模块二 方程（组）与不等式（组）(教用)-【加速度中考】2025年陕西中考数学练透教材

模块二方程（组）与不等式（组） 第1节 一次方程（组）及其应用 [6年4考] 练教加音司 性质1：如果a=b,那么a士c=b士c 等式的性质 性质2：如果a=b,那么ac=bc 性质3：如果a=b,那么g=(c≠0) 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①1的整式方程 般形式：ax十b=0(a,b是常数，且a≠0) 一元一次 (1)去分母：方程两边同乘各分母的②最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项 方程及其 解法 (2)③去括号：注意括号前系数的符号 (3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边，注意移 程 解法 项时一定要改变符号 (4)合并同类项：把方程化成a.x=一b(a≠0)的形式 及 (5)系数化为1：方程两边都除以未知数的系数α，得到方程的解为x= 0 用 二元一次 代入消元法：适用于方程组中某一个未知数的系数是1或一1的情况 方程组的 加减消元法：适用于方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数或成整数倍的情况 解法 利润问题：利润=售价一④进价：利润率=⑤ 利润 进价 ×100% 实际应用中的 工程（工效）问题：工作量=工作效率X工作时间 常见问题及关系式 路程=速度×时间 行程问题水中航行问题：顺水速度=静水速度⑥十水流速度 逆水速度=静水速度⑦一水流速度 练载机变式 1.华师七下P5第1题改编下列选项中，运用等式性质进行的变形，不正确的是 A.如果a=b,那么a-1=b-1 B.如果a=b,那么a十c=b十c C.如果a=b,那么g=b D.如果a=b,那么ac=bc cc 2.北师七上P131第2题改编下列方程中，解为x=2的是 A.2x=6 B.-1 C.2十x=0 D.2x-1=3 7· 3.数学文化古代数学著作《四元玉鉴》中有“二果问价”问题：“九百九十九文，甜果苦果买一千，甜 果九个十一文，苦果七个四文钱.试问甜苦果几个？”该问题意思是：九百九十九文钱买了甜果和 苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少 个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组为 (A) x+y=1000, x+y=1000, x+y=999, x+y=999, A马士99 B. 9 C. D. +4y=999 11.x+4y=1000 9.x+7y=1000 4.华师七下P21第2题改编设M=2x一2，V=3.x+3,若2M-V=2,则x的值是9 2.x+y=5,① 5.解方程：4-x=3(2-x). 6.北师八上P106第5题改编解方程组： x+2y=4.② 解：去括号，得4一x=6-3x, 解：①×2，得4x+2y=10,③ 移项、合并同类项，得2x=2, ③-②，得3x=6,解得r=2, 解得x=1, 把x=2代入①，解得y=1 x=2, ,原方程组的解为 7.样板题北师七上P144第3题改编劳动节当天，王老师组织学生参加社会实践活动，在如图所 示的正方形苗圃ABCD中，分别栽种不同种类的树苗.其中，矩形EGHF的宽EF是6m,矩形 MBCN的宽CN是4m,且矩形EGHF与矩形MBCN的面积相等，求矩形EGHF的面积. 审：由题干“矩形EGHF与矩形MBCN的面积相等”，结合“矩形的面 积=长×宽”列方程求解 设：求面积，设出两个矩形苗圃中的一个边长，表示出矩形其他边的长。 设BC=xm,则FH=(24)m, 列：4x=6(x一4)， 解：解得x=12 第7题图 ∴.S形Hr=6X(12-4)=48(m2). 答：矩形EGHF的面积是48m 8.某汽车专卖店同时销售A,B两款电动汽车，1月份实现总销售额400万元.2月份A款电动汽 车的销售额提高了30%，B款电动汽车的销售额减少了20%，总销售额增加了10万元.求该汽 车专卖店1月份A,B两款电动汽车的销售额分别为多少？ 解：设A款电动汽车1月份的销售额为x万元，B款电动汽车1月份的销售额为y万元 x十y=400, x=180 由题意得 解得 (1+30%)x+(1-20%)y=410, y=220. 答：1月份A,B两款电动汽车的销售额分别为180万元、220万元. 8· 第2节 一元二次方程及其应用 练教而嗜点 概念：只含有①一个未知数，并且未知数的最高次数是②2的整式方程 般形式：az2十bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0) 直接开平方法 因式分解法 解法 公式法：求根公式为工=一b士=ac(6一c≥0) 2a 配方法 ③△0台方程有两个不相等的实数根 次 根的判别式（△=？一4ac)④△=0台方程有两个相等的实数根 万 ⑤△<0台方程无实数根 程 及 根与系数的关系：若一元二次方程a.x2十hx十c=0(a≠0)的两个根为，x2,则x1十2=⑥ 应 02=⑦ 平均增长率问题：增长率一 增长量×100% 基础量 利润问题：利润一售价一进价：利润率= 利润×100% 进 实际应用中的循环问题（设参加游戏人数为x) 单循环向题：游戏次数=2x(c一1D 常见问题及 双循环问题：游戏次数=x(x一1) 关系式 如图①，阴影区域的宽为x,则S白=⑧(d一2x(b一2x】 如图②，阴影区域的宽为x,则S白=⑨(4一心(b一x】 如图③，阴影区域的宽为x,则S白=0(-x(6-x】 如图①，已知篱笆总长为m,设阴影部分靠墙一边的长为x,则S1影= 图形面积问题 -4- 图① 图② 图③ 图④ 练教式 1.如果方程(m一3)x”-7一x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为 (C) A.±3 B.3 C.-3 D.不确定 2.华师九上P36第8题改编如果关于x的一元二次方程kx2一6.x十9=0有两个不相等的实数根， 那么k的取值范围是 (C) A.k<1 B.k≠0 C.k<1且k≠0 D.k>1 3.华师九上P24“你知道吗"改编按要求解方程：x(x一2)十x一2=0. (1)因式分解法 解：x(x-2)+(x-2)=0, 9· 提公因式，得(x-2)(x十1)=0， x-2=0或x十1=0，解得x1=2,x2=-1. (2)公式法 解：去括号，得x-2x十x一2=0， 合并同类顶，得x2一x一2=0. a=1,b=-1,c=-2, .△=b2-4uc=(-1)2-4×1×(-2)=9>0, 方程有两个不相等的实数根， x=11）王9=1士3，..x1=2,x2=一1. 2×1■ 4.北师九上P55第1题改编某头盔经销商销售头盔，进价为30元/个.经测算，当售价为40元/个 时，月销售量为600个，若在此售价基础上每上涨1元，则月销售量减少10个.设售价在40元 个的基础上涨x元/个 (1)用含x的代数式表示月销售量y: (2)要使月销售利润达到10000元，且尽可能让顾客得到实惠，请求出头盔的实际售价（提示： 销售利润=单个头盔利润×销售量). 解：(1)y=600-10x (2)由题意得(40+x-30(600-10x)=10000 整理得x2一50.x十400=0， 解得x1=10,x=40, 又，要尽可能让顾客得到实惠，∴.x=10,.实际售价为40十x=50 答：头盔的实际售价为50元/个 5.人教九上P25第8题改组如图，某小区计划沿围墙修建一块矩形的草坪，其中一边靠墙（墙长15）， 另外三边用总长25m的栏杆围成.若想要建成面积为72m的草坪，求垂直于墙的一排栏杆的 长度 解：设垂直于墙的一排栏杆长为xm,则平行于墙的栏杆长为(25一2x】m. 由题意得x(25-2.x)=72, 解得x1=4.5,x2=8 当x=4.5时，25一2.x=16>15,不符合题意，舍去； 当x=8时，25-2x=9<15,符合题意 第5题图 答：垂直于墙的一排栏杆长为8m, 5-1.变图形一增加缺▣如图，某小区建一个矩形的电动车充电棚，一边靠墙（墙长15），其余 三边用总长25m的栏杆围成，并留一道1m宽的门，若想要建成面积为80m的电动车充电 棚，求车棚垂直于墙的一排栏杆的长度. 解：设垂直于墙的一排栏杆长为xm,则平行于墙的栏杆长为 (25-2x）m. 由题意得x(25-2.x十1)=80，解得x1=5,x2=8. 当x=5时，252.x十1=16>15，不符合题意，舍去： 当x=8时，25-2x十1=10<15，符合题意 第5-1题图 答：车棚垂直于墙的一排栏杆长为8m, 10 第3节 分式方程及其应用 [6年3考] 练教动专息 概念：①分母中含有未知数的方程 解法步骤： 式 增根：去分母后的整式方程的根，也是使得原分式方程分母为0的根 【抢分要点】分式方程无解有两种情况： 及 (1)去分母后的整式方程无解： (2)去分母后的整式方程有解，但解是增根，故分式方程无解 应 购买（销售）问题：数量=最桥 总价 常见类型 行程问题：时间一路程 速度 分式方程的 工程问题：工作时间 实际应用 作装晕有时可指工作意记为单位 解题步骤： 实际找等量关系列分式 检验是否为方程的解 解方程 双检验 问题 设未知数 方程 检验是否符合实际特况答 教材变式 1.人队上PE图第玉圈已知分式方程2牛一弩-。·请完成下列题目， (1)若该分式方程的解为x=3,则k=3: (2)若该分式方程有增根，则增根为x一2■，k= 2.香释题人上P图（本题满分5分)解方程：，1， 【规范作答】 解：原方程两边同乘（x+1)(x-1),去分母，得(x+1)十4=（x+1)(x一1)，(1分) 去括号，得x+2x+1十4=x-1, (2分) 移项，合并同类项，得2x=一6， (3分) 系数化为1，得x=一3。 检验：将x=-3代人(x+1)(x一1)，得(x十1)x一1)≠0， (4分) .原分式方程的解是x=一3 (5分) 3.北师八下P30第3题改缩甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗.已知甲每小时比乙多制作 5面彩旗，甲制作60面彩旗与乙制作50面彩旗所用时间相等，求甲、乙每小时各制作多少面彩旗？ 解：设乙每小时制作x面彩旗，则甲每小时制作(x十5)面彩旗. 根据题意，得的-2，解得一25 经检验，x=25是原分式方程的解，且符合题意，∴.x十5=30. 答：甲每小时制作30面彩旗，乙每小时制作25面彩旗 ·11· 第4节一元一次不等式（组）及其应用 [6年5考] 练载动专点 性质1，若a>h.则a士①>b士c应用移项、合并同类项 ac>c应用去分母 性质2：若a>b,c>0,则 不等式的性质 4>b应用系数化为1 ac<c应用去分母 性质3：若a>b,c<0,则 &<b应用，系数化为1 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（注意不等 一般步骤 号的方向是否改变) x<a ②>d 一元一次不等式的 解集表示 解法及其解集表示 ③xa 一元一次不等式（组）及其应用 ④ 【抢分要点在数轴上表示解集时，要注意“<”和“>”在数轴上表示为 空心圆圈，“≤”和“≥”在数轴上表示为实心圆点 般步骤：(1)解每个不等式：(2)在数轴上表示各不等式的解集： (3)确定解集的公共部分：(4)写出不等式组的解集 类型 在数轴上的表示 口诀 解集 (a>b) 同大取大 ⑤2≥4 一元一次不等式组的 解法及其解集表示 同小取小 I<h x<b r<d 大小小大 ⑥b<xa 取中间 大大小小 无解 I< 取不了 元一次不等式（组）的应用：具体解题步骤见【练教材变式T4】 ·12 1多程板围人致七不P2必第改圈（本题满分5分)解不等式2号5r<L. 2 【规范作答】 解：去分母，得4.x一2-15.x一3≤6，…(2分)正确去分母得2分： 移项，合并同类项，得一11x≤11，…(4分)移项，合并同类项正确得2分： 系数化为1，得x≥一1.…(5分)系数化为1计算正确得1分. 4x+5≥2.x+1,① 2.人教七下P128例12改细解不等式组1士2红+1>x,② 并把其解集在数轴上表示出来。 3 解：解不等式①，得x≥一2；解不等式②，得x<4, ∴.原不等式组的解集为一2≤x<4. -5-4-3-2-1012345 该不等式组的解集在数轴上的表示如答图 第2题答图 3.形八下P48第3题改碧下面是小林同学解一元一次不等式1一2红一2<3,4虹的过程，请认真 5 2 阅读并回答下列问题 解：去分母，得10一2(2x-2)<5(3-4x), t4…44tt 第一步 去括号，得10一4x十4<15一20x,………… 第二步 移项，得-4x一20.x<15一10一4， 第三步 合并同类项，得一24江<1，… 第四步 系数化为1，得>一 第五步 (1)①以上解题过程中，第一步的依据是不等式的基本性质； ②第三步开始出现错误，这一步具体的错误是一0x移项没有改变符号； (2正确的结果是 (3)请你根据平时的学习方法和经验，就解不等式的过程写出一条注意事项：不等式左右两边 同乘一个负数时，不等号方向要改变· 4.北师大八下P48“做一做"改编某商场销售大熊猫毛绒玩具，已知进价为120元，标价为180元，商 家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种大熊猫毛绒玩具最低可以打几折（提 示：利润率=利润×100%)2 成本 审：设这种大熊猫毛绒玩具打x折销售，利用“利润=售价一进价”，结合“利润率不能低于 20%”列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论 设：这种大熊猫毛绒玩具打x折销售，则打折后的售价为180×看· 列：由题意得180×需-120>≥120×20%， 解：解得x≥8， ∴x的最小值为8 答：这种大熊猫毛绒玩具最低可以打八折 ·13