专题三 数列 第2讲　数列求和及其综合应用-2025年高考数学二轮复习（新高考专用）

第2讲　数列求和及其综合应用（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 3 【考点一】数列求和 3 【考点二】数列的综合问题 5 【专题精练】 7 考情分析： 1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法. 2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等. 3.主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等． 真题自测 一、解答题 1．（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 2．（2024·天津·高考真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若． (1)求数列前项和； (2)设，． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 3．（2024·广东江苏·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 4．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 5．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 6．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 7．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 8．（2022·北京·高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列． (1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； (2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4； (3)若为连续可表数列，且，求证：． 考点突破 【考点一】数列求和 核心梳理： 1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：＝； ＝. 2．错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列． 一、解答题 1．（2024·天津·二模）已知为等差数列，是公比为2的等比数列．，且． (1)求数列和的通项公式； (2)若 ①当为奇数，求； ②求． 2．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 3．（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在数列中，且满足（且）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 5．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 6．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 7．（2024·全国·模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 8．（23-24高三上·安徽合肥·期末）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（modm）（“|”为整除符号）． (1)解同余方程（mod3）； (2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中． ①若（），数列的前n项和为，求； ②若（），求数列的前n项和． 规律方法： (1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差． (2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项． (3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式． 【考点二】数列的综合问题 核心梳理： 数列与函数、不等式，以及数列新定义的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养．解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解． 一、解答题 1．（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，证明：. 2．（2024·广东广州·二模）已知数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)令，记为的前项和，证明：时，. 3．（2024·浙江·模拟预测）已知实数，定义数列如下：如果，，则． (1)求和（用表示）； (2)令，证明：； (3)若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得． 4．（2024·甘肃定西·一模）在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， (1)计算； (2)设数列满足，求的通项公式； (3)设排列满足，求， 5．（2024·河南·三模）已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质． (1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质； (2)设数列的各项均为正数，且具有性质． ①若数列是公比为的等比数列，且，求的值； ②求的最小值． 6．（2024·广东深圳·二模）无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是． (1)写出这个数列的前7项； (2)如果且，求m，n的值； (3)记，，求一个正整数n，满足． 规律方法： 数列的“新定义问题”，主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，关键是将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系，主要考查的还是数列的基础知识． 专题精练 一、单选题 1．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏·期末）设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　  ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）在数列中，已知，，则的前11项的和为（    ） A．2045 B．2046 C．4093 D．4094 4．（2024·四川南充·模拟预测）如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项. 记，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 5．（2024·全国·模拟预测）已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 6．（2023·湖北武汉·三模）将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2024·江苏徐州·一模）已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 8．（2024·云南·模拟预测）当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源､交通､信息通信等领域有关技术加速融合，电动化､网联化､智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型升级，从2024年起大力发展新能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至2030年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（    ）参考数据：，结果精确到0.1） A．320.5亿元 B．353.8亿元 C．363.2亿元 D．283.8亿元 二、多选题 9．（2024·全国·模拟预测）对函数给出如下新定义：若在区间上为定值（其中表示不超过的最大整数，如），则称为的一个“整元”，将区间上从左到右所有“整元”的和称为在上的“整积分”，下列说法正确的是（    ） A．在区间上的“整积分”为 B．在区间上的“整积分”为4950 C．在区间上的“整积分”为 D．在区间上的“整积分”为 10．（2024·山东济宁·三模）已知数列的前项和为，且满足，数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．若，则 11．（23-24高三下·江西·开学考试）已知数列的前项和为，且，数列与数列的前项和分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，，，数列，满足，则数列的前2024项的和为 ． 13．（2024·浙江·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 . 14．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则 ， 四、解答题 15．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和为． 16．（2024·宁夏·一模）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，证明：． 17．（2024·山东菏泽·一模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求证：． 18．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布. (1)对于正整数，求，并根据，求； (2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为. （i）求； （ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求. 19．（2023·北京东城·一模）已知数表中的项互不相同，且满足下列条件： ①； ②. 则称这样的数表具有性质. (1)若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值； (2)对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得； (3)对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲　数列求和及其综合应用（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 14 【考点一】数列求和 14 【考点二】数列的综合问题 22 【专题精练】 29 考情分析： 1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法. 2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等. 3.主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等． 真题自测 一、解答题 1．（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 2．（2024·天津·高考真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若． (1)求数列前项和； (2)设，． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 3．（2024·广东江苏·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 4．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 5．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 6．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 7．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 8．（2022·北京·高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列． (1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； (2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4； (3)若为连续可表数列，且，求证：． 参考答案： 1．(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 2．(1) (2)①证明见详解；② 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解； （2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列； 2.根据等差数列求和分析可得. 3．(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可； （2）根据可分数列的定义即可验证结论； （3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义. 【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. （3）定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论. 4．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 5．(1) (2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 6．(1) (2)见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 7．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证； （3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解. 【详解】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）证明：因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； （3）因为 ， 所以 ， 设 所以， 则， 作差得 ， 所以， 所以. 8．(1)是连续可表数列；不是连续可表数列． (2)证明见解析． (3)证明见解析． 【分析】（1）直接利用定义验证即可； （2）先考虑不符合，再列举一个合题即可； （3）时，根据和的个数易得显然不行，再讨论时，由可知里面必然有负数，再确定负数只能是，然后分类讨论验证不行即可． 【详解】（1），，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列． （2）若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾； 当时,数列，满足，，，，，，，， ． （3），若最多有种，若，最多有种，所以最多有种， 若，则至多可表个数，矛盾, 从而若,则，至多可表个数， 而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ， 则所有数之和，， ，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个， （仅一种方式）， 与2相邻， 若不在两端,则形式， 若，则（有2种结果相同，方式矛盾）， ， 同理 ，故在一端，不妨为形式， 若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行， ，则 （有2种结果相同，矛盾），从而， 由于,由表法唯一知3,4不相邻,、 故只能，①或，② 这2种情形， 对①：，矛盾， 对②：，也矛盾，综上， 当时，数列满足题意， ． 【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从到中间的任意一个值．本题第二问时，通过和值可能个数否定；第三问先通过和值的可能个数否定，再验证时，数列中的几项如果符合必然是的一个排序，可验证这组数不合题． 考点突破 【考点一】数列求和 核心梳理： 1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：＝； ＝. 2．错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列． 一、解答题 1．（2024·天津·二模）已知为等差数列，是公比为2的等比数列．，且． (1)求数列和的通项公式； (2)若 ①当为奇数，求； ②求． 2．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 3．（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在数列中，且满足（且）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 5．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 6．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 7．（2024·全国·模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 8．（23-24高三上·安徽合肥·期末）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（modm）（“|”为整除符号）． (1)解同余方程（mod3）； (2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中． ①若（），数列的前n项和为，求； ②若（），求数列的前n项和． 参考答案： 1．(1) (2)① ；② 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式列方程求解； （2）①利用条件直接求解；②求出当为偶数时，然后利用倒序相加以及错位相减法求和即可. 【详解】（1）设数列的公差为的公比为， 由已知可得，得， ； （2）①为奇数，为偶数．      ； ②当为偶数，为奇数， 令， ， 即， ， 所以 所以 所以 所以. 2．(1) (2) 【分析】（1）首先求出，可证明数列为首项为，公差为的等差数列，得到，利用得到的通项公式； （2）由（1）知，，化简可得，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列的前项和. 【详解】（1）当时，由，即，解得：， 所以，则数列为首项为，公差为的等差数列； 所以，则， 当时，， 当时，满足条件， 所以的通项公式为 （2）由（1）知，， 所以， 故， 即 3．(1) (2)当为偶数时，，当为奇数时，. 【分析】（1）根据等差数列前和公式即可求出，则得到其通项公式； （2）分为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可. 【详解】（1）由题意得是公差为2的等差数列，且， 即，又因为，所以， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 经检验，时，满足， 综上，当为偶数时，， 当为奇数时，. 4．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）变形得到，得到结论； （2）在（1）的基础上得到，进而利用分组求和可得. 【详解】（1）（且）， （且）， ， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）是首项为2，公比为2的等比数列， ，故， . 5．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据通项与前项和之间的关系，作差可得，即可利用等比数列的定义求解， （2）根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解. 【详解】（1）时，，即. 又，也符合， 所以时，，即. 又，所以， 所以，所以数列成等比数列. （2）由（1）易得.由可得，所以. 所以， 所以. 令， 则， 所以， 所以. 6．(1)； (2)． 【分析】（1）当时，求得，当时，得到，两式相减化简得到，结合叠加法，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，求得， 解法1：根据题意，转化为，结合，结合基本不等式，即可求解； 解法2：根据题意，转化为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，， 两式相减可得，， 则， 叠加可得，，则， 而时也符合题意， 所以数列的通项公式为． （2）解：由（1）知，可得， 故； 解法1：由，可得， 即，即则，又由， 当且仅当时取等号，故实数的取值范围为． 解法2：由， 可得， 当，即时，， 则，故实数的取值范围为． 7．(1) (2) 【分析】（1）先利用题给条件求得数列是公比为3的等比数列，再求得其首项的值，进而求得数列的通项公式； （2）利用错位相减法即可求得数列的前项和． 【详解】（1），． ， ，， 数列是公比为3的等比数列． ，，． （2）由（1）知，， ，① ，② ①②得 ， ． 8．(1)或（）． (2)①3036；② 【分析】（1）根据带除的定义求解，（mod3），即能被3整除，从而得出或能被3整除； （2）①首先求出（分奇偶项），确定出，用并项求和法求和；②求出，利用两角差的正切公式变形通项，结合裂项相消法求和． 【详解】（1）由题意（mod3），所以或（），即或（）． （2）由（1）可得为，所以． ①因为（），所以． ． ②（）． 因为， 所以 ． 【点睛】关键点点睛：本题考查学生的阅读理解能力，创新意识，解题关键是正确理解新概念并能应用解题，本题中同余问题，实质就是除以一个质数后的余数相等，问题转化后可结合数列的求和方法，两角差的正切公式等等知识才能顺利求解． 规律方法： (1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差． (2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项． (3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式． 【考点二】数列的综合问题 核心梳理： 数列与函数、不等式，以及数列新定义的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养．解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解． 一、解答题 1．（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，证明：. 2．（2024·广东广州·二模）已知数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)令，记为的前项和，证明：时，. 3．（2024·浙江·模拟预测）已知实数，定义数列如下：如果，，则． (1)求和（用表示）； (2)令，证明：； (3)若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得． 4．（2024·甘肃定西·一模）在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， (1)计算； (2)设数列满足，求的通项公式； (3)设排列满足，求， 5．（2024·河南·三模）已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质． (1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质； (2)设数列的各项均为正数，且具有性质． ①若数列是公比为的等比数列，且，求的值； ②求的最小值． 6．（2024·广东深圳·二模）无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是． (1)写出这个数列的前7项； (2)如果且，求m，n的值； (3)记，，求一个正整数n，满足． 参考答案： 1．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列递推式，采用两式相减的方法，即可求得答案； （2）由（1）的结果可得的表达式，利用分组求和法，即可证明结论. 【详解】（1）由题意可知，当时，； 当时，由得，， 两式作差可得，， 也适合该式，故； （2）证明：由题意知， 故 ， 由于，则，故， 即. 2．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用递推关系，把换成，得到两式相减，得到，再累乘后可得到通项； （2）用错位相减法求出，再将证明不等式作差，之后利用导数的单调性证明即可. 【详解】（1）因为， 所以， 作差可得，变形为，即，即，化简为， 因为，所以， 因为， 所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以，， 作差可得， 所以， ， 设，则在给定区间上递减，又 故在是减函数，， 所以当时，. 3．(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）观察题目条件等式中的系数可得答案； （2），分别计算和可证明结论； （3）先根据无上界说明存在正整数，使得，分是偶数和是奇数分别说明. 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； （2）由数列定义得：；所以． 而， 所以； （3）当，由（2）可知，无上界，故对任意，存在，使得． 设是满足的最小正整数．下面证明． ①若是偶数，设， 则，于是． 因为，所以． ②若是奇数，设， 则． 所以． 综上所述，对于任意正整数，存在正整数，使得． 4．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列中的逆序个数， 从而得解； （2）利用逆序数的定义得到，从而利用构造法推得是等比数列，从而得解； （3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到，再利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）在排列中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个， 与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个， 所以. （2）由（1）中的方法，同理可得， 又，所以， 设，得， 所以，解得，则， 因为， 所以数列是首项为1，公比为5的等比数列， 所以，则. （3）因为， 所以， 所以， 所以. 5．(1)证明见解析； (2)①；②的最小值为4. 【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式及前项和，再利用定义判断即得. （2）①根据给定条件，可得，再按，探讨，当时，，又按且讨论得解；②由定义，消去结合基本不等式得，再迭代得，借助正项数列建立不等式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得， 解得，则， 于是，即， 所以数列具有性质． （2）①由数列具有性质，得，又等比数列的公比为， 若，则，解得，与为任意正整数相矛盾； 当时，，而，整理得， 若，则，解得，与为任意正整数相矛盾； 若，则，当时，恒成立，满足题意； 当且时，，解得，与为任意正整数相矛盾； 所以. ②由，得，即， 因此，即， 则有， 由数列各项均为正数，得，从而，即， 若，则，与为任意正整数相矛盾， 因此当时，恒成立，符合题意， 所以的最小值为4． 【点睛】易错点睛：等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，漏掉对的讨论. 6．(1)，，，，，，； (2)； (3)（答案不唯一，满足即可） 【分析】（1）根据数列的定义，逐一求解； （2）根据数列的定义，分和分别求解； （3）根据数列的定义，写出的值，即可求解. 【详解】（1）根据题意，，， ，，， ，． （2）由已知，m，n均为奇数，不妨设． 当时，因为，所以，故； 当时，因为，而n为奇数，，所以． 又m为奇数，，所以存在，使得为奇数． 所以． 而，所以，即，，无解． 所以． （3）显然，n不能为偶数，否则，不满足． 所以，n为正奇数． 又，所以． 设或，． 当时，，不满足； 当时，，即． 所以，取，时， 即． 【点睛】关键点点睛：第（3）问中，发现当时，满足，从而设，，验证满足条件. 规律方法： 数列的“新定义问题”，主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，关键是将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系，主要考查的还是数列的基础知识． 专题精练 一、单选题 1．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏·期末）设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　  ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）在数列中，已知，，则的前11项的和为（    ） A．2045 B．2046 C．4093 D．4094 4．（2024·四川南充·模拟预测）如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项. 记，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 5．（2024·全国·模拟预测）已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 6．（2023·湖北武汉·三模）将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2024·江苏徐州·一模）已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 8．（2024·云南·模拟预测）当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源､交通､信息通信等领域有关技术加速融合，电动化､网联化､智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型升级，从2024年起大力发展新能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至2030年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（    ）参考数据：，结果精确到0.1） A．320.5亿元 B．353.8亿元 C．363.2亿元 D．283.8亿元 二、多选题 9．（2024·全国·模拟预测）对函数给出如下新定义：若在区间上为定值（其中表示不超过的最大整数，如），则称为的一个“整元”，将区间上从左到右所有“整元”的和称为在上的“整积分”，下列说法正确的是（    ） A．在区间上的“整积分”为 B．在区间上的“整积分”为4950 C．在区间上的“整积分”为 D．在区间上的“整积分”为 10．（2024·山东济宁·三模）已知数列的前项和为，且满足，数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．若，则 11．（23-24高三下·江西·开学考试）已知数列的前项和为，且，数列与数列的前项和分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，，，数列，满足，则数列的前2024项的和为 ． 13．（2024·浙江·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 . 14．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则 ， 四、解答题 15．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和为． 16．（2024·宁夏·一模）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，证明：． 17．（2024·山东菏泽·一模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求证：． 18．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布. (1)对于正整数，求，并根据，求； (2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为. （i）求； （ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求. 19．（2023·北京东城·一模）已知数表中的项互不相同，且满足下列条件： ①； ②. 则称这样的数表具有性质. (1)若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值； (2)对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得； (3)对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C C B C B BCD BC 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】根据递推关系利用累乘法求出通项，利用错位相减法求出的前100项和得解. 【详解】由，得， 所以，，，，（，）， 累乘可得，又，得. 设①， 则②， ①-②得， ， ， . 故选：C. 2．D 【分析】根据已知条件构造为常数列，求出，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】，且， ，即 ，， 故数列为常数列，且， ，则， 故数列的前项和. 故选：D. 3．C 【分析】根据给定条件，求出，再利用并项求和法，即可计算得解. 【详解】由，得，而，解得， 所以的前11项的和 . 故选：C 4．C 【分析】根据图象的规律，归纳各项，通过放缩结合等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由图分析可知，， ， ， 依次类推，， 所以 . 故选：. 5．C 【分析】由等比数列的前n项和公式列出关于和公比q的方程，解出，q，即可写出与，再将不等式化简，参变分离得对任意的恒成立，可构造函数，利用作差法判断函数的最小值，求得t的最大值，也可利用基本不等式进行求解． 【详解】设等比数列的公比为，则， 解得，∴．∴关于n的不等式， 即，即对任意的恒成立． 解法一  设，则， 当时，，当时，， 当时，， 又，∴当或时，，∴． 故选:C． 解法二  由，当且仅当，即时等号成立， 又，∴当或时，取得最小值24，故． 故选:C． 6．B 【分析】根据逆序对的定义，分数列的第一个数为，数列的第二个数为，数列的第三个数为，数列的第四个数为，四种情况讨论即可. 【详解】若，则， 由构成的逆序对有， 若数列的第一个数为，则至少有个逆序对， 若数列的第二个数为， 则恰有2个逆序对的数列为， 若数列的第三个数为， 则恰有2个逆序对的数列为或， 若数列的第四个数为， 则恰有2个逆序对的数列为， 综上恰有2个逆序对的数列的个数为个. 故选：B. 7．C 【分析】根据给定的递推公式，构造等比数列求出，再求解不等式即得. 【详解】数列中，，当时，，则， 整理得，即，而，即， 因此数列是以为首项，公比为的等比数列，， 则，由，知为奇数，此时是递增的， 而，， 所以正整数k的最小值为13. 故选：C 8．B 【分析】先求得每辆车的利润和该汽车的销量的表达式，故可得，再结合错位相减法可求得答案 【详解】设第年每辆车的利润为万元，则每辆车的利润是以2为首项，0.2为公差的等差数列， 所以，设第年新能源汽车的销量为辆， 则该汽车的销量是以100000为首项，1.2为公比的等比数列，所以， 设该车企销售新能源汽车的总利润为， ①， ，② ①-②得： ， 所以万元，即亿元， 故选：B. 9．BCD 【分析】根据新定义对各选项逐项分析即可得解. 【详解】A选项，，所以区间上的“整积分”为，故选项错误； B选项，当时，；当时，，以此类推，当时，， 所以区间上的“整积分”为，故B选项正确； C选项，当时，； 当时，；当时，，以此类推，当时，， 故区间上的“整积分”为，故C选项正确； 选项，当时，，“整元”为； 当时，，“整元”为；当时，，“整元”为，以此类推，当时，，“整元”为． 设在区间上的“整积分”为，则①， 所以②，②①得，故D选项正确， 故选：BCD． 10．BC 【分析】由数列的前项和为求出判断B；由递推公式探讨数列的特性判断C；求出判断A；由求出，再利用裂求和法求解即得. 【详解】由，得，， 当时，，满足上式，因此， 数列是等比数列，B正确； 由，得，，解得，，A错误； 当时，，两式相减得， 于是，两式相加得， 整理得，因此数列是等差数列，C正确； 当时，等差数列的公差为1，通项，， 所以，D错误. 故选：BC 11．BCD 【分析】由，化简得到，得出是以为首项，公比为的等比数列，求得，结合数列的性质，以及数列的求和方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由两边同时除以， 可得，所以，， 故数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即， 对于A中，因为，可得，所以， 即，所以A错误； 对于B中，由， 所以， 所以B正确； 对于C中，由， 可得 ，所以C正确； 对于D中，由， 当时，显然成立； 当时，， 所以，所以D正确. 故选：BCD. 12．1 【分析】利用数列的递推公式求出数列的项，再利用特殊角的三角函数值及数列的周期性，结合数列的求和公式即可求解. 【详解】因为，， 所以 …， 所以数列的各项依次为3，1，，，，2，3，1，，，，2，…，其周期为6． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， …， 所以数列是周期为12的周期数列，前12项依次为3，0，2，0，，0，，0，，0，1，0， 其前项12的和为． 又， 所以数列的前2024项的和为等于前8项的和． 故答案为：. 13．15 【分析】利用裂项相消法求出，代入已知整理得，然后取对数，利用裂项相消法可得，解不等式即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 整理得， 所以， 所以， 令，解得. 所以正整数的最小值为15. 故答案为：15 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于通过分母有理化裂项求，取对数，利用对数运算裂项求，然后可解. 14． 3 【分析】分别求出，，时，的值域，可得，，，推得，，利用累加法求出，由数列的裂项相消求和，计算即可. 【详解】由函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，，可得，，，即， 当时，，可得或，或，或1或2，即， 当时，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即， 当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，函数在定义域上的值域为， 记中元素的个数为，设，则，， 所以， 则可得递推关系：， 所以, 当时，成立，则，则， 所以， 故答案为：3； 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义题，解题关键是找到递推关系：，结合累加法求出数列通项，利用裂项相消求出前项和. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据得到是以1为首项，2为公比的等比数列，得到数列的通项公式； （2），结合等差数列和等比数列求和公式进行分组求和. 【详解】（1）①， 当时，，解得， 当时，②， 式子①-②得，故， 因为，所以，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）， . 16．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据等差数列及等比数列的定义与性质计算即可； （2）利用裂项相消法求和即可证明不等式. 【详解】（1）设的公差为，则根据题意有， 解之得，所以， 即的通项公式为； （2）由上可知， 所以， 则， 易知, . 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用与项的关系，结合等比数列的定义及通项公式即可求解； （2）利用（1）的结论及对数的运算，利用裂项相消法求数列的前项和即可求解. 【详解】（1）由①， 当时，解得， 当时，②， ①-②，得， 数列是以首项为，公比为的等比数列， ． 经验证符合上式，所以． （2）由（1）知， ，． 则， 故 ， 所以，，， 故. 18．(1)，； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先求出，得到期望的表达式，结合错位相减法求和及极限可得答案； （2）（i）根据可能发生的三种情况即可求解. （ii）根据题意得到，利用递推关系可得. 【详解】（1）由题可知， 记， 则， 相减得： ； 由题意：. （2）（i）. 解得：. （ii）期待在次试验后，首次出现连续次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是，此时总的试验次数为. 即. 整理得：，即， 是公比为的等比数列， 所以. 由（1）知， 代入得：. 19．(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意写出满足性质的所有数表，再分别计算即可； （2）根据题意，可知当取最大值时，存在，使得，由数表具有性质可得为奇数，不妨设此时数表为，再利用反证法证明即可； （3）结合性质可得，，两式相加可得得，结合，可得，构造数表，结合性质进而可以求解. 【详解】（1）满足条件的数表为， 所以的值分别为5，5，6. （2）若当取最大值时，存在，使得. 由数表具有性质可得为奇数， 不妨设此时数表为. ①若存在（为偶数，），使得，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质， 调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在，使得. ②若对任意的（为偶数，），都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，此时转化为①的情况. 综上可知，存在正整数，使得. （3）当n为偶数时，令，，对任意具有性质数表， 一方面，， 因此．① 另一方面，， 因此.② 记． 由①+②得. 又，可得. 构造数表 可知数表具有性质，且. 综上可知，当n为偶数时，的最大值为. 【点睛】方法点睛：在证明抽象问题时，常常使用反证法：先设题设不成立，结合条件推出矛盾，即可说明题目成立. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$