精品解析：江苏省泗洪县北辰学校2024—2025学年上学期八年级数学期中反馈调研测试卷

2024-2025八年级数学上册期中测试卷 一．选择题（共8小题） 1. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的民间艺术之一.窗花的内容丰富、题材广泛，以其特有的概括和夸张手法将吉事祥物、美好愿望表现得淋漓尽致.下列窗花的图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，则能判定的条件是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在正方形中，点E，F将对角线三等分，且．点G是边上任意一点，则的值不可能是（ ） A. 7 B. 6 C. 6.3 D. 4. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 5. 下列各组数中是勾股数的是（　　） A. 6，8，11 B. 1，1， C. ，， D. 5，12，13 6. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△DEF的是（ ） A. AB=DE B. AC=DF C. ∠A=∠D D. BF=EC 8. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么下列结论：（1），（2），（3），（4）中，正确结论的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（共10小题） 9. 49的算术平方根是_____ 10. 近似数万，则a的取值范围是 ____________________． 11. 如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC＝________. 12. 如图，，如果，，，那么的长是______． 13. 若，则_______． 14. 如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，ABC的面积是27cm2，AB＝8cm，BC＝10cm，则DE＝________cm． 15. 如图，已知为直角三角形，则正方形的面积为 _______． 16. 如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则阴影部分的面积为___________． 17. 如图，在中，，，，，则的度数是_______． 18. 如图所示，在同一直线上，，，要使，需添加的一个条件是________，并说明理由． 三．解答题（共10小题） 19. （1）计算： ； （2）求的值： 20. 已知：如图，AD、BC相交于点Ｏ，AB＝CD，AD＝CB． 求证：△ABD≌△CDB． 21. 已知实数x的两个平方根分别为2a+1和3-4a，实数y的立方根为-a，求的值． 22. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出关于直线对称； （2）在直线上作一点，使得的值最小： （3）求的面积． 23. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）点P出发2秒后，求CP和BP的长. （2）问满足什么条件时（t的值或取值范围），△BCP为直角三角形？ 24. 如图，在四边形中，． （1）若为的中点，，求证：平分； （2）若为的中点，，，试判断三角形的形状，并说明理由． 25. 为了满足市民健身需求，市政部门在某公园的东门和西门之间修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，，且点到点，的距离相等，已知米，米．（参考数据：，） （1）求，两点之间的长度； （2）小庆准备从西门跑步到东门去见小渝，因，之间的道路施工不能通行，小庆决定选择一条较短线路，请计算说明小庆应选择路线，还是路线？（结果精确到1米） 26. （1）已知与互为相反数，求的立方根． （2）已知，的平方根是，是的整数部分，求的算术平方根． 27. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE． （1）求证：BD＝BC． （2）若∠BDC＝70°，求∠ADB的度数． 28. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）若点P恰好在的角平分线上，求t的值； （2）问t为何值时，为等腰三角形？ （3）另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025八年级数学上册期中测试卷 一．选择题（共8小题） 1. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的民间艺术之一.窗花的内容丰富、题材广泛，以其特有的概括和夸张手法将吉事祥物、美好愿望表现得淋漓尽致.下列窗花的图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 故选：D 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 2. 如图，，，则能判定的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键．本题根据全等三角形的判定方法，，,逐一分析判断即可. 【详解】解：∵，， A. 补充，无法判定，不符合题意； B. 补充，无法判定，不符合题意； C. 补充，无法判定，不符合题意； D.补充，可以利用判定，符合题意； 故答案为：D． 3. 如图，在正方形中，点E，F将对角线三等分，且．点G是边上任意一点，则的值不可能是（ ） A. 7 B. 6 C. 6.3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合正方形的性质，作点关于对称的点，连接，，，，由对称可知：，，可知，，易证得为等腰直角三角形，由勾股定理求得，，由三角形三边关系可知，当，，在同一直线上时取等号，由点G是边上任意一点，可知，，进而可得，即可判断答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，点E，F将对角线三等分， ∴， 作点关于对称的点，连接，，，， 由对称可知：，， ∴，， ∴，， 又∵ ∴，则为等腰直角三角形， 在中，，， ∴， 在等腰，中，可得， 由三角形三边关系可知：，当，，在同一直线上时取等号， 由点G是边上任意一点，可知，， 综上，， ∵， ∴不可能为7， 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，利用轴对称构造辅助线是解决问题的关键． 4. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的概念和三角形三边关系，解题的关键是分两种情况进行求解． 分两种情况讨论：当腰为5时和当腰为10时，利用三角形三边关系，判断是否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为5，另一边长为10， ∴有两种情况： ①当腰为5时，底为10，则，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形； ②当腰为10时，底为5，则，满足三角形三边关系，能构成三角形， 周长为， 故选：C． 5. 下列各组数中是勾股数的是（　　） A. 6，8，11 B. 1，1， C. ，， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】勾股数是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，满足两小数的平方和等于大数的平方．据此判断选择即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，故选项不符合题意； B、不是正整数，则本组数不是勾股数，故选项不符合题意； C、本组数都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股数的判断，掌握勾股数的定义是解题的关键． 6. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．先根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”可得，，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：垂直平分，且， ，， 的周长为， ， ，即， 则的周长是， 故选：C． 7. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△DEF的是（ ） A. AB=DE B. AC=DF C. ∠A=∠D D. BF=EC 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选不符合题意； 选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意； 选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC△DEF，故本选项符合题意； 选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意． 故选C． 8. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么下列结论：（1），（2），（3），（4）中，正确结论的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式、正方形的性质及直角三角形的知识，分别求出小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出a与b的关系式，依次判断所给关系式即可． 【详解】解：设小正方形的边长为m，大正方形的边长为n， 由题意可得，， ∴，， ∵直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∴，即（1）正确； 由图可得，即（2）错误； ∵小正方形的面积四个直角三角形的面积等于大正方形的面积， ∴， ∴，即（3）正确； ∵， ∴， ∴，即（4）正确． 综上可得（1）（3）（4）正确，共3个． 故选：B． 二．填空题（共10小题） 9. 49的算术平方根是_____ 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，熟练掌握算术平方根的概念是解决本题的关键． 根据算术平方根的概念，即若一个非负数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的算术平方根，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴49的算术平方根是7． 故答案为：7 ． 10. 近似数万，则a的取值范围是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点是近似数，熟练应用四舍五入求近似值是解题关键，根据近似值是通过四舍五入得到的：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入即可得出结果． 【详解】根据取近似数的方法，得万， 可以由大于或等于的数，6后面的一位数字，满5进1得到； 或由小于的数，舍去1后的数字得到． 因而， 故答案为：． 11. 如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC＝________. 【答案】30° 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，如图，△APQ是等边三角形，∠APQ=60°，又因为AP=BP，故可知∠ABC=∠BAP．又根据三角形的外角可知∠APQ=∠ABC+∠BAP，故可求出∠ABC的值． 【详解】∵PQ=AP=AQ， ∴△APQ是等边三角形， ∴∠APQ=60°， 又∵AP=BP， ∴∠ABC=∠BAP， ∵∠APQ=∠ABC+∠BAP， ∴∠ABC=30°．故∠ABC的大小等于30°． 故答案为30°． 【点睛】本题解决的关键是能够认识到△APQ是等边三角形，找出题目中的基本图形，探究题目中的结论是解题的关键． 12. 如图，，如果，，，那么的长是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得，进而可求解，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：10． 13. 若，则_______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性和绝对值的非负性．有理数的乘方运算，先根据给出的式子求出a，b的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：因为，，又因为， 所以，， 所以，， 解得，． 又因为的奇数次方为，的偶数次方为1， 所以． 故答案为：0 14. 如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，ABC的面积是27cm2，AB＝8cm，BC＝10cm，则DE＝________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】作DF⊥BC于F，设DE为x，根据角平分线的性质得到DE＝DF＝x，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】作DF⊥BC于F， 设DE为x， ∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF＝x， ∴×AB×DE＋×BC×DF＝27，即4x＋5x＝27， 解得，x＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 15. 如图，已知为直角三角形，则正方形的面积为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的面积公式，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得，设以为边的正方形的面积为，则，结合，，即可求解． 【详解】解：为直角三角形，且， ， 设以为边的正方形的面积为，则， 以为边的正方形的面积为，以为边的正方形的面积为， ，， ， ， 正方形的面积为， 故答案为：． 16. 如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则阴影部分的面积为___________． 【答案】30 【解析】 【分析】根据折叠的性质求出EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质知，EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC， 由勾股定理得，CF=4，， 即， 解得，AD=10， ∴BF=6，CF=4， 图中阴影部分面积=． 故答案为：30 【点睛】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，三角形的面积公式求解． 17. 如图，在中，，，，，则的度数是_______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，先利用判定，从而得出对应角相等，再利用角与角之间的关系从而求得所求的度数． 【详解】解：在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 18. 如图所示，在同一直线上，，，要使，需添加的一个条件是________，并说明理由． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意要证明，已知，两个条件，抓住这两个已知条件结合全等三角形判定定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵在同一直线上，，， ∴可添加条件：，理由如下： 在和中， ， ∴（SAS）， 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 19. （1）计算： ； （2）求的值： 【答案】（1）-2； （2）x= 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂、开平方、平方、绝对值的概念计算即可；（2）直接开立方即可求得答案． 【详解】解：（1） = = = （2）移项得： ， 直接开立方得： 解得： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握开立方、绝对值、零指数的概念是解题的关键． 20. 已知：如图，AD、BC相交于点Ｏ，AB＝CD，AD＝CB． 求证：△ABD≌△CDB． 【答案】 证明：在△ABD和△CDB中                        ∴△ABD≌△CDB（SSS） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法：SSS即可求证结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法：SSS． 21. 已知实数x的两个平方根分别为2a+1和3-4a，实数y的立方根为-a，求的值． 【答案】3 【解析】 【分析】利用平方根、立方根定义求出x与y的值，即可确定出原式的值． 【详解】解：根据题意得：2a+1+3-4a=0， 解得：a=2， 所以x=25，y=-8， 则原式=3． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键． 22. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出关于直线对称； （2）在直线上作一点，使得的值最小： （3）求的面积． 【答案】（1） 即为所求． （2） 如图，点即为所求， （3） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称变换作图，熟练掌握轴对称变换的性质是解答本题的关键． （1）利用轴对称性质，作出、、三点关于直线对称的点、、，顺次连接得到； （2）根据两点间线段最短，连接，交直线于点，即，点即为所求． （3）根据题意，得到，分别计算长方形的面积和各个三角形的面积，由此得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图， ． 23. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）点P出发2秒后，求CP和BP的长. （2）问满足什么条件时（t的值或取值范围），△BCP为直角三角形？ 【答案】（1）CP=2cm；BP=cm；（2）当0＜t≤4或t=时，△BCP为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后利用勾股定理求得PB的长即可； （2）由勾股定理可得AC=4cm，然后分点P在AC和AB上两种情况进行解答即可． 【详解】解：（1）∵动点P从点C开始以每秒1cm的速度运动 ∴出发2秒后CP=1×2=2cm ∵∠C=90°，BC=3cm ∴BP=cm ∴CP=2cm，BP=cm； （2）①如图1，当P在AC上运动时， ∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm ∴AC=4cm， ∵动点P从点C开始按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm ∴当P在AC上运动时，△BCP为直角三角形 ∴0＜t≤4 如图，当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形 ∵ABCP=ACBC ∴×5CP=×3×4 ∴CP=cm ∴AP==cm ∴AC+AP=4+=cm ∴t=÷1=(s) 综上所述，当0＜t≤4或t=时，△BCP为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和直角三角形的知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 24. 如图，在四边形中，． （1）若为的中点，，求证：平分； （2）若为的中点，，，试判断三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 解：证明：延长交的延长线于点， 点是的中点， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 平分； （2） 是等边三角形．理由如下： 点是中点， ， ，， ，， ， ，且， ， ， ，且， ， ，且， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）延长交的延长线于点，由“”可证，可证，，可证，可得，可得结论； （2）由等腰三角形的性质可得，，由“”可证，可得，可求，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 为了满足市民健身需求，市政部门在某公园的东门和西门之间修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，，且点到点，的距离相等，已知米，米．（参考数据：，） （1）求，两点之间的长度； （2）小庆准备从西门跑步到东门去见小渝，因，之间的道路施工不能通行，小庆决定选择一条较短线路，请计算说明小庆应选择路线，还是路线？（结果精确到1米） 【答案】（1）米； （2）选择路线． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方位角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由题意可知，利用勾股定理即可算答案； （2）由题意可知，，再利用勾股定理计算出、长度，从而得到两种线路的长度，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：点在点的正南方，点在点正东方 在中，，米，米 （米） 答：，两点之间的长度米． 【小问2详解】 解：由（1）得米 又 ∴（米） ∴路线长为：（米） 路线长为：（米） ， 小庆应选择路线． 答：小庆应选择路线． 26. （1）已知与互为相反数，求的立方根． （2）已知，的平方根是，是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】（1）-2；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据立方根的性质和相反数的性质可得，据此的值，进而求出其立方根； （2）根据算术平方根，平方根，估算无理数的大小，得出，，，代入所求式子即可求解． 【详解】解：（1）与互为相反数， ， ， ， 的立方根是：； （2）， ， ， 的平方根是， ， ， 是的整数部分，， 而，， ， ， 的算术平方根是4． 【点睛】本题主要考查实数的性质，立方根的性质，相反数，算术平方根和平方根的定义，估算无理数的大小，解题的关键是熟练掌握相反数，算术平方根和平方根的定义． 27. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE． （1）求证：BD＝BC． （2）若∠BDC＝70°，求∠ADB的度数． 【答案】（1）证明：， ， 在和中， ， ； ∴BD=BC； （2）40° 【解析】 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：（1） 略 （2）， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中． 28. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）若点P恰好在的角平分线上，求t的值； （2）问t为何值时，为等腰三角形？ （3）另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】（1）t的值为或4 （2）t为3或或6或时，为等腰三角形 （3）当或6时，直线把的周长分成相等的两部分 【解析】 【分析】（1）过P作，设，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可； （2）分四种情况讨论：在边上时，，在边上时，使，，，分别画出图形，求出结果即可； （3）分两种情况讨论：当点在上，在上，当点在上，在上，分别画出图形，列出方程，求得t的值即可． 【小问1详解】 解：如图1，过P作， ∵，，， ∴， ∵点P恰好在的角平分线上， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ， ∴中，， 即 解得， ∴， ∴， ∴； 当P与A重合时，也符合题意，此时； 综上所述，t的值为或4． 【小问2详解】 解：①如图2，若在边上时，，此时用的时间为，为等腰三角形； ②若在边上时，有三种情况： 如图3，若使， 此时，运动的路程为， ∴用的时间为时，为等腰三角形； 如图4，若，作于点， 根据面积法求得高， 在中，， ∴， ∴运动的路程为， 则用的时间为时，为等腰三角形； 如图5，若， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴此时运动的路程为， 则所用的时间为时，为等腰三角形； 综上所述，当为时，为等腰三角形； 【小问3详解】 解：如图6，当点在上，在上， 则， 直线把的周长分成相等的两部分，且的周长为， ， ， ； 如图7，当点在上，在上， 则，， 直线把的周长分成相等的两部分，且的周长为， ， ， 当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．解题时注意，需要作辅助线构造直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $