精品解析：四川省泸州市天立学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

龙马潭区高2023级高一上学期中统一考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效， 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合的真子集的个数为（   ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 2. 若幂函数 的图象经过点， 则（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 3 3. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 某同学到长城旅游，他骑行共享单车由宾馆前往长城，前进了，疲意不堪，休息半小时后，沿原路返回，途中看见路边标语“不到长城非好汉”，便调转车头继续向长城方向前进，则该同学离起点(宾馆)的距离s与时间t的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是R上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题（每题5分，共4道小题，共计20分） 9. 下列函数中，与函数是同一函数的是（ ） A. B. y=t+1 C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”的必要条件 C. 命题“”是假命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 11. 已知不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，则下述正确的是（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 若，则 三 填空题（每题5分，共4道小题，共计20分） 13. 已知函数若___________________ 14. 命题“”是真命题的一个充分不必要条件是______. 15. 已知是奇函数，在区间上是增函数，又，那么的解集是 _________ 16. 定义域为的函数同时满足条件：①常数满足，区间，②使在上的值域为，那么我们把叫做上的“级矩形”函数．函数是上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对共有____对. 四 解答题（6道小题，共计70分.写清楚必要的文字说明与演算步骤） 17. 已知全集 ，且． （1）求集合M，N； （2）若集合，求实数m的值． 18. 已知全集，已知函数的定义域为集合，. （1）当时，求； （2）已知：①“”是“”的充分条件；②“”是“”的必要不充分条件； 从这两个条件中任选一个，补充到横线处，若 ，求实数的取值范围. 19. 已知二次函数 （1）若满足，，且当时，的最小值为2，求函数的解析式； （2）已知当时，，若对于一切实数恒成立，且存在，使得成立，求的最小值. 20. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，．每件产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 21. 已知函数． （1）设，解不等式； （2）设，若当时的最小值为，求m的值． 22. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙马潭区高2023级高一上学期中统一考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效， 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合的真子集的个数为（   ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合的真子集求解. 【详解】集合的真子集有，和. 故选：D. 2. 若幂函数 的图象经过点， 则（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】直接求出函数解析式，即可求出. 【详解】幂函数的图象经过点， 解得． 故选：． 3. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的奇偶性和单调性逐一判断即可 【详解】对于A 是偶函数 故A错误 对于B 在上单调递增 故B错误 对于C 是奇函数且在上单调递减 故C正确 对于D 在上单调递减，在上单调递增 故D错误 故选：C 4. 某同学到长城旅游，他骑行共享单车由宾馆前往长城，前进了，疲意不堪，休息半小时后，沿原路返回，途中看见路边标语“不到长城非好汉”，便调转车头继续向长城方向前进，则该同学离起点(宾馆)的距离s与时间t的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据该同学在行进过程中的前进方式的不同，直接确定对应函数图象即可. 【详解】第一段时间，该同学骑行共享单车由宾馆往长城方向，前进了，则该同学离起点(宾馆)的距离s与时间t的函数图象应是直线，且单调递增； 第二段时间休息了半小时，随时间变化，该同学离起点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点(宾馆)的距离s与时间t的函数图象应是一条横线； 第三段时间，原路返回，其距离起点应越来越近，因此该同学离起点(宾馆)的距离s与时间t的函数图象应是直线，且单调递减； 第四段时间，调转车头继续向长城方向前进，该部分对应的图象应和第一段时间的相似； 因此只有C选项符合. 故选：C. 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A,变负为正,即得; 对于选项B C D分别作差即得. 【详解】 故A错误; 故B错误; 故C错误; 故D正确. 故选: D 6. 已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义和性质可得且在上有单调性，所以在上单调递增，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 由可得， 因为在上有单调性，所以在上有单调性， 因为，所以在上单调递增， 对于A：，故选项A不正确； 对于B：，故选项B正确； 对于C：，故选项C不正确； 对于D：，，， 所以，故选项D不正确； 故选：B. 7. 若函数是R上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，要使函数是R上的增函数，其每一段函数在其定义域内必须为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式组求解即可. 【详解】由题意得 ，解得. 故选：A. 8. 已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】合理变形结合基本不等式计算即可. 【详解】由，且， 故， 当且仅当，即时取得等号. 故选：B 二.多项选择题（每题5分，共4道小题，共计20分） 9. 下列函数中，与函数是同一函数的是（ ） A. B. y=t+1 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】函数的定义域是.选项AC函数与已知函数的定义域不同，所以不是同一函数，选项BD满足同一函数的定义，所以是同一函数. 【详解】解：两个函数只有定义域和对应关系分别相同，两个函数才是同一函数. 函数的定义域是. 的定义域为与的定义域不同，所以不是同一函数； 与的对应关系、定义域都相同，所以两个函数为同一函数； 与的定义域不同，所以两个函数不是同一函数； 与的对应关系、定义域都相同，所以函数为同一函数. 故选：BD． 10. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”的必要条件 C. 命题“”是假命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】CD 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义判断A，由充分必要条件的定义判断BD，由全称命题的真假判断C． 【详解】选项A，全称命题的否定是特称命题，命题“”的否定是“”，A错误； 选项B，时，如，但不成立，不是必要条件，B错； 选项C，时，不成立，C正确； 选项D，有一正一负根，即， 反之，时，，有两个不等实根且，一正一负根，D正确． 故选：CD． 11. 已知不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，得到和是方程的两个实数根，且，结合韦达定理，可得判定A正确，C正确，D正确，再令，可得判定B正确. 【详解】由不等式的解集是， 可得和是方程的两个实数根，且， 则，可得，所以A错误，C正确； 由，可得，所以D正确； 又由，令，可得，所以B正确. 故选：BCD. 12. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，则下述正确的是（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法,对，取特殊值代入已知表达式进行求解，逐项分析即可． 【详解】对于A，令，则，故A正确 对于B，令，则，则，故B正确 对于C，令，则，所以， 又令，，则， 所以是奇函数，故C错误 对于D，令，，则， 所以，故D正确. 故选：ABD． 三 填空题（每题5分，共4道小题，共计20分） 13. 已知函数若___________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 14. 命题“”是真命题的一个充分不必要条件是______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】将全称命题是真命题转化为不等式恒成立问题，利用二次函数的性质得到最值，最后结合充分不必要条件的定义求解即可. 【详解】由“”为真命题，等价于在上恒成立， 所以，设，， 所以的最大值为，即， 所以的一个充分不必要条件是的真子集，则满足条件. 故答案为：（答案不唯一）. 15. 已知是奇函数，在区间上是增函数，又，那么的解集是 _________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据函数的奇函数，单调性与特殊点函数值等特征，求的解集即可. 【详解】解：因为是奇函数，，且在上是增函数， 所以，且在内是增函数， 因为， 所以①当时，原不等式可化为， 又在内是增函数，所以， ②当时，原不等式可化为， 又在区间上是增函数，所 ③当时，，与矛盾， 所以不是不等式的解， 综上，的解集是或. 故答案为：或. 16. 定义域为的函数同时满足条件：①常数满足，区间，②使在上的值域为，那么我们把叫做上的“级矩形”函数．函数是上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对共有____对. 【答案】3 【解析】 【分析】利用函数是上的单调递增函数，结合题设条件可得，进而求得满足条件的常数对. 【详解】由题意，函数是上的“1级矩阵”函数， 即满足条件①常数满足，区间，②使在上的值域为， 函数是上的单调递增函数，， 满足条件的常数对为， ， . 故答案为：3. 四 解答题（6道小题，共计70分.写清楚必要的文字说明与演算步骤） 17. 已知全集 ，且． （1）求集合M，N； （2）若集合，求实数m的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件先求出的值，然后在求出集合M，N （2）由（1）先求出，再根据，求出实数m的值. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以， 所以 此时， 【小问2详解】 由（1） 所以 因为，所以， 当时，不满足题意舍去； 当时，满足题意 故集合时， 18. 已知全集，已知函数的定义域为集合，. （1）当时，求； （2）已知：①“”是“”的充分条件；②“”是“”的必要不充分条件； 从这两个条件中任选一个，补充到横线处，若 ，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）选①或选②， 【解析】 【分析】（1）求函数定义域得集合，解分式不等式得集合，然后由集合的运算法则计算； （2）解含有参数的不等式得集合，选①得集合是集合的子集，根据包含关系得不等式组求解；选项②得集合是集合的真子集，根据包含关系得不等式组求解． 【小问1详解】 由题意，由得，，- 当时，， - ∵全集， ∴或，或， ∴或. 【小问2详解】 由题意，， ∵对任意实数，都有，∴集合. - 选①：因为“”是“”的充分条件，则集合是集合的子集， 所以，解得：， 因此，实数的取值范围是； 选②：因为“”是“”的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集， 所以且等号不同时取得，解得：， 因此，实数的取值范围是. 19. 已知二次函数 （1）若满足，，且当时，的最小值为2，求函数的解析式； （2）已知当时，，若对于一切实数恒成立，且存在，使得成立，求的最小值. 【答案】（1）； （2）8. 【解析】 【分析】（1）根据题设得二次函数顶点为，写出顶点式结合求参数，即可得解析式； （2）由题设得，进而有、，再将目标式化为，应用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由，即二次函数的对称轴为， 当时，的最小值为2， 设， 由，则，解得. 所以. 【小问2详解】 由题意，对于一切实数恒成立，得， 存在，使得成立，可得， 所以，即，解得， 结合题设，易知，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 20. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，．每件产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，取得最大值15（万元） 【解析】 【分析】根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分和当两种情况得到的分段函数关系式；(2）当时根据二次函数求最大值的方法来求利润最大值，当时，利用基本不等式来求的最大值，最后综合即可． 【小问1详解】 因为每件产品售价为6元，则x（万件）商品销售收入为万元， 依题：当时， 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 此时，当时，取得最大值（万元）； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取得最大值15（万元）， 因为，所以当产量为10（万件）时，利润最大，为15万元. 21. 已知函数． （1）设，解不等式； （2）设，若当时的最小值为，求m的值． 【答案】（1） 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法分类讨论求解； （2）利用二次函数的图像性质，结合函数的单调性和最值求解. 【小问1详解】 不等式即，即 当时，即，解得, 当时，由得，， （i）若，则开口向下，，原不等式解得或， （ii）若，则开口向上，，原不等式解得， 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 【小问2详解】 由知开口向上，对称轴, 当，即时， 函数在上单调递增，最小值为，解得; 当，即时， 函数在单调递减，在上单调递增， 最小值为，解得（舍）, 所以m的值为． 22. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 在上单调递增. 证明如下：设 则， 其中，， 所以，即， 故函数在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得图象过点结合可得，的值； （2）由单调性证明步骤可证得结论； （3）由题可得，先求得后讨论k结合单调性可得，即可得范围. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得，.所以函数， 经检验，函数为奇函数，所以，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为对任意的，总存在，使得，所以， 因为在上单调递增，所以， 当时，；所以恒成立，符合题意； 当时，在上单调递增，则， 所以，解得； 当时，函数在上单调递减，则， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $