7.5三角形内角和定理（2）课件 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

三角形内角和定理（第二课时） 年 级：八年级 学 科：数学（北师大版） 1 学习目标 1.了解并掌握三角形的外角的定义．（重点） 2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算．（难点） 2 情景导入 灰太狼发现懒洋洋独自在O处游玩时，打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒洋洋返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒洋洋，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？ B D C A O ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角 C B A D 探究新知 三角形的外角的概念 三角形的外角的特征： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③角的另一边是三角形中一边的延长线. C B A D 如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？ ∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC的外角; ∠EFD是△BEF和△DCF 的外角. 小试牛刀 F A B C D E D A B C 思考： ∠ACD+∠ACB=180° ∠A+∠B+∠ACB=180° 所以∠ACD= ∠A+∠B △ABC的外角∠ACD与它的三个内角有什么大小关系？ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形外角的性质： ∠ACD=∠A+∠B 归纳总结 D A B C 性质1： 情景导入 灰太狼发现懒洋洋独自在O处游玩时，打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒洋洋返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒洋洋，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？ B D C A O ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 三角形外角的性质： ∠ACD=∠A+∠B ∠ACD > ∠A， ∠ACD > ∠B 归纳总结 D A B C 性质1： 如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC. A C D B E 学以致用 2. 如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.求证:∠BPC＞∠A. A B C P （1题） （2题） 3. 如图,∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角,它们的和是多少？ A B C E F D (3题) 如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC. A C D B E 证法一： ∵∠EAC=∠B+∠C ,∠B=∠C ∴∠C= ∠EAC ∵AD平分 ∠EAC ∴∠DAC= ∠EAC ∴∠C=∠DAC ∴AD∥BC （内错角相等,两直线平行） 如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC. A C D B E 证法二： ∵∠EAC=∠B+∠C ,∠B=∠C ∴∠B= ∠EAC ∵AD平分 ∠EAC ∴∠EAD= ∠EAC ∴∠B=∠EAD ∴AD∥BC （同位角相等,两直线平行） 如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC. A C D B E 证法三：∵∠EAC=∠B+∠C ,∠B=∠C ∴∠C= ∠EAC ∵AD平分∠EAC ∴∠DAC= ∠EAC ∴∠C=∠DAC ∴AD∥BC （同旁内角互补,两直线平行） ∴∠B+∠BAC+ ∠DAC =180° ∵∠B+∠BAC+ ∠C =180° 即∠B+∠DAB=180° 2. 如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.求证:∠BPC＞∠A. 证法一： 如图，延长BP，交AC于点D. ∵ ∠BPC是△PDC的一个外角 ∴ ∠BPC>∠PDC ∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 ∴ ∠PDC>∠A ∴ ∠BPC>∠A A B C P D 2. 如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC。求证:∠BPC＞∠A. 证法二:如图，连接AP，并延长AP交BC于点D. ∵ ∠BPD是△ABP的一个外角 ∴ ∠BPD>∠BAP ∵ ∠DPC是△APC的一个外角 ∴ ∠DPC>∠PAC ∴ ∠BPC= ∠BPD + ∠DPC >∠BAP+ ∠PAC ∴ ∠BPC＞∠BAC A B C P D 3. 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又∵ ∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ∴ ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 结论：三角形的外角和等于360°. 课堂小结 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边， 另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于360 ° 2.三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角 课本183页 习题7.7 1-4题 布置作业 $$