精品解析：河北省石家庄四十七中学2024—-2025学年上学期第一次月考九年级数学试题

一中东初三第一次月考（10.14） 一．选择题（共16小题） 1. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 2. 某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 3. 若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ） A. B. C. D. 5. 若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（ ） A. B. C. D. 6. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A. B. C. D. 7. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 10. 下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 11. 设一元二次方程的两个实根为和，则（　　） A. B. 2 C. D. 3 12. 电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为，则方程可以为（　　） A. B. C. D. 13. 如图，在中，点D为上一点，连接，下列给出的条件不能得出的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为5等份．若小玻璃管口正好对着量具上2等份处（），那么小玻璃管口径的长为（ ） A. B. C. D. 15. 在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ） A. 四边形 B. 四边形 C. 四边形 D. 四边形 16. 如图，在中，，，，垂足为点，过点作射线，点是边上任意一点，连接并延长与射线相交于点，设，两点之间的距离为，过点作直线的垂线，垂足为．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，正确的共有（ ） ①； ②当时，； ③当时，四边形是平行四边形； ④当或时，都有； ⑤当时，与一定相似． A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条 二．填空题（共3小题） 17. 若关于x的方程(m+2)x|m|＋2x-3＝0是一元二次方程，则m＝________． 18. 黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为_______．（结果保留根号） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，．以原点为位似中心，把放大，使得放大前后对应线段的比为，则点的对应点的坐标为______． 三．解答题（共7小题） 20. 小颖与小明两位同学解方程过程如下框： 小颖： 两边同除以，得． 小明： 移项，得， 提取公因式，得． 所以，或， 解得，． （1）你认为他们的过程是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小颖______，小明______； （2）写出你的解答过程． 21. 随着互联网的发展和智能手机的普及，外卖行业得到迅速发展，某餐厅为了解线上外卖平台客户的需求，提高服务质量，随机抽取300名外卖用户进行问卷调查；调查问卷如下： **餐厅外卖服务满意度调查 1、您对本餐厅外卖服务的整体评价为（ ）（单选） A．满意 B.一般 C.不满意 如果您对本餐厅外卖服务的整体评价为“一般”或“不满意”，请回答第2个问题： 2.您认为本餐厅最需要改进的地方为（ ）（单选） A.餐品味道 B.配送速度 C.包装质量 D.售后服务 该餐厅外卖平台负责人将这 300份调查问卷的结果整理后，制成如下统计图表： （1）如果将整体评价中满意、一般、不满意分别赋分为5分、3分、1分，求该餐厅此次调查中整体评价分数的中位数和平均数； （2）在此次调查中，认为该餐厅需要在配送速度上进行改进的人数有多少； （3）请你根据此次调查结果，对该餐厅外卖业务提出2条合理的建议． 22. 将一副三角尺如图叠放在一起，求的值． 23. 已知关于x的方程． （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设方程的两根为，当时，求m的值． 24. 某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的跟晴离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米．请根据以上数据求出城楼的高度． 25. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． （1）为减少库存，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ （2）这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 26. 如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，速度是，动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是． （1）几秒后与相似？ （2）设的面积为，的面积为；在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一中东初三第一次月考（10.14） 一．选择题（共16小题） 1. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把化成，再代值计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴＝＝． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了代数式求值的有关计算，熟练掌握代数式求值的有关计算是解题的关键． 2. 某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方差的定义及加权平均数的计算公式，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中各个符号的含义． 【详解】解：由题意知，这组数据为、、、、、、、、、， ∴这组数据的平均数为， 故选D． 3. 若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题关键是利用等式性质熟练将比例式与乘积式进行互相转化．把比例式转化为乘积式，逐项判断即可． 【详解】A、由可得：，符合题意； B、由可得：，不符合题意； C、由可得：，不符合题意； D、由可得：，不符合题意； 故选：A． 4. 关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，结合即可判断结果． 【详解】解：∵，当时，， ∴该方程必有一个根是， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，解答本题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值． 5. 若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 6. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴， ∴满足要求的方程为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 7. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据勾股定理，AB=， BC=， AC=， 所以△ABC的三边之比为=， A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为2：=，故本选项错误，不符合题意; B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确，符合题意； C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误，不符合题意； D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：4，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 8. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、， 根据题意得， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键． 9. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 10. 下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差、中位数、众数．熟练掌握平均数、方差、中位数、众数的概念是解题的关键．平均数、方差受频数的影响，众数是出现次数最多的数，由于缺少13和14岁数据，这些统计量都不能分析得出．而中位数是将一组数据由小到大排列，当数据个数为偶数时，中位数是位于中间的两个数的平均数，共20名成员，中位数是第10、11位数的平均数，由此得解． 【详解】解：A：平均数等于一组数据所有数据之和再除以数据个数，用于反映现象总体的一般水平，或分布的集中趋势．由于缺少13岁和14岁的数据，所以平均数不能求出，故A不符合题意； B：方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数，用于衡量数据的波动．由于缺少13岁和14岁的数据，所以方差不能求出，故B不符合题意； C：由于该组数据有20个，中位数为第10个和11个数据的平均数：，故C符合题意； D：由于众数是出现次数最多的数，13岁和14岁的人数不确定，所以众数不能确定，故D不符合题意； 故选：C． 11. 设一元二次方程的两个实根为和，则（　　） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，是解题的关键． 12. 电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为，则方程可以为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记为，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元． 前三天的累计票房为： 故选：D． 13. 如图，在中，点D为上一点，连接，下列给出的条件不能得出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键，根据相似三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A． ，，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到，故符合题意； B．，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C．，即，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D．，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 14. 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为5等份．若小玻璃管口正好对着量具上2等份处（），那么小玻璃管口径的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易证，根据相似比即可得出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴那么小玻璃管口径的长为， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出小玻璃管口径，体现了方程的思想． 15. 在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ） A. 四边形 B. 四边形 C. 四边形 D. 四边形 【答案】A 【解析】 【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案． 【详解】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形． 故选：A 【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形． 16. 如图，在中，，，，垂足为点，过点作射线，点是边上任意一点，连接并延长与射线相交于点，设，两点之间的距离为，过点作直线的垂线，垂足为．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，正确的共有（ ） ①； ②当时，； ③当时，四边形是平行四边形； ④当或时，都有； ⑤当时，与一定相似． A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的判定及性质和全等三角形的判定等知识，灵活应用相关知识，此题有利用提高自身综合应用能力． 【详解】解：① ，，， ，，， ； 故此选项正确； ②， ， ，， ∴当时，； 故此选项正确； ③当时， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； 故此选项正确； ④当或时， ， 不可能相似； 故此选项错误； ⑤当时， ，， ， ， ， ， ， ， 与一定相似． 故正确的有4条， 故选C． 二．填空题（共3小题） 17. 若关于x的方程(m+2)x|m|＋2x-3＝0是一元二次方程，则m＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答． 【详解】解：由题意得， 解得m=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义并应用解决问题是解题的关键． 18. 黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为_______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点．设，利用黄金分割点可以得到成比例线段，；代入数值变形得，解方程即可求解． 【详解】解：∵C、D两点都是的黄金分割点，设， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，．以原点为位似中心，把放大，使得放大前后对应线段的比为，则点的对应点的坐标为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据位似变化的性质解答即可． 【详解】以原点O为位似中心把放大，且放大前后对应线段的比为，， 点的对应点的坐标为或，即或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是位似变化的性质，坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 三．解答题（共7小题） 20. 小颖与小明两位同学解方程过程如下框： 小颖： 两边同除以，得． 小明： 移项，得， 提取公因式，得． 所以，或， 解得，． （1）你认为他们的过程是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小颖______，小明______； （2）写出你的解答过程． 【答案】（1）×，× （2） 解：， ， ， ∴或， 解得，，． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程判断即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，小颖×，小明×， 故答案为：×，×； 【小问2详解】 略 21. 随着互联网的发展和智能手机的普及，外卖行业得到迅速发展，某餐厅为了解线上外卖平台客户的需求，提高服务质量，随机抽取300名外卖用户进行问卷调查；调查问卷如下： **餐厅外卖服务满意度调查 1、您对本餐厅外卖服务的整体评价为（ ）（单选） A．满意 B.一般 C.不满意 如果您对本餐厅外卖服务的整体评价为“一般”或“不满意”，请回答第2个问题： 2.您认为本餐厅最需要改进的地方为（ ）（单选） A.餐品味道 B.配送速度 C.包装质量 D.售后服务 该餐厅外卖平台负责人将这 300份调查问卷的结果整理后，制成如下统计图表： （1）如果将整体评价中满意、一般、不满意分别赋分为5分、3分、1分，求该餐厅此次调查中整体评价分数的中位数和平均数； （2）在此次调查中，认为该餐厅需要在配送速度上进行改进的人数有多少； （3）请你根据此次调查结果，对该餐厅外卖业务提出2条合理的建议． 【答案】（1）中位数为5分，平均数为分 （2）27人 （3）①该餐厅需要在配送方面进行优化，提高配送速度；②该餐厅需要对包装形式进行优化升级，提高包装质量（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数解答即可； （2）用样本中不满意所占百分百乘总人数即可； （3）根据统计图的数据解答即可． 【小问1详解】 解：中位数为5分， （分）， 该公司此次调查中关于整体评价的平均数为分； 【小问2详解】 解：回答第2个问题的人数为（人）， 选择A:（人）， 选择C:（人）， 选择D:（人）， 选择B:（人）； 【小问3详解】 略 22. 将一副三角尺如图叠放在一起，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．由题意，易证得，又由在中，，可得，然后由在中，，求得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 23. 已知关于x的方程． （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设方程的两根为，当时，求m的值． 【答案】（1）且 （2）2 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程根的判别式列不等式即可解得答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系式，把已知变形后整体代入，得m的方程，即可解得答案． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且Δ＞0，即， 解得且； 【小问2详解】 解：∵是的两根， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得m＝2或m＝−2， ∵方程的两根为， ∴且，即， 解得且； ∴m＝－2不符合题意，舍去， ∴m＝2． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． 24. 某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的跟晴离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米．请根据以上数据求出城楼的高度． 【答案】米． 【解析】 【分析】如图（见解析），过点作于点，交于点，先根据矩形的判定与性质可得米，米，米，米，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，由此可得的长，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 则四边形和四边形都是矩形， ， 由题意得：米，米，米，米，米， 米，米，米，米， ， ， ，即， 解得（米）， 则城楼的高度为（米）， 答：城楼的高度为米． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 25. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． （1）为减少库存，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ （2）这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）当这种青包销售单价为42元时，销售利润是3120元 （2）这种背包的销售利润不可能达到3700元，理由： 依题意，得：， 整理，得：． ， 该方程无解， 这种书包的销售利润不能达到3700元． 【解析】 【分析】（1）根据总利润每个的利润月均销量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据总利润每个的利润月均销量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出这种书包的销售利润不能达到3700元． 【小问1详解】 解：设每个背包的售价为元，则月均销量为个 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元． 【小问2详解】 解：略． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找准等量关系，正确列出一元二次方程． 26. 如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，速度是，动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是． （1）几秒后与相似？ （2）设的面积为，的面积为；在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由． 【答案】（1）秒或秒后与相似 （2）存在，10秒或15秒 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正确解出一元二次方程是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）分和两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可； （2）用t分别表示出，根据题意列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设y秒后与相似，则， 所以； 当时，， 即， 解得， ， 当时，， 即， 解得， ， 答：秒或秒后与相似； 【小问2详解】 解：由题意，，则CQ=； 的面积为， 的面积为， 由题意得，， 解得，， 答：运动10秒或15秒时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $