第1部分 模块二 方程（组）与不等式（组）(教用)-【加速度中考】2025年陕西中考数学精准巧练

模峡二 方程（组）与不等式（组） 第1节一次方程（组）及其应用 载物问题改垢练 1.浙教七上P115第1题改编观察下列各式并填空. ①3x=4:②3=4：③1-x:④1-x2=0:⑤5-3.x=x:⑥3x-2y=1. (1)以上各式是一元一次方程的是①⑤： (2)方程⑤的解是x= (3)若32严=1-x不是关于x的一元一次方程，则a的值为2 2.断教七上P12第3题改组下面是小芳解关于x的一元一次方程3-2(0,2x十1)=号x的过程. 解：去括号，得3一0.4-2=5 第一步 移项，得3-2=-0红十号 第二步 合并同类项，得= 第三步 系数化为1，得x=一5， 第四步 .原方程的解为x=一5. 第五步 小芳在解方程的过程中第二步出现错误，错误原因为移项时没有变号 ，方程正确的解为=了。 真题模分点练 命题点1一次方程（组）的解法 3.[2024西交大附中一模]如果一个矩形内部能用 1.[2024渭南大荔县期未]利用加减消元法解方程 一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它 2x+3y=-1,① 为“优美矩形”.如图所示，“优美矩形”ABCD的 组 下列做法正确的是(D) 3.x-2y=2,② 周长为26，则正方形d的边长为5. A.要消去y,可以将①×2一②×3 D B.要消去x,可以将①×3十②×2 C.要消去y,可以将①×3+②×2 D.要消去x,可以将①×3一②×2 2.新定义[2024西安铁一中一模]用“△”定义一 种新运算：对于任意有理数a和b,规定：a△b 第3题图 a2b+a-b,如1△3=1×3十1-3=1.若2△x= 4.[北师七上P144第3题]如图，小强将一个正方形 x+6(其中x为有理数)，则x的值为2. 纸片剪去一个宽为4cm的矩形后，再从剩下的 7 矩形纸片上剪去一个宽为5cm的矩形.如果两 C.3x-4=1x+1 D3+4-+1 次剪下的矩形纸片面积正好相等，求剪下的每 一个矩形纸片的面积是多少？ 6.数学文化[2024贵州门在元朝朱世杰所著的 长 《算学启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每 天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天， 则快马追上慢马需要的天数是20天 7.[2024陕西，20]星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进 行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任 第4题图 务量，若小峰单独完成，需4h:若爸爸单独完 解：设正方形边长为xcm. 由题意得4x=5(r一4)， 成，需2h.当天，小峰先单独打扫了一段时间 解得x=20 后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩 20×4=80(cm2). 余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h, 答：剪下的每一个矩形纸片的面积为80， 求这次小峰打扫了多长时间， 4一1.变条件一面积关系变为特殊图形如图，小强 解：设这次小峰打扫了xh,则爸爸打扫了(3一x)h 将一个矩形纸片剪去一个宽为4cm的矩形后， 根据题意得+3-1， 2 再从剩下的矩形纸片上剪去一个宽为5cm的 解得x=2 矩形，正好得到一个正方形，如果两次剪下的矩中 答：这次小蜂打扫了2h 形面积正好相等，那么每一个矩形的面积为 8.[2023陕西，20]小红在一家文具店买了一种大笔 多少？ 记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元已 知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的 单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价. 解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元， 则小笔记本的单价是（一3）元 根据题意得4x十6(x一3)=62，解得x=8。 第4一1题图 解：设正方形边长为xcm, 答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元 由题意得5x=4(x+5), 9.[202西安逸翠园中学模拟]某校开设智能机器人 解得x=20. 编程的校本课程，购买了A,B两种型号的机器 20×5=100(cm2). 人模型.已知A型机器人模型单价比B型机器 答：每一个矩形的面积为100cm2 人模型单价多20元，购买5台A型机器人模型 命题点2一次方程（组）的应用 的费用比购买7台B型机器人模型的费用多 40元.求A型、B型机器人模型的单价分别为多 5.数学文化[2024宿迁]我国古代问题：以绳测 井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测 少元？ 之，绳多一尺.绳长、井深各几何？这段话的意 解：设A型机器人模型的单价为x元，B型机器 思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四 人模型的单价为y元， 尺：把绳四折来量，井外余绳一尺.绳长、井深各 x=y+20, x=50, 由题意得 解得 几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为(A) 5x-7y=40 y=30. 答：A型机器人模型的单价为50元，B型机器人 A3-4--1 B3+4=-1 模型的单价为30元. 8 第2节一元二次方程及其应用 教初回题议蓝练 华师九上P35例9改编已知关于x的方程a.x十b.x十c=0. (1)若该方程为一元二次方程，则a的取值范围为a≠0_： (2)若a一b十c=0,则它有一根为一1； (3)若方程a.x2十c=0有两个不相等的实数根，则方程ax2十bx十c=0(b>0)必有两个不相等（填 “相等”或“不相等”)的实数根； (4)若a=1,b=一2，c=一3，且该方程的两个根分别为x,x2,则x1十x2=2,1·x2=一3， x12十x:2=10 真州分点氛 命题点了解一元二次方程 4.[2024西安铁一中湖滨校区模拟]解方程：3.x(x 1.[2024东营]用配方法解一元二次方程x2一2.x 2)=6-3x. 2023=0,将它转化为(x+a)=b的形式，则a 解：3x(x-2)-3(2-x)=0, 的值为 (D) 3x(x-2)+3(x-2)=0 A.-2024B.2024C.-1 D.1 提公因式，得(x-2)(3x+3)=0, 2.[2024西安铁一中滨河校区二模]解方程：3.x2十 .x-2=0或3x+3=0, 4.x一1=0（用配方法）. .x=2,2=-1 解：3x2+4x-1=0, 命题点2一元二次方程根的判别式及 .3x2+4x=1 根与系数的关系 x2+=1 5.[2024济南若关于r的方程x一x一m=0有两个 3=3 不相等的实数根，则实数m的取值范围是(B) ++}+即(+号=， Am<-} B.m>-专 C.m<-4 D.m>-4 3 6.[2024北京]若关于x的一元二次方程x2一4x十=0 =-+=-子 有两个相等的实数根，则实数c的值为(C) 3.[2024西安铁一中滨河校区四模]解方程：x2一4x A.-16 B.-4 C.4 D.16 2.x-8. 7.[2024潍坊]已知关于x的一元二次方程x2一mx一 解：整理得x2一6x+8=0, m十m十1=0，其中m,n满足m一2n=3,关于 .(x-4)(x-2)=0, 该方程根的情况，下列判断正确的是 (C) .x-4=0或x一2=0， A.无实数根 81=4,3=2. B.有两个相等的实数根 广9 C.有两个不相等的实数根 12.[2023西工大附中开学考]某种服装，平均每天可 D.无法确定 以销售20件，每件盈利44元.在每件降价不超 8.新定义[2024宿迁]规定：对于任意实数a,b, 过30元的情况下，每降价1元，则每天可多售 c,有【a,b】★c=ac十b,其中等式右面是通常的 5件，如果每天要盈利1900元，每件应降价多 乘法和加法运算，如【2,3】★1=2×1十3=5.若 少元？ 关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相 解：设每件应降价x元，则每件盈利(44一x)元， 等的实数根，则m的取值范围为 (D) 每天可售出(20+5x)件。 Am<号 B.m>1 依题意得(44一x)(20+5x)=1900, 4 解得x1=6,x=34(不合题意，舍去) C.m> 4且m≠0 D.m<4 且m≠0 答：每件应降价6元 命题点3一元二次方程的实际应用 13.[2024陕师大附中二模]某电商在某平台上直播 9.数学文化[2024呼和浩特]我国南宋数学家杨 带货，根据一个月的市场调研，商家发现当售 辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问 价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降 题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十 低1元，日销售量增加2件，已知该产品的进货 步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是 价为70元/件.为吸引流量，该电商在直播中 864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长 承诺自家商品价格永远不会超过99元/件. 各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方 (1)求日销售量y(件)与售价x(元/件)的函数 程是 (C) 表达式： A.x.60,1=864 (2)该产品的售价每件应定为多少，电商每天 2 B.x(60十x)=864 可盈利1200元？ C.x(60-x)=864 D.x(30-x)=864 解：(1)根据题意得y=20+2(1山0一x)=一2x 10.[2024重庆A卷]随着经济复苏，某公司近两年 +240 的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万 ,该产品的进货价为0元/件，且该电商在直播 元，2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税 中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件， 的年平均增长率是10% ,日销售量y(件)与售价x(元/件)的函数表 11.[2024西安铁一中八模]如图，在长为28m,宽为 达式为y=-2x+240(70x≤99). 10m的矩形空地上修建如图所示的道路（阴影 (2)根据题意得(x一70)（一2x+240)=1200, 部分)，余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积 整理得x2一190x+9000=0, 为243m,请列出关于x的方程，并化为一般 解得x1=90,x=100(不符合题意，舍去)： 式：x2-38r+37=0 答：该产品的售价每件应定为90元，电商每天 可盈利1200元 第11题图 10 第3节分式方程及其应用 教加问题改振练 浙教七下P130做一做改编观察下列方程并回答问题. 02x+号-10：②x-2:®2z中-3=0：①号+2=0 2 (1)上述方程中，是分式方程的是②③： (2)解方程③，去分母时，方程两边要同时乘2x十1，变形后的整式方程是1一3(2十1)=0： （3)若关于x的分式方程号号产2，有增根，则这个增根为x= ,a= 夏题模分点东 命题点1解分式方程 一命题点2分式方程的实际应用 1.[2024济宁]解分式方程1 26时 5 5.[2024达州门甲、乙两人各自加工120个零件，甲 由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30 去分母变形正确的是 (A) 分钟后，甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度， A.2-6x+2=-5 B.6x-2-2=-5 加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成. C.2-6.x-1=5 D.6.x-2+1=5 求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工 2.[22t北京]方程2十3 +1=0的解为=一1 x个零件，可列方程为 (D) 3224陕百，16解方程：2十产1山 120-120 A.1.2x =30 B.120-120=30 x1.2x 解：去分母，得2+x(x+1)=(x+1)(x一1)， c2m忍n-器-8 x1.2.x60 去括号，得2十x2十x=x2一1 6.传统文化[2024自贡]为传承我国传统节日 移项、合并同类项，得x=一3 文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动.已 检验：当x=一3时，(x+1)(x一1≠0 知七(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包 ,原分式方程的解是x=一3. 20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙 4[新教七下P132第3题改编]解方程：，千2 组包120个棕子所用的时间相同.求甲、乙两组 4.T x240. 同学平均每小时各包多少个棕子 解：设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组 解：去分母，得2(x一2)一4x=0, 同学平均每小时包(x十20)个粽子 去括号，得2x一4一4r=0, 移项，得2x一4r=4, 根据题意得，0=0，解得x=0 合并同类项，得一2x=4, 经检验，x=80是原方程的解，且符合题意， 系数化为1，得x=一2. ,.x+20=100 检验：当x=一2时，(x+2)(x一2)=0， 答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同 x=一2是原分式方程的增根。 学平均每小时包80个棕子 11 第4节一元一次不等式（组）及其应用 教加回题政组练 北师八下P47第2题改编求不等式5>Q十x的整数解， (1)若a=1,则下列说法符合上述不等式的是B; A.x加1大于5 B.x加1不大于5 C.x减1大于5 D.x减1不大于5 (2)若a=2,解不等式5≥a十x,并将解集表示在数轴上： 解：当a=2时，不等式为5≥2+x, 移项，得x5-2,即x3 将不等式的解集表示在数轴上如答图 -3 0 答图 (3)若不等式5≥a十x的解集为x≤2，求a的值： 解：移项，得x5一a x≤2，.5-a=2,解得a=3 x-1≥-3x,① (4)若a=2,且x满足不等式组 求x的取值范围。 x+8>4.x-1,② 解：解不等式①，得x一1，解不等式②，得x3 .不等式组的解集为一Ix3, 由(2)得a=2时，不等式的解集为x3, ,.x的取值范围为一1r3。 真题分点练 命题点了解一元一次不等式（组】 3[2023陕西，11解不等式：325>2x。 1.[2024陕西，4不等式2(x-1)>6的解集是(D) 解：去分母，得3x一5>4x, A.x≤2 B.x≥2 C.x≤4 D.x≥4 移项，得3x一4x>5, 3.-22x+1, 2.[2024遂宁]不等式组 的解集在 合并同类项，得一x>5, x>2 数轴上表示为 (B) 系数化为1，得x<一5 x+2>-1,① 4.[2022陕西，15]解不等式组： x-5≤3(.x-1).② 解：解不等式①，得x>一3， 解不等式②，得≥一I, 不等式组的解集为x≥一1. 3(x-1)<4+2x,① ,x为正整数，.x的最小值为18. 5.[2024北京]解不等式组： x-9 <2x.② 答：小明至少答对18道题才能获得决赛资格， 9.[2024西安铁一中湖滨校区模拟]某商店需要购进 解：解不等式①，得x7, 甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如表： 解不等式②，得x>一1， 甲 乙 .不等式组的解集为一1<x<7 进价/（元/件） 15 35 命题点2一元一次不等式（组）的实际应用， 售价/（元/件） 20 45 6.[浙教八上P100第6题改编]某批服装的进价为 每件200元，商店标价每件300元出售.现商店 (1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100 准备将这批服装降价x元出售，但要保证毛利 元，问应分别购进甲、乙两种商品多少件？ 润不低于5%，则可列不等式为300一x一200≥ (2)若商店计划投入资金少于4300元，且销售 200×0.05. 完这批商品后获利多于1260元，请求出获利最 7.[2024西安铁一中滨河校区一模]某校八年级利用 大的购货方案， 暑假组织学生外出旅游，有10名家长代表随团 解：(1)设购进x件甲种商品，y件乙种商品. 出行，甲旅行社说：“如果10名家长代表都买全 十y=160 根据题意得 票，那么其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社 (20-15)x+(45-35)y=1100, 说：“包括10名家长代表在内，全部按票价的六 3x=100 解得 折（即全票价格的60%）收费.”若全票价为40 =60 元.请你通过计算说明：旅游人数在什么范围时 答：应购进100件甲种商品，60件乙种商品. 选择甲旅行社更省钱？ (2)设购进m件甲种商品，则购进(160一m)件乙 解：设学生人数为x, 种商品 甲旅行社的收费是10×40+40×50%×x 根据题意得 400+20x, 15m+35(160-m)4300. 乙旅行社的收费是(10+x)×40×60% (20-15)m+(45-35)(160-m)>1260, 240+24x. 解得65<m<68. 由题意得20r十40024xr十240，解得x>40 又m为正整数， 40+10=50(人). m可以为66,67， 答：当旅游人数大于50人时，选择甲旅行社更 ∴.共有2种进货方案。 省钱 方案1：购进66件甲种商品，94件乙种商品. 8.[2024西安逸翠园中学十七模]小明要代表区参加 销售完这批商品后可获利(20一15)×66+ 市举办的禁毒知识竞赛，共有25道题，规定答 (45-35)×94=1270(元). 对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只 方案2：购进67件甲种商品，93件乙种商品. 有得分超过90分才能获得决赛资格.问小明至 销售完这批商品后可获利(20一15)×67十 少答对多少道题才能获得决赛资格？ (45-35)×93=1265(元). 解：设小明答对x道题，则答错或不答(25一x) 1270>1265, 道题 ∴.当购进66件甲种商品，94件乙种商品时，获 由题意得6r一2(25-x)>90,解得x>35 利最大 2 13 微专题1计算题 (针对陕西中考第11一16陶) 类型1实数的混合运算 6.[2024长沙]先化简，再求值：2m一m(m-2)十 1.计算：小W3-1-(-）厂+an60. (m+3)m-3),其中m= 解：原式=2m一m2+2m十m2一9 解：原式=3一1+2+3 =41一9. =23+1. 2.[2024西安铁一中滨河校区九模改编]计算：|一√2|一 当m=时，原式=4X-9=1. (2024-π)°+-8 7.[2024西工大附中月考改编]先化简，再求值：(2x十 y)(2.xy)+(x十y),其中x=2,y=-1. 解：原式=/2一1+（一2） 解：原式=4x2一y2+x2+2xy十y =/2-1-2 =5x2+2ry. =/2-3. 当x=2,y=-1时，原式=5×2+2×2X(-1)=16 3.[2024西安高新一中九模改编]计算：√（一3） 8.[2024甘肃]先化简，再求值：[(2a十b)2-(2a十 2÷(-2)广+15-21 b)(2a-b)]÷2h.其中a=2,b=-1. 解：原式=[4a2+4ab+b-(4a2-b)门÷2b 解：原式=3-2÷(-8)+5-2 =(4a2+4ab+b2-4a2+b2)÷2b =(4ab+2b2)÷2b =3-2×(-8)+5-2 =2a十b =3+16+5-2 当a=2,b=-1时，原式=2×2一1=3， =17+√5. 9.先化简，再求值：(x十4)(x一4)十(x一3)2，其中 4.[2024西安逸翠园中学八模改编]计算： x2-3x+1=0. 5×(-而-27+(3) 解：原式=x2一16+x2一6+9 =2xr2-6x-7. 解：原式=-5、3-（-3)+9 x2-3x+1=0 =-5,3+3+9 ∴.x2-3x=-1, =12-53. ∴.2x2-6x=-2, 类型2整式的化简（含求值） .原式=-2-7=-9 5.[2024常州门先化简，再求值：(x十1)2一x(x十1)， 类型3解不等式（组） 其中x=5-1」 10.[2024西安高新-中五模]解不等式：-25x十4 3 解：原式=x2+2x+1-x2-x 解：去分母，得3x-65xr+4, =x+1. 移项、合并同类项，得一2x10, 当x=3-1时，原式=3-1+1=3. 系数化为1，得x>一5. 1山.[2024西交大附中三模]解不等式：1-7.1 解不等式②，得x>一1， 8 不等式组的解集为一1<x≤3， 3一2，并把它的解集在数轴上表示出来 4 不等式组的解集在数轴上表示如答图。 54320245 -2 -1 01 第11题图 第14题答图 解：去分母，得8-(7x-1)>2(3r-2), 类型4解一次方程（组）】 去括号，得8-7x十1>6x一4， 15.[2024西安铁一中陆港中学五模]解方程： 移项，得-7x一6x>-4-8-1, 3(x-1)=2-2x. 合并同类项，得一13x>一13， 解：去括号，得3x一3=2-2x, 系数化为1，得x<1. 移项，得3x+2x=2十3， 不等式的解集在数轴上表示如答图。 合并同类项，得5=5， 系数化为1，得x=L -5-4-3-2-1012345 第11题答图 16解方程：2号 3 2024西交大附中二模]求不等式2x一0 解：去分母，得3(3x+2)=2(x一1) 去括号，得9x十6=2x-2, 的负整数解。 移项、合并同类项，得7x=一8， 解：去分母，得4r一(6.x+1)6 去括号，得4x一6x一16. 系数化为1，得=一9 移项、合并同类项，得一27， 17.[2024西安铁一中滨河校区八模]解方程组： 系数化为1，得x≥一2 7 x十2+义=1 34 .不等式的负整数解为一3，一2，一1 2x十y=4. 13.[2024西交大附中六模]解不等式组： 知十3y=4,① 解：方程组化简为 x+5<4,① 2x+y=4,② 3x+1≥2x-1.@ ②×2，得4x十2y=8,③ 2 ①一③，得y=-4, 解：解不等式①，得x<一1， 把y=一4代入②，得x=4, 解不等式②，得3， x=4, ,不等式组的解集为x<一1： ,方程组的解为 y=-4 14.[2024西安铁一中滨河校区三模]解不等式组： 类型5分式的化简（含求值） 3-x≥2(x-3),① 2>-1,@ 并把其解集表示在数 18.[2024百安爱知中学-模]化简：1十m什户 m2-4n2 轴上 m十n· -5-4-3-2-1012345 解：原式=m十2n 十n Γm+n(m+2n)(m-2n】 第14题图 解：解不等式①，得x3, m一2n 15 1以.[202面安新装区二操1化简：（侣号。产气片 (m-1)2 解：原式=(m十1(m-)m+m a+4 =m-」.m(m十1 a-2 m+1 一 解：原式= (a+2)2-4.a-2 =1一m. (a+2)(a-2)a+4 =a+和+4-4.1 当m=s60=}时，原式=1一}= a+2a+4 =a(a+4),1 类型6解分式方程 a+2a+4 2从.22百安击证-中八横解方程：2一一1 a+2 解：去分母，得(x+1)2一4=(r+1)(x-1) 20.[2024西工大附中九模]先化简，再求值：(x十 去括号，得x2十2x+1一4=x2一1， 13)÷十4，再从12,3中选取 x-1 移项、合并同类项，得2x=2, 个适当的数代入求值， 系数化为1，得x=1 解：原式=x+1x1)-3÷(x-2 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0, x-1 x一1 ∴=1是原分式方程的增根，舍去， ∴原分式方程无解 =x+2x-2.r-1 x-I (x-2) 24[2021西安自红三中仁模解方程：2产2L =r+2 解：去分母，得2十x(x+2)=x2一4， x-2 去括号，得2十x2+2x=x2一4 要使分式有意义，必须x一1≠0且x一2≠0， 移项、合并同类项，得2x=一6， x不能为1和2，.取x=3. 系数化为1，得x=一3. 当x=3时，原式=士=5 3一2 检验：当x=一3时，(x十2)(x一2)≠0， 2先化简，再球值：)，其中 4 “x=一3是原分式方程的解， x=√2+1. 25[202百安烤系恒中学十区模]解方程：二没 解：原式=x+3-4.2x+3 1- x+3(x-1)月 x-3 =(x-1)·(x- 2 解：去分母，得3r一18=x(x一3)一x2, 去括号，得3x一18=x2一3x一x2, 2 x一 移项、合并同类项，得6r=18, 系数化为1，得x=3. 当x=2+1时，原式= =2. W2+1-1 检验：当x=3时，x(x一3)=0， 2.[2024龙东地区]先化简，再求值：m-2m+1: ∴x=3是原分式方程的增根，舍去， m2-1 原分式方程无解 (mm一小，其中m=as60c 16