专题三 数列 第4讲　子数列与增减项问题-2025年高考数学二轮复习（新高考专用）

第4讲　子数列与增减项问题（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 2 【考点一】奇数项、偶数项 2 【考点二】两数列的公共项 4 【考点三】数列有关增减项问题 5 【专题精练】 6 考情分析： 子数列问题(包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列． 真题自测 一、解答题 1．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 2．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 考点突破 【考点一】奇数项、偶数项 一、单选题 1．（2024·全国·二模）数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，是数列的前项和，，，，，则（    ） A．，且 B．当，且时，数列是递减数列 C． D． 2．（2024·河北张家口·三模）已知数列的前n项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）数列前n项和为，且满足，，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 4．（2024·全国·模拟预测）已知数列中，，当为奇数时，，当为偶数时，，则（    ） A．数列是递减数列 B． C． D． 三、填空题 5．（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则 . 6．（2024·云南曲靖·一模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则 ，数列的前50项和为 ． 四、解答题 7．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 8．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足 当时， (1)求和，并证明当为偶数时是等比数列； (2)求 规律方法： (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型 ①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； ②含有(－1)n的类型； ③含有{a2n}，{a2n－1}的类型； ④已知条件明确的奇偶项问题． (2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k. 【考点二】两数列的公共项 一、单选题 1．（2024·河南·二模）已知数列和数列的通项公式分别为和，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列，则满足不等式的最大的整数（    ） A．134 B．135 C．136 D．137 2．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（    ） A．1678 B．1666 C．1472 D．1460 二、多选题 3．（2021·湖北黄冈·模拟预测）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C．的前项和 D．的前项和为 4．（2022·河北·模拟预测）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D．数列的前n项和为 三、填空题 5．（2024·吉林长春·模拟预测）设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为 ． 6．（2023·湖南邵阳·模拟预测）数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于 . 规律方法： 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数． 【考点三】数列有关增减项问题 一、单选题 1．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为的等差数列的前项，记构成的新数列为，若，则前65项的和为（    ） A． B．-13 C． D．-14 2．（2022·全国·模拟预测）某社团专门研究密码问题．社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，但密码的编写方式不变，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为的小数点后的前6位数字．编码方式如下；①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置；②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为的项得到新数列，即；若x为奇数．则在正奇数数列中依次插入数值为的项得到新数列，即③N为数列的前x项和．如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位．所以．前11项中有所以有8个奇数．故，所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则当日密码为（    ） A．125786 B．199600 C．200400 D．370370 二、多选题 3．（23-24高二下·河北承德·开学考试）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为7 4．（22-23高二下·广东佛山·阶段练习）在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列；第2次得到数列；第次得到数列记，数列的前项为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 . 6．（2024·河南安阳·三模）如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，数阵中各项均为正数，，则 ；在数列中的任意与两项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项和为，则 ． 规律方法： 解决此类问题的关键是通过阅读、理解题意，要弄清楚增加了(减少了)多少项，增加(减少)的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加(减少)部分分别求和，再相加(相减)即可． 专题精练 一、单选题 1．（2024·河南南阳·一模）已知等比数列的公比与等差数列的公差均为2，且，设数列满足，，则数列的前20项的和为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆·模拟预测）已知数列满足：，则（    ） A．511 B．677 C．1021 D．2037 3．（2023·河南·二模）大衍数列0，2，4，8，12，18，⋯来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.其通项公式为记数列的前n项和为，则（    ） 参考公式：. A．169125 B．169150 C．338300 D．338325 4．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列通项公式为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·河北秦皇岛·二模）将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则的前30项的和为（    ） A．3255 B．5250 C．5430 D．6235 6．（23-24高三上·江西·期中）在等差数列中，，成公比不为1的等比数列，是的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A．1 B． C． D． 7．（2023·江西南昌·二模）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（    ） A．4056 B．4096 C．8152 D．8192 8．（22-23高二上·浙江金华·期末）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（    ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 二、多选题 9．（2023·河南·模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列的前项和为，其通项公式 .则（    ） 参考公式： A． 是数列中的项 B． C． D． 10．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则k 的值可能为6 11．（2024·浙江绍兴·二模）已知数列与满足，且，.若数列保持顺序不变，在与项之间都插入个后，组成新数列，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ． 13．（2023·广东广州·一模）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 . 14．（2024·全国·模拟预测）已知，，，若将数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为 ． 四、解答题 15．（2024·福建厦门·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，，. (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，若，求n的最小值. 16．（2024·陕西安康·模拟预测）记数列的前项和为，已知且． (1)证明：是等差数列； (2)记，求数列的前2n项和． 17．（2024·全国·模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，数列满足． (1)求和的通项公式； (2)若将数列和的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的前n项和． 18．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式． 19．（2024·河北沧州·一模）在数列中，已知． (1)求数列的通项公式； (2)在数列中的和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…；在和之间插入个数，使成等差数列，这样可以得到新数列，设数列的前项和为，求（用数字作答）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲　子数列与增减项问题（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 4 【考点一】奇数项、偶数项 4 【考点二】两数列的公共项 12 【考点三】数列有关增减项问题 16 【专题精练】 20 考情分析： 子数列问题(包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列． 真题自测 一、解答题 1．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 2．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 参考答案： 1．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 2．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证； （3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解. 【详解】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）证明：因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； （3）因为 ， 所以 ， 设 所以， 则， 作差得 ， 所以， 所以. 考点突破 【考点一】奇数项、偶数项 一、单选题 1．（2024·全国·二模）数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，是数列的前项和，，，，，则（    ） A．，且 B．当，且时，数列是递减数列 C． D． 2．（2024·河北张家口·三模）已知数列的前n项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）数列前n项和为，且满足，，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 4．（2024·全国·模拟预测）已知数列中，，当为奇数时，，当为偶数时，，则（    ） A．数列是递减数列 B． C． D． 三、填空题 5．（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则 . 6．（2024·云南曲靖·一模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则 ，数列的前50项和为 ． 四、解答题 7．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 8．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足 当时， (1)求和，并证明当为偶数时是等比数列； (2)求 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D A ABD BD 1．D 【分析】首先分别求奇数项和偶数项的通项公式，再根据通项公式，判断选项. 【详解】由，所以， 奇数项的首项为，公比，偶数项的首项，公比， 所以，， A. ，，即，当时，不成立，故A错误； B.，，，所以当，且时，数列不是递减数列，故B错误； C.，故C错误； D.， ，故D正确. 故选：D 2．A 【分析】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记，利用构造法求得，然后分组求和可得. 【详解】因为， 所以，，且， 所以， 记，则，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 记的前n项和为，则. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于先分奇数项和偶数项求递推公式，然后再并项得的递推公式，利用构造法求通项，将问题转化为求的前50项和. 3．ABD 【分析】A选项直接由递推关系式即可求出；B选项由即可判断；C,D选项由分组求和及等比数列求和公式即可判断. 【详解】对于A：，正确； 对于B: ，有， 两式相加，得，又， 所以，为偶数 由，得：，也即，为奇数， 所以，正确； 对于C:由B可知： ， 则，错误. 对于D：数列的前项和记为， ，正确 故选：ABD 4．BD 【分析】根据题意分别得到数列的奇数项与偶数项的性质，进而得到其通项公式，从而判断ABC，利用等比数列的求和公式与分组求和法判断D. 【详解】对于AB：当为奇数时，，则， 则数列的奇数项是以3为首项，为公比的等比数列， 所以当为奇数时，. 当为偶数时，，则， 则数列的偶数项是以2为首项，为公比的等比数列， 所以当为偶数时，， 所以，，易知A错误，B正确； 对于C：由以上分析知， 所以，故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：BD. 5． 【分析】依题意可得，记，即可得到，从而求出的通项公式，再由分组求和法计算可得. 【详解】因为， 所以，，且， 所以， 记，则，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 记的前项和为， 则 . 故答案为： 6． 50 650 【分析】当时，，当时，，可推出，利用累加法可得，从而求得即可求解，根据，即可求解. 【详解】当时，①，当时，②， 由①②可得，， 所以， 累加可得，， 所以， 令且为奇数)，，当时，成立， 所以当为奇数，， 当为奇数，， 所以当为偶数，， 所以 故； 根据 所以的前项的和． 故答案为：； 7．(1) (2) 【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，解得或， 因为，所以，则； （2）由（1）可得， 所以 . 8．(1)3，7，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用递推公式易求，，利用递推关系可证结论； （2）由（1）可得为偶数时，，当为奇数时，， 可求得，计算可求结论. 【详解】（1）因为 当时，， 所以，. ，，又， 当为偶数时，是以为首项，以为公比的等比数列； （2）由（1）知，， 设，则   为偶数时， 当为奇数时， ； 设，为奇数时，， . 规律方法： (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型 ①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； ②含有(－1)n的类型； ③含有{a2n}，{a2n－1}的类型； ④已知条件明确的奇偶项问题． (2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k. 【考点二】两数列的公共项 一、单选题 1．（2024·河南·二模）已知数列和数列的通项公式分别为和，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列，则满足不等式的最大的整数（    ） A．134 B．135 C．136 D．137 2．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（    ） A．1678 B．1666 C．1472 D．1460 二、多选题 3．（2021·湖北黄冈·模拟预测）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C．的前项和 D．的前项和为 4．（2022·河北·模拟预测）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D．数列的前n项和为 三、填空题 5．（2024·吉林长春·模拟预测）设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为 ． 6．（2023·湖南邵阳·模拟预测）数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A B BC BD 1．A 【分析】求出数列的通项公式，再解不等式即得. 【详解】依题意，令，则，即有，显然是5的正整数倍， 令，因此，由，解得， 所以最大的整数. 故选：A 2．B 【分析】求出新数列的公差，确定新数列的项数，利用前项和公式求解即可. 【详解】第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6， 故新数列的公差是4和6的最小公倍数12， 则新数列的公差为12，首项为2， 其通项公式为， 令，得， 故， 则， 故选：B. 3．BC 【分析】先分析出数列为数列的子数列，从而判断出，求出的前项和. 【详解】令， 所以， 当时，，所以数列为数列的子数列， 所以，所以的前项为. 故选：BC. 【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质． 4．BD 【分析】与公共项从小到大排列出，可知为等比数列，求出通项公式再利用错位相减求的前n项和，即可知正确选项. 【详解】数列中的项为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31， 34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，…， 数列中的项为2，4，8，16，32，64，128，…， ∴数列是首项为4，公比为4的等比数列， ∴； ∴，记数列的前n项和为， 则， ， 两式相减： ， ∴. 故选：BD 5． 【分析】由和的关系，结合等比数列的定义和通项公式，可得，再由题意得到求得k，即可求解. 【详解】由，可得， 解得， 当时，， 即， 可得数列是首项和公比均为3的等比数列， 所以， 设是的第m项，则， 因为， 所以不是中的项， 因为， 所以是中的项， 所以 所以. 故答案为：. 6．/1.75 【分析】由条件求数列的通项公式，再研究数列的单调性，由此确定其最大项. 【详解】数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列为： ，该数列为首项为1，公差为的等差数列， 所以， 所以 因为 所以当时，，即， 又， 所以数列的最大项为第二项，其值为. 故答案为：. 规律方法： 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数． 【考点三】数列有关增减项问题 一、单选题 1．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为的等差数列的前项，记构成的新数列为，若，则前65项的和为（    ） A． B．-13 C． D．-14 2．（2022·全国·模拟预测）某社团专门研究密码问题．社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，但密码的编写方式不变，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为的小数点后的前6位数字．编码方式如下；①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置；②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为的项得到新数列，即；若x为奇数．则在正奇数数列中依次插入数值为的项得到新数列，即③N为数列的前x项和．如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位．所以．前11项中有所以有8个奇数．故，所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则当日密码为（    ） A．125786 B．199600 C．200400 D．370370 二、多选题 3．（23-24高二下·河北承德·开学考试）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为7 4．（22-23高二下·广东佛山·阶段练习）在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列；第2次得到数列；第次得到数列记，数列的前项为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 . 6．（2024·河南安阳·三模）如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，数阵中各项均为正数，，则 ；在数列中的任意与两项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项和为，则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A B ABD AC 1．A 【分析】根据题意，得到数列中及其后面项的和为，求解. 【详解】解：数列为：， ， 设及其后面项的和为，则， 所以数列是以1为首项，公差为的等差数列. 所以前65项的和为， 故选：A. 2．B 【分析】按照所给密码规则，逐条对照计算求解即可. 【详解】X在26个英文字母中排第24位．所以，前24项中有，所以有21个偶数． 故， 的小数点后的前6位数字为199600． 故选：B 3．ABD 【分析】求出通项判断A；求出公差、通项判断BC；探讨数列与的下标关系判断D. 【详解】对于A，由题意得，A正确； 对于B，新数列的首项为2，公差为2，故，B正确； 对于C，由B选项知，令，则，即是数列的第8项，C错误； 对于D，插入个数，则， 则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以1为首项，为公差的等差数列， 于是，而是数列的项，令，当时，，D正确. 故选：ABD 4．AC 【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时 第次得到数列1，，2 此时，故A项正确； 结合A项中列出的数列可得： 用等比数列求和可得 则 又 所以 ，则，故B项错误； 由B项分析可知，故C项正确. ，故D项错误. 故选：AC. 5． 【分析】 先计算出等差数列的公差，进而得到新的等差数列的公差，从而求出的通项公式，求出新数列的第项. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以， 设在数列每相邻两项之间插入三个数所得新数列为， 则新的等差数列的公差为，首项为， 所以新数列的通项公式为， 故. 故答案为：. 6． 【分析】设第一行公差为，各列的公比为且，结合已知条件求得，即可写出通项公式；再根据题意确定前70项的组成，应用分组求和、等比数列前n项和公式求和即可. 【详解】设第一行公差为，各列的公比为且，且， 则，，，， 所以，则， 由各项均为正数，故，则，即， 综上，，故， 由上，前n项为，且， 故在之前共有项， 则，则， 综上，前70项为， . 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：利用等差、等比数列通项公式求行列间的公差、公比，确定行列通项公式为关键. 规律方法： 解决此类问题的关键是通过阅读、理解题意，要弄清楚增加了(减少了)多少项，增加(减少)的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加(减少)部分分别求和，再相加(相减)即可． 专题精练 一、单选题 1．（2024·河南南阳·一模）已知等比数列的公比与等差数列的公差均为2，且，设数列满足，，则数列的前20项的和为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆·模拟预测）已知数列满足：，则（    ） A．511 B．677 C．1021 D．2037 3．（2023·河南·二模）大衍数列0，2，4，8，12，18，⋯来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.其通项公式为记数列的前n项和为，则（    ） 参考公式：. A．169125 B．169150 C．338300 D．338325 4．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列通项公式为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·河北秦皇岛·二模）将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则的前30项的和为（    ） A．3255 B．5250 C．5430 D．6235 6．（23-24高三上·江西·期中）在等差数列中，，成公比不为1的等比数列，是的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A．1 B． C． D． 7．（2023·江西南昌·二模）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（    ） A．4056 B．4096 C．8152 D．8192 8．（22-23高二上·浙江金华·期末）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（    ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 二、多选题 9．（2023·河南·模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列的前项和为，其通项公式 .则（    ） 参考公式： A． 是数列中的项 B． C． D． 10．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则k 的值可能为6 11．（2024·浙江绍兴·二模）已知数列与满足，且，.若数列保持顺序不变，在与项之间都插入个后，组成新数列，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ． 13．（2023·广东广州·一模）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 . 14．（2024·全国·模拟预测）已知，，，若将数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为 ． 四、解答题 15．（2024·福建厦门·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，，. (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，若，求n的最小值. 16．（2024·陕西安康·模拟预测）记数列的前项和为，已知且． (1)证明：是等差数列； (2)记，求数列的前2n项和． 17．（2024·全国·模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，数列满足． (1)求和的通项公式； (2)若将数列和的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的前n项和． 18．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式． 19．（2024·河北沧州·一模）在数列中，已知． (1)求数列的通项公式； (2)在数列中的和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…；在和之间插入个数，使成等差数列，这样可以得到新数列，设数列的前项和为，求（用数字作答）． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D C C C D ABD ABD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】利用等差数列、等比数列的定义及求和公式计算即可. 【详解】因为，所以，则， 根据题意，， 所以 . 故选：B. 2．B 【分析】由题意可得，，结合所给条件计算即可得. 【详解】 . 故选：B. 3．B 【分析】根据分组求和以及参考公式即可求解. 【详解】由， 故 . 故选：B 4．D 【分析】首先判断出数列项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 即 所以的前项和. 故选：D. 5．C 【分析】根据等差数列的特点得到数列和数列均为等差数列，然后令，得到，然后通过列举得到数列为等差数列，最后利用等差数列求和公式计算即可. 【详解】显然数列和数列均为等差数列， 令，其中， 可得，则， 则数列为等差数列，且，公差为， 所以的前30项的和为. 故选：C. 6．C 【分析】根据题意，求得，，进而得到数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为，得出，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，成公比不为1的等比数列， 所以，可得，解得， 所以，则，可得， 由数列为正奇数列， 对于数列，设时，可得为偶数； 当时，可得为奇数， 所以数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为， 则， 所以. 故选：C. 7．C 【分析】插入组共个，可知前面插入12组数，最后面插入9个，从而可得插入的数之和为，又数列的前13项和，可得 【详解】插入组共个，∵，∴前面插入12组数，最后面插入9个． ， ∵， ∴ ， 又数列的前13项和为 ， 故选：C． 8．D 【分析】根据数列的定义，求出通项，由通项讨论数列的单调性. 【详解】数列是各项为正数的等比数列，则公比为， 由题意，得， 时，，有，，数列单调递增，A选项错误； 时，，，若数列单调递增，则， 即，由，需要，故B选项错误； 时，，解得， 时，，由，若数列单调递减，则， 即，而 不能满足恒成立，C选项错误； 时，，解得或，由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确. 故选：D 【点睛】思路点睛：此题的入手点在于求数列的通项，根据的定义求得通项，再讨论单调性. 9．ABD 【分析】根据的通项公式，分类讨论为奇偶情况，即可逐项求解判断. 【详解】对A：当为偶数时，，解得，不符题意； 当为奇数时，，解得，符合题意，故A正确； 对B： ，故B正确； 对C：由题意知 ， 所以，故C错误； 对D： 故D正确； 故选：ABD. 10．ABD 【分析】对于选项A：根据等差数列通项公式运算即可；对于BC：分析可知公差，结合等差数列通项公式运算求解；对于D：可知公差，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】对于选项A：因为，故A 正确； 对于选项BC：当时，可知公差， 所以，故B正确； 则，令，解得， 所以是数列中的项，故 C错误； 对于选项D，当时，可知公差， 则，即， 所以若是数列中的项，则k 的值可能为6，故D正确. 故选 ：ABD. 11．BCD 【分析】利用构造等比数列法判断A；继而结合可判断B；根据数列的规律，计算数列的项数，可确定，判断C，确定数列的项，利用等比数列的求和公式可判断D. 【详解】对于A，，且，则， 即数列为等比数列，，故， 则，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，新数列为，由于，， 即数列从到共有项，到共有项， 而和之间有个10，故，C正确； 对于D，结合C的分析，可得 ，D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键时CD选项的判断，解答时要结合数列的特点，判断数列的项数，从而确定项的取值. 12． 【分析】根据已知条件得到关于、的二元一次方程组，解方程组，求出、，即可求出数列的通项公式，，由此可得数列的通项公式，分组求和即可求解. 【详解】设等差数列的公差为．由，得①， 由得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 所以 ． 故答案为： 13． 【分析】由题意归纳得出，即得的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案. 【详解】数列：，数列：， 则为：，则， 所以， 故， 故答案为： 14． 【分析】分类讨论奇偶性，可知，利用裂项相消法分析求解. 【详解】因为数列是正奇数组成的数列， 所以数列中所有的奇数是数列和数列的公共项， 当为奇数时，设，则，为奇数； 当为偶数时，设，则，为偶数； 综上所述：. 则， 所以． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是观察数列的通项公式，发现数列是正奇数组成的数列，故可以通过判断数列各项的奇偶，得到，再利用裂项相消法求和即可． 15．(1) (2)5 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解， （2）根据等差求和公式以及等比求和公式，结合分组求解可求解，即可根据不等式求解. 【详解】（1）设数列的公差为d， 依题意，， 即，解得， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，所以， ， 恒成立， 令， 由，由于，所以. 所以 又，，， 所以的最小值为5. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助与的关系计算可得，结合等差数列定义即可得； （2）计算出通项公式后，可得，结合分组求和法，借助等差数列求和公式与等比数列求和公式计算即可得. 【详解】（1）当时，，则． 因为，所以当时，， 两式相减得，即， 因为，所以，即， 故是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）知，，所以， 故 . 17．(1)，； (2)． 【分析】（1）运用等差数列的求和公式和它们的通项公式，就可求出结果； （2）关键在于证明数列中的任意一项，都在数列中存在公共项，这里用到了二项式定理进行证明，从而利用等比数列求和公式就可以得到结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意得，解得， 所以由等差数列的通项公式可得：． 由得数列是首项为4，公比为4的等比数列， 所以由等比数列的通项公式可得： （2）令，则可得， 所以 ， 即对于数列中的任意一项，都在数列中存在公共项， 所以数列是数列的子数列，从而可得， 所以． 18．(1)， (2) 【分析】（1）对，两边同时取对数，对分类讨论即可求出，由等差数列定义即可求出； （2）令，解出即可得解. 【详解】（1），， 当时，， 当时，，即， 而，满足上式， 所以数列的通项公式为； 若数列满足，（，）， 则， 从而数列的通项公式为； （2）令，解得，这表明， 从而只能， 所以， 所以数列的通项公式为. 19．(1) (2)14337 【分析】（1）根据数列的前项和求数列的通项公式，一定要分和讨论. （2）首先弄清楚新数列前55项的构成，再转化为错位相减法求和. 【详解】（1）当时，； 当时，， 所以，. 当时，上式亦成立， 所以：. （2）由. 所以新数列前55项中包含数列的前10项，还包含，，，，，，，，. 且，，， . 所以 . 设 则， 所以. 故：. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是要弄清楚新数列前55项的构成.可先通过列举数列的前几项进行观察得到规律. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$