精品解析：2024-2025学年沪科版数学八年级上册 期末综合测试卷(二)

期末综合测试卷（二） 时间：150分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2 在平面直角坐标系中，点P（﹣4，2）向右平移7个单位长度得到点P1，则点P1关于x轴对称的点P2的坐标是（　　） A. （﹣3，2） B. （﹣2，3） C. （3，﹣2） D. （2，﹣3） 3. 在平面直角坐标系中，函数图象如图所示，则下列判断正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D和E分别在和上，且，连接，过点A 的直线与平行，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 50° 6. 如图，在中，边的中垂线与的外角平分线交于点，过点作于点，于点.若，.则的长度是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（　　） A. 15 B. 12.5 C. 14.5 D. 17 8. 如图，在等边中，，，，相交于点P，则（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x kg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元， y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 甲园的门票费用是60元 B. 草莓优惠前的销售价格是40元/kg C. 乙园超过5 kg后，超过的部分价格优惠是打五折 D. 若顾客采摘12 kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同 10. 如图所示，在中，内角与外角平分线相交于点P，，与交于点H，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若（a﹣4）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是_____． 12. 如图，为了测量池塘两端点A，B间距离，小亮先在平地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE．现测得DE＝30米，则AB两点间的距离为__米． 13. 如图，在中，，点D在上，且，则___________． 14. 如图，在四边形中，，交于点，交于点，，，则_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，已知△ABC，点B在直线a上，直线a，b相交于点O． （1）画△ABC关于直线a对称的△A1B1C1； （2）在直线b上画出点P，使BP+CP最小． 16. 如图，在四边形中，，点是的中点，．求证：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知三角形ABC经过平移后得到三角形，点A与，点B与，点C与分别是对应点，观察各对应点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点A与，点B与，点C与的坐标； （2）若点P（2x，2y）通过上述的平移规律平移得到的对应点为，求x，y的值． 18. 如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD＝120°，∠CDB＝38°，求∠OBD的度数． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 设函数． （1）画出函数的图象． （2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 20. 已知：如图，∠XOY＝90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动（不与点O重合），BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C． （1）当∠OAB＝40°时，∠ACB＝　 　度； （2）随点A、B移动，试问∠ACB的大小是否变化？如果保持不变，请给出证明；如果发生变化，请求出变化范围． 六、（本题满分12分） 21. 某校计划采购凳子，商场有A、B两种型号的凳子出售，并规定：对于A型凳子，采购数量若超过250张，则超出部分可在原价基础上每张优惠a元；B型凳子的售价为40元/张．学校经测算，若购买300张A型凳子需要花费14250元；若购买500张A型凳子需要花费21250元． （1）求a的值； （2）学校要采购A、B两种型号凳子共900张，且购买A型凳子不少于150张且不超过B型凳子数量的2倍，请通过计算帮学校决策如何分配购买数量可以使得总采购费用最少？最少是多少元？ 七、（本题满分12分） 22. 如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 23. 平面直角坐标系中，点坐标为，分别是轴，轴正半轴上一点，过点作轴，，点在第一象限，，连接交轴于点，，连接． （1）请通过计算说明； （2）求证； （3）请直接写出的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末综合测试卷（二） 时间：150分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念（如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形），逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点P（﹣4，2）向右平移7个单位长度得到点P1，则点P1关于x轴对称的点P2的坐标是（　　） A. （﹣3，2） B. （﹣2，3） C. （3，﹣2） D. （2，﹣3） 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点P向右平移7个单位，横坐标加7，纵坐标不变，求出点P1的坐标；再根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出点P2的坐标即可． 详解】因为点P（﹣4，2）向右平移7个单位长度得到点P1， 所以P1的坐标为（﹣4+7，2）， 即P1（3，2）； 因为点P1关于x轴对称的点P2， 所以P2的坐标为（3，﹣2）， 故选：C． 【点睛】此题考查了坐标与图形变化-平移与对称，熟练掌握对称与平移性质是解本题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ，． ， 故选D． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时图象在一、二、四象限． 4. 如图，在中，点D和E分别在和上，且，连接，过点A 的直线与平行，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可得∠B=∠C=∠BAF，设∠B=x，则△ABC的三个内角都可用含x的代数式表示，然后根据三角形的内角和定理可得关于x的方程，解方程即得答案． 【详解】解：∵，∴∠B=∠C， ∵EF垂直平分AB，∴FA=FB，∴∠B=∠BAF， 设∠B=x，则∠BAF =∠C=x，， 根据三角形的内角和定理，得：，解得：，即． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理，属于常见题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 6. 如图，在中，边的中垂线与的外角平分线交于点，过点作于点，于点.若，.则的长度是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】连接AP、BP，如图，根据线段垂直平分线的性质可得AP=BP，根据角平分线的性质可得PE=PD，进一步即可根据HL证明Rt△AEP≌Rt△BDP，从而可得AE=BD，而易得CD=CE，进一步即可求得CE的长． 【详解】解：连接AP、BP，如图，∵PQ是AB的垂直平分线，∴AP=BP， ∵CP平分∠BCE，，，∴PE=PD， ∴Rt△AEP≌Rt△BDP（HL），∴AE=BD， ∵CD=，CE=，PE=PD，∴CD=CE， 设CE=CD=x，∵，，∴，解得：x=1，即CE=1． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、直角三角形全等的判定和勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键． 7. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（　　） A. 15 B. 12.5 C. 14.5 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=×5×5=12.5，即可得出结论． 【详解】如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E， ∵∠DAB=∠DCB=90°， ∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC， ∴∠D=∠ABE， 又∵∠DAB=∠CAE=90°， ∴∠CAD=∠EAB， 又∵AD=AB， ∴△ACD≌△AEB， ∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形， ∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等， ∵S△ACE=×5×5=12.5， ∴四边形ABCD的面积为12.5， 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 8. 如图，在等边中，，，，相交于点P，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定得出与全等，最后根据三角形中大角对大边比较即可解答． 【详解】解：等边中， ，， ，， ∴，， ， ， ， 在与中 ， ∴， ， ，，， ， ， ∵， ∴， ， 故选：A． 9. 甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x kg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元， y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 甲园的门票费用是60元 B. 草莓优惠前的销售价格是40元/kg C. 乙园超过5 kg后，超过的部分价格优惠是打五折 D. 若顾客采摘12 kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象逐一分析即可得出答案． 【详解】A． 从图象可以看出，当时，，所以甲园的门票费用是60元，正确，故该选项不符合题意； B． ，所以草莓优惠前的销售价格是40元/kg，正确，故该选项不符合题意； C． 乙园超过5 kg后，超过的部分销售价格是元/kg，是打五折，正确，故该选项不符合题意； D． 若顾客采摘12 kg草莓，甲园的花费是（元），乙园的花费是（元），所以总费用不相同，错误，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，能够从图象中获取信息是解题的关键． 10. 如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，与交于点H，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得，，然后可得①正确；过P作于M，于N，于S，根据角平分线的性质可得，然后利用三角形面积公式列式，继而得出，②错误；根据三线合一可知③正确；证明平分，然后根据平行线的性质和角平分线定义可得④正确． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，①正确； 过P作于M，于N，于S， ∵平分，平分， ∴， ∵， 但无法证明，②错误； ∵，平分， ∴垂直平分（三线合一），③正确； ∵， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴，④正确． 综上，正确的是①③④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，平行线的性质，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上的点到角两边距离相等是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若（a﹣4）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是_____． 【答案】14或16##16或14 【解析】 【分析】先根据非负数的性质得到a、b的长，再分为两种情况：①当腰是4，底边是6时，②当腰是6，底边是4时，求出即可． 【详解】解：∵（a﹣4）2+|b﹣6|＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣6＝0， ∴a＝4，b＝6， ①当腰是4，底边是6时，三边长是4，4，6，此时符合三角形的三边关系定理， 即等腰三角形的周长是4+4+6＝14； ②当腰是6，底边是4时，三边长是6，6，4，此时符合三角形的三边关系定理， 即等腰三角形的周长是6+6+4＝16． 故答案为：14或16． 【点睛】本题考查了非负数的性质（偶次方和绝对值），解题的关键是根据三角形三边关系判定等腰三角形，及三角形的周长公式． 12. 如图，为了测量池塘两端点A，B间的距离，小亮先在平地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE．现测得DE＝30米，则AB两点间的距离为__米． 【答案】30 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质得出AB的值． 【详解】解：在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝DE＝30米， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，得出全等三角形是解题关键． 13. 如图，在中，，点D在上，且，则___________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，涉及了等边对等角、三角形外角的性质，三角形的内角和定理，设，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ， ∵， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，交于点，交于点，，，则_____． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练运用相关知识是解题关键．首先根据平行线的性质可得，再证明，由全等三角形的性质可得，即为等腰三角形，然后计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，已知△ABC，点B直线a上，直线a，b相交于点O． （1）画△ABC关于直线a对称的△A1B1C1； （2）在直线b上画出点P，使BP+CP最小． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到关于直线对称的△； （2）先作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为点，此时根据两点之间，线段最短，即可得到的最小值等于线段的长． 【详解】解：（1）如图所示，分别做点A、B、C的对称点A1、B1、C1，连接A1B1、B1C1、A1C1,△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，作点C关于直线b的对称点C' ，连接B C'，交直线b与P点，点P即为所求． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 16. 如图，在四边形中，，点是的中点，．求证：． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质和平行线的性质证出，利用证明，即可得出结论． 【详解】∵， ∴， ∵AB//DC， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知三角形ABC经过平移后得到三角形，点A与，点B与，点C与分别是对应点，观察各对应点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点A与，点B与，点C与的坐标； （2）若点P（2x，2y）通过上述的平移规律平移得到的对应点为，求x，y的值． 【答案】（1）A（1，2），B（2，1），C（3，3），，， （2） 【解析】 【详解】（1）A（1，2），B（2，1），C（3，3），，，． （2）平移后的横坐标为-3＋2x，纵坐标为-3＋2y， ∴由题意，得解得 18. 如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD＝120°，∠CDB＝38°，求∠OBD的度数． 【答案】∠OBD＝41°． 【解析】 【分析】连接OA，OC，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OD，证明△ABO≌△COD，根据全等三角形的性质得到∠ABO=∠CDO，设∠OBD=∠ODB=α，∠ABO=∠CDO=β，解方程组即可求出∠OBD． 【详解】解：连接OA，OC， ∵OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AB＝CD， ∴△ABO≌△COD（SSS）， ∴∠ABO＝∠CDO， 设∠OBD＝∠ODB＝α，∠ABO＝∠CDO＝β， ∴α+β＝120°，β﹣α＝38°， ∴α＝41°， ∴∠OBD＝41°． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，二元一次方程组的应用.掌握方程思想是解决此题的关键. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 设函数． （1）画出函数的图象． （2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象以及一次函数与一元一次不等式的关系，属于基础题； （1）利用绝对值的意义化简得出，画出函数的图象． （2）不等式恒成立，即的最小值，结合图象即可得解； 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，函数， 与是与x轴平行的射线， 是经过点的一条线段（不含端点）， 所以其图象如图： 【小问2详解】 解：若关于x的不等式|恒成立， 则的最小值， 由(1)知， ∴ ∴， ∴， 解得. 20. 已知：如图，∠XOY＝90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动（不与点O重合），BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C． （1）当∠OAB＝40°时，∠ACB＝　 　度； （2）随点A、B的移动，试问∠ACB的大小是否变化？如果保持不变，请给出证明；如果发生变化，请求出变化范围． 【答案】（1）45;(2) ∠ACB的大小不发生变化． 【解析】 【分析】（1）先利用角平分线得出∠CAB＝∠OAB，∠EBA＝∠YBA，再利用三角形外角的性质即可得出结论； （2）先利用角平分线得出∠CAB＝∠OAB，∠EBA＝∠YBA，再利用三角形的外角的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）∵∠XOY＝90°，∠OAB＝40°， ∴∠ABY＝130°， ∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA， ∴∠CAB＝∠OAB＝20°，∠EBA＝∠YBA＝65°， ∵∠EBA＝∠C+∠CAB， ∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝45°， 故答案为45； （2）∠ACB的大小不变化． 理由：∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA， ∴∠CAB＝∠OAB，∠EBA＝∠YBA， ∵∠EBA＝∠C+∠CAB， ∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝∠YBA﹣∠OAB＝（∠YBA﹣∠OAB）， ∵∠YBA﹣∠OAB＝90°， ∴∠C＝×90°＝45°， 即：∠ACB大小不发生变化． 【点睛】此题主要考查了角平分线定理，三角形的外角的性质，解本题的关键是得出∠YBA﹣∠OAB＝90°． 六、（本题满分12分） 21. 某校计划采购凳子，商场有A、B两种型号的凳子出售，并规定：对于A型凳子，采购数量若超过250张，则超出部分可在原价基础上每张优惠a元；B型凳子的售价为40元/张．学校经测算，若购买300张A型凳子需要花费14250元；若购买500张A型凳子需要花费21250元． （1）求a的值； （2）学校要采购A、B两种型号凳子共900张，且购买A型凳子不少于150张且不超过B型凳子数量的2倍，请通过计算帮学校决策如何分配购买数量可以使得总采购费用最少？最少是多少元？ 【答案】（1）15；（2）购买A型凳子600张，购买B型凳子300张时总采购费用最少，最少36750元 【解析】 【分析】（1）设型凳子的售价为张，根据题意列方程组解答即可； （2）设购买型凳子张，则购买型凳子张，根据题意求出的取值范围；设总采购费用为元，根据题意得出与的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）设型凳子的售价为元张，根据题意得 ， 解得， 答：的值为15． （2）设购买型凳子张，则购买型凳子张， 根据题意得， 解得， 设总采购费用为元，根据题意得 当时，； 当时，， ， 当时，，随的增大而增大，时，的最小值为37500； 当时，，随的增大而减小，时，的最小值为36750． ， 购买型凳子600张，购买型凳子300张时总采购费用最少，最少是36750元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 七、（本题满分12分） 22. 如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 【答案】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，理由见解析；（2）2或 【解析】 【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC＋∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ； （2）讨论：①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可． 【详解】解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ． 理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵AP＝BQ＝2， ∴BP＝5， ∴BP＝AC， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）； ∴∠C＝∠BPQ， ∵∠C＋∠APC＝90°， ∴∠APC＋∠BPQ＝90°， ∴∠CPQ＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt 解得：x＝2，t＝1； ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t 解得：x＝，t＝． 综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 23. 平面直角坐标系中，点坐标为，分别是轴，轴正半轴上一点，过点作轴，，点在第一象限，，连接交轴于点，，连接． （1）请通过计算说明； （2）求证； （3）请直接写出的长为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）先根据点A坐标可得OA的长，再根据即可得证； （2）如图（见解析），延长至点，使得，连接，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据直角三角形的性质和得出，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （3）先由题（2）两个三角形全等可得，再根据平行线的性质得出，从而有，然后根据等腰三角形的定义（等角对等边）即可得． 【详解】（1） ，即 ； （2）如图，延长至点，使得，连接 ，轴 ，即； （3）由（2）已证， 轴 （等角对等边） 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的定义、平行线的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$