上海市文来中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

2024学年第一学期期中考试高三年级数学试卷 (本试卷满分150分，考试时间120分钟，可以使用计算器) 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知全集U={1,34,5},集合A=(4,5},则A= 2.若ae(G,π，sina=g,则cosa= 3.直线x-√3y+1=0的倾斜角为 4.若复数z满足3z+z=1+i,其中1为虚数单位，则z= 5.如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为 5 6.已知向量a,b的夹角为6，且同=25、万=（←34，则a+2- 7.(:+)的二项展开式中的常数项为 (结果用数值表示) 8.数列{an}满足an2-an=2,若a1=1,a4=4,则数列{an}的前20项的和为 9.甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列 方式有 种 10.过抛物线E:y2=2px(p)0)的焦点F的直线交E于点A,B,交E的谁线I于点C,ADL I,点D为垂足.若F是AC的中点，且IAP=3,则IAB引= 11.已知正方形ABCD的边长为2，中心为0，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如 图)，若P在BC上，且AP=A丽+AD,则X+u的最大值为 12.己知数列{a,}是有无穷项的等差数列，a1≥0，公差d>0,若满足条件：①38是数列{an}的 项；②对任意的正整数m,n(m≠n),都存在正整数k,使得aman=ak,则满足这样的数列个数是 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题4分，第15-16每题5分） 13.“x1”是“<1"的(） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 14.关于直线1，m及平面a,B,下列命题中正确的是( A若1∥a,anB=m,则1∥m B.若1∥a,m∥a,则1∥m C.若l⊥a,m|a,则l⊥m D.若I∥a,m⊥1，则m⊥a 15.心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈 现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空 间.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则 “心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为() A.y=xlv4-x2 B.y=xv4-x2 Cy=-x2+2x D.y=√-x2+2x 图1 16.在平面直角坐标系中，定文A:)=mak,-图引y,-y为两点.Ak(y)的 “切比雪夫距离”，又设点P与直线1上任意一点Q,称d(P,Q)的最小值为点P与直线I间 的“切比雪夫距离”，记作(P,),给定下列两个命题： ①已知点P3,1),直线1：2xy1=0,则d(P0=音 ②定点F,(-c,0)、F2(c,0),动点P(x,y)满足Id(PF,)-d(PF引=2a(2c>2a>0) 则点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点：下列说法正确的是() A.命题①成立，命题②不成立 B.命题①不成立，命题②成立 C.命题①②都成立 D.命题①②都不成立 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，其中第17-19题每题满分14分，第20-21每题 满分18分) 17.如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，AA:=AB=AC=2,AA,⊥AB,AC1AB,D为AB中 点，E为AA中点，F为CD中点 (1)求证：EF//平面ABC: (2)求直线BE与平面CC,D所成角的大小. 18.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinB-asinA=(b-c)sinC. (1)求A: (2)若a-4,求△ABC周长的最大值. 19.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，某市为提高市民对文明城市创建的 认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的 成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，·，[90,100]，得 如下图所示的频率分布直方图 频率 个组距 a 0.025 0.020 0.010 0.005 0 405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中a的值： (2)若在抽取的100份样本中有20份样本的数据如下： 44,46,50,52,60,63,66,68,68,72,75,76,79,79,81,82,82,83,90,92求该组 数据（指这20分样本构成的数据）的第75百分位数： (3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求这两 组成绩的总平均数和总方差 20.已知椭圆r二+号=1(@b>0)的离心率为，其左右焦点为P、Pa,斜率为1的直 线I经过右焦点F2,与椭圆交于不同的两点A、B,△AF,B的周长为12. (1)求椭圆下的方程： (2)求△AF:B的面积： (3)过点F2任作与坐标轴都不垂直的直线1与椭圆交于M、N两点，在x轴上是否存在 一定点P,使PF恰为∠MPN的平分线？ 21.已知函数.f(x)=x2+ax-xlnx的导函数为f(x). (1)若a=-1,求曲线.y=f(x)在点(1，(1)处的切线方程： (2)若'(x)存在两个不同的零点x、x2,求实数a的取值范围： (3)在(2)的条件下，证明：x1+x2>1.