第3章 实数 单元测试卷-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

实数单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．的平方根是(　  　) A．± B．±9 C．±3 D．9 【答案】A 【分析】先把化简，然后根据平方根的意义求解即可. 【详解】∵， ∴的平方根是±. 故选A. 【点睛】本题考查了平方根的意义，如果个一个数x的平方等于a，即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根，正数a的平方根记作.正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 2．8的立方根是(　  　) A．2 B．－2 C．±2 D．2 【答案】A 【分析】根据立方根的定义求解即可，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作. 【详解】8的立方根是. 故选A. 【点睛】本题主要考查对立方根的理解，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键.正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0. 3．在下列各数：…、、、、、、…中，无理数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】无理数是指无限不循环小数，根据判断即可． 【详解】解： ，，， ，…是有理数， …，是无理数，共个， 故选A 【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数． 4．下列说法错误的是（ ） A．无理数的相反数还是无理数 B．无限不循环小数都是无理数 C．正数、负数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应 【答案】C 【分析】根据实数的定义和分类进行分析判断． 【详解】、无理数的相反数还是无理数，如：的相反数是也是无理数，的相反数也是无理数，原说法正确，不符合题意； 、无理数就是无限不循环小数，原说法正确，不符合题意； 、正有理数、负有理数和统称为有理数，原说法错误，符合题意； 、实数与数轴上的点一一对应，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查实数的定义和分类，属于基础题型． 5．满足的整数是（      ） A．，，，，， B．，，，， C．，，，，， D．，，， 【答案】D 【分析】估算出，，即可求解． 【详解】解：∵ ，， ∴，， ∴， ∵整数满足， ∴ ，且为整数， ∴ 整数是，，，． 故选：D 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，确定，是解题的关键． 6．当的值为最小值时，a的取值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】根据算术平方根的非负性求解即可． 【详解】解：∵≥0， ∴当4a+1=0时，取得最小值，此时a=， 故选：C． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性、解一元一次方程，会利用算术平方根的非负性求最值是解答的关键． 7．如图，数轴上表示的点在(　  　) A．C与D之间 B．A与B之间 C．A与C之间 D．B与C之间 【答案】A 【分析】估算出的取值范围，即可判断出表示的点在哪两个点之间. 【详解】∵22<7<32， ∴2< <3. ∵2.62=6.76，2.72=7.29， ∴2.6< <2.7， ∴数轴上表示的点在C与D之间. 故选A. 【点睛】此题主要考查了实数与数轴的关系，正确估算出的取值范围是解答本题的关键.注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 8．下列说法错误的是(　　) A．的平方根是±2 B．是无理数 C．是有理数 D．是分数 【答案】D 【分析】A、根据算术平方根、平方根的定义即可判定； B、根据无理数的定义即可判定； C、根据无理数和立方根的定义即可判定； D、根据开平方和有理数、无理数和分数的定义即可判定． 【详解】解：A、的平方根是±2，故选项说法正确； B、是无理数，故选项说法正确； C、=-3是有理数，故选项说法正确； D、不是分数，它是无理数，故选项说法错误． 故选D． 9．一个数值转换器的原理如图所示，当输入的x为256时，输出的y是(　  　) A．16 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的意义逐步求解，直至求出的值是无理数即可. 【详解】∵，，，是无理数， ∴输出的y是. 故选B. 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，要熟练掌握，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.正数a有一个正的算术平方根， 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根. 10．是的平方根，是64的立方根，则＝（　   ） A．3 B．7 C．3，7 D．1，7 【答案】D 【分析】根据平方根和立方根的性质求解即可； 【详解】∵是的平方根，y是64的立方根， ∴＝±3，＝4则＝3＋4＝7或＝－3＋4＝1； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的性质，准确计算是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11．平方等于本身的数是 ,立方等于本身的数是 . 【答案】 0和1 0和±1 【详解】平方根等于它本身的数是0和1；立方根等于它本身的数是0和±1 . 故答案为0和1；0和±1. 12．已知，则的值为 ． 【答案】9 【分析】直接根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴      故答案为：9． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解答此题的关键是掌握算术平方根和平方互为逆运算． 13．若，则x+y+z= ． 【答案】6 【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y、z的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ ∴x-1=0，y-2=0，z-3=0， ∴x=1，y=2，z=3． ∴x+y+z=1+2+3=6． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 14．写出一个大于3且小于4的无理数： ． 【答案】(答案不唯一)． 【分析】无限不循环小数叫做无理数.介于和之间的无理数有无穷多个，从而可得答案. 【详解】解：因为，故而9和16都是完全平方数， 都是无理数. 故答案为： （答案不唯一）. 15．已知a，b为两个连续的整数，且a<<b，则a＋b＝ . 【答案】15 【分析】估算出在哪两个相邻的整数之间，即可求出a与b的值，然后代入a＋b计算即可. 【详解】∵72<57<82, ∴7<<8, ∴a=7,b=8, ∴a＋b＝7+8=15. 故答案为：15. 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 16．已知实数，，在数轴上对应的点在原点两旁，且，那么 ． 【答案】1 【分析】先根据数轴的特点求出a+b的值，再根据0指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵实数a，b，在数轴上对应的点在原点两旁，且|a|=|b|， ∴a+b=0， ∴aa+b=a0=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等是解答此题的关键． 17．如图，“以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以数轴的原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧交数轴于一点”，该图说明数轴上的点并不都表示 ． 【答案】有理数 【分析】先根据勾股定理求出OC的长，根据OC=OA即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵四边形是边长为的正方形， ∴， ∴， ∵是无理数， ∴该图说明数轴上的点并不都表示有理数． 故答案为：有理数． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 18．若x，y为实数，且＝0，＝0，则(x＋y)2 018的值为 ． 【答案】1 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵|x+2|+=0， ∴x+2=0且y﹣3=0， 解得：x=﹣2、y=3， 则原式=（﹣2+3）2018=12018=1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 三．解答题（共8小题，合计66分） 19．（6分）计算下列各式的值： (1)±；          (2)； (3)；             (4) 【答案】17.(1)±;(2)15;(3);(4).　 【分析】（1）根据平方根的意义化简即可； （2）根据算术平方根的意义化简即可； （3）和（4）根据立方根的意义化简即可. 【详解】(1)±=±；           (2)； (3)=；             (4)==. 【点睛】本题考查了实数的计算，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的意义是解答本题的关键. 20．（6分）计算： (1)(－2)2－(3－5)－＋2×(－3)； (2)－＋. 【答案】 (1)－2,(2)－6　 【分析】（1）根据实数的计算顺序计算即可； （2）先根据立方根、算术平方根的意义把每项化简，再按有理数的加减法计算. 【详解】(1)(－2)2－(3－5)－＋2×(－3) =4-（-2）-2-6 =4+2-2-6 =-2； (2)－＋ =-4-3+ =-4-3+ =－6. 【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 21．（8分）．小明家装修用了大小相同的正方形瓷砖共66块铺成10.56米2的房间，小明想知道每块瓷砖的边长，请你帮助算一算． 【答案】0.4米 【分析】设每块瓷砖的边长是x米，根据房间的面积等于10.56米2列方程求解即可. 【详解】设每块瓷砖的边长是x米，由题意得 66x2=10.56， ∴x=0.4. ∴每块瓷砖的边长是0.4米. 【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用，根据题意列出方程是解答本题的关键. 22．（8分）已知，、互为倒数，、互为相反数，求的值. 【答案】0. 【详解】试题分析：利用已知倒数，相反数关系代入求值. 试题解析：由题意得a=1,c+d=0, 所以=-1+1=0. 故答案为0. 23．（9分）一个数的两个平方根分别是a＋3和2a－15，试求这个数． 【答案】49. 【详解】解：∵一个数的两个平方根分别是3a+2和a+14， ∴（a+3）+（2a﹣15）=0， a=4， a+3=4+3=7． 7的平方是49． ∴这个数是49． 24．（9分）已知，是实数，且与互为相反数，求实数的倒数． 【答案】2 【分析】根据平方的非负性以及算术平方根的非负性，列出关于的方程组，进而求得的值，再求得代数式的值． 【详解】解：∵   与互为相反数， ∴   ， ∴   ， 解得， 所以，， 所以，实数的倒数． 【点睛】本题考查了平方的非负性以及算术平方根的非负性，解二元一次方程组，负整指数幂，求得的值是解题的关键． 25．（10分）对于正整数．如果各位上的数字和是一个多位数（含两位数），那么我们再算这个多位数的各位上的数字和，直至得到一个一位数为止，我们将这个一位数记作，例如2018，因为，，所以．大家注意，根据以上算法，，，，有趣的是也等于7．这是偶然的巧合还是必然的规律？ (1)根据以上材料，你能提出一个猜想吗？从等式（*）左边数的个数和数的位数入手考虑，尽量使你的猜想适用范围更广． (2)请证明你的猜想． (3)请举出以上结论的一个应用． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了新定义： （1）根据题意可猜想若，则，即，其中m、n为自然数，更一般的猜想为； （2）以四位数为例，设一个四位数，则，即，进一步得到对于任意的正整数k，表示的就是k除以9之后的余数，则，，据此可证明结论； （3）可以验证两个或多个较大的数相乘，其结果是否正确，具体见解析． 【详解】（1）解：猜想：若，则，即，其中m、n为自然数，更一般的猜想为； （2）证明：以四位数为例，设一个四位数， ∴， ∴， ∴， 同理，当数字数位增多时，上述结论仍然成立， ∴对于任意的正整数k，表示的就是k除以9之后的余数， ∴，， ∴， 同理可证明； （3）解：（1）（2）的结论可以验证两个或多个较大的数相乘，其结果是否正确： 例如：需要验证是否正确， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴原式计算不正确． 26.（10分）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“两倍数”． (1)与_______是关于1的一组“两倍数”； (2)与_______是关于3的一组“两倍数”； (3)若，，判断与是否为关于某整数的一组“两倍数”，说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)3 【分析】本题考查了新概念——“两倍数”，实数的混合运算．理解新概念，熟练掌握实数的运算顺序和法则，是解题的关键． （1）根据“两倍数”的意义列式，即可求解； （2）根据“两倍数”的意义列式，即可求解； （3）根据“两倍数”的意义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴当，时， ． 故答案为：4． （2）解：∵， ∴． ∴当，时， ． 故答案为：． （3）解：与是关于整数3的一组“两倍数”． 理由如下： ∵，， ∴ ． ∴与是关于整数3的一组“两倍数”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实数单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．的平方根是(　  　) A．± B．±9 C．±3 D．9 2．8的立方根是(　  　) A．2 B．－2 C．±2 D．2 3．在下列各数：…、、、、、、…中，无理数的个数是（     ） A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（ ） A．无理数的相反数还是无理数 B．无限不循环小数都是无理数 C．正数、负数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应 5．满足的整数是（      ） A．，，，，， B．，，，， C．，，，，， D．，，， 6．当的值为最小值时，a的取值为（    ） A． B．0 C． D．1 7．如图，数轴上表示的点在(　  　) A．C与D之间 B．A与B之间 C．A与C之间 D．B与C之间 8．下列说法错误的是(　　) A．的平方根是±2 B．是无理数 C．是有理数 D．是分数 9．一个数值转换器的原理如图所示，当输入的x为256时，输出的y是(　  　) A．16 B． C． D． 10．是的平方根，是64的立方根，则＝（　   ） A．3 B．7 C．3，7 D．1，7 二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11．平方等于本身的数是 ,立方等于本身的数是 . 12．已知，则的值为 ． 13．若，则x+y+z= ． 14．写出一个大于3且小于4的无理数： ． 15．已知a，b为两个连续的整数，且a<<b，则a＋b＝ . 16．已知实数，，在数轴上对应的点在原点两旁，且，那么 ． 17．如图，“以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以数轴的原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧交数轴于一点”，该图说明数轴上的点并不都表示 ． 18．若x，y为实数，且＝0，＝0，则(x＋y)2 018的值为 ． 三．解答题（共8小题，合计66分） 19．（6分）计算下列各式的值： (1)±；          (2)； (3)；             (4) 20．（6分）计算： (1)(－2)2－(3－5)－＋2×(－3)； (2)－＋. 21．（8分）．小明家装修用了大小相同的正方形瓷砖共66块铺成10.56米2的房间，小明想知道每块瓷砖的边长，请你帮助算一算． 22．（8分）已知，、互为倒数，、互为相反数，求的值. 23．（9分）一个数的两个平方根分别是a＋3和2a－15，试求这个数． 24．（9分）已知，是实数，且与互为相反数，求实数的倒数． 25．（10分）对于正整数．如果各位上的数字和是一个多位数（含两位数），那么我们再算这个多位数的各位上的数字和，直至得到一个一位数为止，我们将这个一位数记作，例如2018，因为，，所以．大家注意，根据以上算法，，，，有趣的是也等于7．这是偶然的巧合还是必然的规律？ (1)根据以上材料，你能提出一个猜想吗？从等式（*）左边数的个数和数的位数入手考虑，尽量使你的猜想适用范围更广． (2)请证明你的猜想． (3)请举出以上结论的一个应用． 26.（10分）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“两倍数”． (1)与_______是关于1的一组“两倍数”； (2)与_______是关于3的一组“两倍数”； (3)若，，判断与是否为关于某整数的一组“两倍数”，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$