 ． 类型五、相似多边形 【解惑】下列四组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 2．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．    3．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为 ． 类型六、由平行判断成比例线段 【解惑】如图，AB//CD//EF，下列等式成立的是（     ） A．AC·CE=BD·DF B．AC·AE=BD·BF C．AC·DF=CE·BD． D．CD2=AB·EF 【融会贯通】 1．如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，则 ． 3．如图，已知一组平行线abc，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为 ． 类型七、选择和补充条件证相似 【解惑】下列各条件中，能判断的是（   ） A．， B．， C．， D．，，， 【融会贯通】 1．如图，下列条件中不能判定和相似的是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，为上一点，则下列四个条件中：（1）；（2）；（3）；（4），其中能满足和相似的条件有 （填序号）． 3．如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 类型八、位似图形 【解惑】下列图形中不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ． ​ 3．在如图所示的网格中，的位似图形是 ． 类型九、判断位似中心 【解惑】如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（    ） A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点 2．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    3．如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 类型十、画出放大或缩小的位似图形 【解惑】如果方格中，三角形的顶点和的位置用数对表示分别为、．    (1)在方格中过点画出边的平行线． (2)画出三角形绕点顺时针方向旋转后的图形，并涂上阴影． (3)用数对分别表示新三角形中的位置分别是：（_____，_____）、（_____，_____） (4)①以点为位似中心，在位似中心的同侧画出的位似图形，使它与的位似比为，并涂上阴影． ②缩小后的面积是原来面积的___________． 【融会贯通】 1．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)在第四象限画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的； (3)画出将绕着点O逆时针旋转后的，并求出点A走过的路径长是多少？（结果保留） 3．如图所示，网格图中每个小正方形的边长为1，以的顶点为坐标原点，、两点都在格点上，小正方形一条边所在的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)将绕点顺时针旋转，画出相应的图形；并写出、坐标； (2)以点为位似中心，在轴的下方将放大为原来的2倍，画出相应的图形；并写出、坐标． 【一览众山小】 1．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 2．如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，，，，（　） A．7 B． C．8 D． 3．如图，已知，，若的长度为10，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如果两个三角形相似，且面积分别为与，那么这两个相似三角形的相似比为 ． 5．已知，相似比为，则与的周长比为 ． 6．若满足 且，则的值为 ． 7．若，且，求a的值． 8．如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F．若，，求线段的长．    9．若，求的值． 10．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）．    (1)以点为位似中心，在网格中画出，使与的位似比为； (2)将向右平移7格，再向下平移2格，得到，画出； (3)借助网格，在上选一点，使得平分的面积（保留确定关键点的画法），画出线段． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02图形的相似思维导图 【类型覆盖】 类型一、图上距离与实际距离 【解惑】在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（　　） A．17km B．34km C．170km D．340km 【答案】C 【分析】要求3.4厘米表示的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可求解． 【详解】解：（厘米）， 17000000厘米＝170千米， 答：上海到杭州的实际距离是170千米， 故选：C． 【点睛】本题考查比例尺—比例线段，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【融会贯通】 1．某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设该地图的比例尺是1：x，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程，求得x的值即可． 【详解】解：设该地图的比例尺是1：x，根据题意得： 1：x2＝1：9000000， 解得x1＝3000，x2＝−3000（舍去）． 则该地图的比例尺是1：3000； 故选：B． 【点睛】此题考查了线段的比，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程是解题的关键． 2．若在比例尺为的地图上，测得两地的距离为3.5厘米，则这两地的实际距离是 千米． 【答案】35 【分析】本题考查了比例尺的应用，设两地间的实际距离是，根据题意可得方程，解方程即可求得的值，然后换算单位即可求得答案． 【详解】解：设两地间的实际距离是， ∵比例尺为，量得两地间的距离为3.5， ∴， 解得：， ∵， ∴两地间的实际距离是35千米， 故答案为：35． 3．、两地的实际距离米，画在地图上的距离为5厘米，则地图上的距离与实际距离的比是 ． 【答案】 【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离，直接求出即可． 【详解】解：250米厘米， ∴比例尺； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一． 类型二、比例线段 【解惑】已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段成比例的性质，根据线段中，最长线段与最短线段的积等于另外两段线段的积，由此即可求解． 【详解】解：当是最长线段时，则有， ∴，不符合题意，舍去； 当是最长线段时，则有， ∴，符合题意； 故选：B ． 【融会贯通】 1．已知线段，，则线段和的比例中项为（   ） A．6.5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出答案． 本题考查了比例线段，掌握比例中项的概念是解决问题的关键． 【详解】解：设线段和的比例中项为， 根据比例中项的概念，得， ， 线段不能是负数，应舍去，取． 故选：C． 2．已知线段，，那么线段、的比例中项等于 ． 【答案】3 【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数． 【详解】解：线段，， 线段、的比例中项． 故答案为：3． 3．若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段， ∴，即， ∴， 故答案为：． 类型三、比例的性质 【解惑】把写成比例式，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是比例的性质，解题关键是熟练掌握比例性质． 利用两内项之积等于两外项之积对每一个选项进行转换进行判断即可． 【详解】解：、即，则，不符合题意，选项错误； 、即，符合题意，选项正确； 、即，则，不符合题意，选项错误； 、即，则，不符合题意，选项错误． 故选：． 【融会贯通】 1．已知，则的值为（   ） A． B．25 C．24 D． 【答案】B 【分析】本题考查了用比例的性质求分式的值，可设，（），代入计算，即可求解；掌握在比例中常设辅助未知数进行简便求解是解题的关键． 【详解】解：， 可设，（）， ， 故选：B． 2．已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形． 由，根据比例的性质，即可求得的值． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 3．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式求值，熟练掌握“设法”是解题的关键，设比值为，用表示出然后代入分式即可得解． 【详解】解：设， ， 原式． 故答案为：． 类型四、黄金分割 【解惑】已知、是线段上的两个黄金分割点，其中，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割：短线段与长线段的比等于长线段与整个线段的比，其比值为；据此逐项计算即可作出判断． 【详解】解：∵、是线段上的两个黄金分割点，其中，如图， ∴，， 故选项A正确，选项B错误； ∵， ∴， ∴， 故选项C正确； ∵， ∴， ∴； 故选项D正确； 故选：B． 【融会贯通】 1．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（   ）． A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 根据点是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，即， ， ， 米， 故选：A． 2．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体，如图，舞台长米，，是线段的黄金分割点（即，），若主持人从舞台黄金分期点走到另一个黄金分割点，则的长为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点，点是线段的黄金分割点，米， ∴米， 米， ∴米． 故答案为：． 3．已知点是线段上的一个黄金分割点，且，，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫作黄金分割，他们的比值叫作黄金比．本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，， ． ∴ 故答案为：． 类型五、相似多边形 【解惑】下列四组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似形的判断，根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意； 故选：D. 【融会贯通】 1．下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查相似的判定，难度不大，判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备． 利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 【详解】A．一组邻边对应成比例的两个矩形，对应角都是直角，一定相似，故本选项不符合题意； B．两个顶角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本选项不符合题意； C．有一个内角对应相等的两个菱形其他角也相等，菱形四条边相等，对应边成比例，故一定相似，故本选项不符合题意； D． 有两条边对应成比例的两个直角三角形，不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 2．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 3．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为 ． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】∵矩形CDFE∽矩形ADCB， ∴＝，即＝， 整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0， 解得，AD1＝1﹣（舍去），AD2＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 类型六、由平行判断成比例线段 【解惑】如图，AB//CD//EF，下列等式成立的是（     ） A．AC·CE=BD·DF B．AC·AE=BD·BF C．AC·DF=CE·BD． D．CD2=AB·EF 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，，然后根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：∵AB//CD//EF， ∴，， ∴AC•DF=BD•CE；AC•BF=BD•AE． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【融会贯通】 1．如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵DGBC， ∴，故A选项错误； ∵DGBC， ∴，故B选项错误； ∵EHAB， ∴，故C选项正确； ∵EHAB， ∴，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知平行线分线段成比例的性质． 2．如图，，则 ． 【答案】9 【分析】由平行线得出比例式，求出BC的长，即可得出求AC的长． 【详解】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， 即， 解得：BC=6， ∴AC=AB+BC=9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；由平行线得出比例式求出BC是解决问题的关键． 3．如图，已知一组平行线abc，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为 ． 【答案】3.6 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵a∥b∥c， ∴， 即， ∴DE＝3.6， 故答案为：3.6． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目特点，灵活选择比例式计算是解题的关键． 类型七、选择和补充条件证相似 【解惑】下列各条件中，能判断的是（   ） A．， B．， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、∵，，只有一角一边， ∴不能判断两个三角形相似，故A不符合题意； B、∵，，不是与的夹角， ∴不能判断两个三角形相似，故B不符合题意； C、由，可得， 再由，得， ∵两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似， ∴可判断，故C符合题意； D、由，， 得， 由，， 得， ∵只有， ∴不能得，故D不符合题意． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，下列条件中不能判定和相似的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐项排除即可，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴，此选项不符合题意； 、∵，， ∴，此选项不符合题意； 、由不能判定和，此选项符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴，此选项不符合题意； 故选：． 2．如图，在中，为上一点，则下列四个条件中：（1）；（2）；（3）；（4），其中能满足和相似的条件有 （填序号）． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】本题考查的是相似三角形的判定方法，熟记判定方法是解本题的关键，利用两个角分别相等的两个三角形相似可判断（1），（2），利用两边对应成比例，且夹角相等可判断（3），（4），从而可得答案． 【详解】解：（1）中，，又有一公共角， ∴， （2）中，，且有一公共角， ∴， （3）中， ， ∴， 而为其夹角， ∴； （4）中， ， ∴， 没有夹角相等，所以不能判定和相似． 故答案为：（1），（2），（3）． 3．如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 类型八、位似图形 【解惑】下列图形中不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似图形，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫作位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意； 故选：． 【融会贯通】 1．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形. 根据位似的定义判断即可得出答案． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 2．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ． ​ 【答案】 / 【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断的位似图形是，然后计算与的比得到位似比． 【详解】解：以点为位似中心，的位似图形是，与的位似比为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线． 3．在如图所示的网格中，的位似图形是 ． 【答案】 【分析】根据位似图形的对应点连线，经过位似中心，由图可知，线段经过点，确定位似中心为点，进而求解即可． 【详解】如图，线段经过点，并且，则位似中心为点， 连接并延长到点，连接并延长到点， 连接、、， 由图可知：， ， ∴， ∴的位似图形是，位似中心为点； 故答案为：． 【点睛】本题考查位似图形．熟练掌握位似图形的性质，确定位似中心，是解题的关键． 类型九、判断位似中心 【解惑】如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的应用，连接，交轴于点，则点为位似中心，先根据题意证明，再根据位似比和点的坐标求出线段长度，得到，求出点的坐标即可．解决本题的关键是借助相似比求出线段长度． 【详解】解：连接，交轴于点，则点为位似中心， 矩形与矩形是位似图形，，， ，，，，， ， ， ， 即， ， 故位似中心的坐标为． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（    ） A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答． 【详解】解：点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点， 各对应点的连线交于点，， 位似中心是点， ∵与是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比， ∴与位似比是． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 3．如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】（9，0） 【分析】根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下： 点D的坐标为（9，0）， 即位似中心的坐标为（9，0）， 故答案为：（9，0）． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心． 类型十、画出放大或缩小的位似图形 【解惑】如果方格中，三角形的顶点和的位置用数对表示分别为、．    (1)在方格中过点画出边的平行线． (2)画出三角形绕点顺时针方向旋转后的图形，并涂上阴影． (3)用数对分别表示新三角形中的位置分别是：（_____，_____）、（_____，_____） (4)①以点为位似中心，在位似中心的同侧画出的位似图形，使它与的位似比为，并涂上阴影． ②缩小后的面积是原来面积的___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)13，8；9，8 (4)①见解析；② 【分析】本题考查作图位似变换、平行线的判定和性质，利用旋转设计图案，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据旋转的性质画出图形即可； （3）根据、的位置即可得到结论； （4）①根据位似图形的性质，画图即可； ②结合相似图形的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求；    （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：、， 故答案为：13，8；9，8； （4）解：①如图所示； ②缩小后的面积是原来面积的． 【融会贯通】 1．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)在第四象限画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比的定值作图是解题的关键． （1）根据，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，，描点，再顺次连接即可； （2）根据位似比确定点的坐标，描点，后顺次连接即可； （3）连接，，由图可知四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，连接，， 由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为， 该四边形的面积为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的； (3)画出将绕着点O逆时针旋转后的，并求出点A走过的路径长是多少？（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据关于以原点为位似中心的对应点的特征得到、、的坐标，然后描点，顺次连接即可； （3）根据旋转的性质画出图形即可，由勾股定理得出，再由弧长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：即为所求， ； （2）解：如图，即为所求， ； （3）解：如图，即为所作， ，， ∴点A走过的路径长是． 【点睛】本题考查了作图—平移变换、旋转变换、位似变换，勾股定理，弧长公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 3．如图所示，网格图中每个小正方形的边长为1，以的顶点为坐标原点，、两点都在格点上，小正方形一条边所在的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)将绕点顺时针旋转，画出相应的图形；并写出、坐标； (2)以点为位似中心，在轴的下方将放大为原来的2倍，画出相应的图形；并写出、坐标． 【答案】(1)见解析，， (2)见解析，， 【分析】本题考查了旋转作图，作位似图形，点坐标等知识．熟练掌握旋转作图，作位似图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图并作答即可； （2）根据位似的性质作图并作答即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质作图，如图1，即为所作， ∴； （2）解：由位似的性质作图，如图2，即为所作； ∴，． 【一览众山小】 1．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题考查位似三角形的性质，根据位似图形的性质得到，从而得到，继而得解．掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：OD=18， 故选：B． 2．如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，，，，（　） A．7 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得，即可求解；掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 解得：； 故选：D． 3．如图，已知，，若的长度为10，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等知识点，由，可得，可得，再由和的长度为10即可得解，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的长度为10， ∴， ∴， 故选：B． 4．如果两个三角形相似，且面积分别为与，那么这两个相似三角形的相似比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方；由此性质即可求解． 【详解】解：设这两个三角形相似比为k， 则； 故答案为：． 5．已知，相似比为，则与的周长比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”是解本题的关键． 相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的周长比等于相似比． 故答案为：． 6．若满足 且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的性质，代数式求值，根据可设，，，代入求出的值，进而确定出的值，再代入代数式计算即可求解，根据比例假设出未知数是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 故答案为：． 7．若，且，求a的值． 【答案】 【分析】此题考查了比例性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 由已知可设，，代入，求出即可求出a的值． 【详解】解： ∵，设，， 则， ∴， ∴ 8．如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F．若，，求线段的长．    【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】∵， ∴，即， ∴， ∴． 9．若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是直接利用已知设，，，进而代入得出答案． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∴． 10．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）．    (1)以点为位似中心，在网格中画出，使与的位似比为； (2)将向右平移7格，再向下平移2格，得到，画出； (3)借助网格，在上选一点，使得平分的面积（保留确定关键点的画法），画出线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （3）利用网格得出的中点，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；    （2）如图所示：即为所求； （3）如图所示：线段即为所求． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$