精品解析： 四川省泸州市第十二初级中学校　 2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年四川省泸州十二中八年级（上）期中数学试卷 一、单项选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形两边长分别是2和7，则它的周长是（ ） A. 9 B. 11 C. 16 D. 11或16 3. 如图，已知，要说明，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（ ） A. B. C. D. 4. 如果xa＝3，xb＝4，则xa﹣2b的值是（ ） A. B. C. ﹣13 D. ﹣5 5. 如图，于点，，于点， ，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如果的乘积中不含x的一次项，则a为（ ） A. 5 B. －5 C. D. 7. 如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 给出下列说法正确的是（　　） A. 三角形的角平分线是射线 B. 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C. 三角形的顶点到对边的距离是三角形的高 D. 任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 9. 已知，则的值为（　　） A. 3 B. -1 C. 2 D. -2 10. 如图，已知是直角三角形，．在边上分别截取，使；分别以G，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点H；作射线交于点D，过D作，垂足为E．若，，则与的周长差为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 11. 定义：形如的数称为复数（其中和为实数，为虚数单位，规定），称为复数的实部，称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如，因此，的实部是﹣8，虚部是6．已知复数的虚部是12，则实部是（　　） A. ﹣6 B. 6 C. 5 D. ﹣5 12. 如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共4小题，共12分） 13. 分解因式：_________． 14. 如图，，CD＝3，AD＝4，，是高和的交点，则线段长为___________． 15. 如图，把一张纸片沿折叠，若，，则的度数为______． 16. 如图，在中，的平分线交于点O，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点，若，则的度数__________． 三、解答题（共9小题，72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知：， ，，求证：． 21. 如图，已知，是的高和角平分线，，，求的度数． 22. 如图在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：∠B＝∠C． 23. 如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且，求△ABE的面积． 24. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． 图1 图2 图3 图4 （1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：　　　　；图2：　　　　；图3：　　　　． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 方法一：从“数”的角度 解：∵a+b＝3， ∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9， 又∵ab＝1 ∴a2+b2＝7． 方法二：从“形”的角度 解：∵a+b＝3， ∴S大正方形=9， 又∵ab＝1， ∴S2＝S3＝ab＝1， ∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7． 类比迁移： （2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝　　； （3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积． 25. 【建立模型】如图①，等腰直角三角形的直角顶点B在线段上，过点A作于点E，过点C作于点F，可以得到结论：． 【运用模型】请利用这一结论解决下列问题： （1）如图①，请证明； （2）如图②，在平面直角坐标系中，，过点A作，使，请直接写出点B的坐标． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年四川省泸州十二中八年级（上）期中数学试卷 一、单项选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 2. 等腰三角形两边长分别是2和7，则它的周长是（ ） A. 9 B. 11 C. 16 D. 11或16 【答案】C 【解析】 【详解】当腰长为2时，三边长分别为2,2,7，不符合两边之和大于第三边，舍去；当腰长为7时，三边长分别为2,7,7，符合三边关系，此时周长为2+7+7=16 3. 如图，已知，要说明，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等的判定；先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、与、组成了是不能由此判定三角形全等的． 【详解】解：A、加，∴，是正确选法； B、加，∴，是正确选法； C、加，满足，不能得出，是错误选法； D、加，∴，是正确选法． 故选：C． 4. 如果xa＝3，xb＝4，则xa﹣2b的值是（ ） A. B. C. ﹣13 D. ﹣5 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方法则对原式进行变形，然后代入求值． 【详解】解：xa﹣2b=xa÷x2b=xa÷（xb）2=3÷16= 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方法则，掌握运算法则正确将原式变形进行计算是解题关键． 5. 如图，于点，，于点， ，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由垂直定义可证得，证明，由全等三角形的性质得出，求出，进而可得出答案． 【详解】解：，， ，， ∴， 即， 在和中， ， ． ， ， ． 故选：C． 6. 如果的乘积中不含x的一次项，则a为（ ） A. 5 B. －5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把式子展开，找到所有x项的系数，令其为0，求解即可． 【详解】解：∵， 又∵乘积中不含x一次项， ∴，解得． 故选B． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0． 7. 如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，任意多边形外角和恒为，边形内角和为，据此结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得， 解得， ∴这个多边形的边数为． 8. 给出下列说法正确的是（　　） A. 三角形的角平分线是射线 B. 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C. 三角形的顶点到对边的距离是三角形的高 D. 任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高、角平分线，熟记它们的概念是解题的关键． 根据三角形的高、角平分线的概念、点到这条直线的距离的概念判断即可． 【详解】解：A．三角形的角平分线是线段，故本小题说法错误； B．三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形的一边上，故本小题说法错误； C．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．故本小题说法错误； D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，说法正确； 故选：D． 9. 已知，则的值为（　　） A. 3 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法变形得，再利用非负数原理求解即可． 【详解】解：变形得： ， ∴m+1=0，n-3=0， 解得：m=-1，n=3， ∴m+n=-1+3=2， 故选：C． 【点睛】本题考查了用完全平方公式分解因式和完全平方式的非负性，掌握配方法是解题的关键． 10. 如图，已知是直角三角形，．在边上分别截取，使；分别以G，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点H；作射线交于点D，过D作，垂足为E．若，，则与的周长差为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】由作法得平分，则根据角平分线的性质得到，再证明得到，然后利用等线段代换得到的周长﹣的周长． 【分析】解：由作法得平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长﹣的周长 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质． 11. 定义：形如的数称为复数（其中和为实数，为虚数单位，规定），称为复数的实部，称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如，因此，的实部是﹣8，虚部是6．已知复数的虚部是12，则实部是（　　） A. ﹣6 B. 6 C. 5 D. ﹣5 【答案】C 【解析】 【分析】先利用完全平方公式得出（3-mi）2=9-6mi+m2i2，再根据新定义得出复数（3-mi）2的实部是9-m2，虚部是-6m，由（3-mi）2的虚部是12得出m=-2，代入9-m2计算即可． 【详解】解：∵ ∴复数的实部是，虚部是， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了新定义，完全平方公式，理解新定义是解题的关键． 12. 如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质对选项逐个判断即可． 【详解】∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴， ∵平分， ∴，②正确； ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，③正确； ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴，⑤正确； ∵ ∴ ∵， ∴即，④正确； 正确的个数为5 故选：D 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，主要考查了学生的推理能力，有一定难度． 二、填空题（共4小题，共12分） 13. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 14. 如图，，CD＝3，AD＝4，，是高和的交点，则线段长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】由是高和的交点，得到，再证明是等腰直角三角形，则，再证明，即可得解． 【详解】∵是高和的交点， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 15. 如图，把一张纸片沿折叠，若，，则的度数为______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】由折叠的性质得：．先求出的度数，可得的值，再根据直角三角形两直角互余求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形折叠的性质、邻补角的定义、直角三角形两锐角互余，熟练掌握图形折叠的性质是解决本题的关键． 16. 如图，在中，的平分线交于点O，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点，若，则的度数__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 利用角平分线的定义可得，结合，可得出的度数，再利用三角形的外角性质求出即可． 【详解】解：∵的平分线交于点O，D是与平分线的交点， ∴， ∵， ∴ 又∵， ． ∵， ，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共9小题，72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用幂的乘方、零次幂化简，然后再计算即可； （2）先计算单项式乘多项式，然后再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式法成为解题的关键． （1）先提取公因式m，然后再运用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式3，然后再运用完全平方公式分解即可； （3）先提取公因式，然后再运用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后根据整式的加减计算法则合并，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 20. 如图，已知：， ，，求证：． 【答案】 证明：， ，即， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由，可得，根据推出，即可证明． 【详解】略 21. 如图，已知，是的高和角平分线，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得到，由是的角平分线得到，由是高，得到，即可得到答案． 【详解】∵，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵是高，， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形角的知识的综合运用题，要掌握三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形角平分线和高的定义． 22. 如图在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：∠B＝∠C． 【答案】 解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°， ∵D是BC的中点， ∴BD=CD， 在Rt△BDE和Rt△CDF中 ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠B=∠C． 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF，根据点D是BC的中点可得BD=CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），即可得∠B=∠C． 【详解】略 【点睛】本题考查角平分线的性质和直角三角形全等的判定和性质，根据角平分线的性质得出DE=DF是解题的关键． 23. 如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且，求△ABE的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点作于点，作于点， 平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 24. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． 图1 图2 图3 图4 （1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：　　　　；图2：　　　　；图3：　　　　． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 方法一：从“数”的角度 解：∵a+b＝3， ∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9， 又∵ab＝1 ∴a2+b2＝7． 方法二：从“形”的角度 解：∵a+b＝3， ∴S大正方形=9， 又∵ab＝1， ∴S2＝S3＝ab＝1， ∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7． 类比迁移： （2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝　　； （3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）（a+b）2 =a2＋2ab+b2；（a－b）2 =a2－2ab+b2；（a+b）（a－b）= a2－b2；（2）10；（3）7 【解析】 【分析】（1）图1和图2根据阴影部分是正方形，其面积等于两个较小正方形的面积和两个相同长方形的面积之和，即可得出结论；图3可根据左边长方形的面积等于右边大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得出结论； （2）仿照“方法一”进行计算求解即可； （3）根据（2）介绍的方法求出AC和CF边的乘积关系，然后利用直角三角形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：（1）图1：阴影部分面积等于两个较小正方形面积和两个相同长方形面积之和， 即：（a+b）2 =a2＋2ab+b2； 图2：阴影部分面积等于大正方形面积减去最小正方形的面积以及两个小长方形的面积， 即：（a－b）2 =a2－2ab+b2； 图3：左边长方形的面积等于右边大正方形的面积减去小正方形的面积， 即：（a+b）（a－b）= a2－b2； 故答案为：图1：（a+b）2 =a2＋2ab+b2　； 图2：（a－b）2 =a2－2ab+b2； 图3：（a+b）（a－b）= a2－b2． （2）∵（5﹣x）+（x﹣1）＝4， ∴， 即：， ∵（5﹣x）▪（x﹣1）＝3， ∴， 故答案为：10； （3）设AC=x，则BC=CF=10-x， 由题意，， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为7． 【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，熟悉基本的乘法公式是解题关键． 25. 【建立模型】如图①，等腰直角三角形的直角顶点B在线段上，过点A作于点E，过点C作于点F，可以得到结论：． 【运用模型】请利用这一结论解决下列问题： （1）如图①，请证明； （2）如图②，在平面直角坐标系中，，过点A作，使，请直接写出点B的坐标． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1） 证明：∵是等腰直角三角形，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）点B的坐标为； （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）由证明即可； （2）如图②，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，同（1）得，则，求出，即可解答； （3）分三种情况，①当时，；②当时，；③当∠时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F， 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 【小问3详解】 解：第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分以下三种情况： ①如图③，当时，，分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， ∴； ②如图④，当时，，分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， ∴； ③如图⑤，当∠时，，分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的平与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、平行线的性质、分类讨论等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $