三角函数的图象及性质讲义-2025届高三数学一轮复习

三角函数图象及性质 1、 【考点聚焦】 · 三角函数的图象及性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 时， 时， 时， 时， 周期性 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 对称性 对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 对称中心 · 三角函数的值域求法 1.正余弦型：形如(或)，可先由定义域求得的范围，然后，求得(或)的范围，最后求得最值； 2.二次型：形如，可利用换元思想，设，转化为二次函数求最值，的范围需要根据定义域来确定； 3.和差积换元型：形如，利用和的关系，通过换元法转换成二次函数求值域问题； 4.分式型：（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域； （2）判别式法. · 已知单调性求参数的范围 1.子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； 2.反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； 3.周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 · 求取值范围的常用解题思路 1.利用三角函数的周期性 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期，就可以确定的取值. 2.利用三角函数的对称性： （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而确定的取值. 3、结合三角函数的单调性 函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。 反之，从函数变换的角度来看的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。 2、 【典例分析】 · 三角函数的图象及变换 例1 （1）（2021全国卷乙）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 （　 　） （2）（2023全国卷甲）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（　 　） 【变式练习】（1）为了得到函数的图象，只需将函数（　 　） A.图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B.图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 C.图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 D.图象向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 （2）（2023郑州二模）将函数图象上的点向右平移个周期（最小正周期）得到点，若位于函数的图象上，则的值可以是（　 　） · 由图象确定的解析式 例2 （1）（2023新高考卷Ⅱ）已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 . （2）（2021全国卷甲）已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数为　 　. （3）（2024·成都月考）将函数图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最小值，无最大值1，则的取值范围是 . 【变式练习】（1）（2023芜湖模拟）已知函数f的部分图象如图所示，将函数的图象上各点的横坐标拉伸为原来的3倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的单调递增区间为（　 　） （2）（2023山东省泰安一中模拟）函数在区间上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值为（　 　） · 三角函数的图象与性质的综合应用 例3（1）如图是函数的部分图象，则（ ） A．函数的最小正周期为 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．点是函数图象的一个对称中心 D．函数为奇函数 （2）（2022天津高考）已知，关于该函数有下面四个说法： ①的最小正周期为；②在上单调递增；③当时，的取值范围为；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到. 以上四个说法中，正确的个数有（　 　） （3）（2023广东六校联考）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　 　） A.直线是图象的一条对称轴 B.图象的对称中心为 C.在区间上单调递增 D.将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象 （4）（2024·成都实外模拟）已知函数的部分图象如图所示，其中，，现有如下说法： ①函数在上单调递减； ②将函数的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称； ③当时，， 则正确命题的个数为（ ） 【变式练习】（1）（多选）（2024江苏省南通市模拟）已知是函数图象的一个对称中心，则（　 　） A. B.是函数图象的一条对称轴 C.将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 D.函数在区间上的最小值是 （2）（多选）（2024福建省漳州市一检）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　 　） A. B.的图象关于直线对称 C.将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于原点对称 D.若在上有且仅有一个零点，则 · 三角函数模型的应用 例4 （1）水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，有1 700余年历史.如图2是一个水车的示意图，它的直径为 ，其中心（即圆心）距水面.如果水车每逆时针转3圈，在水车轮边缘上取一点，我们知道在水车匀速转动时，点距水面的高度（单位：）是一个变量，它是时间（单位：）的函数.为了方便，不妨从点位于水车与水面交点时开始计时（），则我们可以建立函数关系式来反映随变化的规律.下面关于函数的描述，正确的是（　 　） A.最小正周期为 B.一个单调递减区间为 C.的最小正周期为40 D.图象的一条对称轴方程为 【变式练习】（1）（2023江西赣州五校联考）在西双版纳热带植物园中有一种原产于美洲热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20 ℃，但当气温上升到31 ℃时，时钟花基本都会凋谢.已知某景区有时钟花观花区，且观花区每天6时～14时的气温（单位：℃）与时间（单位：时，6时对应）近似满足函数关系式，则每天在6时～14时期间，观花的最佳时段约为（参考数据：.假设在花期内，时钟花每天开闭一次）（　 　） A.6.7时～11.6时 B.6.7时～12.2时 C.8.7时～11.6时 D.8.7时～12.2时 · 三角函数综合题： 例5.（1）（2024皖南八校联考）当时，曲线与的交点个数是（ ） （2）（2024皖南八校联考）已知函数，则下列命题正确的是（ ） 是以为周期的函数 直线是曲线的一条对称轴 函数的最大值为，最小值为 函数在上恰有2024个零点 （3）（2024巴蜀中学月考）曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程是（ ） （4）（天津高考）已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若的最小正周期为，且，则 （　　 ） （5）（新高考卷Ⅰ）如图是函数的部分图象，则 （　 　） （6）（多选）（2023湖南株洲模拟）已知函数，若，的最小值为3，将函数的图象向左平移1个单位长度得到的图象，且的图象关于轴对称.令），则下列结论正 确的是（　 　） A. B.函数的图象的对称中心为 C.函数的最大值为 D.函数在区间上单调递增 （7）（2024皖南八校联考）已知函数的最小正周期为. （1） 求的值及函数的对称中心； 设，若对任意的都有，求实数的取值范围. 【变式练习】（1）（2024巴中零诊）（多选）已知函数的图象关于对称，下列结论中正确的是（ ） 是奇函数 若在上单调递增，则 的图象与直线有三个交点 （2）（2024皖南八校联考）设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是 . （3）（2024江苏徐州模拟）当前，我国在建核电机组数量居全球第一.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋端部螺纹的现场加工难题，对螺纹滚道进行了深入研究，研究中发现某S型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：）关于滚道径向方位角（单位：）的函数近似地满足，其部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）现需一批滚道径向残留高度不低于0.015 mm且不高于0.02 mm的钢筋，若这批钢筋由题中这种S型螺纹丝杠旋铣制作，求这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 3、 【课后习题】 1.（2024·成都七中入学）设函数若存在且，使得，则的取值范围是（ ） 2.（2024沧州）当时，曲线与的交点个数为（ ） 3.（2024沈阳）（多选）设，其中，则（ ） 相邻两个最高点之间的距离是 的单调递增区间是 的图象向左平移个单位长度得到函数图象关于对称 4.（多选）（2023重庆市名校联考）已知函数，则下列说法正确的是（ 　） A.是以为周期的周期函数 B.在上单调递减 C.的值域为 D.存在实数，使得为偶函数，这样的值可以有两个 5.（2024·成都七中月考）如图1是函数的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换后，得到图2的部分图象，则（ ） 的解集为 方程有4个不相等的实数解 6.（2024南宁摸底考试）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） 与的图象有相同的对称轴 与的值域相同 与有相同的零点 与的最小正周期相同 7.(多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时(图3中点)开始计时，则下列结论正确的是(　　) A．点再次进入水中时用时30秒 B．当水轮转动50秒时，点处于最低点 C．当水轮转动150秒时，点距离水面2米 D．点第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒 8.（多选）已知函数在上有且仅有4个零点，则（ ） 令，存在使得为偶函数 函数在上可能有3个或4个极值点 函数在上单调递增 9.已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 10.已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求在上的值域； （3）将的图象向右平移得到函数的图象，若，探究在上是否存在零点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$