吉林省吉林市普通高中2024-2025学年高二上学期期中调研测试数学试题

( ★ 保密 · 启用前 ★ )吉林市普通高中2024-2025学年度高二年级上学期期中调研测试 数 学 试 题 说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。 3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求． 1．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 2．圆与圆的位置关系为 A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 3．若直线与直线平行，则实数 A． B．　 C．或 D． 4．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A． B． C． D． 5．如图，椭圆的两个焦点分别为，以线 段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的 另两边，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 6．一条光线从点射出，经轴反射后，与圆：相切，则反射 后光线所在直线的斜率为 A．或 B．或　 C．或 D．或 7．已知动点在椭圆上，若点，点满足，且， 则的最小值为 A． B． C． D． 8．如图，平面四边形中，，垂足为，，，如 图，将沿翻折至，使得平面平面，若点为线段上 的动点，则点到直线距离的最小值为 图 图 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 已知椭圆，下列结论正确的是 A．椭圆的长轴长是 B．椭圆的短半轴长是　 C．经过椭圆焦点的最短弦长是　 D．椭圆的焦点坐标分别是，　 10．如图，在平行六面体中，，，与的交点为，设 ，，，则 　　A． 　　　　　 B． C． D． 11．平面内与两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，它的发现为人类研究土星 运行轨迹提供莫大帮助．已知平面内有一卵形线，则 A．曲线过原点 B．曲线既是中心对称图形又是轴对称图形 C．曲线上点的横坐标的取值范围是 D．曲线上任意一点到原点距离的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题的第一个空填对得2分， 第二个空填对得3分． 12．点到直线：的距离为 ． 13．过直线上一点向圆作两条切线为切点，则四边形面积的最小值为 ． 14．在空间直角坐标系中，过点且一个方向向量为的直线方程为，过点且一个法向量为的平面方程为．现已知直线的方程为，则直线的一个方向向量 ，若平面经过点且同时垂直于平面与平面，则直线到平面的距离为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知圆经过点，，且圆心在直线上． （Ⅰ）求圆的标准方程； （Ⅱ）若直线与圆的交点为，求. 16．（本小题满分15分） 如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． （Ⅰ）求证: ； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分） 已知椭圆的离心率，点在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线与椭圆的交点为，点为坐标原点，且的面积 为，求直线的方程. 18．（本小题满分17分） 已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为． （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）求的取值范围； （Ⅲ）已知点，若直线与直线的斜率分别为，，求的值. 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，且，分别为的中点. （Ⅰ）求证: 平面； （Ⅱ）若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）在平面内是否存在点，满足若存在，请求出点的轨迹长度；若不存在，请说明理由． 命题、校对：高二数学核心组 ( 第 1 页 共 6 页 )高二数学试题 学科网（北京）股份有限公司 $$吉林地区普通高中2024一2025学年度高二年级期中考试 部分试题题薄： T2:教材P%-练习2和高考愿政编：T5:新江高考趣改编：T6:教材P13-15,19改编： 数学试题参考答案 T12:教材P7行-3原题 做学建议：建议基础年饭散师在教学时关注误标+教材+真题+枚参 一，单项选择恩：本大题共8小愿，每小题5分，共40分， 二，多项选释思：本大题共3小恩，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分 3 4 分，有选错的得0分. D 2题数学拒示，人数A版P9%页 核两圆公共点个数，可以将两圆位置美系划分为三类： AC ACD BCD ①两图相交，有两个公共点： ②两圆相切，包招外切与内切，只有一个公共点： 1愿教学提示： 心两圆相离，包括外离与内含，没有公共点， 请往意新旧教材的区别， C选项：V《x+2+y2x-2+y2=5 愿数学建议 0x+22+y2116x-2+y2=25 国点P到直线/的距离=V日-信·（关注教材P3对翼点线距力 x+2+y1x-23+y12x+2x-2+y≥(x+2)(x-22-(x2-4 ②陆合敏师用书P7和一8，可将所求问愿转化为两条升面直线同的距离： .x2-402s25,-5sx2-4s5六05x2≤9，-35xs3 @本题中，∠POC为二面角P-BD-C的一个平面角，可将所求问题转化为定点O到直线PC的距 由线E上点的情坐标取值惹假为3， 离，可利用等街积法求解。 D选项x+20+y2x-2+2=5 部分试题的变式愿： T2变式：圈Cx3+y2-4=0与图C:x+y2-4x+4y-8=的公切线的条数是(B) 6+22+y21x-23+y2-25 A,1 8.2 C.3 D,4 x2+y2+4r+4x2+y2-4x+40=25 教信扫码查看卡西尼卵形线生成过程 T3变式：没#eR,则”=1”是“直线4：x+即-1=0与直线431+x+2y+1=0平行”的《C) x2+y2+4)3-16x2-25÷(x2+y2+42=25+16x2∈25169 A,亮公不必要条件 ,毫要不克分条件 C.充要条件 D。贩不充会电不必要条师 .5≤x2+y2+4≤151≤x3+y2≤9 T6变式：一条光线从P5,3动射出：经直线x-y+1=0反射后，与圆C:x+(y+2✉4州场，则反射光线 三、填空题：本大恩共3小墨，每小题5分，共15分。其中第14题的第一个空填对得2分，第二个 所在物直线方程是(D) 空填对得3分， A15x-8y+18=0 15x-p-18=0 12. 13. C,x=2减15x-8y-1N=0D,x=2减15x-8y+18=0 T12变式：点P-1,2)到直级1：4r一3y+e=0的E克为1，则e=(A) A,5度15 B.5 C.7或-3D.7 14.(1,2,3)(此空答案不唯一，(；·)（≠）均呵)；V3 年二数字试延控案第1货（兵6贞） 14题数学建议：给直战的点向式方程、平面的点法式方程 (1)(四) 出处：①人教A辰达悠一，P44一拓广探索T17 夜图0C,-1-),C4CB1, ②苏枚板透必二.P26-63.1直线的方向向量与平面的法向量 人教板选修A类空间向量与代数P11一42平面与直线的方程 √0++-1-t-1∬--2y+-1-t-2y…2分 四，解容题 15.【解析】 整.得4=8,1=2，六图心C(2,-3),CA2+1+(3-1-55分 解：(1)（法一） 圆C的标推方程为(x一2+(U+3)产=25.44u7分 受圆C的标准方程为(x一a)2+y-b=r'(>,则医心为C(a,b) （)由《1)知，周心C(亿，-3)到直线2x+y-6-0的距离为d-二61-5,10分 5 8+b+1=, =2 由愿意可得 (a+1)2+0-1)2=入，解特0=-3， 4d4…5分 国的半径r=5,dMN上2Vr2==45. 4…13分 《e-2+b-22=r, P=5 16.【解析】 证明：(1)《法一) 圆C的标准方程为(x-2)+(y+3初一25，…7分 "三梭柱ABC-AB,C,BB,⊥平面ABC, (I)(法二) 由题童可得一计行他中为 a42分 六BB,⊥平面AB,C,BB,∥AA,之A4⊥平面AB,C: 3 五线酸AB的垂直平分线为J一2-x-宁，即3+-30， 'B,FC平面ABC,AM⊥BF, 2 …4分 圆心C在直线x+y+1▣0上，4联立 +少41=位解海之 3x+y-3= AB=BC·F为AC中点，.BF⊥AC1· =- 即圆心C为2-3动， A,C,Ac平面AACC,AC∩A4=A,÷BF⊥平面AACC, 圆的米径rCAV(2+1)+(-3一1)了=5，aa,5分 C,DC平面AACC,B,F⊥C,D44性n6分 六圆C的标准方程为(x一2)+U十3)=25.44444-7分 (1)(法二) (1)(法三) 以B为原点，B4,BC,BB所在直级分别为X轴。扩轴。E轴，避立 授图C的一般方程为+y2+m++F-ND+E-4F3,则圆心为C(2,5) 121 如图所示的空间直角标系。则00，仍，B0,0,4),C(0,2,4), 2分 DE D2010,F1,l,4),C(0,20,E(0.03),A20,0, +1=0, 22 [D=4 由题意可得 解得E=6,4a4a4444…5分 2-D+E+F=0, B,F=(11,,CD=(2-2-3) F=-12. 8+2D+2E+F=狼 4因C的一般方程为x+y2-4x+6y-12=0,即圆C的标准方程为(x-2)+(心+3)=25. yB,F-C,D=2-2+0=0,六B,F⊥C,D,，即B,F⊥C,D。…6分 …7分 年二数字试延控案第2寅（兵6贞） (I)依题意，B=(2,0,阴是平国B,BCC,的一个法向量，-7分 解将刚=2成-2或1暖-1. CE=0,-2-1),CD-(2-2-3). ,直线1的方程为y■本+2或了”x一2或护=x+1厦于=考一1，……………1那分 夜平面C,ED的-个法向量为i=(K,,,剩i⊥C,E,#1Cb. (Ⅱ)（法二）设A片)，C,, C正=-2y-=0即三2y,取y--1,则x8-2, y=十湖 nC0=2x-2y-3=01x=: 联立x ,消去y,得5x2+8r+4w之一4=0，…7分 平面C,ED的一个法向量为m=(2,-1,2)… 11分 A-(8m)-4×到4m'-4)>0,化简得m2<5 液平面C,ED与平面B,BCC,的夹角为8，则ey8s<B4,n> 1B4川m2x33 5-4 由市达定趣得名+与一 9分 5 即平面C,ED与平面B,BCC,夹衡的余装值为 2 由弦长公式可得 17.【解析】 解：(1)~离心*e=￡=5， +-药-4.5m5分 5 5 2=8+c22=2 上树夏的方程为 原点到直线的距离为4一可 111*979*919111991111111117行111111行171行13分 4 将P代5代入将a=4,箱圆C的标准方程为+少1,5分 Smor= 4 15 5 《I)(法一)授A),你2 解得限=2域-2或1明-1. y=术+刚， 直线/的方且为y三x十2或了三x一2或y=x+【暖y=x一1。……15分 联立x ,清去y,得5x2+米mx+4w-4=0。 …7分 注：圆卷时请性意用不同形式前方程表述均可 斯A=(8w-4×54m5-40>0,化前得m3<5, 18.【解析】 由韦达定理得x+5=一， 5名无=4。 …9分 解：(I)连接0N,则ION=可0P,设点(x,),r图M的图心M(-3,),半径为4， 5 ÷I0w|+|0NH0MI+QPp4,lMW-23,4>23 64 5 .点0的轨迹是以M,N为偏点的椭圆，长轴长2a=4,焦距2红=2√5 a=2c-5.6=厅-1线w的方程为号y2=14分 年二数字试延控案第3货（兵6贞） (Ⅱ)（法一）分以下两种情况讨论： (Ⅱ)（法三）分以下两种情况讨论： @诺直线/与x轴震合，则|D川DB=(g一)(a+)=a2-1=3:…5分 0若直线/与x轴厦合，则D升川DB=(a--a+1)=g2-1=3:“…5分 ②诺直线1不与x轴重合，设直线I的方程为x=+1,设点%，片)，B码2》， ②若真线1不与x轴重合，投直线/的方程为x=侧+1，设点)，B伤)，D1 得产=1滴去，得m++2-3. x+1 联立x DA=K-L,DB=(3-l乃) 期A=4w°+12m'+4)=16m+3>0, x=时+ 3 出达定理得，+片=-沉=一7分】 联立+y=消去，得m+4+2-3-0.则A-4m+12m+0-16网'+>： 由弦长公式可得 由节达定理得+一乃行 3 44447分 1DADB卡1+m31V1+m1男=0+m212卡 w3+4 49分 m+1-3-9 44 ∴1D4DR=-DA-DB=-馬-13-)+=-（侧y,m,+)=-(m'+ 3, m3+4 =m+0=3-9 9分 综上所述.DDB到的取值粒假是3到.…10分 +4 祸+4 (Ⅱ)（法二》分以下两种情况讨论： m2+4之4，期0< m45s39 993 侧'+43 @当直线/的新幸不存在时，：，不树设，马，5-9D4HD8 缘上所述1D-DB的取值柜围是礼，…10分 5分 注：这道题也可结合直战的泰数方程。将DA川DB转化为从：，再利用：的几何意义求解. ②当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y■x-》,设点6)，B红：》， (Ⅲ)（法一）分以下两种情况讨论： y=k(x-1) ①若直线/与x刻量合，点，B,C都在x拍上，青，+h一0…11分 联立x +-1消去，得(4“+x一x+46-4-0。则4>。 ②诺真线1不与x轴重合，由（Ⅱ）知，宜线/的方程为x=侧心+1，点A),B化片， 、由韦达定想得无+名名名一， ,行材111117分 由长公式可得 +=为十==期+出- 名-4马-4(g-4圳x2-4用a4a4 1DDBF1+k1x,-11+kx-1=(1+)1(-1(,-1川 =+-国++-0+划3 m+少-45++-4.2m匹-3+ +1++川 (F,一3(：-3 周八-3m(0男，+乃)+9 =1+39 9分 -6十6 42+1444+1) =m+4,t4=0n1 3m 1115分 +9 11.33 9 刚+4 ”42+1210+5行4°+初≤3 (注：只计算分子为0，不化簧分母，不扣分) 综上所述，D利DB的农值范厦是刻.…10分 综上所述：有+k-0, …17分 年二数字试延控案第4贞（兵6贞） ()(法二)分以下两种情况讨论： eDF=23,PD=26,PF+DF3=PD,PF⊥DF,-3分 ①诺直线！与x轴兵直，直战AC与直线BC类于x轴对称。k,+太=0…11分 :PF⊥AB,AB几DF=F,AB,DPc平面ACD ②诺直线1不与x轴垂直，由(1)知，直线1的方程为=(x一)，设点4)，B偶马)， .PF⊥平面A8CDa44 45分 馬 (I)由(1)知：PF⊥AB,PF⊥DF,DF⊥AB, 以F为原点，FB,FD,FP所在直线分别为x触，釉，：轴，建立如图所示的空间直角坐标系. -5-1s-4+k5-1x-_2kx5-5h(x+x+8 …15分 B2,0,M,A-2a,0).P0,02N3),C(4,230: x,x-(r,+:》+I6 xx3-4(x+}+16 2-4 M,N分别为PA,PB的中点，M(-1M,5),N1,0v3), 4+L ,+8k 4f3+1 83-8M-40k2+32+84-0 4k°-432h2 3662+12 PC=(4,23,-2),MN=2,., +1+1+16 《注：只计算分子为0，不化简分每，不扣分) BE=AC=(222v3A0≤A≤1， 综上所述！嘉+k=0, 17分 NE=NB+BE=1A-、3)+2,2W3,m=1+223,-N3) 19.【解析】 解：(I)(法一)连接BD,DF. 授平面MNE的一个法向量为N=x,,),斯m⊥M,⊥N正 APAB中，PA=PB=AB=4,AAB为等边三角形. .MN=2x=0 F为AB中点，PF⊥AB,且PF=V-2=23, x,=0,取月，=1，则51=2 wNE-(1+20x+23-5,-0 底面ABCD为菱形，所以AB-AD,“∠DAB=N, 六A4BD为等边三角形. 六平面MNE的一个法向量为：=0,12). F为AB中点，DF⊥AB,且DF=V-2-25, 平面ACD的一个法向量为m=(@,0,), PD=26.PF+DF=PD PF LDF 43分 :PF⊥AB,AB∩DF=F,AB,DFc平面ABCD 36'0s2s1d= …*一8分 1×√1+4：10 6 ,PF⊥平面ABCD (I)(法二)莲接DF, APAB中，PA=P=AB=4,:APB为等边三角形 平面NE的一个法向量为n=0,l. :F为AB中点，·PF⊥AB,且PF=V4-2=25, 4w3 PC 3 5 底面ABCD为菱形，AB=AD=4, 夜直线PC与平面MNE所成角为0，则nB-s<PC,n> PC 5 ?F为AB中点，4F2,∠DAB=6 在D,4F中，由余弦定型得： DF1=AD2+AF1-2ADAF60°=16+4-2x4x2×.=12 即直线PC与平面MWE所成角的正弦值为 …11分 5 车二数学试延容米第5出（共6贞） (Ⅲ)（法一）存在点H,使HP.HB=0, :CD=4PD=2w6÷CD3+PD=PC,即PD⊥CD 理由如下，：P⊥HBHP⊥HBH点在以线段BP中点N为球心，2为率径的球面上 SmPD.CD-1x26x4-46 DN0,25,m,CD=-4,).PC=(4,23,-25),NP=(-1,,5). 5=8cCD咖0=号x4x4x5-5. 2 2 授平面P(D的一个法向量为=（偶1，，则1C万，#上P元， 1 1 .ci-4g-0 n=ra35nmd=35aP听 3 =0,取为2=1，则52=1 …P℃=4x1+2W3y1-2w34=0 一x-45x25d-不，即点到平面P0D的离离为石. ·,平面PCD的一个法向量为w=,1,): 六点N到平面PCD的距离为6】 4444444444444444+15分 2 六点N到平面PCD的里离为 5.6 15分 2 6 <之.2r=、216=0。】 2 6_10 的一个四. 42 六在平面心D内存在点H,且H点的航迹是率轻为 1 ·在平面PCD内存在点H,且H点的轨迹是学轻为的一个圆 即H点的轨迹长度为2海x =√044-17分 2 即H点的轨迹长皮为2rx。、 17分 2 (Ⅲ)（法二》存在点H,使HP,HB=0, 群由如下：：P⊥HB.HP⊥HBH点在以线段BP中点N为球心，2为率径的球面上 ?N是PB的中点点N到平面PCD的距离是B到平面PCD的距离的；· 授点B到平面P(D的距离为d.本装CF, 在ABCF中，由余弦定得： 1 CF2-8C1+BF1-2BC-BF6m120°=16+4+2×4×2×-28 即PC=PF+CF3=2+28=40, 年二数字试延控案第6寅（兵6贞）