精品解析：2024-2025学年人教版八年级上册数学期中复习提升试卷

2024-2025学年人教新版八年级上册数学期中复习试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在平面直角坐标系中，与点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，是边上一个动点(不与顶点重合)，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，∠B=∠C，增加哪个条件可以让△ABD≌△ACE？（　　） A. BD=AD B. AB=AC C. ∠1=∠2 D. 以上答案都不对 6. 如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（　　） A. ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B. ∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270° C ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D. ∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360° 7. 如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（ ） A. 5 B. 7 C. 7．5 D. 10 8. 如图，已知∠B＝20°，∠C＝25°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（　　） A. 80° B. 90° C. 100° D. 105° 9. 如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 5 10. 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 已知△ABC≌△DEF，∠B=120°，∠F=35°．则∠D=______度． 12. 如图，在中，已知为的中线，过点A作分别交、于点F、E，连接，若，，，则________． 13. 如图，在ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BD＝CE，则判定BDC与CEB全等的依据是______________． 14. 如图所示，中，，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，，则______． 15. 如图，牧童在处放牛，其家在B处，两处到河岸的距离相等，即，点是的中点，牧童从处放牛到河边饮水后再回家，则在 _____处饮水所走的路线最短． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1）， 若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个 三．解答题（ 满分72分） 17. 如图，B是线段AC的中点，，求证：． 18. 一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少，求这个三角形的顶角的度数． 19. 如图1，在中，，D是的中点，过点B作，垂足为E，连接交于点F． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）P是射线上的点，过点C作//交的延长线于点G． ①如图2，若点P在的延长线上，请说明的理由； ②若，则________． 20. 如图，在中，，、分别是、边上的高，，求和的度数． 21. 如图，ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）画A1B1C1，使它与ABC关于直线l成轴对称； （2）求ABC面积； （3）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）． 22. 如图，已知等边中，点D是的中点，点E是延长线上的一点，且，，垂足为M，求证：点M是的中点． 23. 在等腰三角形中，，，的对边分别是a，b，c，已知，b和c是关于x的方程的两个实数根，求的周长． 24. 提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC与点E，求证：PB=PE 分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等． 学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了． 解决问题：请你选择上述一种方法给予证明． 问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版八年级上册数学期中复习试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在平面直角坐标系中，与点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据"关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，即可求出对称点. 【详解】点P(-2,3)关于y轴对称的点的坐标是(2,3). 故答案为(2,3). 【点睛】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数 2. 如图，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠FGD=113°， ∴∠C=∠FGD-∠2=113°-63°=50°， 故选：C． 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答． 3. 如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，直角三角形的性质，根据三角形内角和得，由是的角平分线，则有，然后根据垂直定义得，最后由直角三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4. 如图，在中，，，是边上的一个动点(不与顶点重合)，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只要证明70°＜∠BPC＜125°即可解决问题． 【详解】∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB=55°， ∴∠A=180°﹣2×55°=180°－110°=70°． ∵∠BPC=∠A+∠ACP， ∴∠BPC＞70°． ∵∠B+∠BPC+∠PCB=180°， ∴∠BPC=180°－∠B－∠PCB=125°－∠PCB＜125°， ∴70°＜∠BPC＜125°． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5. 如图，∠B=∠C，增加哪个条件可以让△ABD≌△ACE？（　　） A. BD=AD B. AB=AC C. ∠1=∠2 D. 以上答案都不对 【答案】B 【解析】 【详解】选择AB=AC；理由如下： 在△ABD和△ACE中, ∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C， ∴ABD≌△ACE(ASA)； 故选B. 6. 如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（　　） A. ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B. ∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270° C. ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D. ∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360° 【答案】B 【解析】 【分析】分析题意∠DMA=∠1，∠DNA=∠2，然后利用三角形内角和、等量代换求解即可． 【详解】解：连接AD， 在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°， 在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°， ∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°， ∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF， ∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°， ∵AB⊥AF， ∴∠BAF＝90°， ∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN， ∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2， ∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F）， ∴90°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F）， ∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用，将图形中角的关系利用三角形的内角和等于180°进行转化，再运用等量代换是解题的关键． 7. 如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（ ） A. 5 B. 7 C. 7．5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，由角平分线的性质，得，然后求出的面积即可． 【详解】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，如图： ∵为的角平分线，于点， ∴， ∴的面积为：； 故选：A 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是正确的作出辅助线，从而进行计算． 8. 如图，已知∠B＝20°，∠C＝25°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（　　） A. 80° B. 90° C. 100° D. 105° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵∠B＝20°，∠C＝25°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝135°， ∵MP和QN分别垂直平分AB和AC， ∴PA＝PB，QA＝QC， ∴∠PAB＝∠B＝20°，∠QAC＝∠C＝25°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠PAB﹣∠QAC＝135°﹣20°﹣25°＝90°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 9. 如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，过点作于点．利用垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于点． 是的角平分线，与关于对称， 点值上，， ，，，， ， ， 的最小值为2.4． 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到点关于的对称点，再由垂线段最短是求解的关键． 10. 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DG⊥AB于点G，由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ADB=90°，然后可证△ADC≌△ADB，△DEC≌△DFB，进而问题可求解． 【详解】解：∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF， ∴， ∵BF∥AC， ∴， ∴，即， ∴，即AD是△ABC的高，故①正确； ∵，AD=AD， ∴△ADC≌△ADB（ASA）， ∴，即AD是△ABC的中线，故②正确； ∵BF∥AC， ∴， ∵， ∴△DEC≌△DFB（AAS）， ∴ED＝FD，故③正确； 过点D作DG⊥AB于点G，如图所示： ∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，， ∴， ∵AD=AD， ∴（HL）， ∴， 同理可知， ∵， ∴，故④正确； 综上所述：正确的个数有4个； 故选A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 已知△ABC≌△DEF，∠B=120°，∠F=35°．则∠D=______度． 【答案】25 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出∠E=∠B=120°，再根据三角形的内角和定理求出∠D的度数即可 【详解】∵△ABC≌△DEF ∴∠E=∠B=120° ∵∠F=35° ∴∠D=180°-∠E-∠F=25° 故答案为25 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等 12. 如图，在中，已知为的中线，过点A作分别交、于点F、E，连接，若，，，则________． 【答案】84 【解析】 【分析】根据为的中线，可得，，通过题中条件可求得，根据，可得，，设，则，，故，根据，列方程，即可解答． 【详解】解：为的中线， ，， ， ， ， ，， 设，则， ， ， 根据，列方程， 解得， ． 故答案为：84． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，根据题中的边长之比得出对应的三角形的面积之比是解题的关键． 13. 如图，在ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BD＝CE，则判定BDC与CEB全等的依据是______________． 【答案】（或“斜边、直角边”） 【解析】 【分析】由条件BD=CE，BC=CB，则Rt△BDC与Rt△CEB全等，即可得出结论． 【详解】∵CD⊥AB，BE⊥AC，BD＝CE，BC=CB ∴Rt△BDC≌Rt△CEB(HL) 故答案为：HL或斜边、直角边 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，理解题意并掌握直角三角形的判定方法是关键． 14. 如图所示，中，，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据AAS证明△AEB≌△CFA，推出AF=BE=3，AE=CF=7，即可求出EF． 【详解】解：∵于点E， 于点F． ∴∠AEB=∠AFC=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠CAF=90°， ∴∠ABE=∠CAF， ∵AB=AC， ∴△AEB≌△CFA， ∴AF=BE=3，AE=CF=7， ∴EF=AE+AF=7+3=10， 故答案为：10． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 15. 如图，牧童在处放牛，其家在B处，两处到河岸的距离相等，即，点是的中点，牧童从处放牛到河边饮水后再回家，则在 _____处饮水所走的路线最短． 【答案】 【解析】 【分析】本题轴对称—最短路径问题，全等三角形的判定与性质，作关于的对称点连接，交于，然后证明，则，，此时为中点，与重合，根据即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点连接，交于， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为中点，与重合， ∴， 此时走的路线最短， 即点为饮水处， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1）， 若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个 【答案】5 【解析】 【分析】分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，及作AB的垂直平分线，数出在x轴上的点C的数量即可 【详解】解：由图可知：点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有5个 故答案为:5 【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题，掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键 三．解答题（ 满分72分） 17. 如图，B是线段AC的中点，，求证：． 【答案】证明过程见详解 【解析】 【分析】运行平行线的性质可证∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，结论即可得证． 【详解】证明∵BAC中点， ∴AB=BC， ∵， ∴∠A=∠EBC， ∵， ∴∠DBA=∠C， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE(ASA)． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键． 18. 一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少，求这个三角形的顶角的度数． 【答案】或或． 【解析】 【分析】这两个角可能都底角，也可能一个是底角，一个是顶角，分开来讨论求解即可． 【详解】解：①当都是底角时，设其为x， 则， 解得，， ∴顶角为：； ②当底角比顶角2倍少时，设顶角为x，则底角为， 则， 解得，即顶角为； ③当顶角比底角2倍少时，设底角为x，则顶角为， 则， 解得， 则顶角为：； 故这个三角形的顶角的度数为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；分类讨论是正确解答本题的关键． 19. 如图1，在中，，D是的中点，过点B作，垂足为E，连接交于点F． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）P是射线上的点，过点C作//交的延长线于点G． ①如图2，若点P在的延长线上，请说明的理由； ②若，则________． 【答案】（1）；理由见解析 （2）①理由见解析；②1.5或4.5 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，可知，则利用，即可证明； （2）①根据两直线平行内错角相等，可得，所以，得到，所以； ②分两种情况进行讨论：当点P在的延长线上时， ，当点P在线段上时，，代入数据计算即可． 【小问1详解】 ． ∵， D是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中，， 所以． 【小问2详解】 ①∵， ∴． 在和中，∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ②当点P在的延长线上时， 由①可知： ∴， 当点P在线段上时， 同理可得BP=CG， ∴， ∴． 故答案为：1.5或4.5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质证明线段相等是解题的关键． 20. 如图，在中，，、分别是、边上的高，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；先根据等腰三角形得出，则，再利用直角三角形两锐角互余得，再根据四边形的内角和为求出，最后利用对顶角得出的度数． 【详解】在中，、分别是、边上的高， ． ， ． 在中，， （） ． 在四边形中， ． 21. 如图，ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）画A1B1C1，使它与ABC关于直线l成轴对称； （2）求ABC的面积； （3）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1即可； （2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算ABC的面积； （3）连接A1B交直线l于P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件． 【详解】解：（1）如图，A1B1C1为所作； （2）ABC的面积＝3×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×2×3＝4； （3）如图，点P为所作． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题． 22. 如图，已知等边中，点D是的中点，点E是延长线上的一点，且，，垂足为M，求证：点M是的中点． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证． 【详解】证明：如图，连接． ∵在等边中，点是的中点， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 又∵， ∴点是的中点． 23. 在等腰三角形中，，，的对边分别是a，b，c，已知，b和c是关于x的方程的两个实数根，求的周长． 【答案】7或 【解析】 【分析】因为题目中的等腰三角形没有明确谁是腰和底，因此需要分两种情况讨论：（1）当a为底边时，b和c为腰，即，先解出m的值，进而得出b和c的值，即可得出的周长；（2）当a为腰时，b和c一个为腰一个为底，令，解得c的值，即可得出的周长． 【详解】解：分两种情况计算： （1）当a为底边时，b和c为腰，即， b和是关于的方程的两个实数根， ， 解得或， 当时，原方程为， 解得，不符合题意，舍去． 当时，原方程为， 解得，符合题意． 故的周长是； （2）当a为腰时，b和c一个为腰一个为底，令， b和是关于的方程的两个实数根， 将代入，得， 解得， 则原方程为， 由一元二次方程根与系数的关系可知， 则， 故周长是， 综上可知，的周长是7或． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，等腰三角形的定义，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 24. 提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC与点E，求证：PB=PE 分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等． 学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了． 解决问题：请你选择上述一种方法给予证明． 问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】解决问题：证明见解析；问题延伸：成立，证明见解析. 【解析】 【分析】解决问题：对于图1，根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，则四边PMCN为矩形，根据角平分线性质得PM=PN，根据四边形内角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的补角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根据“AAS”证明△PBM≌△PEN，则PB=PE； 对于图2，连结PD，根据正方形的性质得CB=CD，CA平分∠BCD，根据角平分线的性质得∠BCP=∠DCP，再根据“SAS”证明△CBP≌△CDP，则PB=PD，∠CBP=∠CDP，根据四边形内角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的补角相等得到∠PBC=∠PED，则∠PED=∠PDE，所以PD=PE，于是得到PB=PD； 问题延伸：对于图3，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，得到四边PMCN为矩形，PM=PN，则∠MPN=90°，利用等角的余角相等得到∠BPM=∠EPN，然后根据“AAS”证明△PBM≌△PEN，所以PB=PE． 【详解】解决问题：如图1， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD， ∵PM⊥BC，PN⊥CD， ∴四边PMCN为矩形，PM=PN， ∵∠BPE=90°，∠BCD=90°， ∴∠PBC+∠CEP=180°， 而∠CEP+∠PEN=180°， ∴∠PBM=∠PEN， 在△PBM和△PEN中 ∴△PBM≌△PEN（AAS）， ∴PB=PE； 如图2，连结PD， ∵四边形ABCD为正方形， ∴CB=CD，CA平分∠BCD， ∴∠BCP=∠DCP， 在△CBP和△CDP中 ， ∴△CBP≌△CDP（SAS）， ∴PB=PD，∠CBP=∠CDP， ∵∠BPE=90°，∠BCD=90°， ∴∠PBC+∠CEP=180°， 而∠CEP+∠PEN=180°， ∴∠PBC=∠PED， ∴∠PED=∠PDE， ∴PD=PE， ∴PB=PD； 问题延伸：如图3，PB=PE还成立． 理由如下：过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD， ∵PM⊥BC，PN⊥CD， ∴四边PMCN为矩形，PM=PN， ∴∠MPN=90°， ∵∠BPE=90°，∠BCD=90°， ∴∠BPM+∠MPE=90°， 而∠MEP+∠EPN=90°， ∴∠BPM=∠EPN， 在△PBM和△PEN中 ， ∴△PBM≌△PEN（AAS）， ∴PB=PE． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$