黑龙江省大庆石油高级中学2024-2025学年高二上学期阶段考试数学试题

文理部高二数学试题 第 1页 共 4 页 文理部高二数学试题 第 2页 共 4页 高二数 大庆石油高级中学2024-2025 学年度上学期 阶段考试试题 学 注意事项 1.考试时间 120 分钟，满分 150 分。 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并准确填涂。 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案的标号。非选 择题答案使用 0.5 毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4.按照题号在各答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效。 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。每题只有一个选项符合题 意） 1.已知 ， ，则 边所在直线的方程为( ) A. B. C. D. 2.已知圆的方程为 ，那么圆心坐标和半径分别为( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.天气预报表明在国庆假期甲地降雨概率是 ，乙地降雨概率是 假设在这段时间内两 地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为 ( ) A. B. C. D. 4.设 ， ，向量 ， ， ，且 ， ， 则 ) A. B. C. D. 5.已知点 ， ，直线 ，在直线 上找一点 使得 最 小，则这个最小值为( ) A. B. C. D. 6.过直线 上的点作圆 的切线，则切线长的最小值( ) A. B. C. D. 7.在直三棱柱 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ，则 与 所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 8.有 个相同的球，分别标有数字 ， ， ， ， ， ，从中有放回的随机取两次，每次 取 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 ”，乙表示事件“第二次取出的球的数 字是 ”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 ”，丁表示事件“两次取出的球的数 字之和是 ”，则( ) A. 甲与丙相互独立 B. 丙与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 甲与丁相互独立 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中， 有多相符合题目要求，全部答对的得 6分，部分答对的得部分分，有选错的得 0 分） 9.从含有 道代数题和 道几何题的 道试题中随机抽取 道题，每次从中随机抽出 道题， 抽出的题不再放回，则( ) A.“第 次抽到代数题”与“第 次抽到几何题”是互斥事件 B.“第 次抽到代数题”与“第 次抽到几何题”相互独立 C. 第 次抽到代数题且第 次也抽到代数题的概率是 D. 在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是 10.已知圆 ，直线 ，下列说法正确的是 ( ) A. 直线 与圆 的位置关系与 有关 B. 直线 截圆 所得弦长最短时，直线 的方程是 文理部高二数学试题 第 3页 共 4页 文理部高二数学试题 第 4页 共 4页 C. 圆心 到直线 距离的最大值为 D. 直线 截圆 所得弦长范围是 11.已知正方体 的棱长为 ，点 满足 ， ， ， 四点不重合 ，则下列说法正确的是 ( ) A. 当 时， 的最小值是 B. 当 ， 时， 平面 C. 当 ， 时，平面 平面 D. 当 ， 时，直线 与平面 所成角的正切值的最大值为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12.若 分别为直线 与 上的动点，则 的最小值为 ． 13.已知空间向量 ， ，且 ，则 ，向量 与 的夹角为 ． 14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点 ， 的距离之比为定值 且 的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的 名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆 已知点 到两个定点 ， 的 距离之比为 ，则 的取值范围为______． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤） 15．（13分） 已知直线 ： 与直线 ： 的交点为 ． 求点 的坐标； 求经过点 且与直线 平行的直线 的方程； 求经过点 且与直线 垂直的直线 的方程． 16．（15分） 已知圆 经过点 ，与直线 相切，且圆心 在直线 上． 求圆 的方程； 已知直线 经过点 ，并且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程． 17．（15分） 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 底面 ， ， 为 的中点， 为 的中点，解答以下问题： 证明：直线 平面 ； 求直线 与平面 所成角的余弦值． 求点 到平面 的距离 18．（17分） 某校为了解学生对安全知识的重视程度，进行了一次安全知识答题比赛．随机抽取的 名 学生的笔试成绩 满分 分 ，分成 ， ， 共五组后， 得到的频率分布图表如下所示： 求这 名参赛者得分的第 百分位数； 估计这 名学生的成绩的平均数． 为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高 的第 、 、 组中用分层抽样抽取 名学生进入第二轮面答，最 终从 位学生中随机抽取 位参加市安全知识答题决赛，求抽到的 位学生不同组的概率． 19．（17分） 如图 ，在边长为 的菱形 中， ， 于点 ，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图 ． 求证： 平面 ； 求二面角 的余弦值； 在线段 上是否存在点 ，使平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 高二数学组 试卷第 5页，共 5页 高二数学答 大庆石油高级中学2024-2025学年上学期阶段考试 案 一、选择题（共 11小题，每小题58分） 1~5 题 ABCCD 6~8 题 BAD 9~11 题 ACD BCD BCD 二、填空题（共3题，每题5分） 12 ．4 13 . 14 . 三、解答题（共5题，共77分） 15. （本小题 13分） 联立 解得 ，可得交点 ． 由已知 与直线 平行，则 ， 所以 ，即 ； 由已知 与直线 垂直，则 ， 所以 ，即 ． 16. （本小题 15分） 因为圆心 在直线 上，可设圆心为 ． 则点 到直线 的距离 ． 据题意， ，则 ， 解得 ． 所以圆心为 ，半径 ， 则所求圆的方程是 ． 直线 被圆 截得的弦长为 ，则 ， 即圆心到直线 的距离 为 ， 直线斜率不存在时，直线方程为 ，符合题意； 直线斜率 存在时，设直线方程为 ， 圆心到直线的距离 ， ， 高二数学组 试卷第 5页，共 5页 直线方程为 ． 综上所述，直线方程为 或 ． 17.（本小题 15分） 如图，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立坐标系， 则 ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，取 ，解得 ， ，又 平面 ， 直线 平面 ． 解： 设直线 与平面 所成角为 ， ，则 ， ， 直线 与平面 所成角的余弦值为 ． 设点 到平面 的距离为 ，则 为 在向量 上的投影的绝对值， 由 ，得 所以点 到平面 的距离为 ． 18.（本小题 17分） 因为频率分布直方图中，位于 的频率为 ，位于最后一组 的频率为 ，所以得分的第 百分位数位于 内，设为 ， 则由 ，解得： ， 所以这 名参赛者得分的第 百分位数为 ； 估计这 名学生的成绩的平均数 高二数学组 试卷第 5页，共 5页 ； 因为第 、 、 组的频率分别为： ， ， ，共计 ， 所以第 、 、 组共有 名选手，利用分层抽样在 名选手中抽取 名选手进入第二轮面 试，每组抽取的人数分别为： 第 组： 人，第 组： 人，第 组： 人， 所以第 、 、 组分别抽取 人、 人、 人进入第二轮面答． 设第 组的 位学生为 ， ， ，第 组的 位学生为 ， ，第 组的 位学生为 ， 则从这 位学生中抽取 位学生有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种情况． 抽到的 位学生不同组的有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种情况． 所以抽到的 位学生不同组的概率为 ． 19.（本小题 17分） 证明：因为 ， 所以 ． 又因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ． 因为 平面 ， 所以 ． 又因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ． 解：因为 平面 ， ， 所以以 为原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系， 则 ， ， ． 所以 ， ． 设平面 的法向量 ， 高二数学组 试卷第 5页，共 5页 由 ，令 ，得 因为 平面 ，所以平面 的法向量 ， 所以 ， ． 因为所求二面角为锐角， 所以二面角 的余弦值为 ． 假设在线段 上存在一点 ，使得平面 平面 ． 设 ， ， 则 ． 所以 ． 所以 ， ． 设平面 的法向量 ， 由 ，得 令 ，得 因为平面 平面 ， 所以 ，解得 ， 所以在线段 上存在点 ，使得平面 平面 ，且 ．