第04章 图形的相似 章节整合练习（13个知识点+40题练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第04章 图形的相似 章节整合练习（13个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　　　（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点2．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点3．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点4．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点5．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点6．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 知识点7．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点8．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点9．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点10．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点11．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点12．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点13．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 章节题型整合练习 一．几何变换的类型 1．（2024•兴庆区校级三模）如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换　　 A．相似 B．平移 C．轴对称 D．旋转 2．（2022秋•五台县期中）如图，请说出甲树是怎样由乙树变换得到的：　 　． 3．（2022秋•平鲁区校级月考）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法，同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目：如图，与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与射线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与射线相交于点． （1）如图1，点，与点重合时，点，分别在线段，上，求证：； （2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：如图2，当点，在的延长线上时，，分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． 二．比例的性质 4．（2023秋•凤阳县校级月考）若，则下列等式错误的是　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•雁塔区校级月考）若，则　 　． 6．（2024秋•槐荫区校级月考）已知，且，求的值． 三．比例线段 7．（2024秋•海曙区校级月考）下列四组线段中，不是成比例线段的是　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 8．（2024秋•南海区校级月考）线段、、、是成比例线段，，，，则的长为 　　． 9．（2024秋•南山区校级月考）已知，，，为四个不为0的数． （1）如果，求与的值； （2）如果，求证：． 四．平行线分线段成比例 10．（2024•哈尔滨）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为　　 A．6 B．3 C．5 D．9 11．（2024秋•罗湖区校级月考）如图，直线、直线，被直线，，所截，若，，，则的长为 　　． 12．（2024秋•邢台月考）如图，是的中线，是线段上的一点，且，连接并延长交于点． （1）求的值； （2）若，求的长． 五．相似图形 13．（2024秋•莲池区校级月考）下列各组图形中，不一定相似的是　　 A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 14．（2023秋•秦都区期末）四边形四边形，，若四边形的周长为3，则四边形的周长为 　　． 15．在下面两组图形中，每组的两个三角形相似，试分别确定，的值． 六．相似多边形的性质 16．（2023秋•隆昌市校级期末）如图，将一个矩形纸片沿，的中点，的连线对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则　　 A． B． C． D． 17．（2024秋•罗湖区校级月考）如图，取一张长为，宽为的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则　　． 18．（2023秋•萍乡期末）已知矩形中，，在中取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，求的长． 七．相似三角形的性质 19．（2024•滨州二模）和是两个等边三角形，，，则与的面积比是　　 A． B． C． D． 20．（2024秋•新华区校级月考）两个相似三角形的面积比是，其中一个三角形的周长为6，则另一个三角形的周长是 　　． 21．（2024秋•铁西区校级月考）如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，其中一部分与相似，设运动时间为． （1）当在线段上运动时，　　，当在线段上运动时，　　（请用含的代数式表示）； （2）求出满足条件的所有值． 22．（2024春•烟台期末）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：． 应用拓展： （2）如图③，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长 八．相似三角形的判定 23．（2024•怀远县模拟）如图，、相交于点，由下列条件不能判定与相似的是　　 A． B． C． D． 24．（2024•文山市模拟）已知，请添加一个条件　　，使． 25．（2023秋•邗江区期末）如图，在中，点、分别在、上，且． （1）求证：； （2）连接、，求证：． 九．相似三角形的判定与性质 26．（2024•秦安县校级三模）如图，在中，点、、分别在、、上，，，则下列结论不一定正确的是　　 A． B． C． D． 27．（2024秋•东城区校级月考）如图，在中，点，分别在边，上，，，，则的长为 　　． 28．（2024秋•裕华区校级月考）如图，在△中，，，点、分别是、边上的点，且． （1）求证：△△； （2）当，求的值； （3）若点在边上且，点以每秒1个单位从点向终点运动，请直接写出点在△内部的时间． 一十．相似三角形的应用 29．（2024秋•平谷区校级月考）如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与树距，那么这棵树的高度为　　 A． B． C． D． 30．（2024秋•丰泽区校级月考）某校有两块相似的多边形草坪，其相似比为，其中较大的一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是 　　米． 31．（2024秋•新华区校级月考）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中，，，在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 一十一．作图-相似变换 32．（2022秋•朝阳区校级月考）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是　　 A． B． C． D． 33．（浦东新区校级月考）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在如图的方格纸中，以，为顶点作格点三角形与相似（相似比不能为，则另一个顶点的坐标为　　． 34．（2023秋•滨湖区期末）已知在四边形中，是边上一点，且△△．分别在图①和图②中用直尺和圆规作出所有满足条件的点．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，四边形是矩形； （2）如图②，在四边形中，． 一十二．位似变换 35．（2024•酒泉一模）如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则的值为　　 A． B． C． D． 36．（2024•绥化三模）在平面直角坐标系中，点是线段上一点，以原点为位似中心把放大到原来的2倍，则点的对应点的坐标为 　 　． 37．（2023秋•东山县期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、．以点为位似中心，在第三象限内画出△，使△与位似，且相似比为，写出点的坐标，求出△的面积． 一十三．作图-位似变换 38．（2021•路南区三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标和的值分别为　　 A．，2 B．， C．，2 D．， 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比． 39．（2024•裕华区校级二模）《墨子天志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图1和如图2，正方形的边长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，已知． （1）四边形的外接圆半径为 　　． （2）将正方形顺时针旋转一定角度，达到如图2所示的位置，若点在线段延长线上，则长为 　　． 40．（2024秋•槐荫区校级月考）如图，为原点，，两点坐标分别为，． （1）以为位似中心在轴左侧将△放大两倍，并画出图形； （2）已知为△内部一点，写出的对应点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04章 图形的相似 章节整合练习（13个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　　　（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点2．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点3．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点4．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点5．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点6．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 知识点7．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点8．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点9．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点10．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点11．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点12．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点13．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 章节题型整合练习 一．几何变换的类型 1．（2024•兴庆区校级三模）如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换　　 A．相似 B．平移 C．轴对称 D．旋转 【分析】根据原图标与放大后图标之间形状相同，大小不等即可解决问题． 【解答】解：由题知， 放大后的图标与原图标之间形状相同，且大小不等， 所以这两个图形之间属于相似变换． 故选：． 【点评】本题主要考查了几何变换的类型，熟知常见几何变换的特征是解题的关键． 2．（2022秋•五台县期中）如图，请说出甲树是怎样由乙树变换得到的：　 　． 【分析】由图易知，关于直线对称，那么可先以直线为对称轴作轴对称变换，得到与地面垂直的图形，最后的图形与地面的夹角是，所以应把所得的图象绕点顺时针旋转70度． 【解答】解：甲树是这样由乙树变换得到的：先以直线为对称轴作轴对称变换，再把所得的像绕点顺时针旋转70度． 【点评】旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 3．（2022秋•平鲁区校级月考）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法，同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目：如图，与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与射线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与射线相交于点． （1）如图1，点，与点重合时，点，分别在线段，上，求证：； （2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：如图2，当点，在的延长线上时，，分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）利用证明即可得出结论； （2）过点作，交于，可知是等边三角形，再利用证明，从而解决问题． 【解答】（1）证明：与为正三角形， ，， 将射线绕点逆时针旋转， ，， ， ，且，， 在与中， ， ； （2）解：， 理由：如图，过点作，交于， ，， 是等边三角形， ， ， ，，， 在与中， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造等边三角形是解题的关键． 二．比例的性质 4．（2023秋•凤阳县校级月考）若，则下列等式错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据设，再逐个判断即可． 【解答】解：， 设，，， ，故选项结论正确，不符合题意； ，，故，故选项结论正确，符合题意； ，故选项结论正确，不符合题意； ，故选项结论正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键． 5．（2024秋•雁塔区校级月考）若，则　 　． 【分析】利用比例的性质可设，，然后把，代入中进行分式的混合运算即可． 【解答】解：， 设，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）进行计算． 6．（2024秋•槐荫区校级月考）已知，且，求的值． 【分析】根据比例设，，，然后代入等式求出的值，从而得到、、的值，然后相加计算即可得解． 【解答】解：， 设，，， ， ， ． 【点评】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设法”求解更简便． 三．比例线段 7．（2024秋•海曙区校级月考）下列四组线段中，不是成比例线段的是　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【分析】根据成比例线段的定义逐项分析即可． 【解答】解：．，故选项中的线段成比例，不符合题意； ．，故选项中的线段成比例，不符合题意； ．，故选项中的线段不成比例，符合题意； ．，故选项中的线段成比例，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了成立比例的线段，正确记忆在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段是解题关键． 8．（2024秋•南海区校级月考）线段、、、是成比例线段，，，，则的长为 　　． 【分析】对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【解答】解：由题意，得， 即， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 9．（2024秋•南山区校级月考）已知，，，为四个不为0的数． （1）如果，求与的值； （2）如果，求证：． 【分析】（1）先根据已知条件得到，再分别代入进行求解即可； （2）设，则，，再代入计算即可证明结论成立． 【解答】（1）解：， ， ， ． ，； （2）证明：设，则，， ，， ． 【点评】本题主要考查了比例线段，比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质． 四．平行线分线段成比例 10．（2024•哈尔滨）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为　　 A．6 B．3 C．5 D．9 【分析】根据平行线分线段成比例即可解答． 【解答】解：在四边形中，，， ， ， 即， 解得， 故选：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 11．（2024秋•罗湖区校级月考）如图，直线、直线，被直线，，所截，若，，，则的长为 　　． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式，代入计算即可． 【解答】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理内容是关键：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 12．（2024秋•邢台月考）如图，是的中线，是线段上的一点，且，连接并延长交于点． （1）求的值； （2）若，求的长． 【分析】（1）由，，得出，即可得到答案； （2）过作交于点，则，由是的中线可得，从而得到，由平行线分线段成比例可得的长，最后由进行计算即可得到答案． 【解答】解：（1），， ， ， ； （2）如图，过作交于点， ， ， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例、线段之间的数量关系，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 五．相似图形 13．（2024秋•莲池区校级月考）下列各组图形中，不一定相似的是　　 A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 【解答】解：．一组邻边对应成比例的两个矩形，对应角都是直角，一定相似，故本选项不符合题意； ．两个顶角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本选项不符合题意； ．有一个内角对应相等的两个菱形其他角也相等，菱形四条边相等，对应边成比例，故一定相似，故本选项不符合题意； ．有两条边对应成比例的两个直角三角形，不一定相似，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查相似的判定，难度不大，判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备． 14．（2023秋•秦都区期末）四边形四边形，，若四边形的周长为3，则四边形的周长为 　　． 【分析】根据相似形周长的比等于相似比确定答案即可． 【解答】解：四边形四边形，， ， 四边形的周长为3， 四边形的周长为， 故答案为：12． 【点评】本题考查了相似图形的知识，解题的关键是了解相似形周长的比等于相似比，难度不大． 15．在下面两组图形中，每组的两个三角形相似，试分别确定，的值． 【分析】利用三角形内角和定理以及相似三角形的性质分别求出，即可． 【解答】解：图1中，在中，， ， △， ， ， ， ． 图2中，， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型． 六．相似多边形的性质 16．（2023秋•隆昌市校级期末）如图，将一个矩形纸片沿，的中点，的连线对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据矩形的性质可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用相似多边形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 17．（2024秋•罗湖区校级月考）如图，取一张长为，宽为的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则　　． 【分析】根据相似四边形的性质得出比例式，再求出答案即可． 【解答】解：对折两次后得到的小矩形纸片的长为，宽为， 小矩形纸片与原矩形纸片相似， ， 又，， ，即． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质和相似多边形的性质，折叠的性质，能根据相似得出比例式是解此题的关键． 18．（2023秋•萍乡期末）已知矩形中，，在中取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，求的长． 【分析】可设，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式求解即可． 【解答】解：根据已知得四边形是正方形． 设，则，， 四边形与矩形相似， ，， 解得，（不合题意，舍去）． 经检验：是分式方程的解，且符合题意． ， 即． 【点评】本题考查了翻折变换，相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形与矩形相似得到比例式． 七．相似三角形的性质 19．（2024•滨州二模）和是两个等边三角形，，，则与的面积比是　　 A． B． C． D． 【分析】由题中两个三角形都是等边三角形，可得出它们相似，再根据相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：因为和是两个等边三角形， 所以， 又因为，， 所以这两个相似三角形的相似比为， 所以． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的性质及等边三角形的性质，熟知相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键． 20．（2024秋•新华区校级月考）两个相似三角形的面积比是，其中一个三角形的周长为6，则另一个三角形的周长是 　　． 【分析】设另一个三角形的周长为，根据面积之比为可得周长的比为，然后分和解答即可求解． 【解答】解：设另一个三角形的周长为， 两个相似三角形的面积比是， 两个相似三角形的周长比为， 其中一个三角形的周长为6， 当时，解得； 当，解得； 故答案为：4或9． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 21．（2024秋•铁西区校级月考）如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，其中一部分与相似，设运动时间为． （1）当在线段上运动时，　　，当在线段上运动时，　　（请用含的代数式表示）； （2）求出满足条件的所有值． 【分析】（1）根据路程速度时间，分两种情形分别求解即可； （2）点在线段上时，有两种情形，点在上时，有两种情形，分别求解即可． 【解答】解：（1）当在线段上运动时，，当在线段上运动时， 故答案为：，． （2）如图，当时，， ， ． 当时，， ， ． 如图，当时，， ， ． 当时，， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或2或或． 【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 22．（2024春•烟台期末）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：． 应用拓展： （2）如图③，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （2）由折叠的性质可得出，，由（1）可知，，由勾股定理求出，则可求出答案． 【解答】（1）证明：， ，， ， ， ，， ， ， ． （2）解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处， ，， 由（1）可知，， 又，， ， ， ， ， ， ， ； ． 【点评】本题是相似形综合题，考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 八．相似三角形的判定 23．（2024•怀远县模拟）如图，、相交于点，由下列条件不能判定与相似的是　　 A． B． C． D． 【分析】本题中已知是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【解答】解：、由能判定，故本选项不符合题意． 、由、能判定，故本选项不符合题意． 、由、能判定，故本选项不符合题意． 、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定与相似，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 24．（2024•文山市模拟）已知，请添加一个条件　　，使． 【分析】假设可得，，已知，则，故添加即可使得． 【解答】解：， ， ， ， 故添加即可使得． 【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质和相似三角形的判定，添加并证明是解题的关键． 25．（2023秋•邗江区期末）如图，在中，点、分别在、上，且． （1）求证：； （2）连接、，求证：． 【分析】（1）根据，，可得，进一步可证； （2）根据，可知，根据即可得证． 【解答】证明：（1）， 又， ， ， ； （2）， ， 又， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 九．相似三角形的判定与性质 26．（2024•秦安县校级三模）如图，在中，点、、分别在、、上，，，则下列结论不一定正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】由，得，可判断不符合题意；由，得，可判断不符合题意；由，得，可判断不符合题意；因为四边形是平行四边形，所以，再证明，得，推导出，可判断符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：， ， 故不符合题意； ， ， 故不符合题意； ，， ， ， 故不符合题意； ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故符合题意， 故选：． 【点评】此题重点考查平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 27．（2024秋•东城区校级月考）如图，在中，点，分别在边，上，，，，则的长为 　　． 【分析】根据平行判定相似，根据相似三角形的性质，结合平行四边形的性质求解． 【解答】解：在中，点，分别在边，上，， △△， ， ，， ，即， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故答案为：10． 【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 28．（2024秋•裕华区校级月考）如图，在△中，，，点、分别是、边上的点，且． （1）求证：△△； （2）当，求的值； （3）若点在边上且，点以每秒1个单位从点向终点运动，请直接写出点在△内部的时间． 【分析】（1）由题意可得，，可证△△； （2）由△△，可得，代入数值即可求出的长； （3）由△△，可得，点在△内部时，的临界值是，代入数值求出的长即可． 【解答】（1）证明：在△中，， ， ， ， 又点、分别是、边上的点，且， ， △△； （2）解：△△， ． ，，， ， ； （3）解：点在△内部时，的临界值是，设运动时间为， △△， ． ，，， ， 解得或， 点以每秒1个单位从点向终点运动， 当或时，点在△内部． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 一十．相似三角形的应用 29．（2024秋•平谷区校级月考）如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与树距，那么这棵树的高度为　　 A． B． C． D． 【分析】先判定△和△相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【解答】解：如图： ，， ， ，， △△， ， ，，， ， 解得． 这棵树的高度为， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键． 30．（2024秋•丰泽区校级月考）某校有两块相似的多边形草坪，其相似比为，其中较大的一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是 　　米． 【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比求解． 【解答】解：相似比为， 设另一块草坪的周长为米， 当较大的草坪的周长是36米时， ， 解得， 答：另一块草坪的周长是24米， 故答案为：24． 【点评】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似多边形周长的比等于相似比是解题的关键． 31．（2024秋•新华区校级月考）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中，，，在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 【分析】（1）证明△△，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明△△，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，，， △△， ， 灯泡到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离， ， 解得， 经检验，符合题意； （2）由题意，，， △△， ， ， ． 【点评】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 一十一．作图-相似变换 32．（2022秋•朝阳区校级月考）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定方法，当，时，，此时则，所以，然后过点作的垂线即可． 【解答】解：当，时，， ， 即， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了作图相似变换：灵活运用相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 33．（浦东新区校级月考）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在如图的方格纸中，以，为顶点作格点三角形与相似（相似比不能为，则另一个顶点的坐标为　　． 【分析】要求与相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知的边不能与的边对应，则与对应或者与对应并且此时或者是斜边，分两种情况分析即可． 【解答】解：，，， 当与对应时，有或者， 或 在格点上 不合题意，则 点坐标为 同理当与对应时，可求得或者，也是只有后者符合题意，此时点坐标为 点坐标为或者． 故答案为：或者． 【点评】本题结合坐标系，重点考查了相似三角形的判定的理解及运用． 34．（2023秋•滨湖区期末）已知在四边形中，是边上一点，且△△．分别在图①和图②中用直尺和圆规作出所有满足条件的点．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，四边形是矩形； （2）如图②，在四边形中，． 【分析】（1）以为直径作交于点，，点，即为所求． （2）作等腰直角三角形，△，以为圆心，为半径作，交于，，点即为所求． 【解答】解：（1）如图①中，点，点即为所求． （2）如图②点，点即为所求． 【点评】本题考查作图相似变换，矩形的性质圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型． 一十二．位似变换 35．（2024•酒泉一模）如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据位似变换的概念得到，得到△，根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：四边形与四边形位似， ， △， ， 故选：． 【点评】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 36．（2024•绥化三模）在平面直角坐标系中，点是线段上一点，以原点为位似中心把放大到原来的2倍，则点的对应点的坐标为 　或　． 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：点是线段上一点，以原点为位似中心把放大到原来的两倍， 则点的对应点的坐标为或，，即或， 故答案为：或． 【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 37．（2023秋•东山县期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、．以点为位似中心，在第三象限内画出△，使△与位似，且相似比为，写出点的坐标，求出△的面积． 【分析】（1）利用位似变换的性质作出，，的对应点，，即可；把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可． 【解答】解：（1）如图所示：△即为所求． 点的坐标是； ． 【点评】本题考查作图位似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，学会用分割法求三角形面积． 一十三．作图-位似变换 38．（2021•路南区三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标和的值分别为　　 A．，2 B．， C．，2 D．， 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比． 【解答】解：如图所示：位似中心的坐标为：， 的值为：． 故选：． 【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 39．（2024•裕华区校级二模）《墨子天志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图1和如图2，正方形的边长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，已知． （1）四边形的外接圆半径为 　　． （2）将正方形顺时针旋转一定角度，达到如图2所示的位置，若点在线段延长线上，则长为 　　． 【分析】（1）根据正方形的边长为4和位似比求出，进而即可求解．解题关键求出正方形的边长； （2）根据题意证明，设，在△中，，根据勾股定理列出方程，解方程，即可求解． 【解答】解：（1）如图1，连接， 正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， ， 是四边形的外接圆直径， 正方形的边长为4，， ， ， 四边形的外接圆半径为， 故答案为：． （2），， 点在线段延长线上，， 又， ， 又，， △△， ， 设， 在△中，， ， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形与圆的性质，旋转的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 40．（2024秋•槐荫区校级月考）如图，为原点，，两点坐标分别为，． （1）以为位似中心在轴左侧将△放大两倍，并画出图形； （2）已知为△内部一点，写出的对应点的坐标． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可． （2）观察点的变化规律可得答案． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． （2）由图可得，点的对应点的坐标为． 【点评】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$