3.3.2 抛物线的简单几何性质（6大题型）-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

3.3.2 抛物线的简单几何性质 知识点1 抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 知识点2 焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 3、焦半径公式的应用：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷．一般来说，涉及到过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简单． 知识点3 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例 （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 3、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 知识点4 抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）． （4）若直线的倾斜角为，则． （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，． （6）为定值． 1、待定系数法求抛物线方程的步骤 （1）定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向； （2）设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程； （3）寻关系：根据已知条件列出关于参数p的方程； （4）得方程：解方程，将p代入所设方程即得所求． 2、直线与抛物线的位置关系的判断方法：把直线与抛物线方程联立 （1）若得到的是一元二次方程，①若方程的根的判别式，则直线与抛物线相交；②若方程的根的判别式，则直线与抛物线相切；③若方程的根的判别式，则直线与抛物线相离． （2）若得到的是一元一次方程，则直线与抛物线交于一点，此时直线与抛物线的对称轴平行（或重合）． 3、直线与抛物线相交弦长 直线和抛物线交于，两点，求． （1）对斜率存在的直线，使用弦长公式；斜率不存在的直线，． （2）当直线经过抛物线的焦点时，弦长（为直线的倾斜角）． 4、抛物线的“中点弦”问题的解题方法 ①点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程作差，由求斜率，再由点斜式写出直线方程； ②传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去（或）得到关于（或）的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵（或横）坐标的2倍，从而求斜率，进而可写出直线方程． 题型一 由抛物线方程研究几何性质 【例1】（23-24高二上·四川广安·月考）对抛物线，下列描述正确的是(    ) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【变式1-1】（23-24高二上·陕西汉中·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【变式1-2】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式1-3】（23-24高二上·河南·期中）抛物线（）上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则 . 题型二 由几何性质求抛物线标准方程 【例2】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·天津红桥·期中）设O为坐标原点，直线与抛物线C: 交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）过抛物线：（）的顶点，且倾斜角为60°的直线与抛物线的另一个交点为，若，则抛物线的方程为 ． 【变式2-3】已知抛物线C：的焦点为F，准线l上有两点A、B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是 ． 题型三 直线与抛物线的位置关系 【例3】（23-24高二上·河南商丘·期中）已知抛物线的准线为，且与直线相切，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·天津·月考）已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】（23-24高二上·上海青浦·月考）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则实数k的值是 ． 【变式3-3】（23-24高二上·广东东莞·月考）已知抛物线过点，焦点为F． (1)求抛物线C的方程； (2)求过点P且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程． 题型四 直线与抛物线相交弦长问题 【例4】（23-24高二上·陕西咸阳·月考）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·云南昆明·月考）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二下·河北邢台·月考）（多选）过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·江苏连云港·月考）如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且， 交于点，点的坐标为， (1)求的值． (2)若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积. 题型五 抛物线的中点弦问题 【例5】（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·山东枣庄·月考）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（    ） A． B．2 C．或2 D．以上都不是 【变式5-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式5-3】（23-24高二上·河北邢台·月考）设抛物线的焦点为，点在上，，已知. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 题型六 抛物线的综合应用 【例6】（24-25高二上·广西梧州·月考）已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率. 【变式6-1】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为 (1)求E的方程; (2)若不过点F的直线l与E交于A，B两点，的重心在直线上，且则满足条件的直线l是否存在，若存在求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】（24-25高二上·重庆·月考）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. (1)求拋物线的方程； (2)如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 【变式6-3】（23-24高二下·河南濮阳·月考）已知抛物线，直线与交于，两点，且． (1)求的值； (2)过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点； (3)直线过的焦点，与交于，两点，在，两点处的切线相交于点，设，当时，求面积的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3.2 抛物线的简单几何性质 知识点1 抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 知识点2 焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 3、焦半径公式的应用：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷．一般来说，涉及到过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简单． 知识点3 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例 （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 3、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 知识点4 抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）． （4）若直线的倾斜角为，则． （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，． （6）为定值． 1、待定系数法求抛物线方程的步骤 （1）定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向； （2）设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程； （3）寻关系：根据已知条件列出关于参数p的方程； （4）得方程：解方程，将p代入所设方程即得所求． 2、直线与抛物线的位置关系的判断方法：把直线与抛物线方程联立 （1）若得到的是一元二次方程，①若方程的根的判别式，则直线与抛物线相交；②若方程的根的判别式，则直线与抛物线相切；③若方程的根的判别式，则直线与抛物线相离． （2）若得到的是一元一次方程，则直线与抛物线交于一点，此时直线与抛物线的对称轴平行（或重合）． 3、直线与抛物线相交弦长 直线和抛物线交于，两点，求． （1）对斜率存在的直线，使用弦长公式；斜率不存在的直线，． （2）当直线经过抛物线的焦点时，弦长（为直线的倾斜角）． 4、抛物线的“中点弦”问题的解题方法 ①点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程作差，由求斜率，再由点斜式写出直线方程； ②传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去（或）得到关于（或）的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵（或横）坐标的2倍，从而求斜率，进而可写出直线方程． 题型一 由抛物线方程研究几何性质 【例1】（23-24高二上·四川广安·月考）对抛物线，下列描述正确的是(    ) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【答案】A 【解析】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为.故选A项. 【变式1-1】（23-24高二上·陕西汉中·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【答案】D 【解析】因为抛物线方程为，则，即， 所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴， 即D正确，ABC错误.故选：D. 【变式1-2】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】设正三角形得边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称， 可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为.故选：D. 【变式1-3】（23-24高二上·河南·期中）抛物线（）上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则 . 【答案】4 【解析】抛物线的准线方程为，设， 显然，当且仅当时取等号， 则点到焦点的距离， 当且仅当时取等号，因此，所以. 故答案为：4 题型二 由几何性质求抛物线标准方程 【例2】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设抛物线方程为或， 依题意知，∴. ∴抛物线方程为.故选：C. 【变式2-1】（23-24高二上·天津红桥·期中）设O为坐标原点，直线与抛物线C: 交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令中得，解得， 不妨设， 因为OD⊥OE，所以，解得， 故C的标准方程为.故选：B 【变式2-2】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）过抛物线：（）的顶点，且倾斜角为60°的直线与抛物线的另一个交点为，若，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【解析】过点向轴作垂线，垂足记为, 由题意可知，所以点坐标为， 代入抛物线方程得，所以 故答案为： 【变式2-3】已知抛物线C：的焦点为F，准线l上有两点A、B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是 ． 【答案】或 【解析】由题意得，当时，，解得； 当或时，，解得， 所以抛物线的方程是或. 故答案为：或. 题型三 直线与抛物线的位置关系 【例3】（23-24高二上·河南商丘·期中）已知抛物线的准线为，且与直线相切，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由题知，，且， 所以，，的方程为. 将代入，整理得. 因为与直线相切， 所以，，解得．故选：B. 【变式3-1】（23-24高二上·天津·月考）已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】当直线平行于轴（即抛物线的）时，直线与抛物线只有一个公共点， 直线与抛物线的轴不平行时， 由于在抛物线的外部（与焦点在不同区域），因此过点有的抛物线的切线有两条． 综上，符合要求的直线有3条．故选：D． 【变式3-2】（23-24高二上·上海青浦·月考）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则实数k的值是 ． 【答案】0或 【解析】如图，因直线的斜率为,且经过定点， 又抛物线的对称轴为轴， 故当时，直线与抛物线有且只有一个公共点； 由消去，得：， 由，解得：，此时直线与抛物线相切. 综上，或. 故答案为：0或. 【变式3-3】（23-24高二上·广东东莞·月考）已知抛物线过点，焦点为F． (1)求抛物线C的方程； (2)求过点P且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）因为抛物线过点， 代入可得，所以. （2）过点P且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线斜率一定存在， 所以设斜率为， 当时，直线方程为，符合题意； 当时，设直线方程为， 联立，可得， ， 此时直线方程为， 综上，直线l的方程为或. 题型四 直线与抛物线相交弦长问题 【例4】（23-24高二上·陕西咸阳·月考）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线的焦点， 过焦点且倾斜角的直线为， 联立，得， 得，所以， 原点到直线的距离， 所以的面积.故选：A 【变式4-1】（23-24高二上·云南昆明·月考）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抛物线方程可知，因为直线过抛物线的焦点， 当时，直线方程为，由解得，则不满足题意， 当时，联立消可得：， ， 设，，则，， 由抛物线的定义可得：， 因为，所以，所以，故选：A. 【变式4-2】（23-24高二下·河北邢台·月考）（多选）过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意可得，即，所以，故A正确，B错误； 设，联立直线与抛物线方程， 消去可得，则， 所以，故C正确； 又， 则， 故D错误；故选：AC. 【变式4-3】（24-25高二上·江苏连云港·月考）如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且， 交于点，点的坐标为， (1)求的值． (2)若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积. 【答案】(1)；(2)12 【解析】（1）设， 因为交于点，点的坐标为， 所以直线的方程为， 联立，消去可得，， 则， 因为，所以， 即，即，解得， （2） 设线段的中点为， 由（1）知，所以， 所以，即， 联立，消去可得，， 设，则， 所以， 又点到直线的距离为， 所以的面积为. 题型五 抛物线的中点弦问题 【例5】（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为.故选：D. 【变式5-1】（23-24高二上·山东枣庄·月考）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（    ） A． B．2 C．或2 D．以上都不是 【答案】B 【解析】设，因为中点的横坐标为，则， 可得， 又由，两式相减得到，可得， 可得，解得或， 联立方程组，整理得， 由，解得，所以.故选：B. 【变式5-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】抛物线的焦点，设，假设， 显然弦所在的直线的斜率存在且不等于零， 设弦所在的直线方程为， 联立，消去可得，， 所以， 因为，所以，则， 所以，解得，所以， 所以， 所以弦的中点的坐标为， 所以弦的中点轴的距离为，故选:C. 【变式5-3】（23-24高二上·河北邢台·月考）设抛物线的焦点为，点在上，，已知. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 所以，即轴. 令，可得， ，， 所以，得， 故抛物线的方程为. （2）如图，易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得. 因为的中点为， 所以， 所以直线的方程为，即. 由直线过点，必和抛物线有两个交点， 所以直线的方程为. 题型六 抛物线的综合应用 【例6】（24-25高二上·广西梧州·月考）已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率. 【答案】(1)；(2)4或 【解析】（1）设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得， 则， 当三点共线且点在线段上时，取得最小值， 则，整理得，解得或， 因为，所以，故的方程为. （2）设过点的直线. 联立，消元得，则， 由， 得 代入韦达定理得： 化简得，得或. 故的斜率为4或. 【变式6-1】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为 (1)求E的方程; (2)若不过点F的直线l与E交于A，B两点，的重心在直线上，且则满足条件的直线l是否存在，若存在求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）M为抛物线上一点，且，则有， 解得，故， 又的面积为，得，所以， 则E的方程为 （2）当直线l的斜率不存在时，l与E交于A，B两点，线段 AB 的中点的纵坐标为0， 的重心不在直线上，因此直线l的斜率都存在． 设 ， ， ，由 （1） 知 ， 由 消去x后整理得 ，则， 有 因为 的重心在直线 上，所以 ，则 ，所以 ， 由 ，有 ，则 ，即 ，所以 ， ，，满足，且直线l不过点F， 因此直线l的方程为 【变式6-2】（24-25高二上·重庆·月考）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. (1)求拋物线的方程； (2)如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 【答案】(1)；(2)证明见解析， 【解析】（1）如图，记准线与轴交于点，在中，， 所以. 故抛物线. （2）因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率， 设， 由且， 因为位于轴同侧，所以，则， 由得，所以， 又点，直线和的倾斜角互补，所以， 所以，所以， 即，解得， 所以直线恒过定点. 【变式6-3】（23-24高二下·河南濮阳·月考）已知抛物线，直线与交于，两点，且． (1)求的值； (2)过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点； (3)直线过的焦点，与交于，两点，在，两点处的切线相交于点，设，当时，求面积的最小值． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）将代入中得， 故，解得； （2）由（1）知抛物线，令，可得， 由求导可得， 设， 则直线的方程分别为， 将代入上面两个方程得，结合 整理得， 所以是方程的两根，所以， 而直线的方程为， 即， 即， 则直线过定点； （3）由题意得，直线的斜率不为0， 设直线， 联立得，得，则， 联立，解得，故，即， 由，得，结合根与系数的关系可知， 从而，所以， 而，故， 由于在时为增函数， 因此当时，的面积取得最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$