九年级数学上册期中模拟测试卷（一）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

2024-2025学年九年级数学上册期中模拟测试卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：九年级上册第一章～第四章（浙教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线的顶点坐标是（  ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，，则（   ）    A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 4．某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 6．抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（    ） A． B． C． D．4 7．如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 8．如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（    ） A．4 B．6 C．9 D．16 9．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（  ） A． B． C． D． 10．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 第Ⅱ卷 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”） 12．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ． 13．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    14．如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为 ． 15．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是 ．    16．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．    三、解答题（本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 18．（8分）如图，在和中，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（6分）已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．    (1)△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C； (2)画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2． 20．已知二次函数． (1)当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． (2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 21．（8分）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； (2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； (3)该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； (4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 22．（8分）某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元． (1)求两种商品的销售单价． (2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 23．（10分）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧． (1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 24．（10分）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上册期中模拟测试卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：九年级上册第一章～第四章（浙教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线的顶点坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答． 【详解】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=x2-1的顶点坐标是（0，-1）． 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标，即抛物线y=（x-k）2+h中，其顶点坐标为（k，h）． 2．如图，是的直径，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 4．某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率公式可直接进行求解． 【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为； 故选C． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 5．如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 6．抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值． 【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点， ∴x2+x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=1-4c=0， 解得：c=． 故选：B． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键． 7．如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数解析式求得点的坐标，进而根据旋转的性质可得，，，进而得出，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：∵直线分别与轴，轴交于点，， ∴当时，，即，则， 当时，，即，则， ∵将绕着点顺时针旋转得到， 又∵ ∴，，， ∴， 延长交轴于点，则，， ∴ ，    故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的关键． 8．如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（    ） A．4 B．6 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据周长之比等于位似比计算即可． 【详解】设的周长是x， ∵ 与位似，相似比为，的周长为4， ∴4：x=2：3， 解得：x=6， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键． 9．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， 同理可证，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键． 10．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【详解】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′， ∴BC＝B′C′．故①正确； ②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°， ∴∠BAB′＝50°． ∵∠CAB＝20°， ∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°． ∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°， ∴∠AB′C′＝∠B′AC． ∴AC∥C′B′．故②正确； ③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°， ∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°． ∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°． ∴CB′与BB′不垂直．故③不正确； ④在△ACC′中， AC＝AC′，∠CAC′＝50°， ∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°． ∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确． ∴①②④这三个结论正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”） 【答案】 【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：的对称轴为y轴， ∵， ∴开口向上，当时， y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性． 12．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论． 【详解】解： 和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， 根据与的周长比等于相似比可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键． 13．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    【答案】10 【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键． 14．如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】连接OA，由垂径定理得AD=4cm，设圆的半径为R，根据勾股定理得到方程，求解即可 【详解】解：连接OA， ∵C是的中点， ∴ ∴ 设的半径为R， ∵ ∴ 在中，，即， 解得， 即的半径为5cm 故答案为：5 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC是AB的垂直平分线是解答此题的关键． 15．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是 ．    【答案】或 【分析】由图象判断是对称轴，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线， 与x轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是， ∴的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合解不等式是解题的关键． 16．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．    【答案】 【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围． 【详解】解：如图所示：    当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0）， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为， 即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）， 当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1； 当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程，即有相等的实数解，即 解得， 所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜﹣1， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换． 三、解答题（本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在和中，， ， ． （2）证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 18．（8分）如图，在和中，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的判定和性质，即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 19．（6分）已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．    (1)△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C； (2)画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别作出A、B、的对应点A1、B1即可； （2）分别作出A1、B1、C的对应点A2、B2、C2即可； 【详解】（1）解：△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C如图所示；    （2）解：△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2如图所示； 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换、中心对称的性质，属于中考常考题型． 20．已知二次函数． (1)当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． (2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答案】(1)①；②当时， (2) 【分析】（1）①将代入解析式，化为顶点式，即可求解； ②已知顶点，根据二次函数的增减性，得出当时，有最大值7，当时取得最小值，即可求解； （2）根据题意时，的最大值为2；时，的最大值为3，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即，由抛物线开口向下，时，的最大值为2，可知，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出，即可得解． 【详解】（1）解：①当时，， ∴顶点坐标为． ②∵顶点坐标为．抛物线开口向下， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值7． 又 ∴当时取得最小值，最小值； ∴当时，． （2）∵时，的最大值为2；时，的最大值为3， ∴抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∵抛物线开口向下，时，的最大值为2， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴二次函数的表达式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21．（8分）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； (2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； (3)该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； (4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】(1)50，7 (2)条形统计图见解析， (3)该校学生答题成绩为A等和B等共有672人 (4) 【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值； （2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数； （3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解； （4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（人）， ， 故答案为：50，7； （2）解：成绩为C等级人数所占百分比：， ∴C等级所在扇形圆心角的度数：， 成绩为A等级的人数：（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）解：（人）， 答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人； （4）解：根据题意，列出表格如下：    第一名第二名 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况， ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． 22．（8分）某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元． (1)求两种商品的销售单价． (2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)的销售单价为元、的销售单价为元 (2)当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元． 【分析】（1）设的销售单价为元、的销售单价为元，根据题中售出种20件，种10件，销售总额为840元；售出种10件，种15件，销售总额为660元列方程组求解即可得到答案； （2）设利润为，根据题意，得到，结合二次函数性质及题中限制条件分析求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则 ，解得， 答：的销售单价为元、的销售单价为元； （2）解： 种商品售价不低于种商品售价， ，解得，即， 设利润为，则 ， ， 在时能取到最大值，最大值为， 当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程组，根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键． 23．（10分）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧． (1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】(1)对称轴为直线，的最大值为4， (2)5 【分析】（1）由的性质得开口方向，对称轴和最值，把代入中即可得出a的值； （2）由，得出抛物线是由抛物线C：向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点移动的最短路程． 【详解】（1）， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4， 把代入中得： ， 解得：或， ∵点在C的对称轴右侧， ∴； （2）∵， ∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到， 平移距离为， ∴移动的最短路程为5． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键． 24．（10分）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析    （2）见解析    （3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又 ， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接，   四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$