精品解析：山东省烟台市中英文学校2024-2025学年高二上学期期中模拟数学试题

数学期中模拟一 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量为，且直线经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，点，点，点满足，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆O的方程为，过圆O外一点作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A､B，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知直线l经过点，.则下列结论中正确的是（ ） A. 直线l的斜率是 B. 直线l的倾斜角是 C. 直线l的方向向量与向量平行 D. 直线l的法向量与向量平行 10. 给出下列命题正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行 B. 直线恒过定点 C. 已知直线与直线垂直，则实数的值是 D. 已知三点不共线，对于空间任意一点，若，则四点共面 11. P为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 当P在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 B. 当P在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是 C. 当P在面ABCD内运动时，R为棱的中点且平面，则点P的轨迹长度为 D. 当P在面内运动时，Q为棱BC的中点且，则的最大值为 三、填空题 12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_______． 13. 在长方体中，已知，异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为_______. 14. 已知动圆，则圆在运动过程中所经过的区域的面积为______；为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点为A、B，当时，的取值范围为______. 四、解答题 15. 已知顶点、、． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 16. 如图三棱柱中，，，，平面平面，D是棱AC的中点. （1）求证：平面； （2）求到直线BD的距离. 17. 已知圆C：与圆：. （1）求C与相交所得公共弦长； （2）若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 18. 已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示． （1）求证：平面平面． （2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为圆心的圆与线段相切． （1）求圆O的方程； （2）若直线与圆O相交于M，N两点，且，求c的值； （3）在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学期中模拟一 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 因此，直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 直线的一个方向向量为，且直线经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，先求出直线的斜率，再结合直线的点斜式公式，即可求解． 【详解】直线的一个方向向量为 则直线的斜率为， 直线过点， 则，即． 故选：A． 3. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 4. 以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过定点，再由圆的标准形式即可求出圆的标准方程，再转化成一般式即可. 【详解】由得， 令，则，，所以直线恒过定点， 则圆的方程为，即. 故选：D. 5. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角. 【详解】设与的夹角为，由，得， 两边同时平方得， 所以1，解得， 又，所以. 故选：D 6. 如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量方法求角，先求向量与的夹角，再转化为线线角即可. 【详解】如图，由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 不妨设，则， 则， 则， 又由两直线所成角的范围为， 则直线与所成的角为. 故选：C. 7. 在中，点，点，点满足，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，得到点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点），然后数形结合得到点到直线的距离最大值为，求出面积的最大值即可. 【详解】由题意，设，则， 由得， 化简得， 故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点）, 故点到直线的最大距离为， 所以的面积最大值为. 故选：B. 8. 已知圆O的方程为，过圆O外一点作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A､B，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积运算求得，即.设，由直线与圆的关系建立不等式组，求解即可. 【详解】解：由，得即，所以，即.设，根据题意，直线与圆有公共点，所以，解得（当直线与圆相切时取等号），即的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 9. 已知直线l经过点，.则下列结论中正确的是（ ） A. 直线l的斜率是 B. 直线l的倾斜角是 C. 直线l的方向向量与向量平行 D. 直线l的法向量与向量平行 【答案】AD 【解析】 【分析】根据两点表示斜率即可判断A；由推不得即可判断B；根据共线向量的坐标表示即可判断CD. 【详解】A：由题意，知直线l的斜率是，故A正确； B：直线l的倾斜角满足，但不一定有，故B错误； C：直线l的一个方向向量为，因为， 所以直线l的一个方向向量与向量不平行，故C错误； D：直线l的一个法向量为，因为， 所以直线l的一个法向量与向量平行，故D正确. 故选：AD 10. 给出下列命题正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行 B. 直线恒过定点 C. 已知直线与直线垂直，则实数的值是 D. 已知三点不共线，对于空间任意一点，若，则四点共面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间向量、直线过定点、直线垂直、四点共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，所以与不平行，A选项错误. B选项，由， 得，由， 解得，所以定点为，B选项正确. C选项，由， 解得或，C选项错误. D选项，由于， 其中，所以四点共面，D选项正确. 故选：BD 11. P为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 当P在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 B. 当P在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是 C. 当P在面ABCD内运动时，R为棱的中点且平面，则点P的轨迹长度为 D. 当P在面内运动时，Q为棱BC的中点且，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知可得，平面，则直线上任意一点到平面的距离都相等，则三棱锥的体积是定值，即可判断A；由，则异面直线与所成的角就是直线与所成的角，即可判断B；由已知所在的平面为如图所示正六边形，该正六边形的六个顶点分别为对应棱的中点，则点P的轨迹即为，求出，即可判断C；建立空间直角坐标系，由，可得，设，由空间向量坐标运算，可求得，即三棱锥的高取得最大值，则求得的最大值为，即可判断D. 【详解】 对于A选项，因为且，故四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，平面， 所以直线上任意一点到平面的距离都相等，即为三棱锥的高， 则三棱锥的体积是定值，故A正确； 对于B选项，设直线与所成的角为，因为， 所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角， 当在线段的端点处时，， 当在线段的中点时，，所以，故B错误； 对于C选项，P在面ABCD内运动时，R为棱的中点， 因为平面， 作过的平面，平面平面， 该六边形的六个顶点分别为对应棱的中点， 则所在的平面为如图所示正六边形， 设中点为，点P的轨迹即为， 则，故C正确； 对于D选项，如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 因为P在面内运动，Q为棱BC的中点， 因为在正方体中，平面， 平面，所以，则是直角三角形， 同理，则是直角三角形， 又，则， 即，所以，则， 因为，设，， 则即为三棱锥的高， 所以， 整理得，， 当时，，即三棱锥的高取得最大值， 又， 此时， .即的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】直线与直线平行，则，解得， 直线为， 所以它们之间的距离是. 故答案为： 13. 在长方体中，已知，异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】建立为空间直角坐标系设，根据异面直线与，与所成角求出，再应用空间向量公式计算点到平面距离即可. 【详解】如图建立以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为x轴，所在直线为z轴的空间直角坐标系， 设，因为 则，则， 因为异面直线与所成角为，所以 因为异面直线与所成角为，所以 计算可得， 设平面法向量为，则， 令，则 因为， 则点到平面的距离. 故答案为：. 14. 已知动圆，则圆在运动过程中所经过的区域的面积为______；为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点为A、B，当时，的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分析可得动圆的圆心，半径，在以圆心，半径的圆上，圆在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心，半径为的圆的面积；由倍角公式及几何关系可得，分析的范围结合换元法即可求． 【详解】动圆的圆心，半径， 令，则由得在以圆心，半径的圆上． 圆在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心，半径为的圆的面积， 即； 到直线的距离， 由，则，即， ， 令，则，则， 由对勾函数在上单调递增，故， 有. 所以的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题 15. 已知顶点、、． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其中垂线方程； （2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解. 【小问1详解】 由、， 可知中点为，且， 所以其垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； 【小问2详解】 当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 16. 如图三棱柱中，，，，平面平面，D是棱AC的中点. （1）求证：平面； （2）求到直线BD的距离. 【答案】（1） 证明：如图所示，在三棱柱中，连接交于，再连接， 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是中点，所以， 因为平面A1BD，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，证得，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）利用面面垂直的性质，证得平面，以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和，结合距离公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 由余弦定理得， 所以，可得， 又由平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为，故两两垂直， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以，， 且， 则，，， 所以C1到直线BD的距离为. 17. 已知圆C：与圆：. （1）求C与相交所得公共弦长； （2）若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，求得圆心到该直线的距离d，利用弦长公式可求得所求弦长； （2）易知直线l的方程为，与圆C的方程联立，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，结合题意即可求得 【小问1详解】 由题意知，两圆的公共弦所在直线方程为 整理得， 圆心到直线的距离， 所以所求弦长为； 【小问2详解】 由题设可知直线l的方程为， 设，， 将代入方程， 整理得， 所以，， ， 因为， 解得，经检验，直线与圆有交点， 所以直线l的方程为， 故圆心C在直线l上，所以 18. 已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示． （1）求证：平面平面． （2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）如图，取的中点，连接． 因为是等边三角形，为的中点，所以． 因为，所以． 因为，，， 所以四边形为矩形．所以． 又因为，所以，即． 因为，，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． （2）线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，此时，理由如下： 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则． 由题意知平面的法向量为． 设线段上存在一点，使得二面角的余弦值为， 记． 因为，所以． 因为，所以． 又， 设平面的法向量为，则 令，则，，即． 所以． 因为二面角的余弦值为，， 所以，解得或（舍去）． 所以线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，此时． 【解析】 【分析】（1）如图，取的中点，连接，则，利用勾股定理的逆定理可证明，结合线面垂直和面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，设线段上存在一点满足题意，记．利用空间向量法求解面面角，建立关于的方程，解之即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为圆心的圆与线段相切． （1）求圆O的方程； （2）若直线与圆O相交于M，N两点，且，求c的值； （3）在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）根据圆和直线的位置关系求得圆的方程. （2）根据圆心到直线的距离列方程，化简求得的值. （3）设出的坐标，根据列方程，利用特殊值求得的值，同时求得点的坐标. 【小问1详解】 由于，，则线段与轴平行，且与圆相切. 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由于，所以， 由于三角形是等腰直角三角形，所以到直线的距离为， 所以. 【小问3详解】 直线的方程为，假设存在符合题意的点，设， 则①， 由于的任意性，不妨设或，带入①得， ，解得或（舍去）， 所以（负根舍去）， 将带入①得， 整理得，则在圆上. 所以，这样的点是存在的，坐标为，此时. 【点睛】关键点睛：求解圆的方程，关键点在于求得圆心和半径.求解直线和圆的位置关系有关问题，可以利用圆心到直线的位置关系来进行求解.求解存在性问题，可先假设存在，然后根据需要满足的条件列式，再结合已知条件来进行判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $