精品解析：贵州省铜仁市第一中学2024-2025学年高三上学期10月模拟考试数学试题

铜仁一中10月模拟考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记复数的共轭复数为，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算求得，再由可得. 【详解】由得， 所以， 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数中真数大于0解出集合，再利用交集含义即可得到答案. 【详解】，则. 故选：B. 3. 已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（    ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先利用函数的定义域求得集合，再利用充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】∵函数的定义域为， 所以， 令，解得，即，即， ∵， ∴“”是“”的必要不充分条件， 故选：C. 4. 如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据图形由向量的加法法则运算即可． 【详解】设，因为是边的中点，所以， 所以， ， 又，所以，解得． 故选：A． 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除AC；再根据的大小即可排除B，即可得解. 【详解】解：，所以函数为奇函数，故排除AC； 又，排除B. 故选：D. 6. 将函数的图象向右平移，个单位长度后，所得函数为偶函数，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得平移后的解析式，然后根据函数的奇偶性求得. 【详解】函数的图象向右平移， 得到， 由于偶函数，所以， 由于，所以取，得. 故选：D 7. 已知函数，关于的不等式有且只有三个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求导可得，即可得到当时，恒成立，将原不等式化简可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而，故当时，恒成立， 不等式， 当时，或，由，得， 原不等式的整数解有无数个，不符合题意； 当时，或，由，得，无正整数解， 因此原不等式有且只有3个正整数解，等价于不等式有且只有3个正整数解， 3个正整数解只能是，因此，即， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 8. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值. 【详解】函数定义域为，而，，， 要使，则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上， 所以，只需，故a的最小值为. 故选：B 二、多选题：本题共3 小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式正确的有（ ） A. 当时，的最大值是 B. 已知正实数、满足，则 C. 当时， D. 函数最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即当当时，的最大值是，A对； 对于B选项，因为正实数、满足， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，B错； 对于C选项，当时，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，C对； 对于D选项，因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数最小值为，D对. 故选：ACD. 10. 设是定义在上的偶函数，且对于恒有，已知当时，，则下列判断正确的是（    ） A. 的周期是2 B. 在上递减，在上递增 C. 的最大值是2，最小值是1 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由即可判断A选项；利用和函数的对称性可判断B，C的正误；结合周期性和奇偶性可求当时，，故可判断D的正误． 【详解】对于A，对于恒有，则的周期为2，故A正确； 对于B，时，，，则函数在上是减函数， 因为且为偶函数，故，故的图象关于对称， 函数在上是增函数，结合的周期为2可得在上是减函数，故B不正确； 对于C，由B的分析可得在,的最大值是， 最小值为，结合函数的周期性可得的最大值为2，最小值为1，故C正确； 对于D，设，则，故，故D正确． 故选：ACD． 11. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD中点O为圆心，OA为半径的半圆上，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于B，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于ACD，以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算结合三角函数的性质即可判断. 【详解】对于B，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上， 所以在边长为3的等边三角形ABC中，， 则，故B正确； 对于C，如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 则， 因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上， 所以点的轨迹方程为，且在轴的下半部分， 设， 则， 所以， 因为，所以，所以， 所以，即，故C正确； 对于A，因为， 所以， 即， 所以，， 所以，， 则， 因为，所以，所以， 所以，即，故A错误； 对于D，由， 因为，所以当时，取得最大值，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适平面直角坐标系，再设，从而写出相关向量，计算其数量积，并结合三角函数的性质得到其范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分. 12. 已知为等差数列的前n项和，，则______. 【答案】45 【解析】 【分析】先根据等差中项的定义求出，进而通过前n项求和公式求得答案. 【详解】由，则. 故答案为：45. 13. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为，所以， 令，得，解得，所以切线斜率为2， 因为，令，得， 解得，所以切点坐标为. 所以在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式可得，即，根据角的范围可得，，，故.由正弦定理、同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，换元，结合对勾函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，故， 即， 因为,所以， 因为，所以或， 即或，即或. 若，则，则无意义，故. 又，所以，即. 因为，所以,，， 所以，解得，故. 由正弦定理可得 ， 令，则. 设， 由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，即. 故答案为:. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 不妨设，则，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以平面的一个法向量， 又，所以，因为平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法证明线段的方向向量与平面的法向量垂直，即可证明平面； （2）在空间直角坐标系中分别求出平面与平面的法向量，根据向量法计算两个法向量夹角的余弦值的绝对值，即可得出二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设是平面的一个法向量，，， 则，令，则，即， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知正项等差数列满足：且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的前项和. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据等差数列的通项公式建立方程，解得或，结合等差数列的通项公式即可求解； （2）由（1），结合等差、等比数列前项求和公式计算即可求解. 【小问1详解】 设正项等差数列的公差为，由成等比数列， 得，则， 又，即，解得或， 当时， 当时， 所以数列的通项公式为或. 【小问2详解】 由题意得，当时，，则， 所以数列的前项和； 当时，，则，且， 故是以2为首项，4为公比的等比数列， 则， . 故数列的前项和或. 17. 已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，顶点到渐近线的距离为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，若直线过点，与的左、右两支交于，两点，且的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用渐近线的斜率及点到直线的距离建立关于的等式求解即可； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，易知直线斜率不存在时，不满足条件，当斜率存在时，联立直线与双曲线的方程，表示出的长，再利用点到直线的距离求出点到的距离，利用三角形的面积公式建立等式进行求解出，即可求出直线的方程． 【小问1详解】 由题得， ① 由对称性不妨设的顶点为，则， ② 联立①②解得，， 所以的方程为． 【小问2详解】 设，， 当直线的斜率不存在时，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 由得， 所以， 解得， 因为，， 所以 ． 又点到直线的距离， 所以的面积， 解得或；又因为，所以， 所以直线的方程为． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）当，时，关于的不等式恒成立，求实数的最大值. （3）设点、是函数图象上两个不同的点，令，证明： 【答案】（1）和； （2）； （3）证明：易知， ， 要证： ，即证， 即证， 不妨设，即证 ， 设，可得， 构造函数，其中， 则， 所以，函数在区间上为增函数，则， 即， 因此. 【解析】 【分析】（1）将函数求导后解即可得的单调递增区间； （2）法一：对参数进行分类讨论，当时易得不等式恒成立，当时，通过原不等式构造函数，将不等式恒成立问题转化为最值问题求解； 法二：通过将原不等式同构变形，构造新函数，通过新函数的单调性求出使得原不等式成立时的最大值； （3）将，代入不等式后化简，最终通过不等式同构变形构造新函数，对新函数求导求出单调性，进而证明不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 令，可得或，因为，则. 由，可得或， 则的单调递增区间为和； 【小问2详解】 法一：当时，，即在上恒成立. ①当时，，在上恒成立，所以此时不等式恒成立； ②当时，令，， 则恒成立， 所以在上单调递增， 于是， 不等式两边同时取对数，可得 恒成立， 令， 由于，都在上递增， 所以在上单调递增， 又， 因此若恒成立， 则. 综上所述，的最大值为. 法二：当时，，即恒成立， 当时显然恒成立， 所以只需考虑当时， ，即恒成立， 即， 令，则，因为，则， 所以，， 当时，，所以，函数在上为增函数， 所以，，即，则恒成立. 令，其中，则，单调递减， 则，则. 综上所述，的最大值为. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题（2）小问考察到不等式变换中一种常见的手法：取对数，特别是当不等式两边都有许多关于e的式子时可以优先考虑取对数变形；其次本题（2）（3）小问都考察了不等式的同构变形，很多时候不等式的恒成立问题、不等式证明问题等都可以通过同构变形构造新函数，通过新函数的性质来证明原不等式成立. 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且 （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据倍角公式得到，由正弦定理得到，从而； （2）设，在，，中由余弦定理得关于的方程，再由解出，最后由面积公式求解即可； （3）设，由得，在三个小三角形中分别用余弦定理表示出，再结合得到，从而由均值不等式得，从而得到的最小值. 【小问1详解】 由， 得， 得， 得， 得，即， 所以为直角三角形，. 【小问2详解】 由（1）知，所以的三个角都小于， 因为点为的费马点， 所以，设， 在中，， 在中，， 在中，， 因为， 所以，解得， 由， 得 . 【小问3详解】 由（2）知. 设， 由得. 由余弦定理得： 在中，， 在中，， 在中，， 因为，所以， 整理得. 因为，当且仅当时等号成立， 所以，整理得， 解得或者（舍去）， 所以实数的最小值为. 【点睛】思路点睛：在本题中，给出了当的三个内角均小于时，确定费马点的方法，即“满足的点为费马点”，由（1）知为直角三角形，再结合点是的费马点知，从而解决（2）（3）两个小题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜仁一中10月模拟考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记复数的共轭复数为，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（    ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向右平移，个单位长度后，所得函数为偶函数，则的值为（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数，关于的不等式有且只有三个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3 小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式正确的有（ ） A. 当时，的最大值是 B. 已知正实数、满足，则 C. 当时， D. 函数最小值为 10. 设是定义在上的偶函数，且对于恒有，已知当时，，则下列判断正确的是（    ） A. 的周期是2 B. 在上递减，在上递增 C. 的最大值是2，最小值是1 D. 当时， 11. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD中点O为圆心，OA为半径的半圆上，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分. 12. 已知为等差数列的前n项和，，则______. 13. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为_____________. 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知正项等差数列满足：且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的前项和. 17. 已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，顶点到渐近线的距离为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，若直线过点，与的左、右两支交于，两点，且的面积为，求直线的方程． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）当，时，关于的不等式恒成立，求实数的最大值. （3）设点、是函数图象上两个不同的点，令，证明： 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且 （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $