第14章 全等三角形 章节整合练习（7个知识点+40题练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第14章 全等三角形 章节整合练习（7个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 知识点2．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 知识点3．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点4．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点5．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点6．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点7．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 章节题型整合练习 一．三角形的稳定性 1．（2023秋•肥西县期末）下列图形具有稳定性的是　　 A． B． C． D． 2．如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的　　 A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性 3．（2023秋•谢家集区期末）空调安装在墙上时，一般都采用如图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有 　　． 4．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，根据的数学道理 　　． 5．为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？ 二．全等图形 6．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则　　 A． B． C． D． 7．如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则和的关系是　　 A． B． C． D． 8．如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，　　． 9．如图，是有一个公共顶点的两个全等正五边形，若将它们的其中一边都放在直线上，则的度数为 　　． 三．全等三角形的性质 10．如图，在中，于点、是上一点，若，，，则的周长为　　 A．22 B．23 C．24 D．26 11．如图，，线段的延长线过点，与线段交于点，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 12．如图，若，且点，，，在同一直线上，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 13．如图，在中，于点，于点，，交于点，，若，，则的面积为 　　． 14．（2024秋•庐江县校级月考）如图，，，三点在同一直线上，且△△．若，则　 ． 15．如图，、、三点在同一条直线上，且． （1）若，，求； （2）若，求． 16．（2023秋•金安区校级月考）如图，已知． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的长． 四．全等三角形的判定 17．如图，点、、、共线，，，添加一个条件，不能判断的是　　 A． B． C． D． 18．如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是　　 A． B． C． D． 19．如图，，若想用三角形判定条件“边边边”来证明，则需要添加的条件是 　　． 20．（2023秋•金寨县期末）如图，，，点，，，在同一直线上，要说明，还要添加的条件是 　 　．（不添加辅助线，只填写一个条件） 21．如图，，，点在边上，，和相交于点．求证：． 22．如图，，，点在边上，．求证：． 23．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，在与中，，，，分别是和的高，且． （1）求证：； （2）你认为“有两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等”这句话对吗？（尝试画图说明） 五．直角三角形全等的判定 24．下列结论错误的是　　 A．直角三角形的外角不可能为锐角 B．三角形的三条中线交于一点，这一点一定在三角形内部 C．如果两个直角三角形的两组边分别相等，那么这两个直角三角形全等 D．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等 25．（2022秋•亳州期末）如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是　　 A． B． C． D． 26．如图，，是的高，且，判定的依据是“　　”． 27．如图，中，于，要使，若根据“”判定，还需要加条件　　，若加条件，则可用　　判定． 28．如图，中，，于，点在上，且，求证：． 六．全等三角形的判定与性质 29．（2023秋•安庆期末）如图，在与中，点在上，交于点．，，，，则　　 A． B． C． D． 30．如图，把两个角的直角三角板放在一起，点在上，、、三点在一条直线上，连接，延长线交于点．若，，则的面积为　　 A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 31．（2023秋•肥东县期末）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，延长线交于点．她两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．已知点距地面的高度，点，到的水平距离，分别为和，，点距地面的高度，此时等于 　　． 32．如图，已知于，于，且，，，则　　． 33．如图，点在上，与交于点，，，． （1）求证：； （2）证明：． 34．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 七．全等三角形的应用 35．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带　　 A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去 36．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．如果每块砖的厚度，则的长为　　 A． B． C． D． 37．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测量的长度即可知道的长度，理由是根据 　　可证明． 38．（2022秋•宜阳县期中）小红不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④，若要配一块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带第 　　块． 39．如图，铁路上、两点相距，、为两村庄，若，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等． （1）求应建在距多远处？ （2）和垂直吗？试说明理由． 40．（2023秋•含山县校级月考）小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 全等三角形 章节整合练习（7个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 知识点2．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 知识点3．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点4．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点5．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点6．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点7．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 章节题型整合练习 一．三角形的稳定性 1．（2023秋•肥西县期末）下列图形具有稳定性的是　　 A． B． C． D． 【分析】所有图形里，具有稳定性的是三角形，据此作答即可． 【解答】解：所有图形里，只有三角形具有稳定性． 故选：． 【点评】本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 2．如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的　　 A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性 【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【解答】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性． 故选：． 【点评】本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形的稳定性． 3．（2023秋•谢家集区期末）空调安装在墙上时，一般都采用如图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有 　稳定性　． 【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键． 4．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，根据的数学道理 　三角形具有稳定性　． 【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性作答． 【解答】解：桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，根据的数学道理三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点评】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，是基础题型． 5．为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？ 【分析】利用三角形不易变形的性质即可解答． 【解答】解：哥哥的如图①那样钉上两根木条能使木架不变形， 因为三角形具有稳定性． 【点评】本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题． 二．全等图形 6．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用全等图形的性质得出，进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 由题意可得：， 则， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了全等图形，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 7．如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则和的关系是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：如图， 在与中， ， ， ． ， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 8．如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，　　． 【分析】连接，利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：如图所示： 由图可知与全等， ， ， 故答案为：90． 【点评】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键． 9．如图，是有一个公共顶点的两个全等正五边形，若将它们的其中一边都放在直线上，则的度数为 　108　． 【分析】根据正五边形的性质和图形全等的性质得到，再利用邻补角的定义计算出，接着根据三角形内角和定理计算出，然后利用周角的定义计算出的度数． 【解答】解：如图， 两图形为全等的正五边形， ， ， ， ． 故答案为：108． 【点评】本题考查了全等图形：掌握全等图形的定义和正五边形的性质是解决问题的关键． 三．全等三角形的性质 10．如图，在中，于点、是上一点，若，，，则的周长为　　 A．22 B．23 C．24 D．26 【分析】由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【解答】解：， ，， 的周长， ，， 的周长为． 故选：． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 11．如图，，线段的延长线过点，与线段交于点，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由的内角和定理求得；然后由全等三角形的对应角相等得到．则结合已知条件易求的度数；最后利用的内角和是180度和图形来求的度数． 【解答】解：，， ． 又， ． 又，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的性质．全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． 12．如图，若，且点，，，在同一直线上，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的性质，平行线的判定，逐项判断即可求解． 【解答】解：， ，故选项正确，不符合题意； ，故选项错误，符合题意； ，故选项正确，不符合题意； ，故选项正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质，平行线的判定是解题的关键． 13．如图，在中，于点，于点，，交于点，，若，，则的面积为 　　． 【分析】根据全等三角形的性质得出，求出，再根据三角形的面积公式求出面积即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，能根据全等三角形的性质求出是解此题的关键． 14．（2024秋•庐江县校级月考）如图，，，三点在同一直线上，且△△．若，则　4　． 【分析】根据全等三角形的性质得出，，再求出答案即可． 【解答】解：△△， ，， 又，， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了全等三角形的性质定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 15．如图，、、三点在同一条直线上，且． （1）若，，求； （2）若，求． 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，，从而可求的长度； （2）由平行线的性质可得，再由全等三角形的性质可得，，从而得，可求得，从而可求解． 【解答】解：（1），，， ，， ； （2）， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质并灵活运用． 16．（2023秋•金安区校级月考）如图，已知． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算； （2）根据全等三角形的对应边相等计算． 【解答】解：（1），， ， ， ； （2）， ， ， 即， ，， ， ． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键． 四．全等三角形的判定 17．如图，点、、、共线，，，添加一个条件，不能判断的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形全等的判定方法即可求解． 【解答】解：在与中，已知，，， ．由可得，所以添加条件，根据可证，故本选项不符合题意； ．添加条件，根据可证，故本选项不符合题意； ．添加条件，不能证明，故本选项符合题意； ．由可得，所以添加条件，根据可证，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是难度适中． 18．如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是　　 A． B． C． D． 【分析】添加，利用即可得到两三角形全等；添加，利用即可得到两三角形全等，添加，利用即可得到两三角形全等． 【解答】解：、添加，利用即可得到两三角形全等，不符合题意； 、添加，不能判定两三角形全等，符合题意； 、添加，利用即可得到两三角形全等，不符合题意； 、添加，利用即可得到两三角形全等，不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 19．如图，，若想用三角形判定条件“边边边”来证明，则需要添加的条件是 　　． 【分析】由于，加上公共边，所以想用“边边边”证明需要添加． 【解答】解：，为公共边， 当添加时，． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 20．（2023秋•金寨县期末）如图，，，点，，，在同一直线上，要说明，还要添加的条件是 　（答案不唯一）　．（不添加辅助线，只填写一个条件） 【分析】根据已知可得，，然后根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【解答】解：，， 添加可利用证得； 添加，可利用证得； 添加，可利用证得； 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟记全等三角形的判定方法有：，，，；证明直角三角形全等的方法还有． 21．如图，，，点在边上，，和相交于点．求证：． 【分析】先利用三角形外角性质证明，然后根据“”判断． 【解答】证明：， 即， 而， ， 在和中， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 22．如图，，，点在边上，．求证：． 【分析】根据全等三角形的判定即可判断． 【解答】证明：和相交于点， ． 在和中， ， ． 又， ， ． 在和中， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定． 23．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，在与中，，，，分别是和的高，且． （1）求证：； （2）你认为“有两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等”这句话对吗？（尝试画图说明） 【分析】（1）根据证明与全等，再证明即可； （2）根据（1）中证明解答即可． 【解答】证明：（1）在与中， ， ， ， 同理可得：， ， 在与中， ， ； （2）错误，证明如下； 如图，在与中，，，高相同，但是与不全等． 【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据证明与全等． 五．直角三角形全等的判定 24．下列结论错误的是　　 A．直角三角形的外角不可能为锐角 B．三角形的三条中线交于一点，这一点一定在三角形内部 C．如果两个直角三角形的两组边分别相等，那么这两个直角三角形全等 D．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等 【分析】根据平角的定义、根据三角形的中线、全等三角形的判定判断即可． 【解答】解：．直角三角形的外角不可能为锐角，故不符合题意； ．三角形的三条中线交于一点，这一点一定在三角形内部，故不符合题意； ．如果两个直角三角形的两组边分别相等，那么这两个直角三角形不一定全等．故符合题意； ．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形的判定，全等三角形的判定，三角形中线的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 25．（2022秋•亳州期末）如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形的判定方法对各选项进行判断． 【解答】解：，， 当添加或时，可根据“”判定； 当添加时，可根据“”判定． 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“” ． 26．如图，，是的高，且，判定的依据是“　　”． 【分析】需证和是直角三角形，可证的依据是． 【解答】解：、是的高， ， 在和中， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形判定定理中的判定直角三角形全等的定理． 27．如图，中，于，要使，若根据“”判定，还需要加条件　　，若加条件，则可用　　判定． 【分析】要使，且利用，已知是直边，则要添加对应斜边；已知两角及一对应边相等，显然根据的判定为． 【解答】解：添加 ，， 已知于，，若加条件，显然根据的判定为． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 28．如图，中，，于，点在上，且，求证：． 【分析】由，可得到，又知，所以，从而得出． 【解答】证明：，， ，． 又， ． ． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．发现并利用是正确解决本题的关键． 六．全等三角形的判定与性质 29．（2023秋•安庆期末）如图，在与中，点在上，交于点．，，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据证明得出，，再由三角形内角和定理即可推出结果． 【解答】解：， ， 在与中， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 30．如图，把两个角的直角三角板放在一起，点在上，、、三点在一条直线上，连接，延长线交于点．若，，则的面积为　　 A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 【分析】由和都是等腰直角三角形，，得，，可根据“”证明，得，，则，再求得，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：和都是等腰直角三角形，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键． 31．（2023秋•肥东县期末）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，延长线交于点．她两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．已知点距地面的高度，点，到的水平距离，分别为和，，点距地面的高度，此时等于 　1.4　． 【分析】证，得，，再求出，然后求出的长即可． 【解答】解：由题意可知，，，，， ， ． ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：1.4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等，证明是解题的关键． 32．如图，已知于，于，且，，，则　　． 【分析】由“”可证△△，可得，由外角可求解． 【解答】解：于，于， ， ，， △△， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△△是本题的关键． 33．如图，点在上，与交于点，，，． （1）求证：； （2）证明：． 【分析】（1）根据等式的性质得，再利用即可证明结论成立； （2）根据全等三角形的对应角相等得，对顶角相等得，利用三角形内角和定理可得结论． 【解答】证明：（1）． ， 在和中， ， ； （2）由第一小问得， ， ， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 34．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 【分析】（1）根据可知，再根据是的中点可求出； （2）由（1）知，得到，，由于，等量代换得到，即，证得，即可得到结论． 【解答】证明：（1）理由如下： （已知）， （两直线平行，内错角相等）， 是的中点（已知）， （中点的定义）． 在与中， ， ； （2）由（1）知， ，， ， ， 即，在与中， ， ， ， ； 【点评】主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质．解决此类问题，前面的结论可作为后面的条件． 七．全等三角形的应用 35．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带　　 A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去 【分析】根据三角形全等的判定方法，即可求解． 【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 故选：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法． 36．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．如果每块砖的厚度，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，因此可以考虑证明△△，由此即可求解． 【解答】解：由题意得：，， ， △△， ，， ． ， ， ． 故选：． 【点评】此题考查全等三角形的应用，关键是全等三角形判定定理的应用，此题是与三角形全等有关的应用题，是很好的练习题． 37．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测量的长度即可知道的长度，理由是根据 　　可证明． 【分析】利用三角形全等的定理证明，根据全等三角形的性质可得． 【解答】解：在和中， ， ， ， 即的长度等于的长度， 故答案为：． 【点评】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定理是解题的关键． 38．（2022秋•宜阳县期中）小红不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④，若要配一块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带第 　②　块． 【分析】根据三角形全等的判定方法做出判断即可． 【解答】解：带②去，可以利用“角边角”配出一块与原来大小一样的三角形玻璃， 故答案为：②． 【点评】本题考查了全等三角形判定定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 39．如图，铁路上、两点相距，、为两村庄，若，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等． （1）求应建在距多远处？ （2）和垂直吗？试说明理由． 【分析】（1），则，根据勾股定理可得，，由可得，再解方程即可； （2）首先证明△△，根据全等三角形的性质可得，再证明，即可得到，进而得到和垂直． 【解答】解：（1）设，则， 在△中， ， 在△中， ， 由题意可知：， 所以：， 解得：． 所以应建在距点处 （2）垂直， 在△和△中， △△， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题主要考查了勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握勾股定理，表示出和．用方程思想计算出的长． 40．（2023秋•含山县校级月考）小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 【分析】根据三角形的内角和定理易得，进行得到和全等，再利用全等三角形的性质求解． 【解答】解：，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 答：路灯的高度是． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$