精品解析：广东省茂名市化州市2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024年秋九年级学科素养展评（一）数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 图形：①平行四边形，②正方形，③菱形，④矩形：其中对角线一定垂直的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 方程的一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 6，7 4. 在下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条对角线相等的四边形是矩形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 5. 如图，将一张矩形纸片沿对角线折叠，使点D落在处，若平分，则长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 四个完全相同的正方形面积之和是36，则正方形的边长是（ ） A. 1.5 B. 3 C. 6 D. 9 8. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的对角线，相交于点O，平分交于点E，F是的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 4 10. 茂名东汇城为了方便司机停泊车辆而设计了平行四边形的停车位，如图，平行四边形，小车实际占用位置为矩形，若，，，则至少要多长（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 已知菱形的对角线，，则菱形的面积为________． 12. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 13. 不等式的解集为_____． 14. 如图在矩形中，，则的度数为_____． 15. 如图正方形中，E是对角线上一点，在右侧取一点F，使，与交于点G，若，则的长为_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 如图，已知，把向下平移4个单位长度，再向右平移6个单位长在度，得到． （1）请在图中画出并写出三点坐标． （2）在网格内是否存在点D，使由点A，点B，点C与点D四点构成的四边形是平行四边形，若存在请直接写出点D的坐标，若不存在请说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图在矩形中，点E，F分别在边上，且． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 20. 【任务】如何确定化橘红销售单价及如何进货才能获得最大利润． ①化州某大药房购进李橘园、宝橘园两种型号的橘红，进货价分别是40元每克、65元每克． ②大药房对宝橘园橘红的标价是李橘园橘红标价的2倍，若顾客分别用1000元按标价购进李橘园橘红重量比宝橘园橘红重量多10克． ③大药房准备用不超过30000元购进两园橘红共500克，且从李橘园进货不多于150克，它们都按标价销售． 【问题解决】 （1）求李橘园、宝橘园两种型号的橘红的标价． （2）探究李橘园、宝橘园两种型号的橘红的进货方案一共有多少种？（注：进货重量克取正整数） （3）确定大药房如何进货才能获得最大利润？ 21. 如图在矩形中，，，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，点Q从点C开始沿边向点D以的速度移动，两点同时出发，当一个点运动到终点时另一个点也停止运动，设运动时间为（）． （1）填空：______，_____，（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，； （3）当t为何值时，的面积为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实战 材料：四根等大等长的木条（看作全等），直角坐标系： 实践与操作： 步骤1：如图1把一根木条放在横轴上，一个端点B放在坐标处，端点C放在坐标处，把另一根木条的一个端点D放在纵横上，四根木条首尾连接． 步骤2：把木条向下压下1个单位，使点D离开了纵横，变为如图2所示， 实践探索 （1）求图1中，点A的坐标； （2）求图2中，求过点B，D直线的关系式． 深入探究 （3）点B固定，把四根木条如图3所示摆放，对角线，相交于点Q，点E，F分别在，边上，，且是的角平分线，与交于点G，，求四边形的面积（注：木条长为5） 23. 在数学课上，老师让学生探究线段间的数量关系． 问题情境 （1）如图，点在线段上运动（不含端点），以，为直角边在的同侧作等腰直角，等腰直角，，连接，点，分别是，的中点，同学们发现点在移动的过程中，的长度为定值，则与数量关系是______， 问题探究 （2）如图，连接，，判断的形状并证明， 问题拓展 （3）如图，当等腰直角绕点旋转一定角度后，（）中的结论是否还成立，若成立请证明，若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋九年级学科素养展评（一）数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程．方程中只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中，只有当，它才是一元二次方程，故本选项不合题意； B、，方程中含有2个未知数，故不是一元二次方程，故本选项不合题意； C、，它不是整式方程，故不是一元二次方程，故本选项不合题意； D、，它是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D 2. 图形：①平行四边形，②正方形，③菱形，④矩形：其中对角线一定垂直的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、正方形、菱形、矩形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等且互相平分，正方形的对角线相等且互相垂直平分即可解答． 【详解】解：上述图形中，对角线一定垂直的有②正方形，③菱形，共2个． 故选：B 3. 方程的一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 6，7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，对于一元二次方程（a，b，c为常数且）中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此即可解答． 【详解】解：方程的一次项系数是，常数项是7． 故选：A 4. 在下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条对角线相等的四边形是矩形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】A、根据矩形的判定定理解答；B、根据菱形的判定与性质解答；C、根据正方形的判定与性质解答；D、根据平行四边形的性质与判定解答． 【详解】解：A、等腰梯形也满足此条件，但不是矩形；故本选项错误； B、两条对角线互相垂直平分的四边形才是菱形；故本选项错误； C、对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，所以两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形；故本选项错误； D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了特殊四边形的性质以及有关判定，熟记性质和判定，准确掌握知识是解题的关键． 5. 如图，将一张矩形纸片沿对角线折叠，使点D落在处，若平分，则长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，图形的折叠问题，含30度角的直角三角形的性质．由折叠的性质得：，又由平分得到，结合矩形的性质可得，从而得到，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴在中，， ． 故选：B 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，将分母化简后，分子分母同时约去公因式即可解答． 【详解】解：． 故选：C 7. 四个完全相同的正方形面积之和是36，则正方形的边长是（ ） A. 1.5 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出正方形的面积，再求算术平方根可得答案． 【详解】根据题意可知正方形的面积为， 所以正方形的边长为． 故选：B． 8. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先将方程化为，进而根据配方法解一元二次方程的方法求解即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． 【详解】解：方程可化为， 配方，得， 即． 故选：A． 9. 如图，矩形的对角线，相交于点O，平分交于点E，F是的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等角对等边，三角形中位线性质；熟练掌握这些知识是关键．由矩形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，，，，， ； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ． F是的中点，， ． 故选：C． 10. 茂名东汇城为了方便司机停泊车辆而设计了平行四边形的停车位，如图，平行四边形，小车实际占用位置为矩形，若，，，则至少要多长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定． 由平行四边形得到，由矩形得到，，进而求得，从而，得到，进而根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 已知菱形的对角线，，则菱形的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴菱形的面积 故答案为：6 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 12. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 13. 不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先移项，再系数化为1，可得答案． 【详解】解：移项，得， 两边除以，得． 故答案为：． 14. 如图在矩形中，，则的度数为_____． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据矩形的对角线相等且互相平分得到，进而得到，再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 15. 如图正方形中，E是对角线上一点，在右侧取一点F，使，与交于点G，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 根据正方形的性质可得到，由，得到，从而求得，再结合正方形的对角线互相垂直可推出，从而，可得到，设，则，，，，最后根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查零次幂，绝对值，求算术平方根，负整数指数幂，先分别根据零次幂，绝对值，求算术平方根，负整数指数幂计算，再计算加减乘除混合运算即可． 【详解】解： 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程，将方程化为一般式后，运用因式分解法求解即可． 【详解】解： 方程可化为：， 因式分解，得， ∴或， 解得，． 18. 如图，已知，把向下平移4个单位长度，再向右平移6个单位长在度，得到． （1）请在图中画出并写出三点坐标． （2）在网格内是否存在点D，使由点A，点B，点C与点D四点构成的四边形是平行四边形，若存在请直接写出点D的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）三点坐标分别为 如图，即为所作， （2）存在，点D的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）先作出三个顶点平移后的对应点，然后顺次连接即可得出； （2）分别以为对角线和边分别作出平行四边形即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：如图，存在点D，使由点A，点B，点C与点D四点构成的四边形是平行四边形， 点D的坐标为或． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图在矩形中，点E，F分别在边上，且． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴. ∵， ∴， ∴； （2）16 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，正方形的判定，矩形的性质， （1）根据“角角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）先根据全等三角形的对应边相等得，即可得出四边形是正方形，再求正方形的面积即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积是． 20. 【任务】如何确定化橘红销售单价及如何进货才能获得最大利润． ①化州某大药房购进李橘园、宝橘园两种型号的橘红，进货价分别是40元每克、65元每克． ②大药房对宝橘园橘红的标价是李橘园橘红标价的2倍，若顾客分别用1000元按标价购进李橘园橘红重量比宝橘园橘红重量多10克． ③大药房准备用不超过30000元购进两园橘红共500克，且从李橘园进货不多于150克，它们都按标价销售． 【问题解决】 （1）求李橘园、宝橘园两种型号的橘红的标价． （2）探究李橘园、宝橘园两种型号的橘红的进货方案一共有多少种？（注：进货重量克取正整数） （3）确定大药房如何进货才能获得最大利润？ 【答案】（1）李橘园橘红标价为50元，则宝橘园橘红的标价为100元 （2）进货方案一共有51种 （3）从李橘园进货100克，则从宝橘园进货400克，才能获得最大利润 【解析】 【分析】本题考查分式方程，不等式组，一次函数解决实际问题，读懂题意，找准等量关系是解题的关键． （1）李橘园橘红标价为x元，由任务②中的“大药房对宝橘园橘红的标价是李橘园橘红标价的2倍”得到宝橘园橘红的标价为元，进而根据“顾客分别用1000元按标价购进李橘园橘红重量比宝橘园橘红重量多10克”即可列出方程，求解并检验即可； （2）设从李橘园进货n克，则从宝橘园进货克，根据“大药房准备用不超过30000元购进两园橘红共500克，且从李橘园进货不多于150克”即可列出不等式组，求解即可解答； （3）设从李橘园进货n克，则从宝橘园进货克，所获利润为W元，列出W关于m的函数解析式，进而根据函数的增减性即可解答． 【小问1详解】 解：设李橘园橘红标价为x元，则宝橘园橘红的标价为元．根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是该方程的解，且符合题意． ∴， 答：李橘园橘红标价为50元，则宝橘园橘红的标价为100元． 【小问2详解】 解：设从李橘园进货n克，则从宝橘园进货克，根据题意，得 ， 解得 ∵n取整数， ∴， 答：进货方案一共有51种． 【小问3详解】 解：设从李橘园进货n克，则从宝橘园进货克，所获利润为W元，则 ， ∵， ∴随着n的增大而减小， 由（2）有， ∴当时，W有最大值，此时， 答：从李橘园进货100克，则从宝橘园进货400克，才能获得最大利润． 21. 如图在矩形中，，，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，点Q从点C开始沿边向点D以的速度移动，两点同时出发，当一个点运动到终点时另一个点也停止运动，设运动时间为（）． （1）填空：______，_____，（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，； （3）当t为何值时，的面积为． 【答案】（1）， （2） （3）或3 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用． （1）由矩形的性质得到，，根据路程＝速度×时间可表示出，的长，即可解答； （2）在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （3）根据即可列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，． 当运动时间为时，，， ∴ 故答案为：， 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴当时，； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， 解得：，， ∴当或3时，的面积为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实战 材料：四根等大等长的木条（看作全等），直角坐标系： 实践与操作： 步骤1：如图1把一根木条放在横轴上，一个端点B放在坐标处，端点C放在坐标处，把另一根木条的一个端点D放在纵横上，四根木条首尾连接． 步骤2：把木条向下压下1个单位，使点D离开了纵横，变为如图2所示， 实践探索 （1）求图1中，点A的坐标； （2）求图2中，求过点B，D直线的关系式． 深入探究 （3）点B固定，把四根木条如图3所示摆放，对角线，相交于点Q，点E，F分别在，边上，，且是的角平分线，与交于点G，，求四边形的面积（注：木条长为5） 【答案】（1）；（2）；（3）24 【解析】 【分析】（1）根据点B的坐标为，点C的坐标为，得出，，根据勾股定理求出，证明四边形为菱形，得出，求出结果即可； （2）过点A作轴于点E，根据勾股定理得出，求出，得出，利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）根据菱形的性质得出，，，，得出，根据等腰三角形的判定得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出或（舍去），得出，，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：（1）∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 即平行于x轴， ∴点A的坐标为：； （2）过点A作轴于点E，如图所示： 则， ∵把木条向下压下1个单位， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴， ∵， ∴点D的坐标为，即， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：． （3）∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，求一次函数解析式，等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 23. 在数学课上，老师让学生探究线段间的数量关系． 问题情境 （1）如图，点在线段上运动（不含端点），以，为直角边在的同侧作等腰直角，等腰直角，，连接，点，分别是，的中点，同学们发现点在移动的过程中，的长度为定值，则与数量关系是______， 问题探究 （2）如图，连接，，判断的形状并证明， 问题拓展 （3）如图，当等腰直角绕点旋转一定角度后，（）中的结论是否还成立，若成立请证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（）； （）解：是等腰直角三角形，理由： 如图，过作于点，交延长线于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ，，， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （）解：仍然成立，理由： 如图，过作于点，过作于点，过作于点，过作交延长线于点，过作于点，过作于点， 同上得：四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）过作于点，交延长线于点，证明四边形是矩形，则， ，，从而有，，再证明四边形是矩形，，设，，通过线段和差得，则四边形是正方形，从而得出结论； （）过作于点，交延长线于点，证明四边形是矩形，则， ，，从而有，，再证明四边形是矩形，，设，，通过线段和差得，则四边形是正方形，从而有，，，从而求解； （）如图，过作于点，过作于点，过作于点，过作交延长线于点，过作于点，过作于点，同（）即可求解． 【详解】解：（）如图，过作于点，交延长线于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ，，， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：； （）略 （）略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $