四川省自贡市田家炳中学2024-2025学年高一上学期期中检测数学试题

高一数学期中测试题 一、单选题(每小题 5 分) 1．下列说法中正确的是（ ） A．1与 1 表示同一个集合 B．由 1，2，3组成的集合可表示为 1,2,3 或{ }3,2,1 C．方程    21 2 0x x   的所有解的集合可表示为{ }1,1, 2 D．集合 5| 4x x  可以用列举法表示 2．若  21,2,a a ，则 a的取值集合为（ ） A． 0 B． 0,1 C． 0, 2 D． 0,1,2 3．已知集合A满足 0,1 A  0,1, 2,3 ，则集合A的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知全集  1,3,5,7,9U  ，  4M x x  且 }, {3,7,9}x U N  ，则 M∩ �∪N=（ ） A．{1,5} B．{5} C．{1,3,5} D．{3,5} 5．已知 , ,a b cR，使 a b 成立的一个充分不必要条件是（ ） A． a c b c   B． ac bc C． 2 2a b D． 2 2ac bc 6．若 0ab  ，且 a b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． 2 2a b B． 1 1a b C． 2 b a a b   D． 2 a b ab  7．已知命题 p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数 a的 取值范围是（ ） A．－1<a<2 B．a≥1 C．a<－1 D．－1≤a<2 8．已知 0, 0a b  ，且 1 2 1a b  ，则 2 1 1 2a b    的最小值为（ ） A． 2 B． 2 2 C． 3 22 D． 3 21 4  二、多选题（每小题 6 分) 9．命题 2: , 1 0p x x bx    R 的否定是真命题，则实数b的值可能是（ ） A． 74 B． 3 2  C．2 D． 52 10．若正实数 ,x y满足2 1x y  ，则下列说法正确的是（ ） A． xy有最大值为 18 B． 1 4 x y  有最小值为6 4 2 C． 2 24x y 有最小值为 12 D．  1x y  有最大值为 12 11.已知 0,a b b c   ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． 2 2b aa b B． 2 2ac bc C． 1 1a c b c  D． a c b c   三、填空题(每小题 5 分) 12．若集合  1,2,3,4,5,6U  ，  13,5A  , ，  2,5B  ，则如图中的阴影部 分表示的集合为 ． 13．已知 1 4, 2 3x y x y       ，则3x y 的取值范围是 . 14．已知实数 ,a b满足 4 0a b ab   ，且 0ab  ，若关于 t的不等式 2 5 3a b t t    恒成立， 则实数 t的取值范围是 . 四、解答题(15 题 13 分，16，17 题每题 15 分,18，19 题每题 17 分) 15．已知全集U  R，集合 2{ 4 3 0}, { 2 4}A x x x B x x      ∣ ∣ ，  2 2C x a x a   ∣ 且C为非空 集合. (1)分别求 A ∩ B, A ∩ �∪B； (2)若 x C 是 x B 的充分不必要条件，求 a的取值范围. 16．解答下列各题. (1)若 3x  ，求 4 3x x  的最小值. (2)若正数 ,x y满足9x y xy  ， ①求 xy的最小值. ②求 2 3x y 的最小值. 17．设函数 2 1y mx mx    . (1)若命题： , 0x y  R 是假命题，求m的取值范围； (2)若存在0 4x  ，使得   21 3y m x    成立，求实数m的取值范围. 18．解关于 x的不等式 (1)-2x2 + 3x + 2 > 0 (2) 2 1 0x ax   （ Ra ）； (3)  2 1 1 0ax a x    ． 19. (1)已知关于 x 的不等式 ax2+2ax+1≥0 在 R 上恒成立(即解集为 R),求实数 a 的取 值范围; (2)已知关于 x 的不等式 ax 2 +(1-a)x-1<0 在 R 上能成立(解集不是空集),求实数 a 的取 值范围; (3)若关于 x 的不等式 ax 2 -2ax-3>0 的解集为空集,求实数 a 的取值范围. 试卷第 1页，共 3页 高一期中考试 一、单选题 1．下列说法中正确的是（ ） A．1与 1 表示同一个集合 B．由 1，2，3组成的集合可表示为 1,2,3 或{ }3,2,1 C．方程    21 2 0x x   的所有解的集合可表示为{ }1,1, 2 D．集合 5| 4x x  可以用列举法表示 【答案】B 2．若  21, 2,a a ，则 a的取值集合为（ ） A． 0 B． 0,1 C． 0, 2 D． 0,1, 2 【答案】C 3．已知集合A满足 0,1 A  0,1, 2,3 ，则集合A的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 4．已知全集  1,3,5,7,9U  ，  4M x x  且 }, {3,7,9}x U N  ，则  UM N  ð （ ） A．{1,5} B．{5} C．{1,3,5} D．{3,5} 【答案】B 5．已知 , ,a b cR ，使 a b 成立的一个充分不必要条件是（ ） A． a c b c   B． ac bc C． 2 2a b D． 2 2ac bc 【答案】D 6．若 0ab  ，且 a b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． 2 2a b B． 1 1 a b  C． 2 b a a b   D． 2 a b ab  【答案】C 7．已知命题 p：“∀x∈R ，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数 a的取值范围是（ ） A．－1<a<2 B．a≥1 C．a<－1 D．－1≤a<2 【答案】D 8．已知 0, 0a b  ，且 1 2 1 a b   ，则 2 1 1 2a b    的最小值为（ ） A． 2 B． 2 2 C． 3 2 2 D． 3 21 4  【答案】A 二、多选题 9．命题 2: , 1 0p x x bx    R 的否定是真命题，则实数b的值可能是（ ） A． 7 4  B． 3 2  C．2 D． 5 2 【答案】AB 10．若正实数 ,x y满足 2 1x y  ，则下列说法正确的是（ ） A． xy有最大值为 1 8 B． 1 4 x y  有最小值为6 4 2 C． 2 24x y 有最小值为 1 2 D．  1x y  有最大值为 1 2 【答案】ABC 11．已知 0,a b b c   ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． 2 2 b a a b  B． 2 2ac bc C． 1 1 a c b c    D． a c b c   【答案】AC 三、填空题 12．若集合  1,2,3,4,5,6U  ，  13,5A  , ，  2,5B  ，则如图中的阴影部分表示的集合 为 ． 答案： 1,3 13．已知 1 4, 2 3x y x y       ，则3x y 的取值范围是 . 【答案】  3,10 14.已知实数 ,a b满足 4 0a b ab   ，且 0ab  ，若关于 t的不等式 2 5 3a b t t    恒成立，则实数 t的取值范围 试卷第 2页，共 3页 是 . 【答案】 6,1 四、解答题 15．已知全集U  R，集合 2{ 4 3 0}, { 2 4}A x x x B x x      ∣ ∣ ，  2 2C x a x a   ∣ 且C为非空集合. (1)分别求  , UA B A B  ð ； (2)若 x C 是 x B 的充分不必要条件，求 a的取值范围. 【答案】(1)      | 2 3 , |1 2UA B x x A B x x       ð (2)1 2a  16．解答下列各题. (1)若 3x  ，求 4 3 x x   的最小值. (2)若正数 ,x y满足9x y xy  ， ①求 xy的最小值. ②求 2 3x y 的最小值. 【详解】（1）由题 4 3 x x     4 43 3 2 3 3 7 3 3 x x x x           . 当且仅当 43 3 x x    ，即 5x  时取等号； （2）①由9x y xy  结合基本不等式可得：  9 2 9 6 6 0xy x y xy xy xy xy       ，又 ,x y为正数， 则 6 36xy xy   ，当且仅当9x y ，即 2, 18x y  时取等号； ②由9x y xy  可得 9 1 1 y x   ， 则  9 1 18 3 18 32 3 2 3 29 29 2 29 6 6x y x yx y x y y x y x y x                  . 当且仅当 2 218 3 18 3 6x y x y x y y x      ，又9x y xy  ， 即 3 6 1 9 6 2 ,x y    时取等号. 17．设函数 2 1y mx mx    . (1)若命题： , 0x y  R 是假命题，求m的取值范围； (2)若存在0 4x  ，使得   21 3y m x    成立，求实数m的取值范围. 【详解】（1）若命题： , 0x y  R 是真命题，则 x R，不等式 2 1 0mx mx    成立， 当 0m  时， 1 0  ，显然不成立； 当 0m  时，函数 2 1y mx mx    为二次函数， 若 0m  即 0m  ，则 , 0x y  R ，满足题意； 若 0m  即 0m  ，则 2 4 0m m    ，解得 4m  ， 综上， 0m  或 4m  . 所以命题： , 0x y  R 是假命题时，0 4m  ； （2）存在0 4x  ，使得  2 21 1 3mx mx m x       成立， 即对于  0,4x ，使 2 4 0x mx   有解， 即 2 4 4xm x x x     在  0,4x 上能成立，所以 min 4m x x       ， 因为 4 42 4x x x x     ，当且仅当 4x x  即 2x  时等号成立， 所以 4m . 18．已知集合     2 1 1 0, 1 , 0A x ax a x a B x x       ∣ ∣ . (1)当 2a   时，求 A B ； (2)求 A B . 试卷第 3页，共 3页 【详解】（1）当 2a   时，有 22 1 0x x    ，即  1 1 02x x        ，解得 1 1 2 x   ， 故 1 1 2 A x x        ，又  0B x x ∣ ，则  0 1A B x x    ； （2）     2 1 1 0 1 1 0ax a x ax x        当 0a  时，有 1 0x   ，解得 1x  ，故  1A x x  ， 又  0B x x ∣ ，则  0 1A B x x    ； 当0 1a  时，有        2 11 1 0 1 1 0 1 0ax a x ax x x x a                 ， 解得 1x a  或 1x  ，故 11A x x x a        或 ， 又  0B x x ∣ ，则 10 1A B x x x a          或 ； 当 0a  时，有       2 11 1 0 1 1 0 1 0ax a x ax x x x a                 ， 解得 1 1x a   ，故 1 1A x x a         ，又  0B x x ∣ ，则  0 1A B x x    ； 综上所述：当 0a  时，  0 1A B x x    ； 当0 1a  时， 10 1A B x x x a          或 . 19.解关于 x的不等式． (1) 2 1 0x ax   （ Ra ）； (2)  2 1 1 0ax a x    ． 【详解】（1） 2 4a   ①当 2 4 0a    ，即 2 2a   时，原不等式无解． ②当 2 4 0a    ，即 2a  或 2a   时， 方程 2 1 0x ax   的两根为 2 1 4 2 a ax    ， 2 2 4 2 a ax    ， 则原不等式的解集为 2 24 4 2 2 a a a ax x              综上所述，当 2 2a   时，原不等式无解； 当 2a  或 2a   时，原不等式的解集为 2 24 4 2 2 a a a ax x              ； （2）若 0a  ，原不等式等价于 1 0x   ，解得 1x  ． 若 0a  ，原不等式等价于  1 1 0x x a        ， 解得 1x a  或 1x  ． 若 0a  ，原不等式等价于  1 1 0x x a        ，①当 1a  时， 1 1 a  ，  1 1 0x x a        无解；②当 1a  时， 1 1 a  ，解 得 1 1x a   ，③当0 1a  时， 1 1 a  ，解得 11 x a   ， 综上所述，当 0a  时，解集为 1x x a    或� > 1 ；当 0a  时，解集为 1x x  ；当0 1a  时，解集为 11x x a       ； 当 1a  时，解集为；当 1a  时，解集为 1 1x x a       .