7.5 三角形内角和定理（1）课件 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

三角形内角和定理（第一课时） 年 级：八年级 学 科：数学（北师大版） 1 三角形纸片，量角器，剪刀，直尺 课前准备 2 学习目标 2.会运用三角形内角和定理解决相关问题.（难点） 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形的内角和等于180°.（重点） 3 情景导入 难道说我的形状最小，我的内角和就最小吗？ 我的形状最大，所以我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 假如你是小法官的话，你觉得它们谁说得有道理呢？ 4 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°,与三角形的形状、大小无关。 你还记得这个结论的探究过程吗？ 回顾旧知 5 合作交流 图2 图3 图1 剪拼 折叠 测量 6 通过观察与实验的方法得到的结论不一定可靠，想要判定一个数学结论是否正确，还需要进行严格的推理论证。 证明：三角形的内角的和等于180°. 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. A B C 从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 探究新知 1 2 证法一： 过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1， ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. A B C 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.这里的直线 就是辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 作辅助线 1 2 证法二： 延长BC到点D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 A B C D E 证法三： 过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B+∠BCE=180°. (两直线平行,同旁内角互补） 即∠B+∠ACB+ ∠1=180° ∴∠B+∠ACB+ ∠A =180°. E 1 C B A A B C E 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180° 符号表示:在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. A B C 思路总结 为了证明三角形的内角和为180°,借助平行线“移角”的功能，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中常用的方法. C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 A 3 E D F H 1 D B C A E F 1 2 3 我们在证明三角形内角和定理时，是否可以把三个角的顶点“凑”到BC边上的一点D（如图1）？把三个角的顶点“凑”到三角形内一点呢（如图2）？“凑”到三角形外一点呢（如图3）？ 图1 图3 图2 课后思考 2.在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数。 学以致用 1.如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75° ，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。 （1题） A B C D 3. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ 北 A D 北 C B 东 E （3题） 1.如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75° ，AD是∠BAC的角平分线，求∠ADB的度数。 A B C D 解：由∠BAC=40 °, AD是∠BAC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20° =85°. 2、在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°， 求∠A，∠B，∠C的度数. 解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x ＋ 15)°， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°. 方 程 思 想 北 A D 北 C B . 东 E 3. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ ∵ ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°. 解：由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °. ∴∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°, ∴∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°. ∴∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB=180°-60°-30°=90°. 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °, 从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°. 课堂小结 1、本节课你学会了哪些知识？用到了哪些数学思想？ 2、学习了三角形的“内”角以后，下节课你还想知道三角形的什么角呢？ 课本180页 习题7.6 1-4题 布置作业 21 $$