专题5.7 二次函数中的最值问题【八大题型】-2024-2025学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题5.7 二次函数中的最值问题【八大题型】 【苏科版】 【题型1 几何图形中线段最值问题】 1 【题型2 两线段和的最值问题】 2 【题型3 周长的最值问题】 4 【题型4 面积的最值问题】 6 【题型5 线段和差倍分的最值】 8 【题型6 由二次函数性质求二次函数的最值】 9 【题型7 由二次函数的最值求字母的值】 10 【题型8 由二次函数的最值求字母的取值范围】 12 【题型1 几何图形中线段最值问题】 【例1】（23-24九年级·广西钦州·期中）如图，线段，点P在线段上，在的同侧分别以为边长作正方形和，点M，N分别是，的中点，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式1-1】（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）如图，，点C是上的动点，以为边在同侧作等边三角形，M、N分别是中点，最小值（    ） A．3 B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级·广东江门·阶段练习）如图，在矩形中，，将对角线绕对角线交点O旋转，分别交边于点E、F，点P是边上的一个动点，且保持，连接，设． (1)填空： ， ；（用含x的代数式表示） (2)若的面积为S，求S与x的函数关系及面积的最小值； (3)在运动过程中，是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由． 【变式1-3】（23-24九年级·广东广州·期中）如图，在正方形中，，F是边上的动点，将绕点A顺时针旋转至，将沿AF翻折至，连接交于点H，连接，则面积的最大值为 ． 【题型2 两线段和的最值问题】 【例2】（（23-24·安徽合肥·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点E，使的值最小，求的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式2-1】（（23-24·江苏宿迁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，点C为y轴正半轴上一点，且，D是线段上的动点（不与点A，C重合）．    (1)写出A、B、C三点坐标； (2)如图1，当点D关于x轴的对称点刚好落在抛物线上时，求此时D点的坐标； (3)如图2，若点E是线段上的动点，连接，当时，求的最小值． 【变式2-2】（（23-24·辽宁抚顺·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴负半轴交于点，长度为的线段在直线上滑动，以为对角线作正方形． (1)求抛物线的解析式； (2)当正方形与抛物线有公共点时，求点横坐标的取值范围； (3)连接，，直接写出的最小值． 【变式2-3】（（23-24·海南省直辖县级单位·二模）如图，抛物线经过点，交轴于另一点（点在点点的左侧），点是该抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方且时，请求出点的横坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； (4)若点在轴上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型3 周长的最值问题】 【例3】（（23-24·辽宁丹东·模拟预测）如图，对称轴为直线的抛物线图象与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，若点为抛物线上第二象限内的一个动点，点为线段上一动点，当的面积最大时，求周长的最小值； (3)如图，将原抛物线绕点旋转，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式3-1】（23-24九年级·山东淄博·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作交抛物线于，若点为对称轴上一动点，求周长的最小值及此时点的坐标； (3)过点作交抛物线于，过点为直线上一动点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 【变式3-2】（23-24九年级·全国·期末）如图抛物线经过点，点，且． (1)求抛物线的解析式及其对称轴； (2)点、是直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值； (3)点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标． 【变式3-3】（23-24九年级·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为， ①求的最小值②求周长的最小值； (3)如图2，N为射线CB上的一点，M是地物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，且，当为等腰三角形时，求点N的坐标．（直接写出点N的坐标，不要求写解答过程） 【题型4 面积的最值问题】 【例4】（23-24九年级·云南红河·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，求出周长的最小值时点的坐标； (3)若点是第四象限抛物线上的动点，求面积的最大值以及此时点的坐标； 【变式4-1】（23-24九年级·甘肃武威·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点D在抛物线的对称轴上，当取得最小值时，求此时点D的坐标． (3)点P是直线上方抛物线上一动点，连接、，求的面积的最大值，并求此时点P的坐标． 【变式4-2】（23-24九年级·山东·期末）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且，．    (1)求抛物线的解析式； (2)若连接、．动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（23-24九年级·福建福州·期中）已知抛物线与y轴交于点，顶点为，过点直线与抛物线交于D，E两点（点D在点E的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最小值； (3)若D，E两点都在第四象限，过点D作直线的垂线，垂足为F，直线与直线交于点G，连接，求证：四边形是平行四边形． 【题型5 线段和差倍分的最值】 【例5】（23-24·山东济南·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧． (1)求a，b，c的值； (2)如图，连接、，交点为，连接，若，求点的坐标； (3)如图，在（2）的条件下，过点作轴的垂线交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接，，求的最小值． 【变式5-1】（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点．    （1）连接，，则为 三角形； （2）点为该抛物线对称轴上一点，当取最小值时， ． 【变式5-2】（23-24九年级·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，顶点为．    (1)求此抛物线的解析式； (2)如图1，点P为抛物线对称轴（直线l）上的动点，求当取得最小值时点P的坐标； (3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点M，求面积的最大值． 【变式5-3】（23-24九年级·广东东莞·期中）如图，已知抛物线（）与轴相交于点，与轴分别交于点和点A，且． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【题型6 由二次函数性质求二次函数的最值】 【例6】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上不同的两点且，求的最小值． 【变式6-1】（23-24九年级·江西赣州·期中）观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大． ． 【观察发现】（1）发现所列各组式子中两个因数的和都为_____________． 【问题解决】（2）若设其中一个因数为（，且为正整数），所列两个数的积为y，请说明哪个积最大，最大值是多少． 【拓展应用】（3）若大于0的a、b满足，求的最小值． 【变式6-2】（（23-24·贵州·模拟预测）已知二次函数（，为常数）的图象经过点， (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的值． 【变式6-3】（23-24九年级·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，我们将形如，这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”． (1)直线上的“互补点”的坐标为_________； (2)直线上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由； (3)若函数的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当时，m的最小值为k，求k的值． 【题型7 由二次函数的最值求字母的值】 【例7】（（23-24九年级·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系中，设二次函数，、是实数，． (1)若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式； (2)若函数的图象经过点，其中，求证：函数的图象经过点，； (3)设函数和函数的最小值分别为和，若，求、的值． 【变式7-1】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求的值和二次函数图象的顶点坐标． (2)已知点在该二次函数图象上． ①当时，求的值； ②当时，该二次函数有最小值1，请结合函数图像求出的值． 【变式7-2】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知拋物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．顶点为M．    (1)如图，若该拋物线可以由抛物线先向右平移5个单位，在向上平移4个单位得到，点C坐标为． （i）求A，B两点的坐标； （ii）若线段的垂直平分线交x轴交于点D，交y轴交于点E，交交于点P，求证：四边形是菱形； (2)已知，抛物线顶点M在直线上，若在自变量x的值满足的情况下，对应函数值y的最小值为，求h的值． 【变式7-3】（（23-24·广西贺州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点M是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线轴于点D，交线段于点N．是否存在点M使得线段的长度最大，若存在，求线段长度的最大值，若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t的值． 【题型8 由二次函数的最值求字母的取值范围】 【例8】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）用好错题本可以有效的积累解题策略，减少再错的可能．下面是小颖同学错题本上的一道题，请仔细阅读，并完成相应任务． *年*月*日        星期天 错题*** 在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，. ①求此抛物线的对称轴；（用含的式子表示） ②记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），轴上一动点，过点作垂直于轴的直线与有且仅有一个交点，求的取值范围； 任务一：请帮助小颖完成上述错题订正； 任务二：若点也是此抛物线上的点，记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，直接写出的取值范围． 【变式8-1】（23-24九年级·河南郑州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的表达式，并求出对称轴和顶点坐标； (2)点在该二次函数图象上，当时，的最大值为，最小值为1，请根据图象直接写出的取值范围． 【变式8-2】（（23-24·浙江温州·模拟预测）已知二次函数图象的一部分如图所示，它经过． (1)求这个二次函数的表达式，并在图中补全该图象； (2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 【变式8-3】（23-24九年级·湖北·周测）已知抛物线经过点，与轴交于点，顶点在直线上．如图1，若点的坐标为，点的横坐标为1． (1)试确定抛物线的解析式； (2)若当时，的最小值为2，最大值为11，请求出的取值范围； (3)已知：点在抛物线上，点的坐标为，且，请直接写出符合题意的点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.7 二次函数中的最值问题【八大题型】 【苏科版】 【题型1 几何图形中线段最值问题】 1 【题型2 两线段和的最值问题】 7 【题型3 周长的最值问题】 19 【题型4 面积的最值问题】 31 【题型5 线段和差倍分的最值】 41 【题型6 由二次函数性质求二次函数的最值】 51 【题型7 由二次函数的最值求字母的值】 56 【题型8 由二次函数的最值求字母的取值范围】 64 【题型1 几何图形中线段最值问题】 【例1】（23-24九年级·广西钦州·期中）如图，线段，点P在线段上，在的同侧分别以为边长作正方形和，点M，N分别是，的中点，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设，，根据正方形的性质和勾股定理列出关于x的二次函数关系式，求二次函数的最值即可． 【详解】解：作交延长线于，则四边形为矩形， ∴． ∵N是的中点， ∴， ∴． 设，，则， 在中，由勾股定理得：， 即． ∵， ∴当，即时，， ∴．即的最小值为5； 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值．熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键． 【变式1-1】（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）如图，，点C是上的动点，以为边在同侧作等边三角形，M、N分别是中点，最小值（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值问题，如图所示，连接，根据等边三角形的性质得到，，进而推出，设，则，，利用勾股定理得到，则，利用二次函数的性质求出的最小值，即可求出的到最小值． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，点N是的中点， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值， ∴有最小值， 故选D． 【变式1-2】（23-24九年级·广东江门·阶段练习）如图，在矩形中，，将对角线绕对角线交点O旋转，分别交边于点E、F，点P是边上的一个动点，且保持，连接，设． (1)填空： ， ；（用含x的代数式表示） (2)若的面积为S，求S与x的函数关系及面积的最小值； (3)在运动过程中，是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)不成立，理由见详解 【分析】（1）由矩形的性质可得，可证，可得由可得； （2）由，可得，根据二次函数的性质可求面积的最小值； （3）若，则可证，可得，即，方程无解，则不存在x的值使． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴ ∴且 ∴ ∴ ∵且 ∴ ∴ 故答案为： （2）解：依题意 ∵， ∴ ∵的面积为S， ∴S与x的函数关系 ∴开口向上，当时，面积的最小值为 （3）解：不成立 理由如下：若，则 又∵ ∴，且 ∴ ∴ ∴ 则方程无解， ∴不存在x的值使， 即不成立． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，列代数式表达式、全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 【变式1-3】（23-24九年级·广东广州·期中）如图，在正方形中，，F是边上的动点，将绕点A顺时针旋转至，将沿AF翻折至，连接交于点H，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和旋转的性质可得， 连接，作交 于 Q， 于 M，连接，设交于点 O．证出，可得，再证明，可得，同理，从而得到，设，则，再证出，列出含x的面积公式，利用二次函数配方即可得到最大值． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， ， ∵将绕点A顺时针旋转至， ∴， ， ∴， ， 连接，作交 于 Q， 于 M，连接，设交于点 O． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴时，的面积最大，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及二次函数的运用，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定及二次函数的运用． 【题型2 两线段和的最值问题】 【例2】（（23-24·安徽合肥·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点E，使的值最小，求的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点，则的最小值为 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）如图1，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小，即可求解； （3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，；当时，，则； ∴、 将点、代入二次函数表达式得：， 解得：， 故函数的表达式为：； （2）如图1中，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小，此时，点的坐标为， 又， ∴函数顶点D坐标为， 设直线的表达式为， 将、代入一次函数表达式得：， 解得，， ∴直线的表达式为：， 当时，，解得， 故点， 则的最小值为； （3）解：对于，令，则， 解得，或， ∴点的坐标为； 又， ∴； ①当点P在x轴上方时，如图2中， ∵，则， ∴， 过点B作于点H， ∴ ∴ ∴ 设 则， ∴ 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 则 则； ②当点P在x轴下方时，同理可得； 故点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏． 【变式2-1】（（23-24·江苏宿迁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，点C为y轴正半轴上一点，且，D是线段上的动点（不与点A，C重合）．    (1)写出A、B、C三点坐标； (2)如图1，当点D关于x轴的对称点刚好落在抛物线上时，求此时D点的坐标； (3)如图2，若点E是线段上的动点，连接，当时，求的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据题意得，，结合写出A、B、C三点坐标即可； （2）设直线的解析式为，把，分别代入解析式，确定直线的解析式，设点，对称点坐标为，代入抛物线解析式中，计算解答即可； （3）过点C作轴，且使得，连接，利用三角形全等，把线段和最小值转化为三角形不等式，解答即可． 本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求解析式，三角形全等的判定与性质，三角形不等式求最值，熟练掌握相关知识，特别是三角形不等式是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得， 解得，， ∴，， ∴, ∵， ∴． （2）设直线的解析式为， 把，分别代入解析式，得 ， 故直线的解析式为， 设点， 则其对称点坐标为， 代入抛物线解析式中，得 ， 整理，得， 解方程，得(舍去)， 当时，， 故． （3）过点C作轴，且使得，连接，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴． ∵轴， ∴， ∵， ∵ ∴ ∴， ∴的最小值变成了的最小值， ∵， 故当点P，D，B三点共线时，取得最小值，且最小值为， ∴的最小值为． 【变式2-2】（（23-24·辽宁抚顺·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴负半轴交于点，长度为的线段在直线上滑动，以为对角线作正方形． (1)求抛物线的解析式； (2)当正方形与抛物线有公共点时，求点横坐标的取值范围； (3)连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】（1）由得，，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）根据，四边形是正方形，得，设，则；当正方形与抛物线有唯一公共点时，，可得此时；当正方形与抛物线有唯一公共点时，可得此时；画出图形可得答案； （3）求出；设，则，，可看作轴上的点到点和点的距离之和，当，，共线时，取最小值，求出可得答案． 【详解】（1）解：在中，令得，令得， ，， 把，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：，四边形是正方形， ， 设，则； 当正方形与抛物线有唯一公共点时，如图： 把代入得： ， 解得或在左侧，舍去； 此时； 当正方形与抛物线有唯一公共点时，如图： 把代入得： ， 解得：或与重合，舍去， 此时； 由图可知，当时，正方形与抛物线有公共点； 当正方形与抛物线有公共点时，点横坐标的取值范围是； （3）解：在中，令得：， 解得：或， ； 设，则， ， ， ， 当最小时，取最小值， 而可看作轴上的点到点和点的距离之和，如图： 当，，共线时，取最小值，最小值为的长， ， 的最小值为， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，正方形性质及应用，最短路径等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 【变式2-3】（（23-24·海南省直辖县级单位·二模）如图，抛物线经过点，交轴于另一点（点在点点的左侧），点是该抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方且时，请求出点的横坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； (4)若点在轴上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，5 (4)存在，， 【分析】 对于（1），直接将点B，C的坐标代入关系式得出方程组，再求出解即可； 对于（2），先求出点A，C的坐标，进而求出直线的关系式，再求出，可知， 作轴，交于点，设P，K的坐标，并表示出，然后根据面积相等列出方程，并求出解； 对于（3），先确定最小时Q的位置，再根据勾股定理求出答案； 对于（4），①当点在轴下方时，有，根据可求出答案； ②当点在轴上方时，与是平行四边形的对角线，设点E，P的坐标，再根据对角线交点的坐标相同得出方程，求出解可得答案． 【详解】（1） 抛物线经过点， ∴， 解得， 抛物线的解析式为； （2） 令，则， 则， ， 设直线表达式为，又， ∴， 解得， ， ， ， ∴， 当时，， 作轴，交于点， 设，则 则， 则，， ． 即点的横坐标为或． （3） 存在， 点与点关于对称轴对称， 当点在直线与对称轴交点处时最小， 此时， 由（2）知， ，所以这个最小值为5． （4） 存在，设， ①当点在轴下方时，有， , ， 则， （舍去），， ②当点在轴上方时，与是平行四边形的对角线， 设， ， ∴， 则， 又， ，即， 综上所述，存在3个点：，． 【点睛】 本题主要考查了求二次函数的关系式，求一次函数的关系式，解一元二次方程，勾股定理，根据轴对称求线段和最小，平行四边形的性质，注意多种情况讨论，不要丢解． 【题型3 周长的最值问题】 【例3】（（23-24·辽宁丹东·模拟预测）如图，对称轴为直线的抛物线图象与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，若点为抛物线上第二象限内的一个动点，点为线段上一动点，当的面积最大时，求周长的最小值； (3)如图，将原抛物线绕点旋转，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，再把点，代入解析式即可求解； （2）过点作的平行线，当直线与抛物线只有一个交点时，面积最大，由此可对称点的坐标；再根据轴对称最值问题可求出周长的最小值； （3）由可得原抛物线的顶点坐标，由旋转的性质可得的顶点坐标，进而可求出的对称轴；则需要分类讨论当时；当时；当时，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线过点，点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）由（1）知函数解析式为：． ， 直线：， 过点作，设直线的解析式为：， 当的面积最大时，直线与抛物线有且仅有一个交点， 令，整理得， ， 解得：， ， ，即； 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图，此时的周长最小， ， ， ，， 周长的最小值为：． （3）由（1）知原抛物线的顶点坐标，绕点旋转后的顶点， 的对称轴为直线； 设点的坐标为， 若是等腰三角形，则需要分类讨论： 当时，如图； ，解得； 或； 当时； ，无解； 当时，如图， ，解得， ． 综上可知，存在，点的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积最值问题，轴对称最值问题，等腰三角形存在性问题，（2）关键是求出点的坐标；（3）关键是进行正确的分类讨论，根据两点间距离公式建立方程． 【变式3-1】（23-24九年级·山东淄博·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作交抛物线于，若点为对称轴上一动点，求周长的最小值及此时点的坐标； (3)过点作交抛物线于，过点为直线上一动点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)的周长最小为，的坐标为 (3)四边形的面积最大为，此时 【分析】（1）把两点代入抛物线的解析式得到，求解即可得出答案； （2）求得，待定系数法求出直线的解析式为，从而得出直线的解析式为，联立得出，关于抛物线的对称轴对称，直线与对称轴的交点即为点，此时，的周长为最小，求出，即可得解； （3）过点作轴的垂线，交直线于点，设点的坐标为，则，则，求出，由二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由抛物线可得，当时，， ，对称轴为直线， 设直线的解析式为，代入点，点的坐标得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为，代入点的坐标得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， ∵如图，关于抛物线的对称轴对称， ∴直线与对称轴的交点即为点，此时， ∴最小， ∴的周长为最小， ∵直线的解析式为，当时，， 的坐标为， ∵， ∴的周长最小为； （3）解：如图，过点作轴的垂线，交直线于点， 设点的坐标为，则，其中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为，此时． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的综合应用、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式3-2】（23-24九年级·全国·期末）如图抛物线经过点，点，且． (1)求抛物线的解析式及其对称轴； (2)点、是直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值； (3)点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，函数的对称轴为：； (2) (3)点的坐标为或． 【分析】 （1），则点，则抛物线的表达式为：，即可求解； （2），则当、、三点共线时，最小，周长也最小，即可求解； （3），即可求解． 【详解】（1） 解：，点， 则抛物线的表达式为：， 故，解得：， 故抛物线的表达式为：①， 函数的对称轴为：； （2） 解：四边形的周长，其中、是常数， 故最小时，周长最小， 取点关于直线对称点，则， 取点，则， 故：，则当、、三点共线时，最小，周长也最小， 四边形的周长的最小值 ； （3） 解：如图，设直线交轴于点， 直线把四边形的面积分为两部分， 又， 则或， 则或， 即：点的坐标为或， 将点的坐标代入直线的表达式：， 解得：或， 故直线的表达式为：或② 联立①②并解得：或8（不合题意值已舍去）， 故点的坐标为或． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，通过确定点点来求最小值，是本题的难点． 【变式3-3】（23-24九年级·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为， ①求的最小值②求周长的最小值； (3)如图2，N为射线CB上的一点，M是地物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，且，当为等腰三角形时，求点N的坐标．（直接写出点N的坐标，不要求写解答过程） 【答案】(1) (2)①，② (3)，或，或，． 【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决； （2）①设为关于直线的对称点，连接，，根据点到直线的距离垂线段最短可知，当、E、F三点共线，而且时，最小，最小值为，②设为关于直线的对称点，为关于直线的对称点，连接，，．当，．．共线时，的周长最小，最小值为的长； （3）求出直线的解析式，利用方程组求出点的坐标，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点．分三种情形：当时，当时，当时，分别构建方程求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，点． ， ， 抛物线的解析式为； （2）令，则， 解得或3， ， ， 是等腰直角三角形， ①设为关于直线的对称点，连接，，    ， 根据点到直线的距离垂线段最短可知，当、E、F三点共线，而且时，最小，最小值为， 如图1，过点作，垂足为F， 此时是等腰直角三角形， ， 故的最小值为； ②如解图2，设为关于直线的对称点，为关于直线的对称点，连接，，．    由对称性可知，，的周长， 当，．．共线时，的周长最小，最小值为的长， 令，则， 解得或3， ， ， 是等腰直角三角形， 垂直平分，且，， ， ， ，关于轴对称， ， ， 的周长的最小值为． （3）设直线的解析式为， 则有， ， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 由，解得或， ， 点在射线上， 设， 过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点．    ，，， ，，， 是等腰三角形， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 在第一象限， ， 的值为，，， 点的坐标为，或，或，． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【题型4 面积的最值问题】 【例4】（23-24九年级·云南红河·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，求出周长的最小值时点的坐标； (3)若点是第四象限抛物线上的动点，求面积的最大值以及此时点的坐标； 【答案】(1) (2) (3)面积的最大值为，此时 【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数解析式即可； （2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解； （3）设，，过点G作轴，交于点F，设直线BC的解析式为，利用待定系数法得出，确定，，结合图形得出三角形面积的二次函数，由函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）， ∴抛物线的对称轴为， 当时，， 如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小； ∵、两点关于对称， ∴抛物线的对称轴为直线 当时，， ∴ ∵，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时， ∴ （3）如图2所示：设， 过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，，面积的最大值为，此时． 【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． 【变式4-1】（23-24九年级·甘肃武威·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点D在抛物线的对称轴上，当取得最小值时，求此时点D的坐标． (3)点P是直线上方抛物线上一动点，连接、，求的面积的最大值，并求此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)4； 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2） 根据A，B是对称点，连接，交对称轴于点D，利用直线解析式与对称轴交点坐标计算即可． （3）由待定系数法求出直线的解析式，过点作轴的平行线，交于，设，则，则，表示出，根据二次函数的性质即可得到答案．本题考查了待定系数法，抛物线的最值，线段和最小，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线过点 设抛物线解析式为， 故， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）∵抛物线， ∴对称轴为直线， 设直线的解析式为：， 将，代入直线的解析式得： 解得， 直线的解析式为：， ∵A，B是对称点，连接，交对称轴于点D，此时取得最小值， 当时， ， 故． （3）如图，过点作轴的平行线，交于， 设，则， 则，， ∴ ，由此可得， 当，最大为4， 当时，， ∴． 【变式4-2】（23-24九年级·山东·期末）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且，．    (1)求抛物线的解析式； (2)若连接、．动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，四边形的面积最小，最小值为 (3)存在，或 【分析】（1）根据交点式列出函数解析式，即可求解； （2）根据题意可得是等腰直角三角形，过点E作轴，垂足为，根据列出函数关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，设，证明，可得，进而列出方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：∵，，则，， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴是等腰直角三角形，由点的运动可知： ，过点作轴，垂足为，    ∴， 又∵，则， ∴ ， ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， ∴，， ∴， 当时，四边形的面积最小，即为； （3）解：存在，或， 当点在的右侧时，如图所示，    过点作轴的平行线，交轴于点，过点作， ∵是以为直角为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又 ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去） ∴； 当点在的右侧时，同理可得， 解得：或（舍去） ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用，解题的关键是求出解析式，分类讨论点根据面积加减及线段关系列式求解． 【变式4-3】（23-24九年级·福建福州·期中）已知抛物线与y轴交于点，顶点为，过点直线与抛物线交于D，E两点（点D在点E的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最小值； (3)若D，E两点都在第四象限，过点D作直线的垂线，垂足为F，直线与直线交于点G，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)8 (3)见解析 【分析】（1）由抛物线的顶点为，设，将代入即可求解； （2）设过点的直线为，将代入可求得，联立抛物线可得：，整理得：，可知，，由题意可得，要使得最小，即最小即可，再根据即可求解； （3）由题意可知，，，由（2）可知，为方程的解，可得，，设直线为，将，，代入可求得，当时，，可得点的纵坐标，进而可得，化简可得，进而可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， 将代入，可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）设过点的直线为， 将代入可得：，即：， ∴， 联立抛物线可得：， 整理得：， 点，点为直线与的交点，则方程的解为两点的横坐标，， ∴，， ∵，， ∴轴， 则， 要使得最小，即最小即可， ， ∵， ∴， ∴的最小值为：， 即：面积的最小值为． （3）证明：∵，则点在直线上， 则，由题意可知：，则， ∵轴，则， ∴，则， 由（2）可知，为方程的解， ∴，， 则，， ， 设直线为，将，，代入可得，即， ∴当时，， 即：点的纵坐标， ∴， 即： ， 则， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定，一元二次方程根与系数的关系，利用参数表示点的坐标是解决问题的关键． 【题型5 线段和差倍分的最值】 【例5】（23-24·山东济南·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧． (1)求a，b，c的值； (2)如图，连接、，交点为，连接，若，求点的坐标； (3)如图，在（2）的条件下，过点作轴的垂线交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接，，求的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交于点，过点作轴的平行线交的延长线于，求得的解析式，设，则，利用相似三角形的判定与性质可得答案； （3）在轴上取一点，使得，连接，由相似三角形的判定与性质可得，可得，即可解答． 【详解】（1）解：将代入， 得， ， 抛物线的解析式为， 令，则， ， 令，则， ，， ，即； ∴，， （2）过点作轴，交于点，过点作轴的平行线交的延长线于， 设：，将，代入得解得：，， ：， 设，则， ， ， ， ， 将代入， ， ， ， ， ， 舍，， ； （3）在轴上取一点，使得，连接， 根据旋转得性质得出：， ∵， ， ， ， ， ， ， ，当B、、F三点共线时，此时最小=， 最小值为：． 【点睛】此题考查的是二次函数的综合题意，涉及到相似三角形的判定与性质、二次函数与面积的问题、待定系数法求解析式，旋转的性质等知识．正确的作出辅助线是解此题的关键． 【变式5-1】（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点．    （1）连接，，则为 三角形； （2）点为该抛物线对称轴上一点，当取最小值时， ． 【答案】 等边 2 【分析】连接、，，作于，于，解方程得到得，，利用配方法得到，，则，从而可判断为等边三角形，接着利用得到，利用抛物线的对称性得到，所以，根据两点之间线段最短得到当、、共线时，的值最小，最小值为的长，然后计算出的长，继而求出，再利用勾股定理和含30度的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：连接，作于，于，如图， 当时，， 解得，，则，， ，则，， ， 而， ， 为等边三角形， ， ， 垂直平分， ， ， 当、、共线时，的值最小，最小值为的长， 而， 则，此时， ∴， ∴， ∴， 故答案为：等边；2．    【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，勾股定理，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径的解决方法． 【变式5-2】 （23-24九年级·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，顶点为．    (1)求此抛物线的解析式； (2)如图1，点P为抛物线对称轴（直线l）上的动点，求当取得最小值时点P的坐标； (3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点M，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为； (3)面积的最大值为． 【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法即可求解； （2）先求得A，B两点的坐标，当时，取得最小值，利用两点之间的距离公式列式求解即可； （3）连接，设，利用列式得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴，， 设点P的坐标为， 当时，， 当时，， ∴当时，取得最小值， 此时，即， 解得， ∴点P的坐标为； （3）解：连接，如图，    设 ， ∴ ， ∵， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【变式5-3】（23-24九年级·广东东莞·期中）如图，已知抛物线（）与轴相交于点，与轴分别交于点和点A，且． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或 (3)存在， 【分析】（1）根据点的坐标，可求出点A的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，根据题意分别计算出直线的解析式，根据直线与抛物线由交点，联立方程组求解即可； （3）如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，根据点的坐标可得是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可得，当运动到，和重合时，的值最小，最小值是，根据抛物线的特点可得点的坐标，由此可求出的长，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将，，代入得， ，解得，， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：存在一点，使得，理由如下： 如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于， ∵， ∴，即点是满足题意的点， ∵，， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：，， 直线与抛物线联立方程组得， 解得，（与重合，舍去）或， ∴， ∵关于轴对称， ∴直线的解析式为：， ∴，， ∴是满足题意的点， 设直线的解析式为：，将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 直线与抛物线联立方程组得， 解得，（与重合，舍去）或， ∴， 综上所述，点坐标为或． （3）解：在轴上存在一个点，使的值最小，理由如下： 如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵，，则， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴最小即是最小， ∴当运动到，和重合时，的值最小，最小值是， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法解二次函数解析式，几何图形的变换特点，一次函数与二次函数联立方程组求解，等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 【题型6 由二次函数性质求二次函数的最值】 【例6】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上不同的两点且，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为 【分析】（1）抛物线与轴交于点，可设，求出点C的坐标，代入函数解析式求出a的值，即可得到答案； （2）根据题意得到，进一步即可得到的最小值． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 图象与轴交于点，当时，， ， 代入得， ， 解得，， 抛物线的解析式为， 即； （2）∵ ，， ， ∵， ∴， 的最小值为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，读懂题意和准确计算是解题的关键． 【变式6-1】（23-24九年级·江西赣州·期中）观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大． ． 【观察发现】（1）发现所列各组式子中两个因数的和都为_____________． 【问题解决】（2）若设其中一个因数为（，且为正整数），所列两个数的积为y，请说明哪个积最大，最大值是多少． 【拓展应用】（3）若大于0的a、b满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）取50或51时，最大为2250；（3）8 【分析】（1）两因数相加即可； （2）可将题目中的算式设为的形式，利用二次函数的最值求得结果； （3）由题意可知，，再次利用二次函数的最值求得结果即可. 【详解】（1）， 故答案为：101； （2）由题意可知，另一个因数为, 则（，且为正整数）， 对称轴为，因x是正整数，且， 所以x取50或51时，y最大为2250． （3）∵,∴， ∴， 当时，有最小值为8． 【点睛】本题主要考查了根据已知归纳规律和二次函数的最值问题，发现规律，运用二次函数的最值证明是解答此题的关键. 【变式6-2】（（23-24·贵州·模拟预测）已知二次函数（，为常数）的图象经过点， (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的值． 【答案】(1)； (2)最大值为2； (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出答案； （2）先求出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的性质得出当时，有最大值为2； （3）由（2）得：抛物线的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别计算即可得出答案． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向下， 又∵， ∴当时，有最大值为2； （3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， ①当时， 当时，有最小值为， 当时，有最大值为， ∴， ∴或（舍去）． ②当时， 当时，有最大值为， ∵的最大值与最小值之和为， ∴最小值为， ∴， ∴或（舍去）． 综上所述，或． 【变式6-3】（23-24九年级·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，我们将形如，这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”． (1)直线上的“互补点”的坐标为_________； (2)直线上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由； (3)若函数的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当时，m的最小值为k，求k的值． 【答案】(1) (2)直线上有“互补点”，点的坐标为 (3)1或 【分析】（1）设直线上的“互补点”的坐标为，则可得出，解出x的值，即可得出答案； （2）设直线上存在“互补点”，则可得，解出t的值，即可得出答案； （3）设“互补点”的坐标为，则方程有唯一解，则其根的判别式，即，．再结合二次函数的性质分类讨论①当时， ②当时和③当时求解即可． 【详解】（1）设直线上的“互补点”的坐标为， ∴， 解得：， ∴直线上的“互补点”的坐标为， 故答案为：； （2）设直线上存在“互补点”， 则由题意得：， 解得：， ∴直线上有“互补点”，点的坐标为； （3）设“互补点”的坐标为， 由题意可知，方程有唯一解， 整理得：， ∴． 整理得：． ∴当时，m随n的增大而减小；当时，m随n的增大而增大；当时，m取得最小函数值． ①当时，此时当时，m取得最小值， 由题意得，解得； ②当时，此时当时，m取得最小值， 由题意得， 整理得：，方程无解； ③当时，此时当时，m取得最小值， 由题意得， 整理得：， 解得，（舍）． 综上所述，k的值为1或． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质．读懂题意，理解“互补点”的定义是解题关键． 【题型7 由二次函数的最值求字母的值】 【例7】（（23-24九年级·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系中，设二次函数，、是实数，． (1)若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式； (2)若函数的图象经过点，其中，求证：函数的图象经过点，； (3)设函数和函数的最小值分别为和，若，求、的值． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）由对称轴可得，再将点代入即可求的值，进而求函数解析式； （2）将点代入，得到，再方程两边同时除以，是的解，即可证明函数的图象经过点，； （3）分别求出，，由题意可得，且，即可得，从而求出． 本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数对称轴、最大（小)值的求法是解题的关键． 【详解】解：（1）函数的对称轴为直线， ， ， ， 函数的图象经过点， ， ， 解得或， 或； （2）函数的图象经过点， ， ， 方程两边同时除以得，， 即， 是的解， 函数的图象经过点，； （3）函数和函数的最小值分别为和， ，， ， ， ， 或， 函数和函数都有最小值， ， 当时，，． 【变式7-1】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求的值和二次函数图象的顶点坐标． (2)已知点在该二次函数图象上． ①当时，求的值； ②当时，该二次函数有最小值1，请结合函数图像求出的值． 【答案】(1)， (2)①当时，；②或 【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值等； （1）将点代入二次函数，利用待定系数法求解a的值；将该二次函数的解析式配方，可得图象的顶点坐标； （2）①将代入二次函数的解析式即可求出n的值； ②当二次函数的y值为1时，求出x的2个值，根据的端点可求出m的值． 【详解】（1）解：将点代入，得，解得． 二次函数的表达式为． ， 二次函数图象的顶点坐标为． （2）①将代入， 得． 当时，． ②由（1），可知抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点为，如解图所示． 根据函数图象，若满足当时，该二次函数有最小值1，则或， 或． 【变式7-2】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知拋物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．顶点为M．    (1)如图，若该拋物线可以由抛物线先向右平移5个单位，在向上平移4个单位得到，点C坐标为． （i）求A，B两点的坐标； （ii）若线段的垂直平分线交x轴交于点D，交y轴交于点E，交交于点P，求证：四边形是菱形； (2)已知，抛物线顶点M在直线上，若在自变量x的值满足的情况下，对应函数值y的最小值为，求h的值． 【答案】(1)（i）、；（ii）证明见解析； (2)h的值为或． 【分析】（1）（i）根据平移的性质和待定系数法，求出该抛物线解析式为，令，求出的值，即可得到A，B两点的坐标； （ii）根据二次函数的性质，得到顶点，利用垂直平分线的性质，得到，，，再利用待定系数法和勾股定理，求出直线的解析式，得到，进而求得，即可证明四边形是菱形； （2）分两种情况讨论：①当时；②当时，利用二次函数的性质，分别求出最小值方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）（i）解：由平移性质可知，该抛物线解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：， 该抛物线解析式为， 令，则， 解得：，， 该拋物线与x轴交于A，B两点，且A在B的左边， 、； （ii）证明：抛物线的顶点为M， ， 是的垂直平分线， ，，点P为的中点， 点P的坐标为， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， ，， ， 解得：， 直线的解析式为，， 令，则， 解得：， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：， 抛物线解析式， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标， 抛物线顶点M在直线上， ， ①当时，此时在对称轴的右侧，随的增大而增大， 的最小值为， ， 解得：，（舍）； ②当时， 若，即，此时在对称轴的左侧，随的增大而减小， 的最小值为， ， ， 解得：，（舍）； 若，即，此时对称轴在的范围内， 的最小值为， ， 解得：（舍）， 综上可知，h的值为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的判定等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【变式7-3】（（23-24·广西贺州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点M是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线轴于点D，交线段于点N．是否存在点M使得线段的长度最大，若存在，求线段长度的最大值，若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t的值． 【答案】(1) (2)存在点M使得线段的长度最大，最大值是 (3)或 【分析】 （1）先求出点A、B的坐标，再将点A、B的坐标代入函数表达式，求出a，b值，即可得答案； （2）由题意巧设坐标，用未知数m表示出来的长度，根据二次函数最值问题即可解决问题； （3）分4种情况，当时， ，解得：；当时，，解得：；当，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意；当时，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意． 【详解】（1）解：， 点A、B的坐标分别为， 将点A、B的坐标代入函数表达式， ，解得： 抛物线的表达式为； （2）当时，， 点C的坐标为， 设直线的关系式为，将代入， ，解得 直线的关系式为， 设，则， 当时，线段长度有最大值， 存在点M使得线段MN的长度最大，最大值是； （3） ， ， 二次函数的顶点坐标是， 当时，，当时，， 当时，即，此时函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：； 当时，此时函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：； 当，函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：（舍去）或（舍去）； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，函数图像平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 【题型8 由二次函数的最值求字母的取值范围】 【例8】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）用好错题本可以有效的积累解题策略，减少再错的可能．下面是小颖同学错题本上的一道题，请仔细阅读，并完成相应任务． *年*月*日        星期天 错题*** 在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，. ①求此抛物线的对称轴；（用含的式子表示） ②记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），轴上一动点，过点作垂直于轴的直线与有且仅有一个交点，求的取值范围； 任务一：请帮助小颖完成上述错题订正； 任务二：若点也是此抛物线上的点，记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，直接写出的取值范围． 【答案】任务一：①抛物线的对称轴为；②的取值范围为或；任务二：或 【分析】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 任务一：①将一般式转化为顶点式即可得解； ②将，代入解析式，求出，画出函数图象，利用数形结合的方法求解即可； 任务二：分点在点的左侧；点的右侧，对称轴的左侧；以及对称轴的右侧，结合图象进行分类讨论求解即可． 【详解】解：任务一：① ， 抛物线的对称轴为； ②由， 得抛物线的顶点坐标为， 当时：， 当时：， ，， ， 过点垂直于轴的直线，如图： 由图象可知：当或时，直线与有且仅有一个交点， 的取值范围为或； 任务二：∵， ∴， 当时，， ∴ ①当在点的左侧，即：，时： 在对称轴的左侧，随的增大而减小， ∴点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ∴， 解得：或（舍掉）； ②当在点的右侧，对称轴的左侧时，此时，不符合题意； ③当对称轴的右侧，即时，当时， 此时点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：不符合题意； ③当对称轴的右侧，即时，当时， 此时点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小， ∴， 解得：（舍），或； ∴； 综上：或． 【变式8-1】（23-24九年级·河南郑州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的表达式，并求出对称轴和顶点坐标； (2)点在该二次函数图象上，当时，的最大值为，最小值为1，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)表达式为，对称轴是：直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式，再化为顶点式即可作答； （2）当，解得或，可得，，根据顶点坐标为，数形结合即可作答． 【详解】（1）将点、的坐标分别代入二次函数，得方程组： ， 解得， ∴， ∵， ∴对称轴是：直线，顶点坐标为． 答：该二次函数的表达式为，对称轴是：直线，顶点坐标为． （2）当，解得或， 如图，，，顶点是，    根据题意，点应在点、之间的函数图象上，可以看出，． 【变式8-2】（（23-24·浙江温州·模拟预测）已知二次函数图象的一部分如图所示，它经过． (1)求这个二次函数的表达式，并在图中补全该图象； (2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用待定系数法可得二次函数的表达式，再利用描点法补全该图象即可得； （2）分三种情况：，和，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则这个二次函数的表达式为， 在图中补全该图象如下： ． （2）解：二次函数的顶点坐标为，的最大值为4， 当时，， 由二次函数的对称性可知，当时，， ①当时， 则在内，随的增大而增大， ∴此时函数的最大值，最小值， ∴与不符，舍去； ②当时， 则在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴此时函数的最大值，最小值， ∴，符合题意； ③当时， 则在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴此时函数的最大值，最小值， ∴与不符，舍去， 综上，的取值范围为． 【变式8-3】（23-24九年级·湖北·周测）已知抛物线经过点，与轴交于点，顶点在直线上．如图1，若点的坐标为，点的横坐标为1． (1)试确定抛物线的解析式； (2)若当时，的最小值为2，最大值为11，请求出的取值范围； (3)已知：点在抛物线上，点的坐标为，且，请直接写出符合题意的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查抛物线解析式的求法，抛物线顶点与对称轴的求法以及二次函数图象与性质． （1）首先求出b的值，然后把及点的坐标代入抛物线解析式求出c的值，抛物线的解析式即可求出；； （2）点关于对称轴的对称点的坐标为．当时，的最小值为2，最大值为11，即可求解； （3）当点M在直线上方时，由，得到直线的表达式为：，进而求解；当点M在直线下方时，同理可解． 【详解】（1）依题意，， 解得． 将及点的坐标代入抛物线解析式得 解得． 所以抛物线的解析式为． （2）由知，． ∴点关于对称轴的对称点的坐标为． ∵当时，的最小值为2，最大值为11， ∴； （3）由点A、N的坐标知，点A、N关于对称轴对称，则轴， 当点M在直线上方时， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入得， ， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴与的交点在对称轴上， ∴当时，， ∴与的交点坐标为， 设直线的解析式为， 把分别代入得， 解得， 则直线的解析式为， 联立和并解得： （不合题意，舍去）， ∴M的坐标为； 当点M在直线下方时， ∵， ∴, 设直线的表达式为：， 当时，，解得，， ∴直线的表达式为：， 联立和并解得： （不合题意，舍去）， ∴M的坐标为； 综上，点M的坐标为：或； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$