精品解析：四川省内江市第六中学2024-2025学年高一（理科创新班）上学期第一次月考数学试卷

内江六中2024-2025学年度（上）高2027届第一次月考 数学【理科】试题（创新班） 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 单位圆上一点绕坐标原点O逆时针方向转动后，到达点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的终边在（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第一、二、四象限 7. 已知，，，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为a、b，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 若非空集合M，N，P满足：，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是上的增函数，那么实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 的取值与有关 B. 为定值 C. D. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 13. 在中，，，平面外一点满足，则三棱锥外接球的表面积是_________． 14. 已知函数在区间恰有2025个零点，则的一个可能取值是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 设不等式的解集为，不等式的解集为，集合. （1）求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数的周期为． （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 17. 已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最小值； （3）若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围． 18. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求B； （2）如图，若，在外取点D.且，.求四边形ABCD面积的最大值. 19. 已知函数，，设． （1）求的值； （2）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出的取值集合；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中2024-2025学年度（上）高2027届第一次月考 数学【理科】试题（创新班） 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】解：因为命题，是存在量词命题， 所以其否定为全称量词命题，即，， 故选：C 2. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可. 【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误； 选项B：定义域不是，值域为，故错误； 选项C：定义域和值域均为，故正确； 选项D：不满足函数的定义，故错误； 故选：C. 3. 单位圆上一点绕坐标原点O逆时针方向转动后，到达点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用三角函数表示点坐标，然后通过旋转可求出点坐标，利用诱导公式计算即可. 【详解】单位圆上一点，即，其绕坐标原点O逆时针方向转动后，到达点， 则， 又， ， 所以. 故选：A. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别从充分性和必要性角度去判断即可. 【详解】由得，由得， 当，时，满足，但不满足； 当，时，满足，但不满足； 故“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将指数式两边同时取常用对数，然后利用对数的运算法则计算即可. 【详解】由得， 所以， 解得， 故选：A. 6. 已知，，则的终边在（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先通过条件确定的范围，再求出的范围，进而可得角所在象限. 【详解】因为，， 所以为第二象限角，即， 所以， 则的终边所在象限为所在象限， 即的终边在第一、二、四象限. 故选：D. 7. 已知，，，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合数量积的运算性质求，再由向量夹角公式求，的夹角. 【详解】因为， 所以，故， 又，， 所以， 所以，又， 所以，即，的夹角为， 故选：B. 8. 已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为a、b，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数图像，利用反函数的性质判断即可. 【详解】 设，，，， 因为与互为反函数，图像关于对称， 设它们与的交点坐标分别为， 可知交点坐标也关于直线对称，所以，即. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 若非空集合M，N，P满足：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据交集、并集运算的结果得到，然后再逐项进行判断. 【详解】因为，，所以，所以， 对于A：因为，所以，故正确； 对于B：因为，所以不一定成立，故错误； 对于C：因为，所以，故正确； 对于D：因为，，所以，故正确； 故选：ACD. 10. 已知是上的增函数，那么实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分段函数在上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处左端点函数值小于等于右端点函数值,从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】要在上单调递增，需满足， 解得，故实数的值可以为，； 故选：AC 11. 已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 的取值与有关 B. 为定值 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】令，从而化为，不妨设的解集为，可得，由，从而得，且，化简，解得或，又是方程的两个根，利用韦达定理可得，则 ，进而求得的取值范围. 【详解】令， 则可化为， 不妨设的解集为， 即， ，即， 故， 又，且， ，且， ，且， 故， 解得， 故选项A错误，选项B正确； ， ， 有解， ，即或， 是方程的两个根， 即是方程的两个根， 故，即， 解得：， ， 故选项C错误，选项D正确. 故答案选：BD. 【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】采用常数分离法转化为恒成立，只需求的最小值即可. 【详解】对任意正实数，不等式恒成立，即恒成立， 因为，当且仅当即时取“＝”. 所以 故答案为： 13. 在中，，，平面外一点满足，则三棱锥外接球的表面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】因为，所以点在平面上的射影是的外心，即为中点，而三棱锥的外接球球心一定在上，由此计算出球半径后可得表面积． 【详解】因为，所以点在平面上的射影是的外心， 又，所以是中点，如图， 由平面，平面，得， 三棱锥的外接球球心在上， ，， 设，则由得，， 所以外接球表面积为． 故答案为：． 14. 已知函数在区间恰有2025个零点，则的一个可能取值是__________． 【答案】2024．（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意可得的范围，进而求出的范围，求出其中的一个可得值． 【详解】令， 可得，要使函数在区间恰有2025个零点，即有2025个根， 因为,，，所以,， 则，可得． 故答案为：2024．（答案不唯一） 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 设不等式的解集为，不等式的解集为，集合. （1）求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再结合集合的交集和补集的运算即可； （2）由，得，再结合包含关系列出不等式组，即可解. 【小问1详解】 由，得，由，得， 则，； 【小问2详解】 若，则， 当时，，此时，解得：； 当时，，此时，解得：，则， 综上： 16. 已知函数的周期为． （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由周期计算公式求出然后根据正弦函数单调递减区间可得答案； （2）由题可得，后由正弦函数图象和性质可得答案. 【小问1详解】 因为函数的周期为， 所以，，即， 所以， 令，，即，， 函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，即， 在区间上的最大值为，最小值为. 17. 已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最小值； （3）若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数对称性和最小值设顶点式，代入零点即可得到解析式； （2）分和讨论即可； （3）通过分离参数法和基本不等式即可求出的范围. 【小问1详解】 因为对都有， 所以的图象关于直线对称， 又因为二次函数的最小值为， 所以可设二次函数的解析式为， 又因为是其一个零点， 所以，解得， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，， 当时，， . 【小问3详解】 因为关于的不等式在区间上有解， 即不等式在上有解，所以， 记，因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为4， 所以，即， 故存在实数符合题意，所求实数的取值范围为. 18. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求B； （2）如图，若，在外取点D.且，.求四边形ABCD面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可； （2）根据余弦定理、三角形面积公式，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 ∵， 由正弦定理得， ∴， ∴. 根据三角形内角和定理得， ∵，∴，∴， ∵，∴. 【小问2详解】 ∵，且，∴为等边三角形. 设，则在中， 由余弦定理得. ∴， . ∴四边形ABCD的面积， ∴当，即时，. ∴四边形ABCD的面积的最大值为. 19. 已知函数，，设． （1）求的值； （2）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出的取值集合；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接代值计算即可； （2）首先确定函数为奇函数，并观察出函数为单调减函数，然后利用单调性和奇偶性去掉，将恒成立问题转化为最值问题求解即可. 【小问1详解】 由已知， 所以； 【小问2详解】 ，其定义域为， 又， 所以函数为奇函数， 又， 因为均为定义域上的减函数， 所以函数在上单调递减， 因为恒成立， 即， 所以 即对恒成立， 所以，即， 故存在这样的负实数，使对一切恒成立，且的取值集合为. 【点睛】关键点点睛：针对一个复杂函数的不等式恒成立问题，要有意识有目的的去求函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质来解决不等式问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $