第1部分 模块四 三角形(教用)-【加速度中考】2025年陕西中考数学精准巧练

模块四 三角形 第1节线段、角、相交线与平行线 教而阿题改婚练 1.人教七上P137例3改编如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC,OE平 分∠BOC. (1)∠AOD= ∠AOC,∠BOC=2∠BOE; 第1题图 (2)∠DOC+∠EOC=90°，与∠DOC互余的角为∠BOE或∠EOC,与∠AOD互补的角 为∠D0B: (3)若F是射线OD上一点，点F到射线OC的距离为d1,到射线OA的距离为d2,则d1,d2之间的数 量关系为d=d2: (4)若点M是射线OC上一定点，点N是直线AB上一动点，则当MN⊥AB时，线段MN最短. 2.北师七下P44图片素材改编如图，已知直线1分别与直线AB,CD相交， C (1)图中是同位角关系的角有∠1与∠2,3与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8： (2)图中是内错角关系的角有∠7与∠2，∠5与∠4 (3)图中是同旁内角关系的角有∠5与2，∠7与∠4： (4)若CD∥AB,请写出图中与∠2相等的角：∠1.∠7.∠8 第2题图 真题模州分点练 命题点1角及角平分线 4.[2022陕西，2]如图，AB∥CD,BC∥EF.若∠1= 1.[2024兰州]若∠A=80°，则∠A的补角是(A 58°，则∠2的大小为 (B) A.100° B.80° C.40 D.10 2.[2024北京]如图.直线AB和C CD相交于点O.OE⊥C若A ∠AOC=58°，则∠EOB的大 D 第4题图 小为 (B) 第2题图 A.120° B.122° C.132° D.148 A.29 B.32 5.[2023陕西，3]如图，l∥AB,∠A=2∠B.若∠1 C.45 D.58 108°，则∠2的度数为 (A) 命题点2相交线与平行线 3.[2024陕西，3]如图， AB∥DC,BC∥DE, ∠B=145,则∠D D 的度数为(B) 第3题图 第5题图 A.25 B.35 C.45 D.55 A.36° B.46 C.72 D.82 38 第2节三角形及其性质 载题练 人教八上P8第4题改编如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，AD是角 平分线，AF是BC边上的高. (1)若∠BAC:∠B:∠C=3:1:2,则△ABC是直角三角形，∠BAD=5°； (2)若∠B=30°，∠C=50°，则△ABC是钝角三角形： (3)若2∠B=2∠C=∠BAC,则△ABC是等腰直角三角形： (4)若AB=5,AC=4,则BC边的长度可以是6（写出一个满足条件的值），∠B≤∠C(填“>” 或“<”)： (5)BE=号 BC,S△Ax=2S△E: (6)若AB=AC,则AE与BC边的位置关系是AEBC: (7)在(1)的条件下，∠B=30°：若AC=2.则BC=4,AB=2/3,AF=3,S△E=3, △ACE是等边三角形 夏题模分点练 命题点了三角形的边、角关系 4.[2024陕西，5]如图，在△ABC中，∠BAC=90°， L.[2024西安高新一中月考]如果三角形的两条边长分 AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接 别为2和7，那么这个三角形的周长可以是(C) AE,则图中的直角三角形共有 (C) A.14 B.18 C.15 D.20 2.[2024西交大附中月考]如图，为了使一 扇旧木门不变形，木工师傅在木门的 背面加钉了一根木条，这样做的道理 第4题图 是 (C) A2个B.3个 C.4个 D.5个 第2题图 A.两点之间，线段最短 5.[2024西安铁一中四模]如图，在△ABC中，AC= B.垂线段最短 8,∠ABC=60°，∠C=45°，AD⊥BC,垂足为 C.三角形具有稳定性 D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长 D.两直线平行，内错角相等 为 (C) 命题点2三角形中的重要线段 3.[2024西安曲江一中月考]如 图，AD,CE都是△ABC的 中线，连接ED,△ABC的 第5题图 面积是10cm,则△BDEB4 D 的面积是 (C) 第3题图 A B.22 A.1.25cm B.2 cm2 C.2.5 em2 D.5 cm2 C.8/2 3 D.32 39 第3节全等三角形 教物阿题改振练 翼教八上P48例3改编如图，在△ABC中，D为BC边的中点，F,E分别是AB,AC边的动点，连接DF, ED.AD. (1)结论开放若△ADF≌△DAE,则AF=DE(写出一个符合题意的答案)，∠ADF=∠DAE: (2)若DE∥AB,添加下列条件中的一个，使△BDF2△DCE,则满足条件的有①③④（填序号）： ①DF∥AC;②DF=CE:③AF=BF:④AF=DE. (3)若AB=2AC=12,点F从点A沿AB边以2个单位长度/秒的速度向点B运 动，同时点E从点C沿CA边以1个单位长度/秒的速度向点A运动，则经过3 秒后，△BDF≌△DCE 夏题瑰批分点矫 命题点了全等三角形的识别及判定条件 4.[2024西安铁一中滨河校区月考]如图，已知∠1= 1.[2024西安铁一中期中]工人师傅常用角尺平分 ∠2，AC=AD,增加下列条 一个任意角（如图），作法：在∠AOB的边OA, 件之一：①AB=AE:②BC= OB上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺的两 ED:③∠C=∠D:④∠B= 边相同的刻度分别与M,N重合，得到∠AOB ∠E.其中能使△ABC≌ △AED的条件有(C) 第4题图 的平分线OP.上述作法中用到三角形全等的判 定方法是 (A) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 命题点2全等三角形的判定与性质 5.[2024延安宝塔区期末]如图，在△PAB中，∠A D ∠B,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点，且 AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°，则∠P 的度数为 (D) 第1题图 第2题图 A.44 B.66 C.88 D.92 2.[2024安康汉滨区期末]如图，已知AB=CD,BC= DA,E,F是AC上的两点，且AE=CF,DE= BF,那么图中全等三角形有 (B) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 3.[2024西安长安区期末]如图是 第5题图 第6题图 一个4×4的正方形网格.根 6. [2024西工大附中期末]如图，在△ABC中， 据图中标示的各点位置，在下 G ∠BAC=45°，AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点 列三角形中，与△ABC全等的 E,AD和CE交于点F,若AB=7,BE=3,则 第3题图 是 (C) DF的长为 (D) A.△ABDB.△ABEC.△ABFD.△ABG A.1 B.12 C.0.8 D.0.6 40 7.解题策略开放)[2024陕西，13] 10.[2024西交大附中四模]如图，在△ABC中，D是 如图，在△ABC中，AB=AC, BC边上一点，过点A作AE∥BC,且AE E是边AB上一点，连接CE,A CD,连接DE交AC于点F,求证：AF=CF 在BC的右侧作BF∥AC,且 第7题图 BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边 形EBFC的面积为60 D 8.[2023陕西，18]如图，在△ABC中，∠B=50°， 第10题图 ∠C=20°.过点A作AE⊥BC,垂足为E,延长 证明：，AE∥BC EA至点D,使AD=AC.在边AC上截取AF .∠E=∠CDF. AB,连接DF.求证：DF=CB. ∠AFE=∠CFD, D 在△AEF和△CDF中，∠E=∠CDF, AE=CD, △AEF≌△CDF(AAS), .AF=CF. 11.[2024西安铁-中期末]在△ABC中，∠ACB= 第8题图 90°，AC-BC=BE,AD⊥EC交EC延长线于 证明：在△ABC中，∠B=50°，∠C=20 点D.求证：CE=2AD ∴.∠CAB=180°-∠B-∠C=110 ,AE⊥BC,∴.∠AEC=90 .∠DAF=∠AEC+∠C=II0°， ∴∠DAF=∠CAB. 第1Ⅱ题图 AD=AC, 证明：如答图，过点B作BH⊥CE于点H, 在△DAF和△CAB中，∠DAF=∠CAB BC=BE,BH⊥CE, AF=AB, ..EH=CH. ∴.△DAF≌△CAB(SAS), “.∠ACB=∠D=∠BHC=90°， ∴DF=CB. .∠ACD+∠BCH=∠ACD+∠CAD=90°， 9.[2022陕西，18]如图，在△ABC中，点D在边BC ∴.∠BCH=∠CAD. 上，CD=AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.求证： ∠BHC=∠D, DE=BC. 在△CBH和△ACD中，∠BCH=∠CAD, CB=AC, ∴.△CBH≌△ACD(AAS), ..CH=AD, B D 第9题图 ..EH=CH=AD, 证明：DE∥AB,.∠EDC=∠B. ,'.CE=24D. ∠EDC=∠B, 在△CDE和△ABC中，CD=AB, ∠DCE=∠A, H △CDE≌△ABC(ASA),∴.DE=BC 第11题答图 12.[2024西安高新一中模拟]如图，已知在△ABC 证明：'GE=GF, 与△ADE中，AB=AC,∠BAC=∠DAE ∴.△GEF为等腰三角形， BD⊥AB,EC⊥AC,求证：AD=AE. ∴.∠GFE=∠GEF ∠AFB=∠DEC, 在△ABF和△DCE中，∠B=∠C, AB=DC, ∴.△ABF≌△DCE(AAS), 第12题图 ..AF=DE. 证明：'∠BAC=∠DAE, GF=GE, .∠BAC-∠IDAC=∠DAE-∠DAC, ∴.AF一GF=DE一GE,即AG=DG 即∠BAD=∠CAE. 15.[2024渭南临渭区期未]为了测量一幢6层高楼 BD⊥AB,EC⊥AC 的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得 ∴.∠ABD=∠ACE=90 旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC= ABD=∠ACE, 21°，测得楼顶A的视线PA与地面的夹角 在△ABD与△ACE中，AB=AC, ∠APB=69°，量得点P到楼底的距离PB与 ∠BAD=∠CAE, 旗杆CD的高度都等于12m,量得旗杆与楼之 .△ABD≌△ACE(ASA),AD=AE 间距离为DB=30m,求每层楼的高度. 13.[2024渭南富平县期未]如图，△ABC和△DEF 按如图位置放置，点B,F,C,E在一条直线上 BF=EC,AB=DE,DF=AC.求证：∠B=∠E 第15题图 解：由题意得CDDB,AB⊥DB, ∴.∠CDP=∠ABP=90° 第13题图 ∠APB=69 证明：BF=EC, .∠PAB=90°-∠APB=21 ∴.BF+CF=EC+CF,∴.BC=EF. :∠CPD=21°， BC=EF, ∠PAB=∠CPD=21 在△ACB和△DFE中，AB=DE, DB=30,PB=12, AC=DF, ..DP=BD-BP=18. ∴.△ACB≌△DFE(SSS),∴∠B=∠E. ∠PAB=∠CPD, 14.[2024西安高新二中二模]如图，点E,F在BC 在△BAP和△DPC中，∠PBA=∠CDP, 上，AF与DE交于点G,AB=DC,GE=GF, PB=CD, ∠B=∠C.求证：AG=DG. .△BAP≌△DPC(AAS) ∴.AB=PD=18, ÷每层楼的高度为=3(m。 E 答：每层楼的高度为3m. 第14题图 42 第4节 相似三角形及其应用（含位似） 载材问题议振练 人教九下P42第4题改编如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,AB=AC,AE=3,CE=2. (1)AB=5,EF=2; (2)写出图中与△ADE相似的三角形：△ABC,△EFC； (3)设△ADE的面积为S,△ABC的面积为S,则3= 9 25 (4)若BC=6,则Sr= 48 144 25 ,S四边形DFE一 25 真费度分点练 命题点1平行线分线段成比例 5.[2023陕西，6]如图，DE是△ABC的中位线，点 1.[2024榆林榆阳区月考]如图，已知AD∥BE∥CF, F在DB上，DF=2BF.连接EF并延长，与CB 若AB=2BC,DF=12.则EF的长为 (B 的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的 A.2 B.4 C.6 D.8 长为 (C) 号 B.7 C. D.8 B 2 第1题图 第2题图 2.[2024西安铁一中滨河校区开学考]如图，AB∥EF∥ CD,AB=6,CD=4,则EF= (B) A.2 B.2.4 C.2.5 D.3 第5题图 第5-1题图 命题点2相似三角形的判定与性质（舍 5一1.变图形一改变线段位冒如图，DE是△ABC 位似】 的中位线，连接BE,∠A=62°.若DE=BD,则 3.[2024西安长安区期末]如图，在△ABC中，点D ∠C= (D) 在边AB上，BD=2AD,DE∥BC交AC于点 A.56 B.58 C.60 D.62° E,若线段DE=5,则线段BC的长为(C) 6.[2024西安铁一中三模]如图，在边长为1的小正方 A.7.5 B.10 C.15 D.20 形组成的网格中，点A,B,C,D在小正方形的顶点 处，AC与BD相交于点O,则AO的长等于(A) 第3题图 第4题图 4.[2024渭南潼关县一模]如图，在△ABC中， ∠ABC=90°，AC=4,延长CB到点E,使得BC= 第6题图 2BE,若点D是AB的中点，则DE的长为(A) C.29 A.2 B.1 C.3 D.4 A.v29 D②6 3 2 2 7.[2024西安铁一中滨河校区二模]如图，D,E分别 4m到F处，此时M,D,F三点在一直线上 是△ABC的边AB,AC上的点，且AD-号AB, 测量数据两次测量标杆之间的距离AC为 50m,两个标杆的高度均为1.5m,且N,A,E, AE=号AC,CD与BE交于点O,则mE的值 C,F在同一直线上.请你根据以上测量数据， 为 (D) 帮助兴趣小组求出古塔MN的高度. M A.16 B.9 D 第12题图 第7题图 第8题图 解：由题可知，AB⊥FN,MN⊥FN,CD⊥FN, 8.[2024西安临潼区一模]如图，在Rt△ABC中 ,.∠N=∠BAE=∠DCF=90°. ∠C=90°，点D在BC上，∠CDA=∠CAB.若 ∠BEA=∠MEN, BC=4,amB=是，则AD的长度为 (C △BEA△MEN,供-最 A号 B号 c D.4 即-2+v0 9.[2024西安爱知中学月考]如图， 同理可得△FDC△FMN, 在平面直角坐标系中，矩形 -货即票=4+4+@ OABC的顶点O在坐标原点， 边OA在x轴上，OC在y轴 联立①②，解得AN=50,MN=39. 上，A,C的坐标分别为(4.0)，O列 答：古塔MN的高度为39m. (0,6).如果矩形OA'B'C与 第9题图 13.解题策略开放[2022陕西，21]小明和小华利 矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C的 用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的 面积是矩形OABC面积的4倍，则点B的对应 高.如图，在某一时刻，他们在阳光下分别测得 点B的坐标是(8,12)或（一8，一12 该建筑物OB的影长OC为16m,OA的影长 一命题点3相似多边形的性质 OD为20m,小明的影长FG为2.4m,其中 10.[2024榆林新区三模]如图，将矩4 D O,C,D,F,G五点在同一直线上，A,B,O三点 形ABCD沿EF对折后，矩形 在同一直线上，且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小 明的身高EF为1.8m,求旗杆AB的高： ABCD与矩形AEFB相似，若 B AD=2,则AB的长为2. 第10题图 11.[2024西安西咸新区期未]已知两个相似八边形 的相似比为3：5，若较小八边形的面积为18， 则较大八边形的面积为50· 一命题点4相似三角形的实际应用 GF D C 12.[2024西工大附中三模]某数学兴趣小组在综合 第13题图 实践活动中测量古塔的高度。 解：解法1：：AD∥EG,∴∠ADO=∠EGF. 测量方案在地面上选一点A,垂直地面竖立 ,∠AOD=∠EFG=90°，△AOD△EFG, 标杆AB,后退2m到E处，此时M,B,E在一直 线上：另选一点C,垂直地面竖立标杆CD,后退 -0即g器A0=15 :AD∥BC,∴.△BOC∽△AOD, (1)证明：PD∥P),△PDO△PDO, 0-86即g-00=2, 品-8论-会晚-光 ∴.AB=A0-B0=3(m 答：旗杆AB的高为3m 2)解：会-且6=32，=2山=0， 解法2：如答图，过点C作CM LOD于点C,交 品-名6=50m。 AD于点M. 答：②号“E”的测量距离2是50cm. 易证△EGF∽△MDC 15.[2024西安铁一中滨河校区六模]小明为了测量 器-晨2蜂06=3 出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑 AM∥BC,MC∥AB 左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑 ∴.四边形MCBA为平行四边形， 底部P,且观测视线刚好经过深坑边缘点E, ..AB=CM=3(m). 在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观 答：旗杆AB的高为3m 测深坑底部P,且观测视线恰好经过深坑边缘 点F,点B,E,F,D在同一水平线上.已知AB⊥ EF,CD⊥EF,观测仪AB高2m,观测仪CD 高1m,BE=1.6m,FD=0.8m,深坑宽度 EF=8.8m,请根据以上数据计算深坑的 深度 第13题答图 14.[2024西安高新一中二模]视力表对我们来说并不 陌生，它蕴含着一定的数学知识.下面我们以标 P P 准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘 第15题图 第15题答图 用硬纸板复制视力表中所对应的“E”,并依次 解：如答图，过点P作P用⊥EF于点H. 编号为①，②，放在水平桌面上.如图所示，将 ABEF,PHEE,CD⊥EF, ②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点 .AB∥HP∥CD O看去，对应顶点P,P,O在一条直线上为 ∴.△ABE△PIE,△CDF△PHIF, 止.这时我们说，在D,处用①号“E”测得的视 力与在D,处用②号“E”测得的视力相同. 品-品品眼， 1求证-会 ∴PH=AB:EH=CD·HE EB DF (2)若b1=3.2cm,b2=2cm,①号“E”的测量 设EH=x,则HF=8.8一x, 距离l一80cm,要使测得的视力相同，求②号 AB=2,BE=1.6,CD=1,DF=0.8,EF=8.8, “E”的测量距离l2. -僵8到 0.8 x=4.4 阳=0-叠8=55m, 答：深坑的深度为5.5m. 第14题图 广45 第5节 锐角三角函数及其应用 教加问题议振练 1.人教九下P69第6题改编如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,AC=√6，CD是斜边AB上 的高 (1)AB=22,tanB=3,∠B=60°，∠A=30°： ,cos A= /3 (2)sin A= ,sin2A十cos2A=1; (3)CD= 6 2 E水平面 E水平面 图①D 图2 第1题图 第2题图 2.翼教九上P120第1题改编已知BE为水平面，AB为一建筑物，CD与水平面平行，D,A,B三点在同 一铅垂线上. (1)如图①，∠DCA=30°，∠ACB=15°.一架无人机在C处观察建筑物，则此时观察建筑物顶端A的 俯角为30°，从B处观察这架无人机的仰角为45°： (2)如图②，∠ACB=75°.若从C处观察A的仰角为45，则从B处观察C的仰角为30°.若BD= 10√3m,则此建筑物的高度为10v3十30m. 夏舞模分点练 命题点1直角三角形的边角关系 一命题点2锐角三角函数的实际应用 1.[2024咸阳秦都区一模]在Rt△ABC中，各边都扩4.[2024陕西，21]如图所示，一座小山顶的水平观 大为原来的5倍，则锐角A的正切函数值(A) 景台的海拔高度为1600m,小明想利用这个观 A.不变 B.扩大为原来的5倍 景台测量对面山顶C点处的海拔高度.他在该 C.缩小为原来的号 D.不能确定 观景台上选定了一点A,在点A处测得C点的 仰角∠CAE=42°，再在AE上选一点B,在点B 2.[2024西工大附中月考]在Rt△ABC中，∠C= 处测得C点的仰角a=45°，AB=10m.求山顶C 90°，若BC=3,AC=4,则sinB的值为(A) 点处的海拔高度（小明身高忽略不计.参考数据： A B c sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90). 3.[2022陕西，5]如图，AD是△ABC 的高，若BD=2CD=6,tanC= 2,则边AB的长为 (D) A.3√2 B.35 第3题图 第4题图 第4题答图 C.3w7 D.62 解：如答图，过点C作CH⊥AE交AE的延长线 46 于点H.设CH=a. 答：该景观灯的高AB约4.8m, 在Rt△CBH中，BH=CH 9A tan/CBH=a. 在Rt△CAH中，AH CH 10 tan∠CAH≈ga H t址 .AH-BH=AB, B 9。-a10,解得a≥0， 第5题答图 6.[2024西交大附中六模]如图，为了测量河的南岸 .1600+a≈1690(m). 东西方向B,C两点间的距离，某兴趣小组在河 答：山顶C点处的海拔高度约1690m 的北岸点C的正北方向观测点A处，测得B在 5.[2023陕西，21]一天晚上，小明和爸爸带着测角 A的南偏西37°方向上，测量小组沿AB方向行 仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可 走96m至观测点D,测得点C在观测点D的南 到达)的高AB.如图，当小明爸爸站在点D处 偏东53°方向上，求河的南岸B,C两点间的距离 时，他在该景观灯照射下的影子长为DF,测得 (参考数据：sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80， DF-2.4m;当小明站在爸爸影子的顶端F处 tan37°≈0.75). 时，测得点A的仰角a为26.6°.已知爸爸的身 高CD=1.8m,小明眼晴到地面的距离EF 1.6m,点F,D,B在同一条直线上，EF⊥FB, CD⊥FB,AB⊥FB.求该景观灯的高AB(参考 数据：sin26.6°≈0.45，c0s26.6°≈0.89， tan26.6°≈0.50). B 第6题图 解：如答图，过点D作DH⊥AC于点H. g 在R1△ADH中，AD=96,∠A=37°， n ,.4H=4Ds3776.8, 第5题图 H=AD·sin37≈57.6. 解：如答图，过点E作EH⊥AB,垂足为H 在R1△CDH中，∠CDH=90°-53°=37°， 由题意得EH=FB,EF=BH=1.6. ,.CH=DHan37≈43.2， 设EH=FB=x, ,∴.AC=AH+CH=120. 在Rt△AEH中，∠AEH=26.6, ,AC⊥BC,DH⊥AC,.DH∥BC, .AH=EH·tan26.6≈0.5x, .△ADH∽△ABC, ∴.AB=AH+BH=0.5x+1.6. 8-A服6-60c=0(m. ,CD⊥FB,AB⊥FB, 答：河的南岸B,C两点间的距离约90m ∴.∠CDF=∠ABF=90 北 又∠CFD=∠AFB,.△CDFP△ABF, ”东 CD=DF1.82.4 ABBF·AB=X) 4=,子=0.5+6， 解得=64，六4B=}=48m 第6题答图 广47