第1部分 模块六 圆(教用)-【加速度中考】2025年陕西中考数学精准巧练

模块六圆 第1节 圆的基本性质 载材问题议振练 北师九下P84第2题改编如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD与BC交于点E,连接 CD,BD,OB. (1)∠ACD=90°，∠ABD=90°： (2)若∠ACB=60°，则∠AOB=120°，∠BAD=30°； (3)若∠BAC=40°，则∠BDC=140°； (4)若AC=3DC,则∠DAC=22.5°∠ABC=67.5° (5)图中与△BED相似的三角形是△AEC,与△ABE相似的三角形是△CDE； (6)若D为BC的中点，则线段AD与线段BC的位置关系为ADBC,∠BAD与∠CAD的数量关 系为∠BAD=∠CAD: (7)若OB=5,AB=8,则BD=6,作OH⊥AB于点H,则cos∠AOH 真题模拟分点绵 命题点1垂径定理及其推论 的一个“老碗”（图①）的形状示意图.AB是⊙O 1.[2024西工大附中九模]如图， 的一部分，D是AB的中点，连接OD,与弦AB AB是⊙O的直径，CD是 交于点C,连接OA.(OB.已知AB=24cm,碗深 ⊙O的弦，AB⊥CD于点 CD=8cm,则⊙O的半径OA为 (A) E,连接BC.若∠B=22.5, CD=4,则⊙O的半径的长 第1题图 为 (B) D A.2 B.22 C.4 D.42 图① 图② 2.[2024通辽（有改动）]如图，圆形拱 第3题图 门最下端AB在地面上，D为AB A.13 cm B.16 cm 的中点，C为拱门最高点，线段 C.17 cm D.26 cm CD经过拱门所在圆的圆心，若 4.[2024西安铁一中滨河校区九模]一块圆形玻璃镜 A DB AB=1m,CD=2.5m,则拱门所 面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB 第2题图 在圆的半径为 (B 长20cm,弓形高CD为2cm,则镜面半径为 A.1.25m B.1.3m 26 cm. C.1.4m D.1.45m 3.[2023陕西，7]陕西饮食文化源远流长，“老碗面” 是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到 第4题图 61 命题点召圆周角定理及其推论 10.[2024牡丹江]如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于 5.[2022陕西，7]如图，△ABC内接于⊙O,∠C= 点E,CD=6,BE=1,则弦AC的长为310. 46°，连接OA,则∠OAB= (A) D B 第5题图 第10题图 A.44 B.45 C.54 D.67 11.[202陕西，24]如图，△ABC内接于⊙O,∠BAC 6.[2024西安高新三中六模]如图，A,B是以CD为直 45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D,并与 径的⊙O上的两个点，连接AC,若∠ACB=45°， CA的延长线交于点E,作BF⊥AC,垂足为 M,交⊙O于点F. BC=2,AC=3+1,则∠D的大小为(C) (1)求证：BD=BC: (2)若⊙O的半径r=3,BE=6,求线段BF 的长 第6题图 A.65 B.70 C.75 D.80 7.[2024北京]如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不 是直径).若∠D=35,则∠C=55 第1山题图 (1)证明：如答图，连接DC, 则∠BDC=∠BAC=45. BDBC,.∠DBC=90°， ∴.∠BCD=90-BDC=45°， 第7题图 .∠BDG=∠BCD, 8.[2024陕西，11]如图，BC是⊙O的弦，连接OB, .'BD=BC. OC,∠A是BC所对的圆周角，则∠A与∠OBC (2)解：：∠DBC=90°， 的和的度数是90 ∴.CD为⊙0的直径， ∴.CD=2r=6, .BC=CD·sin∠BDC=32, .EC=√BE+BC=36 BF⊥AC, 第8题图 第9题图 .∠BMC=∠EBC=90°. 9.[2024连云港]如图，AB是圆的直径，∠1，∠2， '∠BCM=∠ECB, ∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1， ∴.△BCM△ECB, ∠4的一边分别经过点A,B,则∠1十∠2十∠3+ ∠4=90°. 瓷州80 62 BN=-23,C==6 15.[2024巴中]如图，四边形ABCD为⊙O的内接 EC 四边形.若四边形ABCO为菱形，则∠ADC的 如答图，连接CF,则∠F=∠BDC=45, 大小为60°· ∴.∠MCF=45°， ∴.MF=MC=6, ..BF=BM+MF=23+6. 第15题图 16.[2024西安逸翠园中学十七模]如图，⊙O的内接 四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E, 第11题答图 BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB. 命题点3圆内接四边形 (1)求∠BAD的度数： (2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点 12.[2024广元]如图，已知四边形ABCD是⊙O的 F,若AC=AD,BF=2,求⊙O的半径长 内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AC 128°，则∠CDE等于 (A 第16题图 解：(I)∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB, 第12题图 ∴.∠ADB=∠CDB,∴.AB=CB A.64°B.60° C.54 D.52 BD平分∠ABC, 13.[2024牡丹江]如图，四边形ABCD是⊙O的内 ·∠ABD=∠CBD 接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC=20° ..AD=CD 则∠ADC的度数为 (B) ∴.BD是⊙0的直径，，∠BAD=90° (2).AD=CD,..AD=CD. AC=AD,AC=CD=AD, ∴△ACD是等边三角形， .∠ACD=∠CAD=60°， 第13题图 ∴.∠ABD=∠CBD=60°， A.100°B.110° C.120° D.130 ∴.∠BC=60 14.[2024青海]如图，四边形ABCD是⊙O的内接 CF∥AD,∴.∠F+∠BAD=180°， 四边形，∠A=50°，则∠C的度数是130°· .∠F=90°，∴.∠BCF=30. B .BF=2,.BC=2BF=4. ∠BCD=90°，∠BDC=30, ∴.BD=2BC=8, .⊙0的半径长为4. 第14题图 63 微专题8圆的性质考查题 考向1圆周角定理 考向2垂径定理 1.[2024临夏州]如图，AB是⊙O的直径，∠E=35°，6.[2024长沙]如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O 则∠BOD= (D) 到AB的距离OE=4,则⊙O的半径长为(B) A.80° B.100 C.120° D.110 A.4 B.42 C.5 D.5/2 D B 第1题图 第2题图 第6题图 第7题图 2.[2024泰安]如图，AB是⊙O的直径.C.D是⊙O7.[2024新题]如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O 上两点，BA平分∠CBD,若∠AOD=50°，则 的弦，AB⊥CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则 ∠A的度数为 (A) BE的长为 (B) A.65° B.55° C.50°D.75 A.1 B.2 C.3 D.4 3.[2024云南]如图，CD是⊙O的直径，点A,B在 8.[2024凉山州门数学活动课上，同学们要测一个如 ⊙O上.若AC=BC.∠AOC=36,则∠D=(B) 图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方 A.9 B.18° C.36 D.45 案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作 ) AB的垂直平分线CD交AB于点D,交AB于点 C,测出AB=40cm,CD=10cm,则圆形工件的 半径为 (C) 第3题图 第4题困 4.[2024西安高新一中九模]如图，AB为⊙O的直 第8题图 径，点C,D,E在⊙O上，且AD=CD,∠E A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm 70°，则∠ABC的度数为 (B)9.[2024西安铁一中陆港校区一模]“圆材埋壁”是我 A.30° B.40° C.35 D.50° 国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今 5.[2024陕师大附中二模]如图，已知AB是⊙O的 有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一 直径，弦CD⊥AB,垂足为E,∠ACD=22.5°， 寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为数学语言： AB=4,则CD的长为 (C) 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为 E,CE=1寸，AB=10寸，直径CD的长是(B) D 第5题图 第9题图 A.2 B.2 C.22 D.4、2 A.13寸B.26寸C.28寸 D.30寸 第2节与圆有关的位置关系 教机回盟及组练 人教九上P101第3题改编一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是25cm (1)V形架上点U,W恰好与钢管相接触，则TU=TW=25cm,射线VU和VW与钢 管截面的位置关系均为相切，TU与VU的位置关系为ULVU: (2)若∠UVT=30°，则TV=50cm,∠UTV=60: (3)线段VU与VW的数量关系为U=VW. 真题模州分点练 命题点1与切线有关的证明与计算 ⊙O的切线交AB延长线于点D. 1.[2024山西]如图，已知△ABC,以AB为直径的 (1)求证：∠BCD=∠A: ⊙O交BC于点D,与AC相切于点A,连接 (2)若amA=是，BD=6,求⊙0的半径 OD.若∠AOD=80°，则∠C的度数为(D) A.30° B.40° C.45 D.509 第4题图 第4题答图 (1)证明：如答图，连接CO 第1题图 第2题图 AB为⊙O的直径， 2.[2024福建]如图，已知点A,B在⊙O上，∠AOB ∴.∠ACB=90°，∴.∠AC0+∠BC0=90. 72°，直线MN与⊙O相切，切点为C,且C为AB ,CD是⊙0的切线，·∠OCD=90°， 的中点，则∠ACM等于 (A) ∴.∠OCB+∠DCB=90°，∴.∠AC0=∠DCB A.18° B.30° C.36 D.72 OC=OA,.∠A=∠ACO,.∠BCD=∠A. 3.[2024包头]如图，四边形ABCD是⊙O的内接 四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作 (2解：mA=子C= ⊙O的切线交AB的延长线于点P,连接OA, 设BC=3r,AC=4x, OB.若∠AOB=140°，∠BCP=35°，则∠ADC ..AB=AC+BC=5x. 的度数为105 :∠BCD=∠A,∠D=∠D, △AD△C0,8-S-青 设CD=3a,则AD=4a,.AB=4a一6， 第3题图 0C=01=2B=2a-3 4.[2024西安高新一中五模]如图，AB为⊙O的直 :∠0CD=90°，∴.0C+CD2=0D2, 径，C为⊙O上一点，连接AC,BC,过点C作 ∴.(2a-3)2+(3)2=(2a-3+6)2, 65 解得a,=》a,=0(不符合题意，含去， 6.[2022陕西，24]如图，AB是⊙O的直径，AM是 ⊙O的切线，AC,CD是⊙O的弦，且CD⊥AB, 00=2a-3=3 垂足为E,连接BD并延长，交AM于点P. (1)求证：∠CAB=∠APB: 00的半径为} (2)若⊙O的半径r=5,AC=8,求线段PD 5.[2024陕西，24]如图，直线1与⊙O相切于点A, 的长 AB是⊙O的直径，点C,D在l上，且位于点A PM 两侧，连接BC,BD,分别与⊙O交于点E,F,连 接EF,AF (1)求证：∠BAF=∠CDB: (2)解题策略开放)若⊙O的半径r=6,AD 第6题图 9,AC=12,求EF的长 (1)证明：AM是⊙O的切线， .∠BAM=90 CDAB,∴.∠CEA=90, .AM∥CD,.∠CDB=∠APB. D :∠CAB=∠CDB, 第5题图 第5题答图 ∴.CAB=∠APB (1)证明：，直线1与⊙0相切于点A,AB是⊙O (2)解：如答图，连接AD 的直径， AB是⊙O的直径， .AB⊥CD,.∠BAC=∠BAD=90 .∠CDB+∠ADC=90 .∠CDB+∠ABD=90 ∠C4B+∠C=90°，∠CDB=∠CAB, AB是⊙0的直径，.∠AB=0, .∠ADC=∠C ∴∠BAF+∠ABD=90°， ,.AD=AC=8. .∠BAF=∠CDB. AB=10,BD=6 (2)解：解法1：如答图，连接AE .∠BAD+∠DAP=90°，∠PAD+∠APD=90, .AB=2r=12=AC,BA CD .∠APB=∠DAB ∴.∠C=∠CBA=45 ,AB为⊙O的直径， :∠BDA=∠BAP ∴.△ADB△PAB, ∴.∠BAE=90°-∠ABE=45°， BE=号B=6v2 滑- ∠BEF=∠BAF,∠BAF=∠CDB, ∠BEF=∠CDB,.△BEF△BDC, .BE=EF Dp=32 BD DC PM 由勾股定理得BD=√AB+AD=15, 得-界解得= 5 B (解法2和3见学生用书《参考答案》)】 第6题答图 66于 命题点召三角形的内心与外心 11.[2024苏州]铁艺花窗是园林设计中常见的装饰 7.数学文化[2024滨州改编]刘徽（今山东滨州 元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六 人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数 条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个 学理论的奠基者之一，被誉为 正六边形，中心为点O,AB所在圆的圆心C恰好 “世界古代数学泰斗”.刘徽在 是△ABO的内心，若AB=2v3,则花窗的周长 注释《九章算术》时十分重视 (图中实线部分的长度)=8π（结果保留π）. 一题多解，其中最典型的是勾 股容方和勾股容圆公式的推 导，他给出了内切圆直径的多 第7题图 种表达形式.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB, BC,CA的长分别为c,a,b,则可以用含c,a,b的 第11题图 式子表示出△ABC的内切圆直径d,下列表达 12.[2024西安高新一中一模]如图，正六边形ABC 式正确的是 (A) DEF内接于⊙O A.d=a+b-c B.d-4tb+c 2 (I)若P是CD上的动点，连接BP,FP,求 ∠BPF的度数： C.d-atb-c D.d-atb+e 2 2 (2)已知△ADF的面积为23，求⊙O的面积. 8.[2024河南]如图，⊙O是边长为4√3的等边三角 形ABC的外接圆，D是BC的中点，连接BD, CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画 弧，则阴影部分的面积为 (C) A.8xr D D.16元 3 B.4π C.16m 3 第12题图 第12题答图 解：(1)如答图，在CD取一点P,连接BP,AP, FP,FO. ,六边形ABCDEF是正六边形， AF=AB,∠AOF=30°=60， 6 第8题图 第9题图 ∴∠APF=∠A0F=30. 9.[2024苏州]如图，△ABC是⊙O的内接三角形， ,AF=AB,.∠APB=∠APF=30°， 若∠OBC=28°，则∠A=62 .∠BPF=∠APB+∠APF=60°. 命题点3正多边形与圆 (2),正六边形ABCDEF内接于⊙O, 10.[2024济宁]如图，边长为2的正六边形ABC AD为⊙0的直径，∠AFD=90. DEF内接于⊙O,则它的内切圆半径为(D) D ∠A0F=60°，40=0， ,△AO是等边三角形， ∠DAF=60°，.DF=3AF S0-AF.DF-3AF=2B. 第10题图 .AF=2(负值已舍)，即⊙0的半径为2 A.1 B.2 C.2 D./3 ,⊙0的面积为πX2=4r. 67 第3节弧长、扇形面积的相关计算 题模分点练 命题点了弧长的相关计算 BD,剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则 1.[2024包头]如图，在扇形AOB中，∠AOB=80°， 这个圆锥的底面半径为3 半径OA=3,C是AB上一点，连接OC,D是OC 上一点，且OD=DC,连接BD.若BD⊥OC,则 AC的长为 (B) 第4题图 命题点2与扇形面积有关的计算 5.传统文化[2024东营]习近平总书记强调，中 华优秀传统文化是中华民族的根和魂.东营市 第1题图 某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活 A晋 B.3 c D.元 动，小慧同学制作了一把扇形纸扇.如图，OA= 2.[2024宿迁]如图，已知正六边形ABCDEF的边 20cm,OB=5cm,纸扇完全打开后，外侧两竹条 长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该 (竹条宽度忽略不计)的夹角∠AOC=120°，现 圆被正六边形截得的DF的长为 需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面 的面积为 (C) 第5题图 第2题图 A. 3.传统文化[2024兰州门“轮动发石车”是我国 3元cm B.75πcm 古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛 C.125πcm D.150πcm 应用，图①是陈列在展览馆的仿真模型.图②是 6.解题策略开放[苏科九上P93第15题改编]如 模型驱动部分的示意图，其中⊙M,⊙N的半径 图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为5的正 分别是1cm和10cm,当⊙M顺时针转动3周 方形OCDE的顶点C,D,E分别在OA,AB,OB 时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n=108 上，AF⊥ED,交ED的延长线于点F.则图中阴 影部分的面积为25√2-25. B M 图D 图2 第3题图 4.[2024烟台]如图，在边长为6的正六边形ABC DEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作 第6题图 68 微专题9圆的相关证明与计算 考向1圆的基本性质综合题 OC=OB, 1.[2024包头]如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是 .cos∠COE=c0s∠OBK, ⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是 ∠COE=∠OBk,.BD∥OC OB上一点(OE>BE),连接OC,CE,且∠BOC= 2∠BCE. (1)如图①，若BE=1,CE=5,求⊙O的半径： (2)解题策略开放)如图②，若BD=2OE,求 图1 图② 证：BD∥OC(请用两种证法解答). 第1题答图 2.[2024苏州]如图，在△ABC中，AB=42,D为 AB的中点，∠BAC=∠BCD,cOS∠ADC=2 图① 国② ⊙O是△ACD的外接圆， 第1题图 (1)求BC的长： (1)解：如答图①，过点0作OH⊥BC于点H (2)求⊙O的半径， OC=OB,OH⊥BC ∴.∠COH=∠BOH,CH=BH ∠BOC=2∠BCE,∴·∠BOH=∠BCE ,∠B0H+∠0BH=90, 第2题图 ∠BCE+∠(OBH=90 解：(1)∠BAC=∠BCD,∠B=∠B, ·∠CEB=90,.BC=EC+EB=6, .CH=BH=6 △ACD%- ,AB=42,D为AB的中点， c0s∠OBH=B-EB OB BC' ∴.BD=AD=2、2, 6 ∴.BC2=BD·BA=16,.BC=4(负值已舍) -0哪=3 (2)如答图，过点A作AE⊥CD于点E,连接CO 并延长交⊙O于点F,连接AF .⊙0的半径为3. (2)证明：如答图②，过点O作OK⊥BD于点K, 在△AD中，mD1-张-子，D=22, 则BK=DK ∴DE=1,∴.AE=/AD2-DE=7. .BD=20E,..OE=BK. 证法1：，∠CE0=∠OKB=90°，OC=B0, 么BAC△D,部-带=2 ∴.R△OEC≌Rt△BKO(HL), 设CD=x,则AC=/2x,CE=x-1. .∠COE=∠OBK,.BD∥OC 在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2, 证法2：s∠0E=张，s∠08k BK OB' .(W2x)2=(x-1)2+(v7)2, 69 解得x=2,x=一4（舍去）， .CF=/10(负值已舍)， .CD=2,AC=22 an∠CFD=OD=oD OD =2, ,∠AFC与∠ADC都是AC所对的圆周角， OFCF-OC、10-0D .∠AC=∠ADC 00=20,即⊙0的半径为20 ,CF为⊙O的直径，∠CAF=90, 4.[2024雅安节选]如图，AB是⊙O的直径，C是 C=答=sn∠=-=， AC ⊙O上的一点，P是BA延长线上的一点，连接 CF=87,即⊙0的半径为+ AC,∠PCA=∠B. (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若CD⊥AB于点D,PA=4,BD=6,求AD 的长 第2题答图 考向2与切线有关的证明和计算 3.[2024广元]如图，在△ABC中，AC=BC 第4题图 第4题答图 ∠ACB=90°，⊙O经过A,C两点，交AB于点 (1)证明：如答图，连接OC D,CO的延长线交AB于点F,DE∥CF交BC AB是⊙O的直径，∠ACB=90°， 于点E ∠BC0+Z∠OCA=90 (1)求证：DE为⊙O的切线： OB=OC,∴.∠B=∠BCO (2)若AC=4,tan∠CFD=2,求⊙O的半径. ∠PCA=∠B,·∠PCA=∠BCO, .∠PCA+∠OCA=90,∴.OC⊥PC ∴.PC是⊙O的切线， (2)解：设AD=x, 在R△ACB中，CDAB 第3题图 第3题答图 ∴.∠CDA=∠BIDC=∠BCA=90°， (1)证明：如答图，连接OD .∠CAD+∠DCA=∠CAD+∠B, ,AC=BC,∠ACB=90°， .∠DCA=∠B, ∴，△ACB为等腰直角三角形， ∴∠CAB=45°，.∠C0D=2∠CAB=90. ∠C2B,品-品. DECF,.∠COD+∠EO=180, CD=AD·BD=6x. ∠ED0=90°，.DE为⊙0的切线. ∠P=∠P,∠PCA=∠B, (2)解：如答图，过点C作CH⊥AB于点H. △PmC△n,-品 ,'△ACB为等腰直角三角形，AC=4, .PC=PA·PB=4(4+6+x. “CH=AH= AC=22. 在R△CD中，由勾股定理得P十CD=PC, 即(4+x)2+6x=4{4+6十x) w/CFD-2- 解得=2，=一12（舍去） 在R△CFH中，由勾股定理得CF=C+FP, .AD=2 70