精品解析：期中复习试卷（第21，22，23章）2024-2025学年人教版数学九年级上册

2024-2025学年人教版数学九年级上册期中复习试卷（第21，22，23章） 一、单选题（共10题；共30分） 1. 下列图形中，不是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：．是中心对称图形，故本选项不合题意； ．是中心对称图形，故本选项不合题意； ．是中心对称图形，故本选项不合题意； ．本是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 下列方程中，一定为一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义进行求解即可：含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、，含有两个未知数，且未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 3. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的性质，已知一次函数、二次函数解析式，可根据图象的基本性质，直接判断． 【详解】解：因为一次函数的图象应该经过原点，故可排除A、B； 因为二次函数的图象的顶点坐标应该为(0,2)，故可排除D； 故选C． 4. 如图，在中，，， (其中)．于点D，点E在边上， 设，，， 给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于 x 的方程 的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，公式法解一元二次方程，关键在于找出各边的几何关系． 【详解】解：∵在中，，即， 在中，，即， ∴ ， 即， 故①正确． ∵在中，， 在中，， ∴， 又∵在中，， ∴， 即， 即， ∴， ∴， 故②错误． ∵， ∴， ∵的实数根为： ， ∴的长是关于 x 的方程 的一个实数根， 故③正确． 综上①③正确， 故选：B． 5. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：，即； 再向下平移2个单位为：，即， 故选：A． 6. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①②；③若，，是抛物线上三点，则；④；⑤；其中正确的结论有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧妙利用数形结合的思想是解题的关键．根据所给函数图象可得出a、b、c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 而，，，且， ∴，故③错误； 由函数图象可知，当时，函数值小于零， 则， 又∵， ∴，故④错误； 由函数图象可知，当时，函数取得最大值， ∴当时的函数值小于时的函数值， 即， ∴，故⑤正确； 综上可知，正确的结论有⑤，共1个， 故选A． 7. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④． 【详解】解：将代入，可得， 故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为：4，1，3， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ， 故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又， ， ， 当时，y取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若m为任意实数，则 故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 与x轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则， 故④正确； 综上可知，正确的有①③④， 故选B． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想． 8. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程的两个根是，； ④当时，的取值范围是； ⑤当时，随增大而增大 其中结论正确的个数是　　 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线与轴的交点个数可对①进行判断；由对称轴方程得到，然后根据时函数值为0可得到，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对③进行判断；根据抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断． 【详解】解：抛物线与轴有2个交点， ，所以①正确； ，即， 而时，，即， ， 所以②错误； 抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为， 方程的两个根是，， 所以③正确； 根据对称性，由图象知， 当时，，所以④错误； 抛物线的对称轴为直线， 当时，随增大而增大，所以⑤正确． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 9. 如图边长为5的正方形中，为边上一点，且，为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交于点，过点作交于点，根据绕点顺时针旋转得到线段，可得，，利用易证，再根据四边形是矩形，可得，,设，则，，，根据勾股定理可得，可知当时，有最小值． 【详解】解：如图示：过点作交于点，过点作交于点， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， 又， ， ，四边形是正方形， ， ， ，， ，， 四边形是矩形， ，． 设，则，， ， 在中，， 即当时，有最小值， 当时，最小值是， 故选A． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等，解题的关键是利用勾股定理列出关于的二次函数表达式． 10. 如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列四个命题： ①当时，； ②若，则； ③抛物线上有两点和，若，且，则； ④点关于抛物线对称轴的对称点为，点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中真命题的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①根据二次函数所过象限，判断出y的符号即可判断；②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值即可判断；③根据，，得到，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出，即可判断；④作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点，连接与的和即为四边形周长的最小值．求出的坐标即可解答． 【详解】解：①当时，函数图象过第一、四象限，当时，；当时，，故此命题是假命题； ②二次函数对称轴为直线，当时有，解得，故此命题是真命题； ③∵， ∴， ∴Q点距离对称轴比P点距离对称轴远， 又∵抛物线开口向下， ∴，故此命题是真命题； ④如图，作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点， 连接与的和即为四边形周长的最小值． 当时，二次函数为，顶点纵坐标为，则，则；C点坐标为；则，； 则，． ∴四边形周长的最小值为，故此命题是假命题． 真命题有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称—最短路径问题等，掌握二次函数的性质，轴对称的性质是解决问题的关键． 二、填空题（共8题；共24分） 11. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转到的位置，旋转角为．、相交于点P，且，则的度数为______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：邻角互补可求出的度数，进而得到的度数，再根据四边形的内角和为，可求出的度数，所以可求，即为旋转角的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、四边形的内角和定理，题目的综合性较强，难度中等． 12. 已知二次函数的图象如图所示，则点在第__________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴的位置得到，根据抛物线与轴的交点位置得到，然后根据各象限内点的坐标特征进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左； 当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于． 【详解】解：∵二次函数 ∴ 抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴ 、异号，即， 抛物线与轴的交点在轴的下方， ， 点在第三象限． 故答案为：三． 13. 如图，四边形中，，连接，将绕点逆时针旋转，点的对应点与点重合得到，若，，则的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，勾股定理，全等三角形的性质等知识，解题的关键是证明． 由旋转的性质和等边三角形的性质可证，利用勾股定理求出即可解决题． 【详解】解：是由旋转得到， ， ，，， 是等边三角形， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 14. 哈尔滨市某楼盘以每平方米10000元的均价对外销售，经过连续两次降价后，均价为每平方米8100元，则平均每次降价的百分率为_______________． 【答案】10% 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该楼盘的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 依题意得：10000(1-x)2=8100， 解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）． 故答案为：10%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15. 已知二次函数，当时，函数的最大值为，则m的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】将二次函数配方成顶点式，分和两种情况分析即可． 【详解】 故该抛物线的对称轴为直线 当时，抛物线开口向上，且时，函数的最大值为 即时， 代入求得 当时，抛物线开口向下，且时，函数的最大值为 即时， 代入求得 ∴值为或 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，二次函数的性质，二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键． 16. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于______． 【答案】50+72 【解析】 【分析】将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，想办法证明∠APH＝30°，利用勾股定理求出AB的平方即可解决问题． 【详解】将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，作AH⊥BP于H． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AM＝AP，∠MAP＝60°， ∴△AMP是等边三角形， ∵∠MAP＝∠BAC， ∴∠MAB＝∠PAC， ∴△MAB≌△PAC， ∴BM＝PC＝10， ∵PM2＋PB2＝100，BM2＝100， ∴PM2＋PB2＝BM2， ∴∠MPB＝90°， ∵∠APM＝60°， ∴∠APB＝150°，∠APH＝30°， ∴AH＝PA＝3，PH＝，BH＝8＋， ∴AB2＝AH2＋BH2＝100＋48， ∴菱形ABCD的面积＝2•△ABC的面积＝2××AB2＝50＋72， 故答案为50＋72． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 17. 如图，已知二次函数 的图象与 轴交于不同两点，与 轴的交点在 轴正半轴，它的对称轴为直线．有以下结论：①，②，③若点 和 在该图象上，则，④设，是方程的两根，若，则 ．其中正确的结论是_______（填入正确结论的序号）． 【答案】③④ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，关键式要会利用对称轴的范围求与的关系，能熟练运用根的判别式．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：图象与轴的交点在轴上方， ， 对称轴为， ，即， 图象开口向下， ， ， ， ①不合题意， 当时，， ， ②不合题意， 根据图象可知，离对称轴越远的函数越小， 到1的距离大于2到1的距离， ， ③符合题意， 若，则，，， ， 若，则，，， ， 若，则，，， ， ， ④符合题意， 故答案为③④． 18. 已知二次函数图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系，会用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线开口方向及与y轴的交点可确定a、c的符号，根据对称轴为可得出b的符号，即可判断； 根据二次函数图像的对称性，得出图像与x轴的另一个交点在2和3之间，可得时，即可判断；根据图像与x轴有两个交点可得一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，即可判断③；根据对称轴得出，结合时，即可判断④． 【详解】解抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴， ， 物线的对称轴为， ， ， ， 故正确， 抛物线与x轴的一个交点在0和之间，物线的对称轴为， 图像与x轴的另一个交点在2和3之间， 时，即， 故错误， 图像与x轴有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 故③错误， 由图形可知，时， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的结论有①④． 故答案为：①④． 三、解答题（共6题；共46分） 19. 喜迎新学期，学校要围成一个矩形花圃，花圃一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形．设边的长为x米，矩形的面积为S平方米． （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）求花圃的最大面积． 【答案】（1） （2）128 【解析】 【分析】本题考查了两个变量之间的函数关系式，二次函数求最值，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先用表示，再利用面积公式即可建立起函数关系式； （2）配方求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 【小问2详解】 解：， 而，， ∴当时，花圃的最大面积为． 20. 鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，某养鸡场某日发现一例，两天后发现共有只鸡患有这种病．若每只病鸡每轮传染健康鸡的只数均相同，求每只病鸡每轮传染多少只健康鸡． 【答案】每只病鸡传染15只健康鸡． 【解析】 【分析】设每只病鸡传染健康鸡只，则第一天有只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可． 【详解】解：设每只病鸡传染只健康鸡，由题意得： ， 整理，得， 解得(不符合题意舍去)． 答：每只病鸡传染只健康鸡． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系(经过两天感染患病的鸡一定)列出方程求解． 21. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根是和，且，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系即根的判别式．熟记一元二次方程的两个根分别为，那么，是解题关键．再根据根的判别式确定m的范围，由一元二次方程根与系数的关系可知，，再根据，，求解方程，即可． 【详解】解：，即， ， 可取任何数都满足关于x的一元二次方程有两个实数根， 根据题意得：，， ， ，即， ， ． 22. 大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔·花拉子米（）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解． （1）某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤： 第一步：将方程变形成； 第二步：构造边长为的正方形（如图2）； 第三步：求得右下角正方形面积的值是①； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入， 可得②， ， ③． 请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容； （2）请参照上述方法解方程． 【答案】（1）①4；②16；③2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握将解一元二次方程的问题转化为几何图形问题求解方程． （1）根据将代数问题转化为几何图形问题的做法即可得出答案； （2）类比例题求解、画图、计算即可． 【小问1详解】 解：①， ； ② 将代入，可得； ③， ， 或， ， ； 【小问2详解】 解：第一步：将方程变形成， 第二步：构造边长为的正方形如图， 第三步：求得右下角正方形面积的值是； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入，可得， ， 或， ， ． 23. 图1是一座拱桥，拱桥拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为米时，水面离桥洞最大距离为4米，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系． （1）求该拱桥抛物线的解析式． （2）当河水上涨，水面离桥顶的最大距离为1米时，求拱桥内水面的宽度． 【答案】（1） （2）拱桥内水面的宽度6米 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，该抛物线顶点坐标为，设该抛物线解析式为，把代入求出a的值即可； （2）根据题意得出水位上升了3米，把代入求出自变量的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，， ∵水面离桥洞最大距离为4米， ∴该抛物线顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：（米）， ∴水位上升了3米， 把代入得：， 解得：， （米）， 答：拱桥内水面的宽度6米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． 24. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点． （1）求A点、B点坐标； （2）求直线的解析式； （3）点P是直线上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积，若不存在，试说明理由． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为； （2）直线的解析式为； （3）存在点P，使的面积最大，最大面积是16． 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，利用二次函数的性质即可求出a值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出A点、B点的坐标； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式; （3）假设存在，设点P的坐标为，过点P作轴，交直线于点D，则点D的坐标为，利用三角形的面积公式即可得出的面积关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，，解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得：，解得， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：假设存在，设点P坐标为，过点P作轴，交直线于点D，则点D的坐标为，如图， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积是16． ∵， ∴存在点P，使的面积最大，最大面积是16． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，灵活运用所学知识是关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学九年级上册期中复习试卷（第21，22，23章） 一、单选题（共10题；共30分） 1. 下列图形中，不是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，一定为一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，， (其中)．于点D，点E在边上， 设，，， 给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于 x 的方程 的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 5. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A B. C. D. 6. 已知二次函数图象如图所示，有下列5个结论：①②；③若，，是抛物线上三点，则；④；⑤；其中正确的结论有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①④ 8. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程的两个根是，； ④当时，的取值范围是； ⑤当时，随增大而增大 其中结论正确的个数是　　 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图边长为5的正方形中，为边上一点，且，为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 10. 如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列四个命题： ①当时，； ②若，则； ③抛物线上有两点和，若，且，则； ④点关于抛物线对称轴的对称点为，点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中真命题的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共8题；共24分） 11. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转到的位置，旋转角为．、相交于点P，且，则的度数为______． 12. 已知二次函数的图象如图所示，则点在第__________象限． 13. 如图，四边形中，，连接，将绕点逆时针旋转，点的对应点与点重合得到，若，，则的长度为_______． 14. 哈尔滨市某楼盘以每平方米10000元的均价对外销售，经过连续两次降价后，均价为每平方米8100元，则平均每次降价的百分率为_______________． 15. 已知二次函数，当时，函数最大值为，则m的值是______． 16. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于______． 17. 如图，已知二次函数 的图象与 轴交于不同两点，与 轴的交点在 轴正半轴，它的对称轴为直线．有以下结论：①，②，③若点 和 在该图象上，则，④设，是方程的两根，若，则 ．其中正确的结论是_______（填入正确结论的序号）． 18. 已知二次函数图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论________． 三、解答题（共6题；共46分） 19. 喜迎新学期，学校要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形．设边的长为x米，矩形的面积为S平方米． （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）求花圃的最大面积． 20. 鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，某养鸡场某日发现一例，两天后发现共有只鸡患有这种病．若每只病鸡每轮传染健康鸡的只数均相同，求每只病鸡每轮传染多少只健康鸡． 21. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根是和，且，求m的值． 22. 大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔·花拉子米（）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解． （1）某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤： 第一步：将方程变形成； 第二步：构造边长为的正方形（如图2）； 第三步：求得右下角正方形面积的值是①； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入， 可得②， ， ③． 请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容； （2）请参照上述方法解方程． 23. 图1是一座拱桥，拱桥的拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为米时，水面离桥洞最大距离为4米，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系． （1）求该拱桥抛物线的解析式． （2）当河水上涨，水面离桥顶的最大距离为1米时，求拱桥内水面的宽度． 24. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点． （1）求A点、B点坐标； （2）求直线的解析式； （3）点P是直线上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积，若不存在，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$