第11讲 最基本的图形——点和线 （5个知识点+7种题型+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（华东师大版2024）

第11讲 最基本的图形——点和线 （5个知识点+7种题型+过关检测） 知识点1．直线、射线、线段 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 知识点2．直线的性质：两点确定一条直线 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 知识点3．线段的性质：两点之间线段最短 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 知识点4．两点间的距离 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 知识点5．比较线段的长短 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，AC＝AB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DB＝CB＝AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 题型一、点、线、面、体四者之间的关系 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）老师在黑板上用粉笔写字，可用下面（   ）的数学知识点来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）薄薄的硬币在桌面上转动时，看上去像球，这用我们学过的几何知识可解释为 ． 3．（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）如图中圆柱的底面周长是cm，高是dm，现用包装绳包扎，至少需要多长的包装绳？（接头处需cm）    题型二、直线、射线、线段的联系与区别 4．（23-24七年级上·全国·单元测试）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（      ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间； ②点在线段的反向延长线上； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点； ④直线相交于点． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③ 5．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，直线和线段将平面分成五个区域（不包含边界），若线段与线段有公共点，则点落在的区域是 （填写区域的序号）． 6．（22-23七年级上·江西宜春·期末）请写出图中以为端点的各条射线． 题型三、画出直线、射线、线段 7．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）如图，过、、三点中的任意两点画直线，能画（    ） A．条 B．条 C．条 D．无数条 8．（2022·河北·二模）宋朝时，中国象棋就已经风靡于全国，中国象棋规定马步为：“、”字，现定义：在棋盘上从点A到点B，马走的最少步称为A与B的“马步距离”，  记作．在图中画出了中国象棋的一部分，上面标有A，B，C，D，E共5个点，则在，，，中最大值是 ，最小值是 ． 9．（23-24七年级上·新疆喀什·期末）如图，在平面上有A，B，C，D四点，请按照下列语句画出图形． (1)画直线； (2)画射线； (3)连接B，C； (4)线段和线段相交于点O． 题型四、点与线的位置关系 10．（23-24七年级上·吉林·期末）如图，直线m和直线n相交于点O，对于图形，说法正确的语句有（　 　） ①点O在直线m上． ②点O在直线n上． ③点O在直线m上． 也在直线n上．              ④直线m经过点O． A．1个． B．2个． C．3个． D．4个． 11．（2023七年级上·全国·专题练习）点与直线有 种位置关系，分别是点在 和点在 ．如图：点A在 ，点B在 ． 12．（22-23七年级上·陕西渭南·期末）用适当的语句表述图中点与直线的关系．（至少写3句） 题型五、线段的应用 13．（21-22七年级上·河北邢台·期中）若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA、PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），若线段PQ与线段AB相交，则点Q落在的区域是（    ） A．① B．② C．③ D．④或⑤ 14．（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有 种． 15．（21-22七年级上·全国·课后作业）点和线段在生活中有着广泛的应用． （1）用7根火柴棒可以摆出图中的“8”．你能去掉其中的若干根火柴棒，摆出其他的9个数字吗？这种用7条线段构成的数字称为“7画字”，它可以用在计算器或电梯的楼层显示屏上． （2）点也可以用来构成数字或符号，点阵式打印机就是利用了这个原理．如图，可以在上面的长方形点阵中，圈出一些点来构成数字或符号．试利用这种方法做出其他25个英文字母． 题型六、线段的和与差 16．（23-24·山东东营·期末）如图，点C是线段上的点，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　　） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，线段，点N在上，是的中点，则 ． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，我们称该点为这条折线的“折中点”．已知点D是图中折线的“折中点”，请解答以下问题： (1)①若，点D在线段______（填“”或“”）上； ②若，则的长度为______． (2)若E为线段的中点，，求的长度． 题型七、线段之间的数量关系 19．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 20．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）将线段延长到点，使得，若，点为线段的中点，则的长为 ． 21．（23-24七年级上·河南安阳·期末）如图，点是线段的中点，点，是线段上两点，，．    (1)求的长； (2)若，求的长． 一、单选题 1．已知点M，N在线段上，，，若，则的长为（    ） A．2 B．7 C．7或9 D．7或 2．在直线l上顺次取A，B，C三点，使得，．如果点O是线段的中点，那么线段的长度是（    ） A． B． C． D． 3．已知A、B、C三点在同一条直线上，则下列：①；②；③；④．可以判断点C是线段AB中点的有（    ） A．③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 4．如图，已知，），E，F分别为AC，BD的中点，则EF长为（    ）cm． A．7 B．14 C．17 D．34 5．如图，点在线段上，，则线段的长等于（    ）． A． B． C． D． 6．在同一平面内有四个点，过其中任意两点画直线，仅能画出四条直线，则这四点的位置关系是（   ）． A．任意三点都不共线． B．有且仅有三点共线． C．有两点在另外两点确定的直线外． D．以上答案都不对． 7．如图，，，为的中点，则的长是（    ） A．6cm B．5cm C．2cm D．1cm 8．下列叙述正确的是（  ） A．线段AB可表示为线段BA B．直线可以比较长短 C．射线AB可表示为射线BA D．直线a，b相交于点m 9．如图，C是线段AB上的点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，若DE＝5，则AB的长为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 10．如图，用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点，有无数条直线 D．直线最短 二、填空题 11．举出一个能反映“两点之间线段最短”的实例： ． 12．如图，AB=4cm，BC=6cm，点D为AB的中点，则DC= ． 13．把一个直角三角形绕它的一条直角边旋转360°，得到一个圆锥体．用数学知识解释为 ． 14．如图，已知线段，，D为线段AC的中点，那么线段 ． 15．已知线段，直线上有一点，且，为的中点，则的长为 ． 16．在射线上截取线段，，点M，N分别是，的中点，则点M和点N之间的距离为 ． 17．在直线a上若有2个点，则有1条线段；若有3个点，则有3条线段；若有4个点，则有6条线段；若有n个点，则有 条线段． 18．“在队列中向右看齐时，判断自己是否与其他队员排齐，最直接的方法就是看自己是否能隔着身边的一个队友看到另一个队友的肩膀或者头部，如果看不到，就说明与其他队员排齐了”，这里用到的数学知识是 ． 三、解答题 19．利用直尺和圆规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）： 如图，已知线段a，b，作线段AB，使AB＝2a﹣b． 20．如图，已知线段，为的中点，请用尺规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)延长线段到，使． (2)在（1）所作的图中，如果，求线段的长． 21．如图，点C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB=12 ， AC=4CD (1)求AC的长； (2)若点E 在直线AB上，且AE=3，求DE的长． 22．如图，点C、D为线段上两点，点M为线段的中点，点N为线段的中点． (1)若，．求的长及的长． (2)若，．直接用含a、b的式子表示的长． 23．如图，点C为线段上一点，点M、N分别是线段、的中点，回答下列问题： (1)试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P是线段的中点，，，求线段的长． 24．如图，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长． (2)在运动过程中，若的中点为． ①用含的代数式表示线段的长． ②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由． 25．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二） 26．如图， 在正方形中， ，P 是对角线上一个动点，连接，，过点 P向P点右侧作的垂线交射线于点，连接． (1)如图1， 求证： ； (2)如图2，连接，在点P 从点A 向点 C 运动过程中，求 周长的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 最基本的图形——点和线 （5个知识点+7种题型+过关检测） 知识点1．直线、射线、线段 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 知识点2．直线的性质：两点确定一条直线 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 知识点3．线段的性质：两点之间线段最短 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 知识点4．两点间的距离 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 知识点5．比较线段的长短 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，AC＝AB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DB＝CB＝AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 题型一、点、线、面、体四者之间的关系 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）老师在黑板上用粉笔写字，可用下面（   ）的数学知识点来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交 【答案】A 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查点、线、面、体，之间的关系；根据题意可得点动成线，据此即可求解． 【详解】解：老师在黑板上用粉笔写字，可用点动成线的数学知识点来解释． 故选：A． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）薄薄的硬币在桌面上转动时，看上去像球，这用我们学过的几何知识可解释为 ． 【答案】面动成体 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体，关键是掌握面动成体．根据面动成体的原理在现实中的具体表现，即可得到答案． 【详解】解：硬币在桌面上转动时，看上去像球，这说明了面动成体， 故答案为：面动成体． 3．（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）如图中圆柱的底面周长是cm，高是dm，现用包装绳包扎，至少需要多长的包装绳？（接头处需cm）    【答案】647厘米 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】所需包装绳的长度等于4条高，4条直径，再加上接头处用的cm即可． 【详解】解： 底面直径：（厘米） （厘米） 答：至少需要647厘米的包装绳． 【点睛】本题考查圆柱体知识的实际应用．弄清楚所需包装绳长度的组成是解题关键． 题型二、直线、射线、线段的联系与区别 4．（23-24七年级上·全国·单元测试）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（      ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间； ②点在线段的反向延长线上； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点； ④直线相交于点． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【详解】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确； 故选A． 5．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，直线和线段将平面分成五个区域（不包含边界），若线段与线段有公共点，则点落在的区域是 （填写区域的序号）． 【答案】② 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查线段定义及线段交点问题，数形结合，当点落在区域①③④⑤，线段与线段没有公共点，当点落在区域②时，线段与线段有公共点，即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，当点落在区域②时，线段与线段有公共点，如图所示： 故答案为：②． 6．（22-23七年级上·江西宜春·期末）请写出图中以为端点的各条射线． 【答案】以为端点的射线有：射线、、 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查射线的识别，射线的表示方法．解题的关键是要明确：表示射线时，把表示顶点的字母写在前面．据此解答即可． 【详解】解：以为端点的射线共有条：射线、、． 题型三、画出直线、射线、线段 7．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）如图，过、、三点中的任意两点画直线，能画（    ） A．条 B．条 C．条 D．无数条 【答案】B 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查平面内三点的位置关系，解题关键是作出所有直线．根据题意画出直线，即可求得答案． 【详解】解：如图， 过、、三点中的任意两点画直线，能画三条． 故选：． 8．（2022·河北·二模）宋朝时，中国象棋就已经风靡于全国，中国象棋规定马步为：“、”字，现定义：在棋盘上从点A到点B，马走的最少步称为A与B的“马步距离”，  记作．在图中画出了中国象棋的一部分，上面标有A，B，C，D，E共5个点，则在，，，中最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 5 2 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】利用已知规则，结合题意利用图形分别得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：=3， =5，=2，=3， ∴最大值是5，最小值是2， 故答案为：5，2． 【点睛】此题主要考查了新定义以及实际问题应用，利用数形结合是解题关键． 9．（23-24七年级上·新疆喀什·期末）如图，在平面上有A，B，C，D四点，请按照下列语句画出图形． (1)画直线； (2)画射线； (3)连接B，C； (4)线段和线段相交于点O． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查了作图，作直线，射线，线段，以及两线段的交点等作图知识． （1）过点A、B作直线，要向两方延伸； （2）过B、D作射线，向D点方向延伸，B点方向不延伸∶ （3）就是作线段； （4）连接、交点标注为O； 【详解】（1）解：直线如下图所示： （2）解：射线如下图所示： （3）解：线段如下图所示： （4）解：线段和线段相交于点O如下图所示： 题型四、点与线的位置关系 10．（23-24七年级上·吉林·期末）如图，直线m和直线n相交于点O，对于图形，说法正确的语句有（　 　） ①点O在直线m上． ②点O在直线n上． ③点O在直线m上． 也在直线n上．              ④直线m经过点O． A．1个． B．2个． C．3个． D．4个． 【答案】D 【知识点】点与线的位置关系 【分析】题考查直线、线段、射线的画法，解题的关键是根据点与直线的位置关系进行判断得出答案． 【详解】解：①点O在直线m上，说法正确； ②点O在直线n上，说法正确； ③点O在直线m上，也在直线n上，说法正确；             ④直线m经过点O，说法正确； 故选D． 11．（2023七年级上·全国·专题练习）点与直线有 种位置关系，分别是点在 和点在 ．如图：点A在 ，点B在 ． 【答案】 2 直线上 直线外 直线外 直线上 【知识点】点与线的位置关系 【分析】本题主要查了点与直线的位置关系．根据点与直线的位置关系，即可求解． 【详解】解：点与直线有2种位置关系，分别是点在直线上和点在直线外． 点A在直线外，点B在直线上． 故答案为：2；直线上；直线外；直线外；直线上 12．（22-23七年级上·陕西渭南·期末）用适当的语句表述图中点与直线的关系．（至少写3句） 【答案】见解析 【知识点】点与线的位置关系 【分析】根据点与直线的位置关系即可解答 【详解】解：（1）点在直线上； （2）点在直线上； （3）点在直线外； （4）点不在直线上； （5）直线经过点； （6）直线经过点； （7）直线经过点和点； （8）直线不经过点． 【点睛】本题主要考查了几何作图，注意叙述要准确． 题型五、线段的应用 13．（21-22七年级上·河北邢台·期中）若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA、PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），若线段PQ与线段AB相交，则点Q落在的区域是（    ） A．① B．② C．③ D．④或⑤ 【答案】B 【知识点】线段的应用 【分析】先根据线段PQ与线段AB有公共点确交点的位置在AB上，连结线段PS，利用线段的延长线所在区域确定点Q落在区域②即可． 【详解】解：∵线段PQ与线段AB相交，设交点为S， ∴点S在线段AB上，连结PS并延长，点Q在PS的延长线上， ∵PS的延长线在区域② ∴点Q在区域②． 故选择B． 【点睛】本题主要考查了线段、射线和直线，延长线，点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 14．（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有 种． 【答案】10 【知识点】线段的应用 【分析】根据题意得出共有车票，根据往返两个站点的票价相同，即可求出有几种票价． 【详解】解：由题意可知共有5个站点， ∴共有种车票， 但往返两个站点的票价相同，即有种票价， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了有关线段、射线、直线的应用，主要考查学生的理解能力，本题用了排列和组合的内容． 15．（21-22七年级上·全国·课后作业）点和线段在生活中有着广泛的应用． （1）用7根火柴棒可以摆出图中的“8”．你能去掉其中的若干根火柴棒，摆出其他的9个数字吗？这种用7条线段构成的数字称为“7画字”，它可以用在计算器或电梯的楼层显示屏上． （2）点也可以用来构成数字或符号，点阵式打印机就是利用了这个原理．如图，可以在上面的长方形点阵中，圈出一些点来构成数字或符号．试利用这种方法做出其他25个英文字母． 【答案】（1）如图见解析，分别去掉火柴棒①②③④⑦是1，②⑤是2，②③是3，①③④是4，③⑥是5，⑥是6，②③④⑦是7，③是9，⑦是0．就可以摆出1，2，3，4，5，6，7，9，0九个数字；（2）见解析． 【知识点】线段的应用 【分析】（1）直接观察去掉火柴棒后得到的数字，即可求解； （2）根据英文字母的特征，圈出相应的点，即可． 【详解】解：（1）如图，分别去掉火柴棒①②③④⑦是1，②⑤是2，②③是3，①③④是4，③⑥是5，⑥是6，②③④⑦是7，③是9，⑦是0．就可以摆出1，2，3，4，5，6，7，9，0九个数字； （2）其他25个英文字母，如图所示： 分别是B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R，S，T，U，V，W，X，Y，Z． 【点睛】本题主要考查了点和线段的应用，理解点和线段在生活中的作用是解题的关键． 题型六、线段的和与差 16．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点C是线段上的点，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查线段中点的定义、线段的和差等知识点，掌握线段的中点定义是解题的关键． 根据线段中点的定义可得、，再结合可得，进而得到，即，据此求解即可． 【详解】解：∵点M、N分别是的中点， ∴,, ∵, ∴,即, ∴，即， ∴． 故选：D． 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，线段，点N在上，是的中点，则 ． 【答案】3 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】根据是中点，先求出的长度，则．本题考查了线段中点的有关计算，线段的和差，根据点是中点先求出的长度是解本题的关键． 【详解】解：，是中点， ， 又， ． 故答案为：3． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，我们称该点为这条折线的“折中点”．已知点D是图中折线的“折中点”，请解答以下问题： (1)①若，点D在线段______（填“”或“”）上； ②若，则的长度为______． (2)若E为线段的中点，，求的长度． 【答案】(1)①，②2或14 (2)的长度是4或28 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义： （1）①根据“折中点”的定义进行求解即可；②分当点D在上时，当点D在上时，两种情况画出对应的示意图，进行讨论求解即可； （2）先根据线段中点的定义得到的长，再同分当点D在上时，当点D在上时，两种情况画出对应的示意图，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，点D是图中折线的“折中点”， ∴点D在线段上， 故答案为：； ②如图所示，当点D在上时， ∵， ∴， ∵， ∴ 如图所示，当点D在上时， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长为2或14； （2）解：E为线段中点，， ∴． ①点D在线段上时，如图所示， ∵， ∴． ∵D为折中点， ∴． ∴； ②点D在线段上时，如图所示， ∴， ∴． ∴． ∴． 综上所述，的长度是4或28． 题型七、线段之间的数量关系 19．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】线段的和与差、线段之间的数量关系 【分析】本题考查的知识点是线段的和与差、含中点线段之间的数量关系，解题关键是利用线段比例得出、的长． 根据题意画出图形，再分点在线段上或线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】解：①当点在线段上时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； ②当点在线段外时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； 综上所述，或． 故选：． 20．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）将线段延长到点，使得，若，点为线段的中点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，设，则：，根据，求出的值，中点求出的长，再利用，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； 故答案为：． 21．（23-24七年级上·河南安阳·期末）如图，点是线段的中点，点，是线段上两点，，．    (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)4 (2)6 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算．理清线段之间的和差关系，是解题的关键． （1）中点得到，再根据，进行计算即可； （2）先求出的长，再根据，得到，求解即可． 【详解】（1）解：因为点是线段的中点，， 所以， 又因为， 所以； （2） 因为， 所以， 所以． 一、单选题 1．已知点M，N在线段上，，，若，则的长为（    ） A．2 B．7 C．7或9 D．7或 【答案】D 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查有关线段加减的有关计算，分点N在点M的左边和右边两类讨论即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴，， 当点N在点M的左边时，    ∵， ∴， ∴， 点N在点M的右边时，    ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．在直线l上顺次取A，B，C三点，使得，．如果点O是线段的中点，那么线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】根据题意求出AC，根据线段中点的性质求出OC，计算即可． 【详解】解：∵AB=4cm，BC=3cm， ∴AC=AB+BC=7cm， ∵点O是线段AC的中点， ∴OC=AC=3.5cm， ∴OB=OC-BC=3.5-3=0.5（cm）． 故选：A． 【点睛】本题考查了两点间的距离的计算，正确理解题意、掌握线段中点的性质是解题的关键． 3．已知A、B、C三点在同一条直线上，则下列：①；②；③；④．可以判断点C是线段AB中点的有（    ） A．③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】根据线段中点的定义逐项分析即可求得答案． 【详解】解：①当时，只能说明点C在线段AB上，点C不一定是线段AB中点，故①错误； ②当时，点C不一定在线段AB上，有可能在出现下图的情况， 故②错误； ③当时，点C一定是线段AB中点，故③正确； ④当时，点C不一定在线段AB上，有可能在出现下图的情况， 故④错误； 综上，正确的只有③． 故答案为：A． 【点睛】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． 4．如图，已知，），E，F分别为AC，BD的中点，则EF长为（    ）cm． A．7 B．14 C．17 D．34 【答案】C 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】根据线段中点的性质求出的值，然后根据线段的和可得答案． 【详解】解：∵E，F分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，根据线段中点的定义及线段的和差得出的值是解题关键． 5．如图，点在线段上，，则线段的长等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，熟练掌握线段间的数量关系． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6．在同一平面内有四个点，过其中任意两点画直线，仅能画出四条直线，则这四点的位置关系是（   ）． A．任意三点都不共线． B．有且仅有三点共线． C．有两点在另外两点确定的直线外． D．以上答案都不对． 【答案】B 【知识点】点与线的位置关系 【分析】分别画出四点共线，三点共线，和两点共线的图形，然后找出满足题意的图形即可． 【详解】解： 如图，因为仅能画出四条直线，所以选图（2）， 故选B． 【点睛】本题主要考查了点与线之间的关系，解题的关键在于能够正确画出四点共线，三点共线，和两点共线的图形． 7．如图，，，为的中点，则的长是（    ） A．6cm B．5cm C．2cm D．1cm 【答案】D 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查的是线段中点的含义，线段的和差运算，本题先求解，，再利用线段的和差运算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故选D 8．下列叙述正确的是（  ） A．线段AB可表示为线段BA B．直线可以比较长短 C．射线AB可表示为射线BA D．直线a，b相交于点m 【答案】A 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、画出直线、射线、线段 【分析】分别根据直线、射线以及线段的定义判断得出即可． 【详解】解：A、线段AB可表示为线段BA，此选项正确； B、直线不可以比较长短，此选项错误； C、射线AB的端点是A，射线BA的端点是B，故不是同一射线，此选项错误； D、点用大写字母表示的，此选项错误， 故选：A 【点睛】此题主要考查了直线、射线以及线段的定义，正确区分它们的定义是解题关键． 9．如图，C是线段AB上的点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，若DE＝5，则AB的长为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】根据题意，DE=CD+DE=AB，即可求出AB． 【详解】解：∵D是线段AC的中点，E是线段BC的中点， ∴AD=CD=AC，BE=CE=BC， ∴DE=CD+DE=AB=5， 故AB=10． 故选：B． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质得出CD、CE的长，又利用线段的和差得出答案． 10．如图，用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点，有无数条直线 D．直线最短 【答案】A 【知识点】两点之间线段最短 【分析】根据根据两点之间，线段最短，可得剩下的纸片的周长比原来的小． 【详解】解：如图，根据两点之间，线段最短，则所以剩下的纸片的周长比原来的小，故A选项是正确的， B、C、D选项错误，与题意无关． 故选：A． 【点睛】本题考查两点之间线段最短的原理，解题的关键是理解这个定理． 二、填空题 11．举出一个能反映“两点之间线段最短”的实例： ． 【答案】从A地到B地时，走之间的线段比走任何一条弯路都短（答案不唯一） 【知识点】两点之间线段最短 【分析】根据“两点之间，线段最短”，即可求解． 【详解】解：从A地到B地时，走之间的线段比走任何一条弯路都短． 故答案为：从A地到B地时，走之间的线段比走任何一条弯路都短（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了线段的基本事实，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 12．如图，AB=4cm，BC=6cm，点D为AB的中点，则DC= ． 【答案】8 【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】根据中点定义先求出DB的长，再计算DC=DB+BC即可． 【详解】解：∵AB=4cm，点D为AB的中点， ∴AD=DB=AB=2(cm)， ∵BC=6cm， ∴DC=DB+BC=2+6=8(cm)， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，利用数形结合思想是解题的关键． 13．把一个直角三角形绕它的一条直角边旋转360°，得到一个圆锥体．用数学知识解释为 ． 【答案】面动成体 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体进行求解即可 【详解】解：把一个直角三角形绕它的一条直角边旋转360°，得到一个圆锥体．用数学知识解释为面动成体， 故答案为：面动成体． 【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键． 14．如图，已知线段，，D为线段AC的中点，那么线段 ． 【答案】12 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】根据为线段的中点，可得，即可求解． 【详解】解：为线段的中点， ， ． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了有关中点的计算，熟练掌握把一条线段分成相等的两段的点，叫做这条线段的中点是解题的关键． 15．已知线段，直线上有一点，且，为的中点，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离．认真读懂题意，可知道符合题意的点有两种情况，也有两种可能，分别计算的长． 【详解】解：如图， 线段，直线上有一点，且， ， ， ， 为的中点， ， ； 如图， 线段，直线上有一点，且， ， ， ， 为的中点， ， ， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 16．在射线上截取线段，，点M，N分别是，的中点，则点M和点N之间的距离为 ． 【答案】或 【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】可分两种情况：当点C在线段AB上时，当点C在AB延长线上时，根据两点间的距离和线段中点的定义可求解MN的长． 【详解】解：①点C在线段AB上时，如图所示：    ∵点M，N分别是AB，BC的中点， ∴AM=BM=AB， 又∵AB=8cm， ∴BM=4cm， 又∵点N是BC的中点， ∴CN=BN=BC， 又∵BC=3cm， ∴BN=1.5cm， 又∵MN=BM-BN， ∴MN=4-1.5=2.5cm； ②点C在线段AB延长线上时，如图所示：    同理可求出BM=4cm，BN=1.5cm， 又∵MN=BM+BN， ∴MN=4+1.5=5.5cm； 综合所述：MN的长度为2.5cm或5.5cm， 故答案为：5.5cm或2.5cm． 【点睛】本题主要考查两点间的距离，线段中点的定义，注意画出草图、分类讨论是解决本题的关键． 17．在直线a上若有2个点，则有1条线段；若有3个点，则有3条线段；若有4个点，则有6条线段；若有n个点，则有 条线段． 【答案】 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】直接利用线段的定义分别列举得出即可． 【详解】直线a上有A、B、C、D四点，线段总条数是：3+2+1=6，直线上有n个点时，线段总条数（n﹣1）+…+3+2+1=． 故答案为． 【点睛】本题考查了线段，在线段的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 18．“在队列中向右看齐时，判断自己是否与其他队员排齐，最直接的方法就是看自己是否能隔着身边的一个队友看到另一个队友的肩膀或者头部，如果看不到，就说明与其他队员排齐了”，这里用到的数学知识是 ． 【答案】过两点有且只有一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】根据题意可知，运用了过两点有且只有一条直线． 【详解】解：依题意，用到的数学知识是过两点有且只有一条直线 故答案为：过两点有且只有一条直线． 【点睛】本题考查了过两点有且只有一条直线，熟练掌握过两点有且只有一条直线是解题的关键． 三、解答题 19．利用直尺和圆规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）： 如图，已知线段a，b，作线段AB，使AB＝2a﹣b． 【答案】见解析 【知识点】线段的和与差、作线段(尺规作图) 【分析】根据线段a，b，即可作线段AB，使AB＝2a−b． 【详解】解：如图：AB为所求． ①作射线AE； ②在AE上截取AC＝2a， ③在AC上截取CB＝b． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是掌握线段的作法． 20．如图，已知线段，为的中点，请用尺规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)延长线段到，使． (2)在（1）所作的图中，如果，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差、作线段(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作线段，线段中点的计算，解题的关键是数形结合； （1）用尺规作一条线段等于已知线段即可； （2）根据线段中点得出，从而求出，根据即可求出结果． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∴． 21．如图，点C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB=12 ， AC=4CD (1)求AC的长； (2)若点E 在直线AB上，且AE=3，求DE的长． 【答案】(1)8 (2)7或13． 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算、两点间的距离、线段的和与差 【分析】（1）根据线段中点的性质，可用CD表示BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，AC的长； （2）分类讨论：点E在线段AB上，点E在线段BA的延长线上，根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：∵点D为BC的中点， ∴BC＝2CD＝2BD， ∴AB＝AC+BC＝4CD+2CD＝12， 解得：CD＝2， ∴AC＝4CD＝4×2＝8； （2）解：①当点E在线段AB上时， 由线段的和差，得DE＝AB﹣AE﹣DB＝12﹣3﹣2＝7， ②当点E在线段BA的延长线上， 由线段的和差，得DE＝AB+AE﹣BD＝12+3﹣2＝13． 综上所述：DE的长为7或13． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差；分类讨论是解题关键． 22．如图，点C、D为线段上两点，点M为线段的中点，点N为线段的中点． (1)若，．求的长及的长． (2)若，．直接用含a、b的式子表示的长． 【答案】(1)， (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】 本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键． （1）根据列式进行计算即可求解，根据中点定义求出的长度，再根据代入数据进行计算即可求解； （2）根据（1）的求解，把、的长度换成、即可． 【详解】（1） 解： ，， ， 、分别为、的中点， ，； （2） 根据（1）的结论， ， ． 23．如图，点C为线段上一点，点M、N分别是线段、的中点，回答下列问题： (1)试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P是线段的中点，，，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】（1）根据M、N分别是线段、的中点，得到，，根据，代入计算即可； （2）先求出，根据中点定义得到，再求出，根据中点定义得到，根据计算即可． 本题主要考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义，线段的加减计算，是解决问题的关键． 【详解】（1），理由： ∵M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∴， ∵N是线段的中点， ∴， ∴． 故线段的长为． 24．如图，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长． (2)在运动过程中，若的中点为． ①用含的代数式表示线段的长． ②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由． 【答案】(1)4，3 (2)①②不会发生变化， 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的和与差： （1）根据路程=速度×时间可求出，根据线段的和与差求出，再由中点的意义可求出； （2）①由中点意义可求出，由线段的和与差求出，由中点意义可求出；②不会发生变化，根据代入相关数据计算可得结论． 【详解】（1）当时， ∵点C的运动速度为每秒2个单位长度，运动时间为2秒， ∴， ∵ ∴， ∵点D为的中点， ∴ （2）①如图， 根据题意知：，， ∵为的中点， ∴， ∵点D为的中点， ∴； ②不会发生变化，，理由如下： ∵ ∴ ∴线段的长度不会发生变化， 25．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二） 【答案】两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二 【知识点】两点确定一条直线、两点之间线段最短 【分析】此题考查两点之间线段最短的应用，两点确定一条直线，掌握线段的性质是解题的关键．教室和图书馆、两个树坑之间的路线可看做是一条线段，接下来，根据根据线段的性质来分析得出即可． 【详解】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短； 情景二：两个树坑可以抽象成两个点，是根据两点确定一条直线的原理来做的；我们必须注意保护我们周围赖以生存的生态环境，所以赞同情景二． 故答案为：两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二． 26．如图， 在正方形中， ，P 是对角线上一个动点，连接，，过点 P向P点右侧作的垂线交射线于点，连接． (1)如图1， 求证： ； (2)如图2，连接，在点P 从点A 向点 C 运动过程中，求 周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】最短路径问题、根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据正方形的对角线平分一组对角可得：，由角平分线的性质得：，证明，可得结论； （2）先确定周长的最小值时点的位置，因为的周长，这三条线段中，为定值，所以的最小值，就是周长的最小值，根据轴对称的最短路径先作辅助线，根据勾股定理可得的值，从而得结论． 【详解】（1）证明：如图1， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：作关于的对称点，连接，当在上时，如图2，此时的周长最小， ， 中，， 的周长， 即周长的最小值是． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称的最短路径问题等有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$