精品解析：新疆昌吉回族自治州2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期九年级数学期中诊断性测试 数学试卷 （满分150分 时间120分钟） 一、选择题（每题4分，共36分） 1. 一元二次方程的解是（ ）. A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法求解一元二次方程成为解题的关键. 直接运用因式分解法求解即可. 【详解】解：， ， 所以方程组的解为：，. 故选：C. 2. 方程 2x 2 - x + 1 = 0的根的情况是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先计算判别式得到△=-4，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】∵△=12−4×2×1=−7<0， ∴方程没有实数根. 故选C. 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握计算公式. 3. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 0 D. 0或3 【答案】B 【解析】 【分析】将代入一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解方程得， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解是解答本题的关键．． 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．将解析式化为顶点式即可得解． 【详解】解：∵， 抛物线的对称轴是是直线， 故选：B． 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：且 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解本题的关键． 6. 已知一个直角三角形的面积为，两直角边长的和为，则两直角边长分别为（ ） A. 3，6 B. 2，7 C. 1，8 D. 4，5 【答案】D 【解析】 【分析】设直角三角形的一条直角边为x，则另一条直角边为（9-x），根据三角形的面积列出方程解答即可． 【详解】解：设直角三角形的一条直角边为x，则另一条直角边为（9-x）， x（9-x）=10， 整理得x2-9x+20=0， 解得x1=4，x2=5， 9-x=5或4． 答：两直角边长分别为5，4． 故选D． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，此题利用三角形的面积计算公式建立方程解决问题． 7. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位，所得图象的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的平移规律解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，所得图象的表达式为， 故选：C． 8. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，每个同学需赠送出(x-1)件标本，x名同学需赠送出x(x-1) 件标本，即可列出方程． 【详解】解：由题意可得， x（x-1）=182， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、确定等量关系是解答本题的关键． 9. 关于二次函数的图象与性质，下列结论正确的是（ ） A. 函数图象的顶点坐标为 B. 当时，随的增大而增大 C. 二次函数的图象与轴有两个交点 D. 二次函数的图象可由经过平移得到 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行分析解答即可． 【详解】解：由可知， 二次函数顶点坐标为，故A选项错误； ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，故B选项错误； ∵二次函数开口向上，且顶点坐标为位于轴下方， ∴二次函数的图象与轴有两个交点，故C选项正确； ∵二次函数的，与二次函数开口方向相反， ∴二次函数的图象不是由经过平移得到的，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 二次函数y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数，a≠0)，其顶点坐标为(h，k). 【详解】解：由顶点式的定义可知该二次函数的顶点坐标为. 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式. 11. 抛物线与轴的交点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．把代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解∶当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为∶ ． 12. 若一元二次方程的两个根分别为，，则的值_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 已知二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为______. 【答案】(-1,0) 【解析】 【分析】抛物线与x轴的另一个交点的横坐标=对称轴-（3-1）=-1，纵坐标为0． 【详解】解：易得对称轴为1，根据抛物线的对称性，可得抛物线与x轴两交点到对称轴的距离相等，那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为1-（3-1）=-1，纵坐标为0．∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）． 【点睛】抛物线与x轴两个交点的横坐标的和除以2后等于对称轴． 14. 下表是二次函数自变量x取不同值时对应的函数值，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次方程的根是_______． x … 0 1 2 3 … … 6 0 0 2 6 … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合，根据表格信息可得二次函数图象 的对称轴为，由此即可求解． 【详解】解：当时，；当时，； ∴二次函数图象的对称轴为， ∵当时，， ∴当时，； ∴的解为， 故答案为：． 15. 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，当销售单价为_______元时，能获得最大利润． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的最值问题是解题的关键，根据二次函数的性质可知，二次函数的最值是它的顶点的纵坐标，将写成顶点式的形式即可得到答案． 【详解】解：将写为顶点式的形式得：， ∴当时，取最大值， ∴当销售单价为元时，能获得最大利润． 故答案为：． 三、解答题（共90分） 16. 解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； （3）利用因式分解法即可求解； （4）利用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∴或， ∴； 【小问3详解】 解： ∴ ∴或， ； 【小问4详解】 解：， ， 即， ∴或， 17. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 【答案】m＝5，x1=x2=2． 【解析】 【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根． 【详解】由题意可知△＝0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）＝0，解得：m＝5． 当m＝5时，原方程化为x2﹣4x+4＝0．解得：x1＝x2＝2． 所以原方程的根为x1＝x2＝2． 【点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 18. 我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． （1）请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． （2）观察图象，当时，y的范围是_______，当时x的范围是_______． 【答案】（1） 描点连线，如图所示； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了画二次函数图象，抛物线与轴的交点问题； （1）运用描点法，描出关键点，画出经过各点的平滑曲线； （2）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当，； 当时，． 列表如下： 5 0 0 5 【小问2详解】解：根据函数图象可得：当时，y的范围是，当时x的范围是， 故答案为：，． 19. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【答案】 （1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 20. 阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解： ， ∴代数式的最小值是． 21. 如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）求△BCD的面积． 【答案】（1）；（2）6 【解析】 【分析】（1）设抛物线顶点式解析式，然后把点的坐标代入求出的值，即可得解； （2）令，解方程得出点，坐标，再用三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：（1）抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式， 把点代入得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，抛物线的解析式为； 令，则， 或， ，； ， ． 【点睛】本题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，解本题的关键是求出抛物线解析式，是一道比较简单的中考常考题． 22. 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由． 【答案】（1）边AB的长为15米； （2）羊圈的总面积不能为500平方米， 由（1）可得：， 化简得：， ∴， ∴羊圈的总面积不能为500平方米． 【解析】 【分析】（1）设AB=x米，则有，然后根据矩形面积公式可列出方程求解； （2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：（1）设AB=x米，由题意可得：， ∴， 解得：， ∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，， ∴， 答：边AB的长为15米； （2）略 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 23. 某茶叶公司经销一种茶叶，每千克成本为元，市场调查发现在一段时间内，销量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具有关系为：，物价部门规定每千克的利润不得超过元．设这种茶叶在这段时间内的销售利润（元），解答下列问题： 求与的关系式； 当取何值时，的值最大？并求出最大值； 当销售利润的值最大时，销售额也是最大吗？判断并说明理由． 【答案】(1) y；; (2) 当时，的值最大，; (3) 当销售利润的值最大时，销售额不是最大,理由如下： 设这段时间内的销售额为S元，则S=xW=x（﹣x+240）（80≤x≤140），即S=﹣x2+240x，当，x=120时，销售额S最大，所以当销售利润y的值最大时，销售额不是最大． 【解析】 【分析】（1）根据销售利润=每天的销售量×（销售单价﹣成本价），即可列出函数关系式； （2）根据（1）得到销售利润的关系式，利用配方法可求最大值； （3）设这段时间内的销售额为S元，于是得到S=xW=x（﹣x+240）（80≤x≤140），由S=﹣x2+240x，当x=120时，销售额S最大，于是得到当销售利润y的值最大时，销售额不是最大． 【详解】（1）由题意得y=（x﹣80）W=（x﹣80）（﹣x+240）， 即y=﹣x2+320x﹣19200；（80≤x≤140）， （2）y=﹣x2+320x﹣19200=﹣（x﹣160）2+6400，抛物线的对称轴是x=160，而80≤x≤140， ∴当x=140时，y的值最大，y最大=6000． （3）略 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度适中，解答本题的关键是熟练掌握利用配方法求二次函数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期九年级数学期中诊断性测试 数学试卷 （满分150分 时间120分钟） 一、选择题（每题4分，共36分） 1. 一元二次方程的解是（ ）. A. B. C. ， D. ， 2. 方程 2x 2 - x + 1 = 0的根的情况是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个相等的实数根 3. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 0 D. 0或3 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 6. 已知一个直角三角形的面积为，两直角边长的和为，则两直角边长分别为（ ） A. 3，6 B. 2，7 C. 1，8 D. 4，5 7. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位，所得图象的表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 关于二次函数的图象与性质，下列结论正确的是（ ） A. 函数图象的顶点坐标为 B. 当时，随的增大而增大 C. 二次函数的图象与轴有两个交点 D. 二次函数的图象可由经过平移得到 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 二次函数y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是_____． 11. 抛物线与轴的交点坐标是____________． 12. 若一元二次方程的两个根分别为，，则的值_______． 13. 已知二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为______. 14. 下表是二次函数自变量x取不同值时对应的函数值，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次方程的根是_______． x … 0 1 2 3 … … 6 0 0 2 6 … 15. 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，当销售单价为_______元时，能获得最大利润． 三、解答题（共90分） 16. 解方程 （1） （2） （3） （4） 17. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 18. 我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． （1）请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． （2）观察图象，当时，y的范围是_______，当时x的范围是_______． 19. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 20. 阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 21. 如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）求△BCD的面积． 22. 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由． 23. 某茶叶公司经销一种茶叶，每千克成本为元，市场调查发现在一段时间内，销量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具有关系为：，物价部门规定每千克的利润不得超过元．设这种茶叶在这段时间内的销售利润（元），解答下列问题： 求与的关系式； 当取何值时，的值最大？并求出最大值； 当销售利润的值最大时，销售额也是最大吗？判断并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $