第14章 整式的乘法与因式分解 章节整合练习（22个知识点+40题练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第14章 整式的乘法与因式分解 章节整合练习（22个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 知识点2．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点3．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点4．单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 知识点5．单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 知识点6．多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 知识点7．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点8．完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点9．完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 知识点10．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点11．平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点12．整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 知识点13．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 知识点14．公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 知识点15．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 知识点16．因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点17．提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 知识点18．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 知识点19．因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 知识点20．实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 知识点21．因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 知识点22．零指数幂 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 章节题型整合练习 一．同底数幂的乘法 1．（2024秋•雁峰区校级月考）已知，，，则下列给出，，之间的数量关系式中，错误的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•定海区期末）已知，，则　　． 二．幂的乘方与积的乘方 3．（2024秋•九龙坡区校级月考）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•肇源县校级月考）比较与的大小． 解：因为，， 因为， 所以． 请根据上述解答过程接解答． （1）比较，，的大小； （2），，，比较，，的大小． 三．同底数幂的除法 5．（2024秋•周口月考）计算的结果是　　 A． B． C． D．8 6．（2023秋•澄迈县期末）若，，则　　． 四．单项式乘单项式 7．（2024秋•海门区校级月考）计算的结果是 　　． 8．（2024秋•双阳区校级月考）计算： （1）； （2）． 五．单项式乘多项式 9．（2024春•裕安区校级期末）若，则代数式的值为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 10．（2024秋•翼城县月考）（1）计算： （2）下面是小康同学进行整式乘法运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务： 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务一： ①以上解题过程中，第一步是依据 　 　法则进行变形的； ②第 　　步开始出现错误，这一步出现错误的原因是 　　． 任务二：请直接写出本题的正确结果． 六．多项式乘多项式 11．（2024秋•双阳区校级月考）计算等于　　 A． B． C． D． 12．（2024秋•农安县期中）若，，则的值是 　　． 七．完全平方公式 13．（2023秋•大连期末）已知，，则　　 A．25 B．22 C．19 D．13 14．（2023秋•科尔沁区期末）如果，，那么　　， 八．完全平方公式的几何背景 15．（2024春•西平县期末）如图，在边长为的大正方形内放入三个边长都为的小正方形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是，则的值为 　　． 16．（2024秋•永春县校级月考）图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． （1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于　　（用含、式子表示）； （2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法　　方法　　； （3）观察图2，尝试写出、、三个式子之间的等量关系式是：　　． 九．完全平方式 17．（2024秋•肇源县校级月考）已知是完全平方式，则的值是　　 A．6 B． C．12 D． 18．（2024秋•内乡县校级月考）已知二次三项式的常数项与的常数项相同，而它的一次项与的一次项相同． （1）分别求出，的值； （2）是完全平方式吗？若是，把它写成完全平方式；若不是，先添加一项，再写成完全平方式． 一十．平方差公式 19．（2024春•龙湾区校级期中）下列多项式相乘，可以用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 20．（2024春•青龙县期末）若，，则　　． 一十一．平方差公式的几何背景 21．（2023•美兰区校级模拟）如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是 　　． 22．（2024春•高碑店市月考）如图，图1为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则　　，　　（请用含，的代数式表示，只需表示，不必化简）． （2）以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是 　　． （3）运用（2）中得到的公式，计算：． 一十二．整式的除法 23．（2023秋•磁县期末）计算：　　． 24．（2024•丰城市校级开学）我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知，那么再根据除法是乘法的逆运算可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图） 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． 请用上述方法计算： （1）； （2）． 一十三．因式分解的意义 25．（2024秋•绿园区校级月考）下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是　　 A． B． C． D． 26．（2023秋•梁园区校级月考）先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式． 如：①因为，所以和是的因式． ②若是的因式，则求常数的值的过程如下： 解：是的因式， 存在一个整式，使得． 当时，． 此时． 将代入得，， 解得． （1）是的因式吗？　　（填“是”或“不是” ； （2）若是的因式，求常数的值． 一十四．公因式 27．（2024春•唐山期末）多项式的公因式是　　 A．3 B． C． D． 28．（2023秋•临潼区期末）式子与的公因式是 　　． 一十五．因式分解-提公因式法 29．（2024•南通）分解因式：　　． 30．（2023秋•淮阳区期末）（1）计算：； （2）分解因式：． 一十六．因式分解-运用公式法 31．（2023秋•乳山市期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是　　 A． B． C． D． 32．（2023秋•东营期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你完成下列各题： （1）因式分解：； （2）因式分解：． 一十七．提公因式法与公式法的综合运用 33．（2023秋•商水县期末）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式的是　　 A． B． C． D． 34．（2024•明水县校级二模）把因式分解的结果是　　． 一十八．因式分解-分组分解法 35．（2022秋•环翠区校级期中）把分解因式结果为 　 　． 一十九．因式分解-十字相乘法等 36．（2024春•青山区校级期中）阅读材料： ①用配方法因式分解：． 解：原式． ②若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：　　． （2）用配方法因式分解：． （3）若，求的最大值． 二十．实数范围内分解因式 37．（2024春•邵阳期末）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么形如，为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：． （1）填空：　　，　　； （2）计算：①； ②； （3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题： 已知：，，为实数），求，的值． （4）试一试：请你参照这一知识点，将为实数）因式分解成两个复数的积． 二十一．因式分解的应用 38．（2024秋•船营区校级月考）已知，，是△的三边长． （1）若，，满足，则△的形状为 　　； （2）若，，满足，试判断△的形状； （3）化简：． 二十二．零指数幂 39．（2024春•遵化市期末）若有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 40．（2022秋•龙胜县期中）计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 整式的乘法与因式分解 章节整合练习（22个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 知识点2．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点3．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点4．单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 知识点5．单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 知识点6．多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 知识点7．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点8．完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点9．完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 知识点10．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点11．平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点12．整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 知识点13．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 知识点14．公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 知识点15．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 知识点16．因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点17．提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 知识点18．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 知识点19．因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 知识点20．实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 知识点21．因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 知识点22．零指数幂 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 章节题型整合练习 一．同底数幂的乘法 1．（2024秋•雁峰区校级月考）已知，，，则下列给出，，之间的数量关系式中，错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件式得到，，进而推出，，则，，据此逐一判断即可． 【解答】解：由题可知， ，， ，， ，， ，， ， 四个选项中只有选项的关系式错误，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（2024春•定海区期末）已知，，则　　． 【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案． 【解答】解：， 故答案为：18． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法底数不变指数相加是解题关键． 二．幂的乘方与积的乘方 3．（2024秋•九龙坡区校级月考）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘，根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘的运算法则逐项判断即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解答】解：、和不是同类项，不能直接相加，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项正确，符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2024秋•肇源县校级月考）比较与的大小． 解：因为，， 因为， 所以． 请根据上述解答过程接解答． （1）比较，，的大小； （2），，，比较，，的大小． 【分析】（1）由题意可得，，，由即可得到答案； （2）幂的乘方法则得到，，，比较指数大小即可得到答案． 【解答】解：（1），，， ， ； （2），，， ， ． 【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握该运算法则是关键． 三．同底数幂的除法 5．（2024秋•周口月考）计算的结果是　　 A． B． C． D．8 【分析】利用同底数幂的除法的法则进行运算即可． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解答的读取是对相应的运算法则的掌握． 6．（2023秋•澄迈县期末）若，，则　　． 【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案． 【解答】解：， 故答案为：3． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，利用了同底数幂的除法底数不变指数相减． 四．单项式乘单项式 7．（2024秋•海门区校级月考）计算的结果是 　　． 【分析】利用单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，进而得出答案． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式乘单项式．熟练运用单项式乘法法则是解题的关键． 8．（2024秋•双阳区校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算乘方、化简绝对值和二次根式，再算加减即可； （2）先根据同底数幂的乘法运算法则计算，再算减法即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，实数的运算，科学记数法表示较大的数，掌握相应的运算法则是关键． 五．单项式乘多项式 9．（2024春•裕安区校级期末）若，则代数式的值为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】将变为，再代入计算即可． 【解答】解：，即， ． 故选：． 【点评】本题考查单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 10．（2024秋•翼城县月考）（1）计算： （2）下面是小康同学进行整式乘法运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务： 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务一： ①以上解题过程中，第一步是依据 　 　法则进行变形的； ②第 　　步开始出现错误，这一步出现错误的原因是 　　． 任务二：请直接写出本题的正确结果． 【分析】（1）首先计算算术平方根，立方根，计算二次根式，然后计算加减； （2）任务一：①根据多项式乘单项式及单项式乘单项式求解即可； ②合并同类项分析求解即可； 任务二：根据整式的混合运算求解即可． 【解答】解：（1） ； （2）任务一：①以上解题过程中，第一步是依据单项式乘单项式及单项式乘多项式法则进行变形的， 故答案为：单项式乘单项式及单项式乘多项式； ②第四步开始出现错误，这一步错误的原因是与不是同类项，不能合并， 故答案为：四，与不是同类项，不能合并； 任务二： ， 本题的正确结果为． 【点评】此题考查了实数的运算，单项式乘多项式，单项式乘单项式，掌握相应的运算法则是关键． 六．多项式乘多项式 11．（2024秋•双阳区校级月考）计算等于　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用整式的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是关键． 12．（2024秋•农安县期中）若，，则的值是 　　． 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ， 将，代入， 原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 七．完全平方公式 13．（2023秋•大连期末）已知，，则　　 A．25 B．22 C．19 D．13 【分析】根据完全平方式，将与的值代入即可求出答案． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是正确理解完全平方公式，本题涉及整体的思想． 14．（2023秋•科尔沁区期末）如果，，那么　　， 【分析】根据完全平方公式将转化为，再整体代入计算即可． 【解答】解：，， ． 故答案为：20． 【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 八．完全平方公式的几何背景 15．（2024春•西平县期末）如图，在边长为的大正方形内放入三个边长都为的小正方形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是，则的值为 　　． 【分析】分两次来看被盖住的面积，第一个两个小正方形都在下面，则没有被盖住的面积为，又盖了一个小正方形，被盖住的面积是，作差即可． 【解答】解：没有被盖住的面积为：． 故答案为：4． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，能够在图上标注长度是关键． 16．（2024秋•永春县校级月考）图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． （1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于　　（用含、式子表示）； （2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法　　方法　　； （3）观察图2，尝试写出、、三个式子之间的等量关系式是：　　． 【分析】（1）根据图示中图形的边长的关系即可求解； （2）根据几何图形面积的计算方法即可求解； （3）分别算出，，即可求解． 【解答】解：（1）图2中阴影部分的正方形的边长等于， 故答案为：． （2）两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法， 方法， 故答案为：；； （3），， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 九．完全平方式 17．（2024秋•肇源县校级月考）已知是完全平方式，则的值是　　 A．6 B． C．12 D． 【分析】注意：完全平方式有和两个．根据完全平方公式求解即可． 【解答】解：， ． 故选：． 【点评】本题考查了对完全平方式的应用，熟练掌握完全平方公式是关键． 18．（2024秋•内乡县校级月考）已知二次三项式的常数项与的常数项相同，而它的一次项与的一次项相同． （1）分别求出，的值； （2）是完全平方式吗？若是，把它写成完全平方式；若不是，先添加一项，再写成完全平方式． 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的计算法则分别求出和的结果即可得到答案； （2）根据（1）所求可得，据此可得结论． 【解答】解：（1）， ， 二次三项式的常数项与的常数项相同，而它的一次项与的一次项相同， ，； （2）由（1）可知，， 是完全平方式． 【点评】本题主要考查了多项式乘以多项式，完全平方式，对于一个具有若干个简单变元的整式，如果存在另一个实系数整式，使，则称是完全平方式． 一十．平方差公式 19．（2024春•龙湾区校级期中）下列多项式相乘，可以用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平方差公式的结构特征判断即可． 【解答】解：．原式，能利用完全平方公式进行计算，因此选项不符合题意； ．可以利用多项式乘多项式的计算方法进行计算，因此选项不符合题意； ．，能利用平方差公式进行计算，因此选项符合题意； ．原式，能利用完全平方公式进行计算，因此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 20．（2024春•青龙县期末）若，，则　　． 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解：，，， ， 故答案为：5． 【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． 一十一．平方差公式的几何背景 21．（2023•美兰区校级模拟）如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是 　　． 【分析】设大正方形和小正方形的边长各为，，由题意可得，再运用三角形面积公式进行求解． 【解答】解：设大正方形和小正方形的边长各为，， 由题意可得， 阴影部分的面积为： ， 故答案为：15． 【点评】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解题意，结合图形运用以上知识进行求解． 22．（2024春•高碑店市月考）如图，图1为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则　　，　　（请用含，的代数式表示，只需表示，不必化简）． （2）以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是 　　． （3）运用（2）中得到的公式，计算：． 【分析】（1）图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长方形面积公式表示即可； （2）根据（1）的结果，即可得到答案； （3）在原式前面乘以，运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案． 【解答】解：（1）由图形可知，图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 故答案为：，； （2）图1和图2中的阴影部分面积相等， 以上结果可以验证乘法公式为：， 故答案为：； （3） ． 【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，利用面积公式表示出图形阴影部分面积是解题的关键． 一十二．整式的除法 23．（2023秋•磁县期末）计算：　　． 【分析】首先根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别去除以单项式，接下来再结合单项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是多项式除以单项式的知识，掌握运算法则是解题的关键． 24．（2024•丰城市校级开学）我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知，那么再根据除法是乘法的逆运算可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图） 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． 请用上述方法计算： （1）； （2）． 【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案； （2）列竖式进行计算即可得到答案 【解答】解（1） ； （2）． ． 【点评】本题考查了多项式的除法，列竖式计算是关键． 一十三．因式分解的意义 25．（2024秋•绿园区校级月考）下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【解答】解：．不是因式分解，故本选项错误； ．不符合因式分解的定义，故本选项错误； ．，是因式分解，故本选项正确； ．等号左侧是单项式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握该知识点是关键． 26．（2023秋•梁园区校级月考）先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式． 如：①因为，所以和是的因式． ②若是的因式，则求常数的值的过程如下： 解：是的因式， 存在一个整式，使得． 当时，． 此时． 将代入得，， 解得． （1）是的因式吗？　　（填“是”或“不是” ； （2）若是的因式，求常数的值． 【分析】（1）根据十字相乘法分解因式即可作出判断； （2）存在一个整式，使得，当时，，则，代入求出即可． 【解答】解：（1）． 故不是的因式； 故答案为：不是； （2）是的因式， 存在一个整式，使得， 当时，，则， 当时，， 解得． 【点评】本题考查了因式分解的意义，解一元一次方程，关键是因式分解定义的熟练应用． 一十四．公因式 27．（2024春•唐山期末）多项式的公因式是　　 A．3 B． C． D． 【分析】找出多项式的公因式即可． 【解答】解：多项式的公因式是， 故选：． 【点评】此题主要考查了公因式，找公因式的方法为：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一个式子中出现的字母不能作为公因式的一个因式． 28．（2023秋•临潼区期末）式子与的公因式是 　　． 【分析】多项式中公共的因式为公因式，由此找出即可． 【解答】解：式子与的公因式是， 故答案为：． 【点评】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 一十五．因式分解-提公因式法 29．（2024•南通）分解因式：　　． 【分析】本题属于因式分解中的基础题，观察多项式的特点，直接运用提公因式法提取公因式即可分解因式． 【解答】解：． 【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式． 30．（2023秋•淮阳区期末）（1）计算：； （2）分解因式：． 【分析】（1）先求二次根式、负整数指数幂，然后计算加法； （2）通过提取公因式进行因式分解． 【解答】解：（1） ； （2）． 【点评】本题主要考查了提公因式法进行因式分解和实数的运算．在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 一十六．因式分解-运用公式法 31．（2023秋•乳山市期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用平方差公式以及完全平方公式分别将各式分解，即可作出判断． 【解答】解：．，故此选项不合题意； ．无法运用完全平方公式分解因式，故此选项不合题意； ．，故此选项符合题意； ．无法运用完全平方公式分解因式，故此选项不合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确掌握乘法公式是解题关键． 32．（2023秋•东营期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你完成下列各题： （1）因式分解：； （2）因式分解：． 【分析】（1）将看成整体，令代入原式即可求解； （2）将看成整体，令代入原式即可求解． 【解答】解：（1）设， 则原式， ， 把代入得， 原式， ； （2）设， 则原式， ， ， 把代入得， 原式， ， ． 【点评】本题考查了整体代入的思想，运用完全平方公式因式分解，整体代入是解题的关键． 一十七．提公因式法与公式法的综合运用 33．（2023秋•商水县期末）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式的是　　 A． B． C． D． 【分析】各式分解因式得到结果，即可作出判断． 【解答】解：、原式，不符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式，符合题意； 、原式，不符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 34．（2024•明水县校级二模）把因式分解的结果是　　． 【分析】根据因式分解的方法即可求出答案． 【解答】解：原式 故答案为： 【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解的方法，本题属于基础题型． 一十八．因式分解-分组分解法 35．（2022秋•环翠区校级期中）把分解因式结果为 　　． 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了因式分解运用公式法，正确运用平方差公式和完全平方公式是解题关键． 一十九．因式分解-十字相乘法等 36．（2024春•青山区校级期中）阅读材料： ①用配方法因式分解：． 解：原式． ②若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：　　． （2）用配方法因式分解：． （3）若，求的最大值． 【分析】（1）根据完全平方公式配方； （2）按照题干的①计算； （3）按照题干的②计算． 【解答】解：（1）， 故答案为：4； （2） ； （3） ， 当时，有最大值3． 【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 二十．实数范围内分解因式 37．（2024春•邵阳期末）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么形如，为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：． （1）填空：　　，　　； （2）计算：①； ②； （3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题： 已知：，，为实数），求，的值． （4）试一试：请你参照这一知识点，将为实数）因式分解成两个复数的积． 【分析】（1）根据，则，，然后计算； （2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现，化简为计算； （3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得，的值； （4）利用平方差公式进行变形处理． 【解答】解：（1）， ， ， 故答案为：；2； （2）①； ②； （3）， ，， ，； （4）． 【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：（1）阅读理解，发现信息；（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移；（4）类比推理，解答问题． 二十一．因式分解的应用 38．（2024秋•船营区校级月考）已知，，是△的三边长． （1）若，，满足，则△的形状为 　　； （2）若，，满足，试判断△的形状； （3）化简：． 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）根据等式的性质，得出或或，进而得出结论； （3）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【解答】解：（1）， 且， ， △为等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）△为等腰三角形或等边三角形；理由如下： ， 或， 或或， △为等腰三角形或等边三角形； （3），，是△的三边长， ，，， ． 【点评】此题考查因式分解的应用，非负数的性质：绝对值，非负数的性质：偶次方，多项式乘多项式，三角形三边关系，熟练运用因式分解解决问题是解答本题的关键． 二十二．零指数幂 39．（2024春•遵化市期末）若有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用零指数幂：，进而得出答案． 【解答】解：有意义，则， 解得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的定义是解题关键． 40．（2022秋•龙胜县期中）计算：． 【分析】由指数幂：；求个相同因数积的运算，叫做乘方；除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，由此即可计算． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查有理数的混合运算，关键是掌握混合运算的运算法则． 学科网（北京）股份有限公司 $$