精品解析：湖北省恩施市五校2024-2025学年九年级上学期期中联考数学试卷

2024年秋季学期五校联考 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为 A. B. 0 C. 1 D. 或1 3. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在同一坐标系中，抛物线y＝4x2，y＝x2，y＝－x2的共同特点是（ ） A. 关于y轴对称，开口向上 B. 关于y轴对称，y随x的增大而增大 C. 关于y轴对称，y随x的增大而减小 D. 关于y轴对称，顶点是原点 5. 一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程，该方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 7. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 9. 向阳村2020年的人均收入为12000元，2022年的人均收入为14520元．设人均收入的年平均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 当﹣2≤x≤1，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m值为（　　） A. B. 或 C. 2或 D. 2或或 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则的值为_____________． 12. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线是________． 13. 抛物线的部分图象如图所示，则的解集是______； 14. 若，两点在抛物线上，则，的大小关系是__________． 15. 如图所示的图形，如果用x表示六边形边上的小圆圈数（第一个图形看作边上的小圆圈数为1的六边形），用y表示第x个图形的小圆圈的总数，则y与x的函数关系式是______． 三．解答题（共8小题，共75） 16. 解方程： （1） （2） 17. 已知是关于的二次函数，且当时，随的增大而减小，求的值． 18. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 19. 如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，使其一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边的长为． （1）用含x的代数式表示边的长； （2）若该矩形养殖场的面积为，求边的长． 20. 如图，抛物线y=x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴； （3）若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标． 21. 如图所示，在中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．如果点同时出发秒后的面积为． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）几秒时，△PCQ的面积为？ 22. 某网店销售一种儿童玩具，每件进价20元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于18元．试销售期间发现，当销售单价定为35元时，每天可售出250件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售．设每天销售量为y件，销售单价为x元． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当销售单价是多少元时，网店每天获利3840元？ （3）网店决定每销售1件玩具，就捐赠a元（）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为3300元，求a的值． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． （1）求抛物线对应的函数表达式． （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，若以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有的Q点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期五校联考 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程”进行求解即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故符合题意； B、不是一元二次方程，故不符合题意； C、不是一元二次方程，故不符合题意； D、不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：A． 2. 关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为 A. B. 0 C. 1 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去． 【详解】解：把x=0代入方程得： |a|-1=0， ∴a=±1， ∵a-1≠0， ∴a=-1． 故选：A． 3. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法进行求解即可． 【详解】解： 故选：D． 4. 在同一坐标系中，抛物线y＝4x2，y＝x2，y＝－x2的共同特点是（ ） A. 关于y轴对称，开口向上 B. 关于y轴对称，y随x的增大而增大 C. 关于y轴对称，y随x的增大而减小 D. 关于y轴对称，顶点是原点 【答案】D 【解析】 【详解】解：因为抛物线y＝4x2，y＝x2，y＝－x2都符合抛物线的最简形式y=ax2，其对称轴是y轴，顶点是原点． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质． 5. 一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数表达式符合二次函数顶点式，a=-＜0，开口向下，y有最大值是10． 【详解】在y=-（x-30）2+10中， 当x=30时，y有最大值为10． 则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为10m． 故选A． 【点睛】本题求二次函数最大（小）值，就是要把二次函数写成顶点式，可以看出最大（小）值． 6. 一元二次方程，该方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【详解】解： ∵c＜0 ∴16-4c＞0 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：B 7. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意． 【详解】解：选项A中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象对称轴位于y轴左侧，与y轴交点在负半轴，故选项A不符合题意； 选项B中，由一次函数的图象可知，，，，由二次函数的性质可知图象对称轴位于y轴左侧，与y轴交点在负半轴，故选项B符合题意； 选项C中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象对称轴位于y轴左侧，与y轴交点在负半轴，故选项C不符合题意； 选项D中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象对称轴位于y轴左侧，与y轴交点在负半轴，故选项D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，再根据根与系数的关系得到，再由，代值计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：B． 9. 向阳村2020年的人均收入为12000元，2022年的人均收入为14520元．设人均收入的年平均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列方程即可． 【详解】解：由题意列方程为：． 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意正确的列出方程是解题的关键． 10. 当﹣2≤x≤1，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m值为（　　） A. B. 或 C. 2或 D. 2或或 【答案】C 【解析】 【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【详解】解：二次函数对称轴为直线x=m， ①m＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4， 解得m=，不合题意，舍去； ②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4， 解得m=±， ∵m=不满足-2≤m≤1的范围， ∴m=-； ③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4， 解得m=2． 综上所述，m=2或-时，二次函数有最大值4． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则的值为_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的根的知识，理解一元二次方程的根的定义是解题关键．将代入方程，求解即可获得答案． 【详解】解：将代入方程， 可得，解得． 故答案为：3． 12. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位所得直线解析式为：； 再向下平移5个单位为：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 13. 抛物线的部分图象如图所示，则的解集是______； 【答案】或## 或 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴和轴的交点求得抛物线与轴的另一个交点，利用数形结合程即可求得答案． 【详解】解：由图像知抛物线的对称轴为，且抛物线和轴的一个交点为1，则另一个交点为，所以的解集是或． 【点睛】本题主要考查了抛物线交点和对称轴的关系，根据一个交点和对称轴求得另一个交点，利用图像求解不等式是解题关键． 14. 若，两点在抛物线上，则，的大小关系是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的增减性，根据二次函数的对称轴为直线，然后利用二次函数的增减性求解，求出对称轴是解题的关键． 【详解】解：， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线：， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ， 故答案为：． 15. 如图所示的图形，如果用x表示六边形边上的小圆圈数（第一个图形看作边上的小圆圈数为1的六边形），用y表示第x个图形的小圆圈的总数，则y与x的函数关系式是______． 【答案】 【解析】 【分析】观察每个图形的特点，得到第一个图形有1个小圆圈，第二个图形有个小圆圈，第三个图形有个小圆圈，第四个图形有个小圆圈，进而得到图形的规律求解即可． 【详解】观察每个图形可得， 第一个图形有1个小圆圈， 第二个图形有个小圆圈， 第三个图形有个小圆圈， 第四个图形有个小圆圈， … 第x个图形有个小圆圈， ∴设 ∴ ∴得， ∴ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中小圆圈的变化规律，利用数形结合的思想解答． 三．解答题（共8小题，共75） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点，选取合适的方法求解是解题关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴，． 17. 已知是关于的二次函数，且当时，随的增大而减小，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据二次函数的定义可得：，又因为当时，随的增大而减小，可知抛物线的开口向下，所以可知，解一元二次方程可以求出的值，再根据确定的取值范围把不符合条件的解舍去． 【详解】解：是关于的二次函数，且对称轴为， 当时，随的增大而减小， 可知抛物线的开口向下， 可得：， 由得：， 用十字相乘法分解因式可得：， 解得：，， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义和性质．解决本题的关键是根据二次函数的定义得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，再根据二次函数图像的性质确定的取值范围． 18. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 【答案】（1）;(2) 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，结合可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合m的取值范围即可确定m的值． 【详解】（1）∵关于x的方程总有两个实数根， ∴ ， 解得：． （2）∵为方程的两个根， ∴． ∵， ∴， ∴， 整理，得：，即， 解得：（不合题意，舍去），， ∴m的值为1． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是一元二次有两个实数根的等价条件. 19. 如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，使其一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边的长为． （1）用含x的代数式表示边的长； （2）若该矩形养殖场的面积为，求边的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据各边之间的关系，可得出的长为； （2）根据矩形养殖场的面积为，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵栅栏总长度为，的长为， ∴的长为； 【小问2详解】 解：根据题意得：，整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． ∴． 20. 如图，抛物线y=x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴； （3）若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标． 【答案】（1）（2）顶点为（1，－1）；对称轴为：直线x=1（3）（3，3）或（－1，3） 【解析】 【分析】（1）直接把（0，0），（2，0）代入y=x2＋bx＋c中，列方程组求b、c的值即可． （2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴． （3）设点B的坐标为（a，b），根据三角形的面积公式 求b的值，再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值，确定B点坐标． 【详解】解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2＋bx＋c得 ，解得 ． ∴此抛物线的解析式为． （2）∵ ∴顶点为（1，－1）；对称轴为：直线x=1． （3）设点B的坐标为（a，b），则 由解得b=3或b=－3． ∵顶点纵坐标为－1，－3＜－1， ∴b=－3舍去． ∴由x2－2x=3解得x1=3，x2=－1 ∴点B的坐标为（3，3）或（－1，3）． 21. 如图所示，在中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．如果点同时出发秒后的面积为． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）几秒时，△PCQ的面积为？ 【答案】（1） （2）秒或秒 【解析】 【分析】当运动时间为秒时，，利用三角形面积的计算公式，即可找出与的函数关系式，再结合，即可得出的取值范围； 由的结论结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 当运动时间为秒时，， ． 又， ， 与的函数关系式为． 【小问2详解】 依题意，得：， 即， 解得： 答：秒或秒时，的面积为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、函数关系式以及函数自变量的取值范围，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22. 某网店销售一种儿童玩具，每件进价20元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于18元．试销售期间发现，当销售单价定为35元时，每天可售出250件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售．设每天销售量为y件，销售单价为x元． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当销售单价是多少元时，网店每天获利3840元？ （3）网店决定每销售1件玩具，就捐赠a元（）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为3300元，求a的值． 【答案】（1）； （2）当销售单价是36元时，网店每天获利3840元； （3）a的值为3 【解析】 【分析】（1）根据原销售件数减去减少的件数即为所求； （2）根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出方程，解方程确定x的值； （3）根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出函数解析式，再根据函数的性质以及最大利润为3300元列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 即y与x之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 解得：，， ∵， ∴， 答：当销售单价是36元时，网店每天获利3840元； 【小问3详解】 解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W， 根据题意得，， 对称轴为直线， ∵， ∴， ∵， ∴在上，W随的增大而增大， ∴当时，W取得最大值为3300元， ∴， 解得． 答：a的值为3． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． （1）求抛物线对应的函数表达式． （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，若以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有的Q点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式； （2）设出M点的坐标，利用 即可进行解答； （3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合． 【小问1详解】 解：设此抛物线的函数解析式为：， 将，，三点代入函数解析式得： ， 解得， 所以此函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上， ∴点的坐标为：， ∴ ∵， 当时，有最大值为：． 答：时，有最大值． 【小问3详解】 解：设． 当为边时，根据平行四边形的性质知，且， ∴的横坐标等于的横坐标． 又∵直线的解析式为，则． 由，得， 解得，，．（不合题意，舍去） 如图，当为对角线时，知与应该重合，． 四边形为平行四边形则，横坐标为4， 代入得出为． 由此可得或或或． 【点睛】本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，理解相关知识是解答关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $