精品解析：青海省西宁市海湖中学2024—2025学年九年级上学期第一阶段测试数学试题

西宁市海湖中学2024－2025学年第一学期 九年级数学第一阶段质量检测试卷 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 3. 若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2021+2a﹣b的值是（　　） A. 2016 B. 2018 C. 2019 D. 2022 4. 的两条边a，b为方程的两个根，则第三条边c的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k>－ B. k>－且 C. k<－ D. k－且 6. 二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（　　） A. B. C. D. 8. 对于抛物线，下列说法正确的是（　　） A. 抛物线的开口向下 B. 有最大值，最大值是 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 9. 已知二次函数 的图象上有两点 ，，则与的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 对于任意的实数m，总有 二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分） 11. 关于x的方程 是一元二次方程，则_______. 12. 方程的根是________________． 13. 已知方程的一个根是，则m的值是_______． 14. 若一元二次方程的两根分别为a，b，则_____． 15. 某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为______． 16. 二次函数的顶点坐标是__________． 17. 抛物线与轴的交点坐标是___________． 18. 已知二次函数图象上有两个不同点，，则______． 19. 二次函数的顶点坐标为，且开口向上，则的值为________． 20. 如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是_______． 三、解答题（共7小题，满分70分） 21. 解一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）； （4）． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围． （2）若方程的其中一个根为，求方程的另一个根． 23. 已知二次函数的图象经过和两点． （1）求m的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 24. 二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数的解析式． （2）若点在函数图象上，求的面积． 25. 服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五·一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ （2）要使平均每天销售这种服装盈利最多，那么每件服装应降价多少元？一天最多盈利多少元？ 26. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 27. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； （3）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市海湖中学2024－2025学年第一学期 九年级数学第一阶段质量检测试卷 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 、方程含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程，是一元二次方程，符合题意； 、当是，方程为，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：． 2. 一元二次方程根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．关于的一元二次方程，其根的判别式为．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此可得出方程没有实数根． 【详解】解：对于方程， ∵， ∴， ∴该方程没有实数根． 选：D． 3. 若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2021+2a﹣b的值是（　　） A. 2016 B. 2018 C. 2019 D. 2022 【答案】C 【解析】 【分析】把x=2代入已知方程求得2a-b的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-bx+4=0的解是x=2， ∴4a-2b+4=0， 则2a-b=-2， ∴2021+2a-b=2021+（2a-b）=2021+（-2）=2019． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解定义．解题时，利用了“整体代入”的数学思想． 4. 的两条边a，b为方程的两个根，则第三条边c的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次方程求出a，b，再根据三角形三边关系求出第三条边c的取值范围，即可求解． 【详解】解：， 因式分解，得， 解得，， a，b为方程的两个根， ，或，， 由三角形三边关系得，，即， 观察选项可知，只有D选项满足条件， 故选D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，三角形三边关系的应用，解题的关键是通过解方程求出a，b． 5. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k>－ B. k>－且 C. k<－ D. k－且 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根必须满足（1）二次项系数不为零；（2）根的判别式，由此即可求解． 【详解】解：由题意知，k≠0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即． 解得：k＞， ∴k＞且k≠0． 故选B． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键． 6. 二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式得到函数图象与轴的交点坐标是解题的关键． 由二次函数解析式得到函数图象与轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴此抛物线与x轴的交点为， ∴抛物线的对称轴为直线， 故选： D． 7. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与几何变换，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 8. 对于抛物线，下列说法正确的是（　　） A. 抛物线的开口向下 B. 有最大值，最大值是 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可判断答案． 【详解】， 抛物线开口向上， A选项不正确； 二次函数的图象的顶点坐标是， 抛物线有最小值，且最小值是， B选项和C选项都不正确； ， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而增大， D选项正确． 故选：D． 9. 已知二次函数 的图象上有两点 ，，则与的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，直接求出与的值，然后比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故选：A． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 对于任意的实数m，总有 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐项分析即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∴，选项A符合题意； ∵抛物线过， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，选项B不符合题意； ∵， ∴，选项C不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴函数的最大值为， ∴对于任意的实数m，总有， ∴对于任意的实数m，，选项D不符合题意． 故选：A． 二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分） 11. 关于x的方程 是一元二次方程，则_______. 【答案】a = 2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】由是一元二次方程，得 =2，且a+2≠0， 解得a=2， 故答案为 2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 12. 方程的根是________________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开方法解一元二次方程的方法是解题关键．利用直接开方法解该方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． 答案为：，． 13. 已知方程的一个根是，则m的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入，得， 解得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14. 若一元二次方程的两根分别为a，b，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：根据题意得一元二次方程的两根分别为a，b ∴． 故答案为：2 15. 某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为______． 【答案】4.86（1+x）2=6 【解析】 【分析】根据等量关系：增产前的产量×（1+x）2=增产后的产量列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得：4.86（1+x）2=6， 故答案为：4.86（1+x）2=6． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． 16. 二次函数的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用求得二次函数的顶点坐标即可． 【详解】二次函数解析式为， 则此二次函数的顶点坐标为． 故答案为． 【点睛】此题考查二次函数的性质，掌握其性质是解决问题的关键． 17. 抛物线与轴的交点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】令得出y的值，从而得出与轴的交点坐标． 【详解】令， 得， 抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数与y轴交点的求法是解题的关键． 18. 已知二次函数图象上有两个不同点，，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键，根据二次函数的图象与性质及点的坐标可得关于轴对称，从而可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴点的纵坐标相等， ∴点关于轴对称， ∴， 故答案为：0． 19. 二次函数的顶点坐标为，且开口向上，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握基础知识是关键． 根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可． 【详解】∵二次函数的顶点坐标为， ∴，， 解得：，， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴． 故答案为：3． 20. 如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由抛物线与轴的交点为，对称轴为，得到当或时，，据此可得出答案，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点为，对称轴为， ∴当或时，， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 三、解答题（共7小题，满分70分） 21. 解一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． （）利用配方法求解即可； （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解： ，，， ∴， ； 【小问3详解】 解： ∴， ∴ ∴或， 解得：； 【小问4详解】 解： ∴， ∴或， ． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围． （2）若方程的其中一个根为，求方程的另一个根． 【答案】（1）m （2）方程的另一个根是0 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程，熟练掌握定理是解题的关键． （1）根据方程有实数根，得到计算即可． （2）根据方程的一个根为 1，代入方程求解，再代入方程计算即可． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵方程的其中一个根为， ∴， ∴， ∴原方程为． ∴，， ∴方程的另一个根是0． 23. 已知二次函数的图象经过和两点． （1）求m的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）m的值为4 （2）顶点坐标为，对称轴为直线 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将和两点代入二次函数，即可解决问题； （2）由（1）可得，进而可得该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过和两点， ∴， ∴， ∴m的值为4； 【小问2详解】 解：由（1）知：二次函数， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线． 24. 二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数的解析式． （2）若点在函数图象上，求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象上点的坐标特征． （1）先把点、的坐标分别代入中得到关于、的方程组，然后解方程组求出、，从而得到二次函数解析式； （2）先把代入（1）中的解析式求出，然后根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 把，分别代入得 ， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 把代入得， 点的坐标为， ，， 的面积． 25. 服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五·一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ （2）要使平均每天销售这种服装盈利最多，那么每件服装应降价多少元？一天最多盈利多少元？ 【答案】（1）每件服装应降价20元； （2）每件服装应降价15元时，一天盈利最多，一天最多盈利1250元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设每件服装应降价x元，则销售量为件，每件的利润为元，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可； （2）设每件衣服应降价m元，每天盈利w元，根据总利润单件利润销售量列出w关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件服装应降价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； 【小问2详解】 解：设每件衣服应降价m元，每天盈利w元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w最大，最大为1250， ∴每件服装应降价15元时，一天盈利最多，一天最多盈利1250元． 26. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 【答案】（1）4，18 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4；18； 【小问2详解】 解：∵m是方程的根， ∴， ∴（时不满足原方程）， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； （3）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线中可得的值，从而可得抛物线的解析式； （2）根据的面积为列方程可得点的坐标； （3）由等腰三角形行政，分情况讨论：①当时；②当时；③当时，从而可以解答． 【小问1详解】 解：把点的坐标代入抛物线中得： ， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，，解得，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ； 【小问3详解】 解：当时，时， ， ， ， ①当时，； ②当时，； ③当时，设，则， 在中，，即，解得， ， ； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，直角三角形性质，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，两点的距离，勾股定理，待定系数法等知识，其中（3）根据等腰三角形的判定分情况讨论是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $