第7章 锐角三角函数 单元测试-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第7章 锐角三角函数 单元测试 总分：100分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第7章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．的值等于（   ） A．1 B． C． D． 2．已知 ，则α的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 5．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，的三个顶点均在格点上．则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（    ）米 A． B． C． D． 7．如图，在中，两直角边分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且，将绕点B逆时针旋转后得到，若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．如图，在正方形中，与交于点为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，连接，则下列结论：①；②平分；③；④．其中，正确结论的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．计算： ． 10．在中，，的余弦值为 ． 11．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳，，则“人字梯”的顶端离地面的高度是 cm． 12．若定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰三角形顶角的值，即，若等腰，，且，则 ． 13．如图，已知中，，，求时，的长度为 ． 14．如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，，，，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 ．（结果精确到0.1cm）（参考数据：，，，） 15．如图，在中， M是射线上的一动点，以为斜边在外作，且使，O是的中点，连接．则长的最小值为 ． 16．如图，已知在中，，垂足为点分别在边和上，将分割成两个小三角形，将割成两个小三角形，如果分割成的两个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似，那么的值是 ．    三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．计算：． 18．求出图中的正弦值、余弦值和正切值． 19．如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，． (1)求旗杆部分的长． (2)求钢丝的总长度．（结果保留根号） 20．高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点C与高楼的水平距离为30米，斜坡CD的坡度（坡比），坡顶D到BC的垂直距离米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为，求楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 21．2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为，米．求的长． （参考数据：，，） 22．高风中学校门口安装有汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P，P到D的距离为2米，P到地面的距离为1.1米，求点D到地面的距离的长． (2)在（1）的条件下，一辆轿车过道闸，已知轿车的宽为1.9米，高为1.5米．当道闸打开至时，轿车能否驶入校区？请说明理由．（参考数据：） 23．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“佳点”．如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“佳点”． (1)如图2，已知，在四边形中，平分于点E，，求证：点E是中边上的“佳点”； (2)关于直角三角形斜边上的“佳点”个数有______（填写正确的序号）． ①1个；②2个；③1个或2个；④1个或2个或3个． (3)如图③，中，，点D是边上的“佳点”，求线段的长． 24．如图，射线射线，、在射线上，在射线上，连结，．若，，设．过点，，的圆交的垂线于点，连结，直线，交于点． (1)求． (2)连结，记△的面积为． ①求关于的函数表达式； ②当时，求此时的值． (3)点关于直线的对称点为，若落在内部（不包括边界）时，请直接写出的取值范围． 25．如图，二次函数的图像与轴交于点A，B（点A在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)求证：是直角三角形； (3)点P是该拋物线上一点，若（点为坐标原点），求点的坐标： (4)点是该抛物线上一点，若（点为坐标原点），直接写出点M的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 锐角三角函数 单元测试 总分：100分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第7章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．的值等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角构造直角三角形计算即可． 【详解】解：如图，中，，，则，， ∴， 故选：C． 2．已知 ，则α的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，根据的余弦值是解答，熟记的余弦值是是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：D． 3．如图，在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求角的余弦值，根据题意求出即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 4．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理等知识点，先由非负数的性质得出，，根据三角函数求得，的度数，然后根据三角形内角和定理，求得的度数，从而确定三角形的形状，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 故选：D． 5．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，的三个顶点均在格点上．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角函数，将所求角放到直角三角形中是关键．将放入直角三角形，然后利用网格及勾股定理确定三边长，即可得答案． 【详解】解：是的一个锐角， ， ∵， ， 故选：B． 6．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（    ）米 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，过点作于点，由坡度的定义得，求得，再证是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，证明为等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过点作于点， 斜面坡度为， ， ， 在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 解得： 故选：C． 7．如图，在中，两直角边分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且，将绕点B逆时针旋转后得到，若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】作于D，设，根据正切定义得到，证明，则，得到，由点C为斜边的中点得到，则，解得：或（负值舍去），得到，，即可求出的面积． 【详解】解：作于D，则， 设， ∵ ∴， ∴， ∵绕点B逆时针旋转后得到， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点C为斜边的中点， ∴， ∵反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C． ∴， 解得：或（负值舍去）， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、正切的定义、直角三角形斜边中线的性质等知识，构造全等三角形是解题的关键． 8．如图，在正方形中，与交于点为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，连接，则下列结论：①；②平分；③；④．其中，正确结论的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．根据正方形的性质结合等腰三角形的性质可得出， 根据垂直平分线的性质可得，再由等腰三角形的性质进行转换证出平分，根据正切函数的定义，求出即可得出结论，最后根据相似三角形的判断与性质得出，并结合题意化简即可． 【详解】为正方形， ， ， ，故①正确， 与互相垂直且平分， ， ， ， ， 平分，故②正确， 设正方形边长为，则， ， ， ，故③不正确， ， ， ，即， ， ，故④正确， 正确的有3个． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解题关键是熟练掌握相关计算法则． 将特殊角的三角函数值代入，再根据负整数指数幂的运算法则即可得解． 【详解】解：原式， ． 故答案为：． 10．在中，，的余弦值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余弦．根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 故答案为：． 11．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳，，则“人字梯”的顶端离地面的高度是 cm． 【答案】180 【分析】此题考查了相似三角形的性质与判定，三角函数的基本概念，主要是正切的概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 根据题意可知：，从而可求得的长，然后根据锐角三角函数的定义可求得的长． 【详解】解：如图，设交于点， ， ， ， ， ， ， 根据题意得cm， ， ， ， ， ， （cm）． 故答案为：180． 12．若定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰三角形顶角的值，即，若等腰，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于，设，，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点A作于， ， 设，则， ，， ， 根据勾股定理得，， ． 故答案为：． 13．如图，已知中，，，求时，的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键． 根据角正切值可求得，，结合，列方程求解即可得出答案． 【详解】， 在中，，即， ， 在中，，即， 故， ． 故答案为：． 14．如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，，，，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 ．（结果精确到0.1cm）（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是过点作交于点，过点作交的延长线于点，根据，求出，根据，求出，根据，，求出，根据该陶盉管状短流口距地面的高度为：，即可． 【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该陶盉管状短流口距地面的高度为：． 故答案为：． 15．如图，在中， M是射线上的一动点，以为斜边在外作，且使，O是的中点，连接．则长的最小值为 ． 【答案】 【分析】作于点，设长为，用含代数式表示出，然后通过配方求解．本题考查了勾股定理，二次函数的其他应用，解直角三角形及函数最值问题，解题关键是通过添加辅助线用含参代数式表示长度． 【详解】解：作于点， 在中，由勾股定理得： ， 设长为，则， ， ， ， ，， 同理，在中可得，， 为中点， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， ∵ 当时，取最小值为20， 最小值为． 故答案为：． 16．如图，已知在中，，垂足为点分别在边和上，将分割成两个小三角形，将割成两个小三角形，如果分割成的两个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似，那么的值是 ．    【答案】或 【分析】根据题意，设，则，由勾股定理可得，由等腰直角三角形的性质可得，分割成两个小三角形中都有一个角为，若相似，则中也必然有角，由此可得平分，设，则，分类讨论：第一种情况，如图所示，当时，，可证四边形是平行四边形，得，由相似三角形的性质可得，由此即可得的值；第二种情况，如图所示，已知，当时，，根据相似的性质可得，，由此可得的值；由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，是等腰直角三角形，即， ∵， ∴设，则， ∴， ∵分割成的两个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似， ∴分割成两个小三角形中都有一个角为， ∴当平分时，在中，， 设，则， ∴第一种情况，如图所示，当时，，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，即， ∴； 第二种情况，如图所示，已知，当时，，    ∴，即， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，即， ∴； 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正切值的计算，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，分类讨论思想是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式． 18．求出图中的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】，，． 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理解出，再由正弦、余弦、正切公式代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，． 19．如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，． (1)求旗杆部分的长． (2)求钢丝的总长度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用； （1）利用的正切解题即可； （2）在中运用勾股定理求出长，在中运用角所对的直角边等于斜边的一半求出长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：， 在中，, ∴， ∴钢丝的总长度为． 20．高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点C与高楼的水平距离为30米，斜坡CD的坡度（坡比），坡顶D到BC的垂直距离米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为，求楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】高楼的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中得仰角俯角问题，坡度坡角问题，矩形的判定和性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，根据题意可得米，，先利用斜坡的坡度，求出的长，从而求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而即可解答． 【详解】解：如图，过D作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，， 由题意，得， ∴米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米． 答：高楼的高度AB为17.2米． 21．2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为，米．求的长． （参考数据：，，） 【答案】8米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键．在中，根据余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得，， ∴， 在中，，米， ∴（米）， 答：的长为8米． 22．高风中学校门口安装有汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P，P到D的距离为2米，P到地面的距离为1.1米，求点D到地面的距离的长． (2)在（1）的条件下，一辆轿车过道闸，已知轿车的宽为1.9米，高为1.5米．当道闸打开至时，轿车能否驶入校区？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题关键． （1）先根据锐角三角函数求出的长，再求出的长即可解答； （2）当时，，求出此时的长，再与轿车的宽进行比较即可解答． 【详解】（1）解：过点作于点，如图； 在中，，， ， ， ∵， ∴四边形是矩形， ； （2）解：轿车不能驶入小区，理由如下： 当时，，， ， ， 在中，， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为矩形，长3米， ∴， ， ， 轿车不能驶入小区． 23．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“佳点”．如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“佳点”． (1)如图2，已知，在四边形中，平分于点E，，求证：点E是中边上的“佳点”； (2)关于直角三角形斜边上的“佳点”个数有______（填写正确的序号）． ①1个；②2个；③1个或2个；④1个或2个或3个． (3)如图③，中，，点D是边上的“佳点”，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)③ (3)或 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，本题要结合已知“佳点”的定义求解是关键． （1）证明，然后得到，再根据中点的定义即可得到结论； （2）根据“佳点”的定义利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半和直角三角形斜边上的高把该三角形分成了两个相似的直角三角形的性质即可判断直角三角形的“佳点”个数； （3）根据三角函数，转化为边的比例，求出 ，结合点的位置分类讨论，利用已知定义建立方程即可求解. 【详解】（1）证明：∵平分于点E， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴点E是中边上的“佳点”； （2）若直角三角形为非等腰直角三角形， 则斜边上的中线与斜边的交点和斜边上的高与斜边的交点都是直角三角形有一个“佳点”，共两个， 若直角三角形为等腰直角三角形，则斜边上的高与中线重合，故只有一个“佳点”， ∴若直角三角形为等腰直角三角形有一个“佳点”，若直角三角形为非等腰直角三角形，则有两个“佳点”，故直角三角形有或者个“佳点”， 故答案为：③； （3）作 于, ， ， 设 则， ， ， 解得， ， 设， 如图①，当点在点左侧时， 由点是边上的“佳点”有 ， 解得：或(舍去)， ， 如图②，当点在点右侧时， ， ， 解得：或(舍)， ， 综上：的长为或 ． 24．如图，射线射线，、在射线上，在射线上，连结，．若，，设．过点，，的圆交的垂线于点，连结，直线，交于点． (1)求． (2)连结，记△的面积为． ①求关于的函数表达式； ②当时，求此时的值． (3)点关于直线的对称点为，若落在内部（不包括边界）时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②1 (3) 【分析】（1）利用勾股定理可求得，利用同弧所对的圆周角相等和直角三角形的边角关系通过计算即可； （2）①利用勾股定理求出的长，利用（1）②的结论，可得，的长，由题意可得为圆的直径，则；利用勾股定理求得的长．利用，可得中边上的高等于，利用三角形的面积公式即可求得结论； ②将已知条件转化为，利用三角形的面积公式代入得到关于的方程，解方程即可求得结论； （3）利用分类讨论的思想分：①当点的对称点落在上时，②当点的对称点落在上时，利用轴对称的性质可得或，进而得到关于的方程，从而求得当点落在边界上的值，由题意可得结论． 【详解】（1）解：①，， ． 射线射线， ． 在中， ． ， ； （2）解：①，， ． 设，则， ． 在中， ． ，． ， 是圆的直径． ． ， ． ，， ． ． ②与的面积差为2， ． ． 即：． ． ． 解得：． 当与的面积差为2，此时的值为1． （3）解：的取值范围：．理由： ①当点的对称点落在上时，如图， 则． 是圆的直径， 平分， 即是的垂直平分线． ． ． 解得：或． ， ． ②当点的对称点落在上时，如图， 则垂直平分， ∴． ， ． ． ． ． 解得：． ∵落在内部（不包括边界）， 的取值范围：． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形的面积，利用相似三角形的性质和勾股定理求得相应线段的长度是解题的关键． 25．如图，二次函数的图像与轴交于点A，B（点A在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)求证：是直角三角形； (3)点P是该拋物线上一点，若（点为坐标原点），求点的坐标： (4)点是该抛物线上一点，若（点为坐标原点），直接写出点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)点P坐标为或 (4)或 【分析】（1）当0时计算得出，令，解方程求出x的值，即可解题； （2）利用勾股定理的逆定理解题即可； （3）分两种情况画图，求出一次函数的解析式，然后利用解方程组求出交点坐标即可； （4）分为两种情况作图，作的平分线交x轴于点H，过点H作于点N，根据相似求出，然后计算出点H的坐标，求出直线解析式即可求出交点坐标，作点H的对称点，则点M在直线C上，同理即可解题． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 令，则，解得：，， ∴，； （2）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且； （3）解：如图，取的中点D，过点C作的平行线交抛物线于点P， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， 则点D的坐标为， 设直线为， ， ， ∴直线的解析式为， 即的解析式为， 解方程组得：，， ∴点P的坐标为； 解：如图，在上取点E，使得，则，， ∵，即， 解得：，即， ∴， 过点C作交x轴于点F，过点F作于点G， 设，则， 又∵即，解得， ∴，解得， 又∵， ∴， 即点F的坐标为； 设直线的解析式为，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 解方程组得 ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （4）解：如图，作的平分线交x轴于点H，过点H作于点N， 则， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴，即点H的坐标为， 由（3）可得直线的解析式为， 联立得 ∴点M的坐标为， 如图，作点H的关于y轴的对称点，则点M在直线上， 则点的坐标为，直线的解析式为， 联立得 ∴点M的坐标为， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，勾股定理的逆定理，三角函数，相似三角形的判定和性质，掌握求一次函数和二次函数的交点坐标是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$