第32讲 空间点、直线、平面的位置关系（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第32讲 空间点、直线、平面的位置关系 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 - - 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容在北京卷高考数学中不单独考查. 【备考策略】 1.理解空间点、直线、平面的位置关系； 2.了解可以作为推理依据的基本事实和定理； 3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间两直线的位置关系、线面的位置关系、面面的位置关系等简单命题； 【命题预测】本节内容单独考查的概率不高，但在空间几何平行与垂直位置关系的证明问题中有着重要的作用. 知识讲解 知识点1 平面的基本性质 1、平面的3个基本事实 （1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． （2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． （3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识点2 空间中的位置关系 1、直线与直线的位置关系 （1）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：(0°，90°]． 2、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 3、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 考点一、平面基本性质及应用 【典例1】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作的平面个数为（    ） A．42 B．56 C．64 D．81 【典例2】（23-24高三下·北京·开学考试）工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（    ） A．两条相交直线确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．四点确定一个平面 D．直线及直线外一点确定一个平面 1．（23-24高三下·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面 C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面 2．下列说法正确的是（    ） A．四边形确定一个平面 B．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 C．经过三点确定一个平面 D．经过一条直线和一个点确定一个平面 考点二、空间几何共线共点共面问题 【典例1】（23-24高三下·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【典例2】（23-24高三下·全国·模拟预测）已知圆柱中，AD，BC分别是上、下底面的两条直径，且，若是弧BC的中点，是线段AB的中点，则（    ） A．四点不共面 B．四点共面 C．为直角三角形 D．为直角三角形 1．（23-24高三下·四川成都·二模）在正方体中，、分别是棱、靠近下底面的三等分点，平面平面，则下列结论正确的是（    ） A．过点 B． C．过点的截面是三角形 D．过点的截面是四边形 2．已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 考点三、截面问题 【典例1】（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在正方体中，，，分别是，的中点.用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·浙江·模拟预测）如图，已知长方体的体积为是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·江西·开学考试）已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·广东珠海·期末）如图，正方体的棱长为2，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则截面的面积为（    ） A． B． C． D． 考点四、直线与直线位置关系判断 【典例1】（23-24高三下·上海·三模）在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【典例2】（22-23高三下·北京海淀·三模）已知正方体中，点M为线段上的动点，点N为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段MN有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 1．如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（23-24高三下·山东日照·一模）已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（    ） A．若l与不平行，则l与m一定是异面直线 B．若，则l与m可能垂直 C．若，且，则l与m可能平行 D．若，且l与不垂直，则l与m一定不垂直 考点五、异面直线所成角的求解 【典例1】（23-24高三下·北京·阶段练习）已知三棱锥中，，E，F分别是SA，BC的中点，，则EF与AB所成的角大小为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是正方形，，且，均为正三角形，，则与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·陕西咸阳·模拟预测）已知正方体中，E为中点，则异面直线与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·海南·模拟预测）如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等，分别是棱 的中点，则异面直线与 所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 考点六、直线与平面、平面与平面的位置关系 【典例1】（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）若a，b，l是空间中三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中真命题是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【典例2】（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知是两条不重合的直线，是三个不重合的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（23-24高三下·四川·模拟预测）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若与所成的角相等，则 C．若，，则 D．若，则 2．（24-25高三上·河北秦皇岛·阶段练习）已知直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成8个部分 1．（21-22高三上·北京·阶段练习）有下列四个命题： ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内； ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ：若直线平面，直线平面，则； ：若直线平面，直线平面，则．其中为真命题的是（    ） A． B．， C．， D．， 2．（21-22高三上·北京·阶段练习）如图，已知正方体，空间中不存在平面经过其包含的所有对象的是（    ） A．A，D， B．AB， C．A，O，C D．AB，C， 3．（22-23高三下·北京·一模）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（22-23高三下·北京通州·模拟预测）若不同直线a，b，l与平面，且满足，则“a与b异面”是“b与l相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 1．（22-23高三下·北京朝阳·一模）在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·江西新余·模拟预测）空间中有三条两两异面的直线，为其中一条直线上一定点，过引直线使其与这三条异面直线都相交，则对于任意的定点，存在的直线有（     ）条. A． B． C． D．无数 3．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）在三棱锥中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且，则下列说法中正确的是（    ） A．直线EH与FG一定平行 B．直线EH与FG一定相交 C．直线EH与FG可能异面 D．直线EH与FG一定共面 4．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）如图所示，在棱长为的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·四川南充·三模）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 1．（2021·全国·高考真题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（2020·全国·高考真题）设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l. 则下述命题中所有真命题的序号是 . ①②③④ 3．（2020·全国·高考真题）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明： （1）当时，； （2）点在平面内． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第32讲 空间点、直线、平面的位置关系 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 - - 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容在北京卷高考数学中不单独考查. 【备考策略】 1.理解空间点、直线、平面的位置关系； 2.了解可以作为推理依据的基本事实和定理； 3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间两直线的位置关系、线面的位置关系、面面的位置关系等简单命题； 【命题预测】本节内容单独考查的概率不高，但在空间几何平行与垂直位置关系的证明问题中有着重要的作用. 知识讲解 知识点1 平面的基本性质 1、平面的3个基本事实 （1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． （2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． （3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识点2 空间中的位置关系 1、直线与直线的位置关系 （1）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：(0°，90°]． 2、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 3、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 考点一、平面基本性质及应用 【典例1】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作的平面个数为（    ） A．42 B．56 C．64 D．81 【答案】B 【解析】根据题意知“三个不共线的点确定一个平面”，且所确定的平面与点的顺序无关， 所以共可确定的平面个数是个.故选：B 【典例2】（23-24高三下·北京·开学考试）工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（    ） A．两条相交直线确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．四点确定一个平面 D．直线及直线外一点确定一个平面 【答案】A 【解析】由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格， 所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.故选：A 1．（23-24高三下·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面 C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面 【答案】C 【解析】在空间中，三条直线最多可确定个平面， 例如：三棱锥中的三个侧面.故选：C 2．下列说法正确的是（    ） A．四边形确定一个平面 B．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 C．经过三点确定一个平面 D．经过一条直线和一个点确定一个平面 【答案】B 【解析】略 考点二、空间几何共线共点共面问题 【典例1】（23-24高三下·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【答案】D 【解析】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误.故选：D. 【典例2】（23-24高三下·全国·模拟预测）已知圆柱中，AD，BC分别是上、下底面的两条直径，且，若是弧BC的中点，是线段AB的中点，则（    ） A．四点不共面 B．四点共面 C．为直角三角形 D．为直角三角形 【答案】D 【解析】因为点，而平面，结合圆柱结构， 所以平面，故四点不共面； 圆柱中，AD，BC分别是上、下底面的两条直径，且， 若是弧BC的中点，是线段AB的中点，故， 所以，故； 连接，则依题有为在平面内的射影， 在平面内显然与不垂直，故与不垂直； ，则为直角三角形，故选：． 1．（23-24高三下·四川成都·二模）在正方体中，、分别是棱、靠近下底面的三等分点，平面平面，则下列结论正确的是（    ） A．过点 B． C．过点的截面是三角形 D．过点的截面是四边形 【答案】B 【解析】如图取靠近点的三等分点，的另一个三等分点，的中点，的中点， 连接、、、、、、， 依题意可得且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 同理可证、，所以， 又、为的三等分点，所以为的中点，所以，则， 所以、、、四点共面， 又，所以，所以、、、四点共面， 所以、、、、共面， 所以五边形即为过点的截面，平面平面， 所以.故选：B. 2．已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 考点三、截面问题 【典例1】（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在正方体中，，，分别是，的中点.用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接，，， 正方体，平面， 平面，， 是的中点，，且， 四边形是矩形， 且，四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， ，平面，平面， 平面平面， 即平面为过点且平行于平面的平面截正方体所得平面， ，，， .故选：A. 【典例2】（23-24高三下·浙江·模拟预测）如图，已知长方体的体积为是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接， 易知，所以平面与交点为. 设长方体的长、宽、高分别为，则. 平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为 .故选：A. 1．（23-24高三下·江西·开学考试）已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，在上取一点，使得，连接， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以与相交于且为的中点， 又在上，所以与相交于，且O平分，， 所以四点四点共面且四边形为平行四边形， 所以过三点的截面是平行四边形， ， ， ， 故截面面积为.故选：A. 2．（23-24高三上·广东珠海·期末）如图，正方体的棱长为2，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】延长，与直线相交于， 连接与分别交于点，连接， 则五边形即为截面， 正方体的棱长为2，点分别是的中点， 由≌≌得， ，， 故， 因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 由勾股定理得， 取的中点，连接，则⊥，且， 由勾股定理， 其中， 由相似关系可知，， 故. 故选：D 考点四、直线与直线位置关系判断 【典例1】（23-24高三下·上海·三模）在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】直线a、b为异面直线，则直线a、b不相交， 反之，直线a、b不相交，直线a、b可能平行，也可能是异面直线， 所以在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的充分非必要条件.故选：A 【典例2】（22-23高三下·北京海淀·三模）已知正方体中，点M为线段上的动点，点N为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段MN有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【解析】在正方体中，，而平面，即有平面， 又与线段相交，则交点必在直线上， 而平面，于是平面，平面， 因为，平面，即平面，而平面平面， 因此，即点为的交点，又线段与互相平分， 取的中点，连接并延长交于，显然，于是为的中点， 所以当点与重合，点与重合时，与线段相交且互相平分， 这样的直线只有1条.故选：B 1．如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【解析】当P位于中点时，易知， 由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时、面，故A错误； 当P与重合时，此时、面，故B错误； 当P与重合时，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时，故C错误； 由正方体的特征可知四边形为平行四边形， 而平面，平面，、平面，， 故与始终异面，即D正确.故选：D 2．（23-24高三下·山东日照·一模）已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（    ） A．若l与不平行，则l与m一定是异面直线 B．若，则l与m可能垂直 C．若，且，则l与m可能平行 D．若，且l与不垂直，则l与m一定不垂直 【答案】B 【解析】对于选项A：若l与不平行，则l与的位置关系有：相交或直线在平面内， 且，则l与m的位置关系有：平行、相交或异面，故A错误； 对于选项B：若，则l与m可能垂直， 如图所示：，可知：，故B正确； 对于选项C：若，且，，则l与m异面，故C错误； 对于选项D：若，且l与不垂直，则l与m可能垂直， 如图，取为平面，， 符合题意，但，故D错误；故选：B. 考点五、异面直线所成角的求解 【典例1】（23-24高三下·北京·阶段练习）已知三棱锥中，，E，F分别是SA，BC的中点，，则EF与AB所成的角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点G，连接，如图， 又E为的中点，所以，同理可得， 所以（或其补角）是与所成的角. 取的中点H，连接，则， 所以， 则，所以与所成的角为.故选：B. 【典例2】（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是正方形，，且，均为正三角形，，则与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，取的中点，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 同理可得，所以为异面直线与所成的角或其补角， ，，即， 所以，即与所成角的大小为，故选：A. 1．（23-24高三下·陕西咸阳·模拟预测）已知正方体中，E为中点，则异面直线与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，，如图： 因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线与 所成角， 设正方体的棱长为，， ， 在中，， 所以异面直线与 所成角的余弦值是.故选：D. 2．（23-24高三上·海南·模拟预测）如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等，分别是棱 的中点，则异面直线与 所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，因为在直三棱柱中，分别是棱的中点， 故，即四边形为平行四边形，所以， 则即为异面直线与 所成角或其补角； 直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长为，连接， 则平面，故平面平面， 故，是棱的中点，故， 则,而， 又，故在中，, 由于异面直线所成角的范围，故异面直线与 所成角的余弦值是，故选：D. 考点六、直线与平面、平面与平面的位置关系 【典例1】（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）若a，b，l是空间中三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中真命题是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】A 【解析】对于A，若，，，由线面平行的性质可得，故A正确； 对于B，若，，，当时，得不出，故B错误； 对于C，若，，，可能，也可能与相交，故C错误； 对于D，若，，，可能，也可能， 也可能不共线且不垂直，故D错误.故选：A. 【典例2】（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知是两条不重合的直线，是三个不重合的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】A：若，则平行、相交、异面都有可能，错； B：若，由于位置关系不确定，不一定成立，错； C：若，由垂直于同一平面的两条直线平行，即，对； D：若，则平行或相交，错.故选：C 1．（23-24高三下·四川·模拟预测）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若与所成的角相等，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误； 对于B，与所成的角相等，则可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误， 对于C，，，则可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错误； 对于D，，则，D正确.故选：D． 2．（24-25高三上·河北秦皇岛·阶段练习）已知直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成8个部分 【答案】D 【解析】直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面， 对于A，若，，则与相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，且，， 由于直线未必相交，所以与不一定平行，故C错误； 对于D，，，三个平面两两垂直时，最多可将空间分割成8个部分，故D正确故选：D． 1．（21-22高三上·北京·阶段练习）有下列四个命题： ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内； ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ：若直线平面，直线平面，则； ：若直线平面，直线平面，则．其中为真命题的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】：两两相交且不过同一点的三条直线围成一个三角形，是平面图形，为真命题. ：若空间两条直线不相交，可能为异面直线，为假命题. ：根据线面垂直的定义可知为真命题. ，直线平面且直线平面， 所以直线与有可能平行，也有可能异面，为假命题.故选：B 2．（21-22高三上·北京·阶段练习）如图，已知正方体，空间中不存在平面经过其包含的所有对象的是（    ） A．A，D， B．AB， C．A，O，C D．AB，C， 【答案】D 【解析】对于A，存在平面AD包含点A，D，，故A不正确； 对于B，存在平面AB包含AB，，故B不正确； 对于C，存在平面包含点A，O，C，故C不正确； 对于D，因为直线AB，C 是异面直线，所以不存在平面包含AB，C，，故D正确，故选：D. 3．（22-23高三下·北京·一模）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，，，则与的位置关系不能确定； 若，因为，所以，又，所以成立. 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B 4．（22-23高三下·北京通州·模拟预测）若不同直线a，b，l与平面，且满足，则“a与b异面”是“b与l相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为，又因为a与b异面，所以b与l相交； 因为，又因为b与l相交，所以a与b异面. 所以“a与b异面”是“b与l相交”的充要条件.故选：C 5．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】对于A，若，，则或与异面，故A错误； 对于B，若，，则或与异面或与相交，故B错误； 对于C，若，过作平面，使得，则， 因为，，则，又，则，故C正确； 对于D，若，，则或或与相交，故D错误.故选：C. 1．（22-23高三下·北京朝阳·一模）在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接，交于，连接，， 在长方体中，平面与平面的交线为, 而平面，且平面，所以， 又，，所以，故C正确. 对于A，因为长方体中与不一定垂直，故推不出，故A错误； 对于B，因为长方体中与不一定相等，故推不出，故B错误； 对于D，由B知，不能推出与垂直，而是中线，所以推不出，故D错误. 故选：C 2．（23-24高三下·江西新余·模拟预测）空间中有三条两两异面的直线，为其中一条直线上一定点，过引直线使其与这三条异面直线都相交，则对于任意的定点，存在的直线有（     ）条. A． B． C． D．无数 【答案】A 【解析】如图：在正方体中，不妨设三条两两异面的直线为， 令，作平面过，则过与相交的直线都在平面内， 作平面过，则过与相交的直线都在平面内，. 平面与平面不平行且不重合，有且仅有一条公共直线， 所以直线只有1条.故选：A. 3．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）在三棱锥中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且，则下列说法中正确的是（    ） A．直线EH与FG一定平行 B．直线EH与FG一定相交 C．直线EH与FG可能异面 D．直线EH与FG一定共面 【答案】D 【解析】由于，所以E，F，G，H四点确定一个平面EFGH， 因此直线EH与FG一定共面，故D正确，C错误； 只有当,时，此时四边形为平行四边形，此时，故A不正确；    只有当但时，此时四边形EFGH为梯形， 此时EH，GF相交于一点，故B不正确.    故选：D. 4．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）如图所示，在棱长为的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，，， 因为为的中点，，所以， 因为，，，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以为异面直线与所成的角（或其补角）， 因为为等边三角形，所以，故， 所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C. 5．（23-24高三下·四川南充·三模）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 【答案】C 【解析】如图， 连接，由分别为中点，可得， 由可知，侧面为菱形， 所以，所以，故A正确； 连接，因为E、F、G、H分别为、、、的中点， 所以，，所以，所以E、F、G、H四点共面，故B正确； 延长交的延长线于点，连接，交于点，连接，， 设确定平面为，则，所以，所以， 则易知三棱柱的截面四边形为， 在中，， 在中，，而中，， 而，所以截面的周长大于，故C错误； 由B知，且，所以梯形的两腰、所在直线必相交于一点， 因为平面，平面， 又平面平面，所以，所以与重合， 即、、三线共点于，故D正确.故选：C 1．（2021·全国·高考真题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以.故选：D 2．（2020·全国·高考真题）设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l. 则下述命题中所有真命题的序号是 . ①②③④ 【答案】①③④ 【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为； 若与相交，则交点在平面内， 同理，与的交点也在平面内， 所以，，即，命题为真命题； 对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题为假命题； 对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题为假命题； 对于命题，若直线平面， 则垂直于平面内所有直线， 直线平面，直线直线，命题为真命题. 综上可知，，为真命题，，为假命题，为真命题，为假命题， 为真命题，为真命题. 故答案为：①③④. 3．（2020·全国·高考真题）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明： （1）当时，； （2）点在平面内． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 （1）因为长方体,所以平面, 因为长方体,所以四边形为正方形 因为平面,因此平面, 因为平面,所以； （2）在上取点使得,连, 因为,所以 所以四边形为平行四边形， 因为所以四点共面， 所以四边形为平行四边形， ，所以四点共面， 因此在平面内 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$